\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}%ATTENTION codage en utf8 ! 
\usepackage{fourier} 
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{multicol,diagbox}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{textcomp} 
\newcommand{\euro}{\eurologo}
%Tapuscrit : Denis Vergès 
%Corrigé : François Hache
\usepackage{pst-plot,pst-text,pst-node,pst-tree,pstricks-add}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\usepackage[left=3cm, right=3cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\newcommand{\barre}[1]{\overline{\,#1\vphantom{b}\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Corrigé de BTS},
pdftitle = {Métropole 14 mai 2018},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH}  
\usepackage[french]{babel}
\DecimalMathComma
\usepackage[np]{numprint}
\newcommand{\e}{\,\text{e\,}}%%%               le e de l'exponentielle
\renewcommand{\d}{\,\text d}%%%              le d de l'intégration
\renewcommand{\i}{\,\text{i}\,}%%%           le i des complexes
\newcommand{\ds}{\displaystyle}

\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé de BTS SIO}
\lfoot{\small{ Métropole -- épreuve obligatoire}}
\rfoot{\small{14 mai  2018}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du BTS Services informatiques aux organisations~\decofourright\\[5pt]Métropole 14 mai 2018}}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Épreuve obligatoire}
  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 5 points}

\medskip

Sur une plateforme de vidéos en ligne, les vidéos sont notées de 0 à 5 par les utilisateurs.

Après une période d'observation, les administrateurs de la plateforme décident de mettre une vidéo
sur la page d'accueil lorsqu'elle satisfait à l'un au moins des critères suivants:
\begin{itemize}
\item la vidéo a obtenu la note 5 et comptabilise un nombre de vues supérieur ou égal à 200 ;
\item la vidéo a obtenu la note 5 et elle est récente;
\item la vidéo comptabilise un nombre de vues strictement inférieur à 200 et elle est récente;
\item la vidéo n'a pas obtenu la note 5 et comptabilise un nombre de vues supérieur ou égal à 200.
\end{itemize}

\smallskip

On définit les trois variables booléennes $a$, $b$, $c$ de la façon suivante:

\setlength\parindent{1cm}
\begin{itemize}
\item $a = 1$ si la vidéo a obtenu la note 5, $a = 0$ sinon;
\item $b = 1$ si la vidéo comptabilise un nombre de vues supérieur ou égal à $200$, $b = 0$ sinon;
\item $c = 1$ si la vidéo est récente, $c = 0$ sinon.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0cm}

%\medskip

\begin{enumerate}
\item 

\begin{list}{\textbullet}{}
\item \og La vidéo a obtenu la note 5 et comptabilise un nombre de vues supérieur ou égal à 200\fg{} correspond à \og $a$ et $b$ \fg{}, donc à $ab$. 
\item \og La vidéo a obtenu la note 5 et elle est récente \fg{} correspond à \og $a$ et $c$ \fg{}, donc à $ac$. 
\item \og La vidéo comptabilise un nombre de vues strictement inférieur à 200 et elle est récente\fg{} correspond à \og non $b$ et $c$ \fg{}, donc à $\barre{b}c$. 
\item \og La vidéo n'a pas obtenu la note 5 et comptabilise un nombre de vues supérieur ou égal à 200\fg{} correspond à \og non $a$ et $b$ \fg{}, donc à $\barre{a}b$. 
\item $E$ est l'expression booléenne \og $ab$ ou $ac$ ou  $\barre{b}c$ ou $\barre{a}b$\fg{}, donc $E = ab + a c + \barre{b} c + \barre{a} b$. 
\end{list}

Donc l'administrateur de la plateforme peut traduire les conditions pour qu'une vidéo soit mise sur la page d'accueil par l'expression booléenne $E = ab + a c + \barre{b} c + \barre{a} b$.

