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%Tapuscrit : Denis Vergès
%Corrigé : François Hache
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\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}

\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur Métropole - corrigé}
\lfoot{\small{Services informatiques aux organisations\\Épreuve obligatoire}}
\rfoot{\small{17 mai 2023}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du BTS Métropole 17 mai 2023~\decofourright\\[7pt]Services informatiques aux organisations}}

\medskip

\textbf{Épreuve obligatoire}

%\vspace{0,25cm}
%
%\textbf{L'usage de calculatrice avec mode examen actif est autorisé} 
%
%\textbf{L'usage de calculatrice sans mémoire \og type collège \fg{} est autorisé}

\end{center}

\smallskip

\textbf{Exercice 1 \hfill 5 points}

\medskip

%\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiple.\\
%Aucune justification n'est demandée.\\ Pour chaque question, une seule affirmation est exacte.\\
%Recopier sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondante à la réponse exacte.\\
%Une réponse exacte vaut 1 point.\\
%Une réponse fausse ou une absence de réponse ne sera pas pénalisée.}
%
%\bigskip

\textbf{Question 1.} On considère le nombre \np{2023} écrit en base dix. 

Son écriture en base seize est  
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
A\::\quad  E67& \textcolor{blue}{B\: \quad  7E7} & C\::\quad  6E7\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{tabular}{@{\hspace*{0.05\linewidth}} | p{0.92\linewidth}}
$\np{2023} = 7\times 256 + 14 \times 16 + 7 = 7\text{E}7_{16}$

\hfill \textbf{Réponse B}
\end{tabular}

\medskip

\textbf{Question 2.} On considère les nombres, écrits en base deux, $1010_2$ et $1011_2$. La somme écrite en base deux de ces nombres est égale à
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
A\::\quad $1111_2$& B\: \quad $10011_2$& \textcolor{blue}{C\::\quad $10101_2$}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{tabular}{@{\hspace*{0.05\linewidth}} | p{0.92\linewidth}}
$1010_2 = 1\times 2^3+1\times 2=10$ et $1011_2 = 1\times 2^3 + 1\times 2 +1 = 11$

$10 + 11 = 21 = 16 + 4 + 1 = 1\times 2^4 + 1 \times 2^2 +1 = 10101_{2}$

\hfill \textbf{Réponse C}
\end{tabular}

\medskip

\textbf{Question 3.} On considère la relation binaire $\mathcal{R}$ définie sur $\R$ par : 
\[x\, \mathcal{R}\, y \iff  \left (\strut xy \leqslant 0 \wedge x \ne y\right ) .\]

On a
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\textcolor{blue}{A\::\quad $(-3) \,\mathcal{R}\, 3$} & B\: \quad $(-3) \,\mathcal{R}\, (-4)$& C\::\quad $(-3)\, \mathcal{R}\, (-3)$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{tabular}{@{\hspace*{0.05\linewidth}} | p{0.92\linewidth}}
On peut éliminer les réponses B et C car le produit des deux nombres est strictement positif.

\hfill \textbf{Réponse A}
\end{tabular}

\medskip

\textbf{Question 4.} La relation binaire $\mathcal{R}$ définie à la question 3 est 

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
A\::\quad réflexive& \textcolor{blue}{B\: \quad symétrique} & C\::\quad transitive\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{tabular}{@{\hspace*{0.05\linewidth}} | p{0.92\linewidth}}
$x\,\mathcal{R}\,y \iff  \left (\strut xy \leqslant 0 \wedge x \neq y \right )
\iff  \left (\strut yx \leqslant 0 \wedge y \neq x \right )
\iff y\,\mathcal{R}\,x$

Donc la relation $\mathcal{R}$ est symétrique.

\hfill \textbf{Réponse B}
\end{tabular}

\medskip

\textbf{Question 5.} Une application $f$ d'un ensemble $E$ dans un ensemble $F$ est définie par le diagramme ci-dessous.

