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\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\renewcommand{\d}{\mathrm{\,d}}%     le d de différentiation
\newcommand{\e}{\mathrm{\,e\,}}%     le e de l'exponentielle
\renewcommand{\i}{\mathrm{\,i\,}}%   le i des complexes
\newcommand{\ds}{\displaystyle}
\newcommand{\ts}{\textstyle}

\begin{document}

\setlength\parindent{0mm}
\setlength\parskip{4pt}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small BTS Polynésie - corrigé}
\lfoot{\small Services informatiques aux organisations\\Épreuve de mathématiques approfondies}
\rfoot{\small mai 2025}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}

\begin{center}
  {\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du BTS Polynésie - mai 2025~\decofourright\\ [7pt]
  Services informatiques aux organisations}}\\ [7pt]
  \textbf{Épreuve de mathématiques approfondies}
%  \vspace{0.25cm}

%\textbf{L'usage de calculatrice avec mode examen actif est autorisé}
%
%\textbf{L'usage de calculatrice sans mémoire \og type collège \fg{} est autorisé}
%
%\textbf{Durée : 2 heures}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\large Exercice 1 \hfill 10 points}

\medskip

%Les trois parties sont indépendantes.
%
%\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

L'évolution de la finesse de gravure d'un processeur est un élément clé dans l'amélioration des performances et de l'efficacité énergétique des puces électroniques.
La finesse de gravure fait référence à la taille des composants individuels sur une puce, mesurée en nanomètres (nm). Plus elle est petite, plus les performances sont accrues. Au fil des années, la finesse de gravure des processeurs a considérablement diminué.

Dans le tableau ci-dessous, on donne la taille en nanomètres (nm) d'un processeur selon
les années, entre 2004 et 2022.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c| *7{>{\centering\arraybackslash}X|}}
\hline
\textbf{Année:} $x_i$ &  2004 & 2007 & 2010 & 2013 & 2016 & 2019 & 2022\\ 
\hline
\textbf{Taille (en nm):} $y_i$ &  90 & 65 & 32 & 22 & 14 & 10 & 7 \\
\hline
\end{tabularx}
\end{center}

Le nuage de points $(x_i\;; y_i)$ suggère de procéder à un ajustement exponentiel. \\
Ainsi, on pose $z_i= \ln y_i$.

\begin{enumerate}
\item On complète le tableau suivant en arrondissant les valeurs à $10^{-3}$. 

\begin{center}
 \begin{tabularx}{\linewidth}{|c| *7{>{\centering\arraybackslash}X|}}
\hline
\textbf{Année:} $x_i$ &  2004 & 2007 & 2010 & 2013 & 2016 & 2019 & 2022\\ 
\hline
$z_i= \ln y_i$ &  $4,500$ & $4,174$  & $3,466$ & $3,091$ & $2,639$  & $2,303$  & $1,946$  \\
\hline
\end{tabularx}
\end{center}        

\item À l'aide d'une calculatrice, on détermine  le coefficient de corrélation linéaire $r$ de la série statistique $(x_i\;; z_i)$, arrondi à $10^{-3}$: $r \approx -0,994$.

$|r|=0,994$ est très proche de 1, donc  l'ajustement affine de cette série statistique est pertinent.
 
\item On détermine, à l'aide d'une calculatrice, une équation de la droite de régression de $z$ en $x$,  en arrondissant les coefficients  à $10^{-4}$: $z=-0,1456 x + 296,267$.

\item% Justifier que la taille $y$ d'un processeur, en nanomètres, l'année $x$ peut être modélisée par l'égalité $y=\e^{-0,1456x+296,267}$. 
$z=-0,1456 x + 296,267$; or $z=\ln(y)$ donc
$\ln(y)=-0,1456 x + 296,267$ et donc \\
$y=\e^{-0,1456x+296,267}$. 
%\end{enumerate}
%
%On admet pour la suite de l'exercice que cet ajustement reste valable jusqu'en 2030.
% 
% \begin{enumerate}[resume]

\item La taille estimée du processeur deviendra inférieure à 3~nm pour le plus petit entier $x$ tel que $y<3$. On résout cette inéquation.

$\aligned
y<3
& \iff \e^{-0,1456x+296,267} < 3
\iff -0,1456x+296,267 < \ln(3)\\
& \iff 296,267-\ln(3) < 0,1456 x
\iff \dfrac{296,267 - \ln(3)}{0,1456} < x
\endaligned$

$\dfrac{296,267 - \ln(3)}{0,1456}\approx \np{2027,26}$ donc c'est à partir de 2028 que la taille estimée du processeur deviendra inférieure à 3~nm.