%Justifier chacun des termes de cette somme.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item On représente l'expression $E$ dans un diagramme de Karnaugh:

\begin{multicols}{2}
\begin{center}
$ab$
\end{center}

\begin{center}
\begin{tabular}{|*5{c|}}
\hline
\diagbox{$a$}{$bc$} & 00 & 01  & 11 & 10 \\
 \hline
0 & & & & \\
 \hline
1 & \blue  & \blue   & \blue 1  & \blue  1 \\
 \hline
\end{tabular}
\end{center}

\columnbreak

\begin{center}
$ac$
\end{center}

\begin{center}
\begin{tabular}{|*5{c|}}
\hline
\diagbox{$a$}{$bc$} & 00 & 01  & 11 & 10 \\
 \hline
0 & & & \blue  & \blue   \\
 \hline
1 & & \blue 1 & \blue 1 & \blue  \\
 \hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{multicols}

\begin{multicols}{2}
\begin{center}
$\barre{b}c$
\end{center}

\begin{center}
\begin{tabular}{|*5{c|}}
\hline
\diagbox{$a$}{$bc$} & 00 & 01  & 11 & 10 \\
 \hline
0 & & \blue 1 & & \\
 \hline
1 & \blue  & \blue 1  & \blue   & \blue   \\
 \hline
\end{tabular}
\end{center}

\columnbreak

\begin{center}
$\barre{a}b$
\end{center}

\begin{center}
\begin{tabular}{|*5{c|}}
\hline
\diagbox{$a$}{$bc$} & 00 & 01  & 11 & 10 \\
 \hline
0 & & \blue  & \blue  1 & \blue 1  \\
 \hline
1 & & & \blue  & \blue  \\
 \hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{multicols}

%\bigskip

%\begin{multicols}{2}
\begin{pspicture}(-5,-2)(6,2)
\uput[u](2.5,2){$E=ab+ac + \barre{b}c + \barre{a}b$}
%\psframe[linearc=5pt,cornersize=absolute](2.4,-1.3)(3.7,0.6)%%% c
%\psline(2.7,-1.3)(2.7,-1.8) \uput[d](2.7,-1.8){$c$}
\begin{tabular}{|*5{c|}}
\hline
\diagbox{$a$}{$bc$} & 00 & 01  & 11 & 10  \\
 \hline
0 & &\blue 1  & \blue 1 & \blue 1  \rule[-12pt]{0pt}{30pt}\\
 \hline
1 &\blue   & \blue 1 & \blue 1  & \blue 1  \rule[-12pt]{0pt}{30pt}\\
 \hline
\end{tabular}
\end{pspicture}

%\end{multicols}		
		
		\item Une expression simplifiée de $E$ sous la forme d'une somme de deux termes est donc $E=b+c$ (voir ci-dessous).
		
\begin{pspicture}(-5,-2)(6,2.5)
\uput[u](2.5,2){$E=ab+ac + \barre{b}c + \barre{a}b$}
\psframe[linecolor=red,linearc=5pt,cornersize=absolute](3.2,-1.3)(4.5,0.5)%%% b
\psline[linecolor=red](4.5,0.2)(4.9,0.2) \uput[r](4.9,0.2){\red $b$}\psframe[linearc=5pt,cornersize=absolute](2.4,-1.3)(3.7,0.6)%%% c
\psline(2.7,-1.3)(2.7,-1.8) \uput[d](2.7,-1.8){$c$}
\begin{tabular}{|*5{c|}}
\hline
\diagbox{$a$}{$bc$} & 00 & 01  & 11 & 10  \\
 \hline
0 & &\blue 1  & \blue 1 & \blue 1  \rule[-12pt]{0pt}{30pt}\\
 \hline
1 &\blue   & \blue 1 & \blue 1  & \blue 1  \rule[-12pt]{0pt}{30pt}\\
 \hline
\end{tabular}
\end{pspicture}
		
\medskip		
		
On obtient la même réponse par un calcul en utilisant les propriétés $1+x=x$ et $x+\barre{x}=1$:

$E=ab+ac + \barre{b}c + \barre{a}b
= ab + \barre{a}b + \barre{b}c + ac
= (a=\barre{a})b + \barre{b}c + ac
= 1b + \barre{b}c + ac
= b + \barre{b}c + ac\\
\phantom{E}
=b(1+c) + \barre{b}c + ac
= b + bc + \barre{b}c + ac
= b + (b+\barre{b})c + ac
= b+1c + ac
= b +(1+a)c
= b+1c\\
\phantom{E}
=b+c
$		
		
		\item% Interpréter cette expression simplifiée de $E$ dans le contexte de l'exercice.
On peut donc dire que l'administrateur de la plateforme peut traduire les conditions pour qu'une vidéo soit mise sur la page d'accueil par l'expression booléenne $b+c$ qui signifie
\og  la vidéo comptabilise un nombre de vues supérieur ou égal à $200$ ou la vidéo est récente \fg{}. 

 	\end{enumerate}
\item  Une vidéo qui n'est pas récente, qui n'a pas obtenu la note 5 et qui comptabilise un nombre de vues strictement inférieur à 200 correspond à l'expression booléenne \og $\barre{c}$ et $\barre{a}$ et $\barre b$ \fg{} donc à $\barre a . \barre b . \barre c$, donc ne sera pas mise en ligne sur la page d'accueil.

\item  $\overline{E} = \barre{b+c} = \barre{b}\,\,\barre{c}$ qui correspond à \og ni $b$ ni $c$ \fg{} 

Les vidéos qui ne seront pas mises sur la page d'accueil sont celles qui comptabilisent un nombre de vues strictement inférieur à 200 et qui ne sont pas récentes.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2  \hfill 10 points}

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip


Quatre sites internet traitent les changements climatiques et leurs conséquences sur la planète. On
considère une page web sur chacun de ces sites, et on note ces quatre pages A, B, C et D. Les liens
hypertextes respectifs entre ces quatre pages sont tous récapitulés dans l'énumération suivante:

\medskip

\begin{itemize}
\item A reçoit un unique lien de B et un unique lien de C ;
\item B reçoit un unique lien de D ;
\item C reçoit un unique lien de B, un unique lien de D et un unique lien de A ;
\item D reçoit un unique lien de A.
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On représente l'ensemble de ces liens par un graphe orienté $G$ de sommets A, B, C, D, dans lequel, si une page Y reçoit un lien d'une page X, on représente un arc du sommet X vers le sommet Y.

\begin{center}
\psset{unit=1.5cm,arrowsize=3pt 3}
\begin{pspicture*}(-0.25,-0.25)(2.25,2.25)
\psset{linewidth=.75pt}
%%% sommets
\cnodeput(0,2){A}{\bf A}  \cnodeput(2,2){B}{\bf B} 
\cnodeput(2,0){C}{\bf C}  \cnodeput(0,0){D}{\bf D} 
%%% arcs
\ncline{->}{B}{A} \ncarc[arcangle=20]{->}{C}{A}
\ncline{->}{D}{B}
\ncline{->}{B}{C} \ncline{->}{D}{C} \ncarc[arcangle=20]{->}{A}{C} 
\ncline{->}{A}{D} 
\end{pspicture*} 
\end{center}


\item
	\begin{enumerate}
		\item %Donner la matrice d'adjacence $M$ du graphe $G$.
		
Il y a 4 sommets donc la matrice d'adjacence du graphe est une matrice carrée d'ordre 4.

On met un 1 à l'intersection de la ligne correspondant au sommet X et de la colonne correspondant au sommet Y s'il existe un arc allant du sommet X au sommet Y, autrement dit si le sommet Y reçoit un lien du sommet X. Sinon on met un 0.		
		
\begin{center}
$M=\quad \bordermatrix
{
~\rotatebox{45}{$\curvearrowright$}& \blue \text A & \blue \text B & \blue\text  C & \blue\text D\cr
\blue \text  A & 0 & 0 & 1 & 1  \cr
\blue \text  B &  1 & 0 & 1 & 0 \cr
\blue \text  C &  1 & 0 & 0 & 0 \cr
\blue \text  D &  0 & 1 & 1 & 0 \cr
}$
\end{center}
		
		\item% Interpréter les valeurs des termes situés sur la diagonale de la matrice $M$.
Il n'y a que des 0 sur la diagonale; cela signifie qu'il n'y a  de boucle autour d'aucun sommet du graphe.		
		