\psset{xunit=1.2cm,yunit=0.8cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{center}
\begin{pspicture}(12,8)
\psellipse(3,4)(1.5,4) \psellipse(7,4)(1.25,3.5)
\uput[u](3,8){$E$} \uput[u](7,8){$F$} 
\psdots(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)(3,7)
\psdots(7,2.5)(7,3.5)(7,4.5)(7,5.5)(7,6.5)
\uput[l](3,1){7} \uput[l](3,2){6} \uput[l](3,3){5} \uput[l](3,4){4} 
\uput[l](3,5){3} \uput[l](3,6){2} \uput[l](3,7){1} \uput[r](7,2.5){$e$} 
\uput[r](7,3.5){$d$} \uput[r](7,4.5){$c$} \uput[r](7,5.5){$b$} \uput[r](7,6.5){$a$} 
\psline[ArrowInside=->](3,1)(7,2.5)\psline[ArrowInside=->](3,2)(7,2.5)
\psline[ArrowInside=->](3,3)(7,3.5)\psline[ArrowInside=->](3,4)(7,4.5)
\psline[ArrowInside=->](3,5)(7,5.5)\psline[ArrowInside=->](3,6)(7,5.5)
\psline[ArrowInside=->](3,7)(7,6.5)
\end{pspicture} 
\end{center}

L'application ainsi définie est

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
A\::\quad injective et non surjective& \textcolor{blue}{B\: \quad surjective et non injective} & C\::\quad bijective\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{tabular}{@{\hspace*{0.05\linewidth}} | p{0.92\linewidth}}
On examine les propriétés:
\begin{list}{\textbullet}{}
\item $f(2) = f(3)=b$ donc l'application $f$ n'est pas injective.
\item Tous les éléments de $F$ ont au moins un antécédent par $f$ dans $E$, donc l'application $f$ est surjective.
\end{list}

\hfill \textbf{Réponse B}
\end{tabular}

\bigskip

\textbf{Exercice 2 \hfill 5 points}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On considère le graphe orienté G comportant 3 sommets notés A, B et C dont la matrice
 d'adjacence est $P$, où $P = \begin{pmatrix}1&0&1\\0&0&1\\1&0&0\end{pmatrix}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On dessine une représentation du graphe $G$.

\begin{center}
\psset{unit=0.8cm,arrowscale=1.5}
\begin{pspicture}(-3,-2)(3,3)
\def\ray{2}
\psset{nodesep=0pt,radius=12pt,arcangle=20}
%\psgrid[gridcolor=orange]
%%% Définitions des noeuds
\Cnodeput(\ray;90){A}{A}   
\Cnodeput(\ray;210){B}{B} 
\Cnodeput(\ray;-30){C}{C} 
%%% arcs et poids
\psset{linecolor=blue}
\nccircle[angleA=0]{->}{A}{.4cm} 
\ncarc[ArrowInside=->]{A}{C} \ncarc[ArrowInside=->]{C}{A} 
\ncline[ArrowInside=->]{B}{C}
\end{pspicture}
\end{center}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item $P^2
=\begin{pmatrix}1&0&1\\0&0&1\\1&0&0\end{pmatrix}
\times \begin{pmatrix}1&0&1\\0&0&1\\1&0&0\end{pmatrix}		
= \begin{pmatrix}1+0+1&0+0+0&1+0+0\\0+0+1&0+0+0&0+0+0\\1+0+0&0+0+0&1+0+0\end{pmatrix}	
= \begin{pmatrix}2&0&1\\1&0&0\\1&0&1\end{pmatrix}$	
		
		\item % Combien de chemins de longueur 2 ont pour origine B ?
La matrice 
$P^2 = \begin{pmatrix}2&0&1\\ \blue 1&0&0\\1&0&1\end{pmatrix}$
donne le nombre de chemins de longueur 2; il n'y en a qu'un partant de B, et il va vers A: c'est le chemin B - C - A.		
	\end{enumerate}

\item% Déterminer la matrice d'adjacence $\widehat{P}$ et le graphe de la fermeture transitive de $G$ 
$P^2 = \begin{pmatrix}2&0&1\\ \blue 1&0&0\\1&0&1\end{pmatrix}$ donc
$P^{[2]} = \begin{pmatrix}1&0&1\\ \blue 1&0&0\\1&0&1\end{pmatrix}$
et
$P^3 = \begin{pmatrix}3&0&2\\ \blue 1&0&1\\2&0&1\end{pmatrix}$ donc
$P^{[3]} = \begin{pmatrix}1&0&1\\ \blue 1&0&1\\1&0&1\end{pmatrix}$

La matrice de fermeture transitive de ce graphe est 
$\widehat{P}=
P \vee P^{[2]} \vee P^{[3]} =
\begin{pmatrix}
1&0&1 \\  1&0&1 \\ 1&0&1
\end{pmatrix}$

S'il y a un 1 à l'intersection de la ligne correspondant au sommet X et de la colonne correspondant au sommet Y, alors il y a un \textbf{chemin} allant du sommet X au sommet Y. 