\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On s'intéresse ici à la production de processeurs par une entreprise. Pour fabriquer un
processeur, cette entreprise choisit au hasard 10 composants dans son stock. On considère
que le stock est suffisamment important pour que ce prélèvement soit assimilé à un tirage
avec remise.
On suppose que la probabilité qu'un composant du processeur soit défectueux est égale
à $0,1$.
On note $X$ la variable aléatoire qui, à chaque processeur, associe le nombre de composants
défectueux. 

\begin{enumerate}
\item % Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres. Arrondir à $10^{-3}$.
 Pour un composant, il n'y a que deux issues: il est défectueux (avec une probabilité $p=0,1$), ou il ne l'est pas.
 
 On choisit au hasard $n=10$ composants dans son stock et on considère que le stock est suffisamment important pour que ce prélèvement soit assimilé à un tirage avec remise.
 
Donc  la variable aléatoire qui, à chaque processeur, associe le nombre de composants
défectueux suit la loi binomiale de paramètres $n=10$ et $p=0,1$. 
 
\item La probabilité qu'aucun des composants du processeur ne soit défectueux est:

$P(X=0) =\ds\binom{10}{0}\times 0,1^0 \times (1-0,1)^{10}=0,9^{10}\approx 0,349$.
 
\item La probabilité qu'au moins 3 composants soient défectueux. est:

$P(X\geqslant 3) = 1- P(X<3) = 1-P(X\leqslant 2) \approx 1-\np{0,92981}\approx 0,070$.

%Arrondir à $10^{-3}$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie C}

\medskip

La durée de vie, en années, d'un processeur peut être modélisée par une variable aléatoire $D$ qui suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda=0,2$.

\begin{enumerate}
\item % Déterminer la durée de vie moyenne d'un processeur. 
Une loi exponentielle de paramètre $\lambda>0$ a pour espérance $\dfrac{1}{\lambda}$.

$\lambda=0,2$ donc $\dfrac{1}{\lambda} = \dfrac{1}{0,2}=5$ donc  la durée de vie moyenne d'un processeur est de 5 ans.

\item %Calculer la probabilité que la durée de vie d'un processeur soit inférieure à 7 années.
Si $D$ est une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$, on sait que pour tout $a\geqslant 0$, on a $P(D\leqslant a) = 1 - \e^{-\lambda a}$.

Donc  la probabilité que la durée de vie d'un processeur soit inférieure à 7 années est:

$P(D\leqslant 7) = 1- \e^{-0,2\times 7} \approx 0,753$.

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Exercice 2 \hfill 10 points}

\medskip

%Les deux parties sont indépendantes.
%
%\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip
 
Une entreprise décide d'utiliser un \og nuage \fg{}   lui permettant de stocker ses données sur un serveur distant, accessible via internet. 
Au mois de janvier 2023, la capacité de stockage de ce \og nuage \fg{}  était de 150 gigaoctets (Go). L'entreprise décide alors d'augmenter cette capacité de 5\;\% chaque mois.
 
Pour tout entier naturel $n$, on note $s_n$ la capacité de stockage du \og nuage \fg{}   utilisé par l'entreprise, en gigaoctets (Go), le $n$-ième mois après janvier 2023. Ainsi, on a $s_0=150$.
 
\begin{enumerate}
 \item  %Calculer $s_1$ puis interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice. 
$s_1 = s_0 + s_0\times \dfrac{5}{100}  = 150 + 150\times \dfrac{5}{100} = 157,5$

On peut estimer qu'en février 2023  la capacité de stockage est de $157,5$~Go.
 
\item 
\begin{enumerate}
\item  %Pour tout entier naturel $n$, exprimer  $s_{n+1}$ en fonction de $s_n$. 
Augmenter de 5\,\%, c'est multiplier par $1+\dfrac{5}{100}=1+0,05=1,05$

Donc pour tout entier naturel $n$, on a: $s_{n+1}=1,05\times s_n$.

\item% En déduire la nature de la suite $(s_n)$ en précisant sa raison. 
On en déduit que la suite $(s_n)$ est géométrique de raison $q=1,05$ et de premier terme $s_0=150$.
\end{enumerate}

\item% Pour tout entier naturel $n$, exprimer $s_n$ en fonction de $n$. 
La suite $(s_n)$ est géométrique de raison $q=1,05$ et de premier terme $s_0=150$ donc pour tout entier naturel $n$, on a:
$s_n=s_0\times q^n = 150 \times 1,05^{n}$.

\item %Estimer la capacité de stockage de cette entreprise au mois de mars 2024. Arrondir le résultat à l'unité.
Le mois de mars 2024 correspond à $n=14$;
$s_{14} = 150 \times 1,05^{14}\approx 297$

Donc la capacité de stockage de cette entreprise au mois de mars 2024 peut être estimée à 297~Go.

\item% À l'aide d'une inéquation, calculer à partir de quelle date (mois et année) la capacité de stockage de l'entreprise dépassera \np{1000}~Go, soit à 1 téraoctet (To). \\
%Arrondir le résultat à l'unité.
La capacité de stockage de l'entreprise dépassera \np{1000}~Go pour l'entier naturel $n$ vérifiant $s_n>\np{1000}$. On résout cette inéquation.