\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item À la calculatrice, on trouve 
		$M^4
		=\begin{pmatrix}
		2 & 1 & 3 & 2\\
		3 & 1 & 3 & 1\\
		2 & 0 & 2 & 1\\
		2 & 2 & 3 & 1
		\end{pmatrix}$
		
		\item% Le graphe contient-il des circuits ? Justifier la réponse.
On peut trouver sans problème des circuits dans le graphe $G$.

Par exemple:		
A $\longrightarrow$ D $\longrightarrow$ C $\longrightarrow$ A;
ou encore:
A $\longrightarrow$ D $\longrightarrow$ B $\longrightarrow$ C $\longrightarrow$ A.

		\item Le terme de la 1\up{re} ligne et  3\up{e} colonne  de la matrice $M^4$ est 3, cela veut dire qu'il existe 3 chemins de longueur 4 reliant A à C:
		
A $\longrightarrow$ D $\longrightarrow$ C $\longrightarrow$ A $\longrightarrow$ C;
A $\longrightarrow$ D $\longrightarrow$ B $\longrightarrow$ A $\longrightarrow$ C;
A $\longrightarrow$ C $\longrightarrow$ A $\longrightarrow$ D $\longrightarrow$ C		
		
 	\end{enumerate}
\item %Calculer $\hat{M}$, la matrice de la fermeture transitive du graphe $G$.
Pour obtenir la matrice de fermeture transitive de ce graphe, on met un 1 à l'intersection de la ligne correspondant au sommet X et de la colonne correspondant au sommet Y s'il existe un \textbf{chemin} allant du sommet X au sommet Y. Sinon on met un 0.

La matrice de fermeture transitive du graphe $G$ est
$\hat{M}=\quad \bordermatrix
{
~\rotatebox{45}{$\curvearrowright$}& \blue \text A & \blue \text B & \blue\text  C & \blue\text D\cr
\blue \text  A & 1 & 1 & 1 & 1  \cr
\blue \text  B &  1 & 1 & 1 & 1 \cr
\blue \text  C &  1 & 1 & 1 & 1 \cr
\blue \text  D &  1 & 1 & 1 & 1 \cr
}$

\smallskip

\emph{Méthode pratique} -- On calcule $M+M^2+M^3$ et on remplace chaque nombre non nul par un 1.

\smallskip

Cela signifie qu'il existe au moins un chemin allant d'un sommet à un autre, et même un circuit partant de chaque sommet.

\end{enumerate} 

%\bigskip
\newpage

\textbf{Partie B}

\medskip
 
Un étudiant du BTS SIO a mis en place un moteur de recherche avec lequel les pages affichées sont
ordonnées par pertinence, selon le nombre de liens hypertextes pointant vers chaque page.
 
Cette partie étudie un exemple simplifié, en limitant ce moteur de recherche aux quatre pages web
A, B, C et D définies dans la partie A, et en considérant le graphe associé $G$.
 
La méthode mise en place par l'étudiant consiste à associer un score à chaque sommet du graphe.
 
Les scores $a$, $b$, $c$, $d$ de chacun des sommets A, B, C, D, sont calculés à partir des instructions
suivantes :
 
\begin{itemize}
\item on liste les prédécesseurs du sommet considéré dans le graphe $G$ ;
\item on divise le score de chaque prédécesseur par le nombre de ses successeurs;
\item le score d'un sommet est obtenu en ajoutant les quotients obtenus.
\end{itemize}
 
%\emph{Exemple }: le sommet A possède deux prédécesseurs B et C ; B a 2 successeurs et C a 1 successeur.
% 
%D'où $a = \dfrac{b}{2} + \dfrac{c}{1}$.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item% Justifier l'égalité : $c = \dfrac{a}{2} + \dfrac{b}{2} + \dfrac{d}{2}$.
Le sommet C a 3 prédécesseurs, A, B et D.