Le graphe de la fermeture transitive de $G$ est donc:

\begin{center}
\psset{unit=0.8cm,arrowscale=1.5}
\begin{pspicture}(-3,-2)(3,3)
\def\ray{2}
\psset{nodesep=0pt,radius=12pt,arcangle=20}
%\psgrid[gridcolor=orange]
%%% Définitions des noeuds
\Cnodeput(\ray;90){A}{A}   
\Cnodeput(\ray;210){B}{B} 
\Cnodeput(\ray;-30){C}{C} 
%%% arcs et poids
\psset{linecolor=blue}
\nccircle[angleA=0]{->}{A}{.4cm} 
\ncarc[ArrowInside=->]{A}{C} \ncarc[ArrowInside=->]{C}{A} 
\ncline[ArrowInside=->]{B}{C}
%%%
\ncline[ArrowInside=->]{B}{A}
\nccircle[angleA=-90]{->}{C}{.4cm} 
\end{pspicture}
\end{center}

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Dans un graphe orienté, on définit:

\begin{itemize}
\item le \textbf{degré entrant} d'un sommet comme étant le nombre d'arcs menant à ce sommet.
\item le \textbf{degré sortant} d'un sommet comme étant le nombre d'arcs issus de ce sommet.
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Le degré entrant du sommet C du graphe $G$ défini dans la partie A est 2; c'est la somme des nombres situés sur la 3\ieme{} colonne de $P$.
		\item Le degré sortant du sommet C du graphe $G$ défini dans la partie A est 1: c'est la somme des nombres situés sur la 3\ieme{} ligne de $P$.
	\end{enumerate}	
	
\item On étudie dans cette question les graphes orientés à trois sommets numérotés  de 1 à 3.
On considère l'algorithme ci-dessous écrit en langage naturel où Degré\_sortant désigne une fonction de paramètres $M$ et $s$, $M$ étant une matrice à 3 lignes et 3 colonnes et $s$ un entier compris entre 1 et 3.
Le coefficient de la matrice $M$ situé ligne $i$ colonne $j$ est noté $m_{ij}$.

On complète cet algorithme pour que la fonction renvoie le degré sortant du sommet
numéroté $s$ dans un graphe dont la matrice d'adjacence est $M$. 

\begin{center}
\begin{tabular}{|l|}\hline
\textbf{Fonction} Degré\_sortant $(M, s)$\\
\qquad deg $\gets 0$\\
\qquad Pour $j$ allant de 1 à 3 \:\textbf{Faire}\\

\qquad \qquad \textbf{Si} $m_{sj} \blue >0$ \textbf{Faire}\\
\qquad \qquad   $\blue\text{deg} \gets \text{deg}+1$\\
\qquad \qquad  \textbf{Fin de Si}\\
\qquad \textbf{Fin de Pour}\\
\textbf{Retourner} deg\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3 \hfill 10 points}

\medskip

Une entreprise décide de mettre en place une authentification à plusieurs étapes permettant à ses employés d'accéder aux services en ligne qu'elle propose.

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

La première authentification consiste à utiliser un mot de passe. 

À la première connexion, l'utilisateur doit créer un mot de passe de 8 à 16 caractères. Ces caractères peuvent être des lettres majuscules de l'alphabet ou des chiffres ou des caractères spéciaux (?,\&, \! etc.).

Pour être valide, un mot de passe doit remplir au moins l'une des trois conditions suivantes :
\begin{itemize}
\item il contient au moins trois chiffres et au moins deux caractères spéciaux ;
\item il contient moins de trois chiffres, au moins deux caractères spéciaux et au moins dix lettres;
\item il contient moins de deux caractères spéciaux et au moins dix lettres.
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Les mots de passe suivants sont-ils valides ? Justifier.
\begin{list}{\textbullet}{}
\item Le mot de passe ABCDABCD\text{?}\# contient deux caractères spéciaux mais il ne contient ni trois chiffres, ni au moins dix lettres; il n'est donc pas valide.
\item Le mot de passe STU27ABCABCDE\& contient deux caractères spéciaux et onze lettres donc il est valide.
\end{list}
\end{enumerate}

On définit les variables booléennes $a$,\: $b$ et $c$ de la manière suivante :