$\aligned
s_n>\np{1000}
& \iff 150\times 1,05^n > \np{1000}
\iff 1,05^n > \dfrac{\np{1000}}{150}
\iff \ln \left (1,05^n \right ) > \ln \left ( \dfrac{\np{1000}}{150}\right )\\
& \iff  n\times \ln \left (1,05 \right ) > \ln \left ( \dfrac{\np{1000}}{150}\right )
\iff n > \dfrac{ \ln \left ( \frac{\np{1000}}{150}\right )}{\ln \left (1,05 \right )}
\endaligned$

$\dfrac{ \ln \left ( \frac{\np{1000}}{150}\right )}{\ln \left (1,05 \right )} \approx 38,9$ donc $n=39$.

Le 39\ieme{} mois après janvier 2023 est avril 2026. C'est donc en avril 2026 que la capacité de stockage de l'entreprise dépassera \np{1000}~Go.

 \end{enumerate} 
 
 \medskip 
 
\textbf{Partie B}

 \medskip 
 
L'utilisation de ce \og nuage \fg{} par l'entreprise génère un coût mensuel variant selon sa
capacité de stockage.

Pour une capacité de stockage de $x$ téraoctet (To), le coût mensuel, exprimé en euros, est
modélisé par la fonction $C$ définie sur l'intervalle $[10\;; 500]$ par :
$ C(x)= -15 \,\ln(2x+1) + 10x.$

%On note $C'$ la fonction dérivée de la fonction $C$.

\begin{enumerate}
\item  %Calculer le coût mensuel pour une capacité de stockage de 10 To. Arrondir à $10^{-1}$.
$C(10) = -15 \,\ln\left (2\times 10+1\right ) + 10\times 10 \approx 54,3$

Le coût mensuel pour une capacité de stockage de 10 To est de $54,3$~\euro.

\item %Montrer que pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $[10\;; 500]$, $C'(x)= \dfrac{20x-20}{2x+1}$.
Pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $[10\;; 500]$:
$ C(x)= -15 \,\ln(2x+1) + 10x.$ 

donc $C'(x)= -15\times \dfrac{2}{2x+1} + 10 = \dfrac{-30+10(2x+1)}{2x+1}
= \dfrac{-30+20x+10}{2x+1} = \dfrac{20x-20}{2x+1}$.

\item %Étudier le signe de $C'(x)$ sur l'intervalle $[10\;; 500]$ et en déduire le tableau de variation de la fonction $C$ sur ce même intervalle. On arrondira la valeur des images à $10^{-1}$.
\begin{list}{\textbullet}{On étudie  le signe de $C'(x)$ sur l'intervalle $[10\;; 500]$.}
\item $x\geqslant 10$ donc $20x-20 \geqslant 180$ donc $20x-20>0$.
\item $x\geqslant 10$ donc $2x+1 \geqslant 21$ donc $2x+1>0$.
\end{list}

Donc pour tout $x$ de $[10\;; 500]$, $C'(x)>0$, donc la fonction $C$ est croissante.

$C(500) = -15\, \ln\left (2\times 500 +1 \right ) + 10\times 500 \approx \np{4896,4}$.

On établit le tableau de variation de la fonction $C$.

\[\begin{tablvar*}[12em]{1}
\hline
x & 10 && 500\\
\hline
C'(x) & & + & \\
\hline
\variations{\mil{C} &  \bas{54,3} && \haut{\np{4896,4}}}
\hline
\end{tablvar*}\]

\item
\begin{enumerate}
\item%  Démontrer que l'équation $C(x)=\np{2000}$ admet une unique solution $\alpha$ sur l'intervalle  $[10\;; 500]$. 
On complète le tableau de variation de $C$

\[\begin{tablvar*}[12em]{1}
\hline
x & 10 & \vr{\alpha} & 500\\
\hline
\variations{\mil{C} &  \bas{54,3} & \vr{\np{2000}} & \haut{\np{4896,4}}}
\hline
\end{tablvar*}\]

On en déduit que l'équation $C(x)=\np{2000}$ admet une unique solution sur l'intervalle  $[10\;; 500]$; on l'appelle $\alpha$.

 \item On admet qu'une valeur approchée de $\alpha$ à 1 près par défaut est 209.\\
 L'entreprise ne souhaite pas dépenser plus de \np{2000} euros par mois pour l'utilisation
du \og nuage \fg{}.

La fonction $C$ est croissante sur $[10\;; 500]$, donc si $x\leqslant \alpha$, alors $C(x) \leqslant C(\alpha)$.\\
Cela veut dire que si $x\leqslant 209$, alors  $C(x)\leqslant \np{2000}$.

La capacité de stockage maximale que l'entreprise pourra utiliser est de 209~To.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{document}