$\left .
\begin{array}{@{} l}
\text{Le sommet A a 2 successeurs C et D.}\\
\text{Le sommet B a 2 successeurs A et C.}\\
\text{Le sommet D a 2 successeurs B et C.}
\end{array}
\right \rbrace
\text{ donc } c=\dfrac{a}{2} + \dfrac{b}{2} + \dfrac{d}{2}$.


\item  En établissant les quatre égalités vérifiées par les scores $a$, $b$, $c$, $d$, on obtient un système de quatre équations linéaires aux inconnues $a$, $b$, $c$, $d$. Ce système ayant une infinité de solutions,
toutes proportionnelles entre elles, on pose $a = 1$ et on admet que la résolution se ramène à celle
du système :

\[(S) \quad \left\{\begin{array}{l c r}
0,5b + c &=& 1\\
\phantom{0,5} b \phantom{+ c } - 0,5d &=&0\\
0,5b - c + 0,5d &=& - 0,5
\end{array}\right.\]

On définit les matrices $X = \begin{pmatrix}b\\c\\d\end{pmatrix}$,\quad  $A = \begin{pmatrix}0,5&1&0\\1&0&-0,5\\0,5&- 1&0,5
\end{pmatrix}$  et $B = \begin{pmatrix}0,5 &0,5& 0,5\\0,75& - 0,25&- 0,25\\1&- 1&1\end{pmatrix}$

	\begin{enumerate}
		\item Le système $(S)$ s'écrit sous la forme $A \times X = Y$, avec 
$Y=
\begin{pmatrix}
1 \\ 0 \\ -0,5
\end{pmatrix}$
		\item À la calculatrice, on trouve 
$B \times A =
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}$
donc $B\times A$ est la matrice identité $I_3$.
		\item 		
$ A\times X = Y \iff B\times A \times X =  B \times Y \iff I_3 \times X = B\times Y \iff X = B\times Y$

À la calculatrice, on trouve
$B\times Y=
\begin{pmatrix}
0,25 \\ 0,875 \\ 0,5
\end{pmatrix}$
donc
$X
=
\begin{pmatrix}
0,25 \\ 0,875 \\ 0,5
\end{pmatrix}$

Or 
$X= \begin{pmatrix}
b \\ c \\ d
\end{pmatrix}$
donc  $b=0,25$, $c=0,875$ et $d=0,5$.

 	\end{enumerate}

\item%  Donner, en justifiant, le classement des pages web A, B, C et D selon la méthode mise en place
D'après la question précédente et sachant que $a=1$, le classement des pages web est A, C, D et B.

\end{enumerate}


%\vspace{0,5cm}

\newpage

\textbf{Exercice 3 \hfill 5 points}

\medskip

Les publications en série, comme les journaux et les périodiques, sont toutes identifiées par un
numéro ISSN (Intemational Standard Serial Number). En France, ce numéro est attribué par Je
Centre national d'enregistrement des publications en série.

L'ISSN comporte huit caractères répartis en deux groupes de quatre, ces groupes étant séparés par
un tiret. Le tableau ci-après donne les numéros ISSN de quelques journaux ou périodiques français.

\medskip

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.55\linewidth}{|l|X|}\hline
\multicolumn{1}{|c|}{\textbf{Journal ou périodique}}& \multicolumn{1}{|c|}{\textbf{Numéro ISSN}}\\ \hline
Le Monde 				&1950--6244\\ \hline
Le Figaro 				&1241--1248\\ \hline
Le Nouvel Observateur	&0029--4713\\ \hline
Les Échos 				&0153--4831\\ \hline
Libération 				&0335--1793\\ \hline
Le Canard Enchaîné 		&0008--5405\\ \hline
Courrier International 	&1154--516X\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

Les sept premiers caractères d'un numéro ISSN sont des chiffres qui caractérisent la publication. Le
dernier caractère, situé en huitième position, sert de clé de contrôle et est pris dans l'ensemble\\
$E = \left \lbrace 0~;~1~;~2~;~3~;~4~;~5~;~6~;~7~;~8~;~9~;~\text{X}\strut\right \rbrace$ où les chiffres de 0 à 9 représentent le nombre correspondant et le caractère X représente le nombre 10.