\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $a$ lorsque le mot de passe contient au moins trois chiffres, $\barre{a}$ sinon ;
\item[$\bullet~~$] $b$ lorsque le mot de passe contient au moins deux caractères spéciaux, $\barre{b}$ sinon ; 
\item[$\bullet~~$] $c$ lorsque le mot de passe contient au moins dix lettres, $\barre{c}$ sinon.
\end{itemize}

\begin{enumerate}[resume]
\item
	\begin{enumerate}
		\item On appelle $E$ l'expression booléenne qui traduit la validité d'un mot de passe.
		
\begin{list}{\textbullet}{}
\item Le mot de passe \og contient au moins trois chiffres et au moins deux caractères spéciaux \fg{} se traduit en $a.b$;
\item Le \og ou \fg{} se traduit en $+$;
\item Le mot de passe \og contient moins de trois chiffres, au moins deux caractères spéciaux et au moins dix lettres\fg{} se traduit en $\barre{a}.b.c$;
\item Le \og ou \fg{} se traduit en $+$;
\item Le mot de passe \og   contient moins de deux caractères spéciaux et au moins dix lettres \fg{} se traduit en $\barre{b}.c$. 
\end{list}

Donc $E= a.b + \barre{a}.b.c +\barre{b}.c$.

%Traduire chacune des conditions de validité d'un mot de passe à l'aide des variables $a, b$ et $c$, puis en déduire une expression de $E$.

		\item% Représenter $E$ dans un tableau de Karnaugh, puis en déduire une expression simplifiée de $E$ sous la forme d'une somme de deux termes.
 On représente l'expression $E$ dans un tableau de Karnaugh.

\begin{multicols}{3}
\begin{center}
$a.b$
\end{center}

\scalebox{0.8}{
\begin{tabular}{|*5{c|}}
\hline
\diagbox{$a$}{$bc$} & 00 & 01  & 11 & 10 \\
 \hline
0 & & &  &  \\
 \hline
1 & & & \blue 1 & \blue 1 \\
 \hline
\end{tabular}
}

\columnbreak

\begin{center}
$\barre a.b.c$
\end{center}

\scalebox{0.8}{
\begin{tabular}{|*5{c|}}
\hline
\diagbox{$a$}{$bc$} & 00 & 01  & 11 & 10 \\
 \hline
0 & & & \blue 1 & \\
 \hline
1 &  &   &   &   \\
 \hline
\end{tabular}
}

\columnbreak


\begin{center}
$\barre{b}.c$
\end{center}


\scalebox{0.8}{
\begin{tabular}{|*5{c|}}
\hline
\diagbox{$a$}{$bc$} & 00 & 01  & 11 & 10 \\
 \hline
0 & &  \blue 1 & & \\
 \hline
1 &   &  \blue 1 & & \\
 \hline
\end{tabular}
}
\end{multicols}

\begin{center}
$E= a.b + \barre a.b.c  + \barre b.c$

\medskip

\begin{tabular}{|*5{c|}}
\hline
\diagbox{$a$}{$bc$} & 00 & 01  & 11 & 10 \\
 \hline
0 & &  \blue 1 & \blue 1 & \\
 \hline
1 &   &  \blue 1 & \blue 1 & \blue 1 \\
 \hline
\end{tabular}
\end{center}

On en déduit une écriture simplifiée de l'expression booléenne $E$ sous la forme d'une somme de deux termes.

\begin{pspicture}(-4,-3)(6,2.5)
%\psgrid[subgriddiv=5,gridcolor=orange]
\psframe[linecolor=blue,linearc=5pt,cornersize=absolute](2.9,-1.5)(3.9,-0.8)%%% a.b
\psline[linecolor=blue](3.9,-1.15)(4.4,-1.15) \uput[r](4.4,-1.15){\blue $a.b$}
\psframe[linearc=5pt,cornersize=absolute](2.2,-1.6)(3.3,0.7)%%% c
\psline(2.65,-1.6)(2.65,-2.1) \uput[d](2.65,-2.1){$c$}
\begin{tabular}{|*5{c|}}
\hline
\diagbox{$a$}{$bc$} & 00 & 01  & 11 & 10  \\
 \hline
0 & &  \blue 1 & \blue 1 &   \rule[-12pt]{0pt}{30pt}\\
 \hline
1 &  & \blue 1  & \blue 1  & \blue 1  \rule[-12pt]{0pt}{30pt}\\
 \hline
\end{tabular}
\end{pspicture}

Donc $E=a.b+c$.

		\item L'expression simplifiée de $E$ est \og le mot de passe contient au moins trois chiffres et au moins trois caractères spéciaux, ou au moins dix lettres \fg{} 
	\end{enumerate}
	
\item Le tableau de Karnaugh correspondant à $\barre E$ est:

\begin{pspicture}(-4,-3)(6,2.5)
%\psgrid[subgriddiv=5,gridcolor=orange]
\psframe[linecolor=blue,linearc=5pt,cornersize=absolute](1.6,-0.1)(3.9,0.6)%%% 
\psline[linecolor=blue](3.9,0.25)(4.4,0.25) \uput[r](4.4,0.25){\blue $\barre a.\barre c$}
\psframe[linearc=5pt,cornersize=absolute](1.5,-1.6)(1.9,0.7)%%% b barre. c barre
\psline(1.7,-1.6)(1.7,-2.1) \uput[d](1.7,-2.1){$\barre b.\barre c$}
\begin{tabular}{|*5{c|}}
\hline
\diagbox{$a$}{$bc$} & 00 & 01  & 11 & 10  \\
 \hline
0 & \blue 1 &  &  & \blue 1  \rule[-12pt]{0pt}{30pt}\\
 \hline
1 &  \blue 1 &   &   &   \rule[-12pt]{0pt}{30pt}\\
 \hline
\end{tabular}
\end{pspicture}

Donc $\barre{E} = \barre a.\barre c + \barre b.\barre c$.

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Pour la seconde authentification, le serveur de l'entreprise envoie à l'utilisateur un mot de passe codé qu'il devra décoder.

Le serveur de l'entreprise code un mot de passe de la façon suivante:

\begin{itemize}
\item à chaque lettre de l'alphabet, on associe son rang $x$ selon le tableau ci-dessous

\smallskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{13}{>{\centering \arraybackslash} X|}}
\hline
Lettre & A & B & C & D & E & F & G & H & I & J & K & L & M\\
\hline
Rang & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 \\
\hline
Lettre & N & O & P & Q & R & S & T & U & V & W & X & Y & Z\\
\hline
Code & 13 & 14 & 15 & 16 & 17 & 18 & 19 & 20 & 21 & 22 & 23 & 24 & 25 \\
\hline
\end{tabularx}

\smallskip

\item on fixe une clé $(a\,; b)$, où $a$ et $b$ sont deux entiers naturels compris entre 0 et 25;
\item on calcule le reste $y$ de la division de $ax+b$ par 26; on détermine ainsi le plus petit entier naturel $y$ vérifiant $y \equiv ax+b\;[26]$;
\item on cherche ensuite la lettre de l'alphabet dont le rang est $y$;
\item cette lettre code la lettre donnée au départ.
\end{itemize}

\begin{enumerate}
\item Le serveur de l'entreprise utilise la clé $(9\,; 15)$.

\begin{enumerate}
\item %Montrer que la lettre C est codée par la lettre H.
La lettre C a pour rang $x=2$. Donc $ax+b=9\times 2+15=33$ qui a pour reste $y=7$ dans la division par 26. Le rang 7 correspond à la lettre H donc  C est codée H.

\item %Par quelle lettre est codée la lettre E?
La lettre E a pour rang $x=4$. Donc $ax+b=9\times 4+15=51$ qui a pour reste $y=25$ dans la division par 26. Le rang 25 correspond à la lettre Z donc E est codée Z.
\end{enumerate}

\item L'utilisateur veut décoder la lettre V associée à l'entier $y=21$. Pour cela il doit déterminer le plus petit entier naturel $x$ vérifiant $21 \equiv 9x+15\;[26]$.

\begin{enumerate}
\item %Déterminer un entier $c$ vérifiant $9\times c \equiv 1 \; [26]$. 
$9\times 3 = 27 \equiv 1\;[27]$.

\item %Montrer que si $21 \equiv 9x+15\;[26]$ alors $x\equiv 18\;[26]$.
Si $21 \equiv 9x+15\;[26]$ alors $3\times 21 \equiv 3\times (9x+15)\;[26]$ soit $63\equiv 27 x + 45\;[26]$ qui donne $18\equiv 27x \;[26]$ ou encore, puisque $27\equiv 1\;[26]$, on a  $18\equiv x \;[26]$.

Donc $21 \equiv 9x+15\;[26]$ alors $x\equiv 18\;[26]$.

\item %Décoder la lettre V.
La lettre V correspond au rang $y=21$. On cherche $x$ tel que $21\equiv 9x+15\;[26]$. D'après la question précédente, on obtient $x=18$, qui est le rang de la lettre S.

Donc la lettre V se décode en S.

\end{enumerate}

\end{enumerate}


\end{document}