\smallskip

Pour déterminer la clé de contrôle d'un numéro ISSN dont les sept premiers chiffres correspondent
aux nombres $a$, $b$, $c$, $d$, $e$, $f$, $g$ :

\begin{itemize}
\item on calcule le nombre $N = 8a + 7b + 6c + 5d + 4e +3f + 2g$ ;
\item on détermine le reste $r$ de $-N$ dans la division euclidienne par $11$ ;
\item la clé de contrôle est le caractère de l'ensemble $E$ correspondant au nombre $r$.
\end{itemize}

%\medskip
%
%Par exemple, pour \emph{Le Monde}, on a 
%
%$N = 8 \times 1 + 7 \times 9 + 6 \times 5 + 5 \times 0 + 4 \times 6 + 3 \times 2 + 2 \times 4 = 139$.
%
%D'où $- N \equiv -139 \equiv 4 \:\text{mod}\: 11$.  La clé de contrôle est donc bien égale à $4$.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item% En détaillant les étapes, retrouver la clé de contrôle du périodique \emph{Courrier International}.
Par exemple, pour \emph{Le Courrier International}, on a 

$N = 8 \times 1 + 7 \times 1 + 6 \times 5 + 5 \times 4 + 4 \times 5 + 3 \times 1 + 2 \times 6 = 100$.

$-100=-110+10 = -10\times 11 + 10$ d'où $-100 \equiv 10 \:\text{mod}\: 11$.  La clé de contrôle est donc bien égale à X.

\item On considère l'application $f :\: F \to  E$ où $F$ est l'ensemble des $7$ numéros ISSN du tableau ci-dessus.

L'application $f$ associe à tout élément de numéro ISSN sa clé de contrôle.
	\begin{enumerate}
		\item% L'application $f$ est-elle injective ? Justifier.
L'élément 3 de $E$ admet 2 antécédents dans $F$, les ISSN du Nouvel Observateur et de Libération; donc la fonction $f$ n'est pas injective.
		
		\item% L'application $f$ est-elle surjective ? Justifier.
L'élément 	2 de $E$ n'admet pas d'antécédent dans $F$ donc la fonction $f$ n'est pas surjective.
		
 	\end{enumerate}
\item  Le deuxième caractère du numéro ISSN d'un journal est illisible. Si l'on note $n$ ce caractère, le
numéro ISSN est $3n08-2138$.
	\begin{enumerate}
		\item% Montrer que $81 + 7n \equiv 3\: \text{ mod }\: 11$.
La clé est 8 donc $-N \equiv 8 \text{ mod } 11$ où
$N=8\times 3 + 7n + 6\times 0 + 5\times 8 + 4\times 2 + 3\times 1 + 2\times 3 = 81+7n$.

Or $8 \equiv -3 \text{ mod } 11$ donc $-N \equiv 8 \text{ mod } 11$ équivaut à $N \equiv 3 \text{ mod } 11$ c'est-à-dire $81+7n\equiv 3  \text{ mod } 11$.
			
		\item% En déduire la valeur de $n$.
On établit un tableau de congruences modulo 11:

\begin{center}
$\begin{array}{|*{11}{c|}}
		\hline
		n = & 0 & 1 & 2 & \textcolor{blue}{3}  & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\
		\hline
		81+7n \equiv & 4 & 0 & 7 & \textcolor{blue}{3} & 10 & 6 & 2 & 9 & 5 & 1\\
		\hline
		\end{array}$
\end{center}
		
La valeur de $n$ cherchée est donc 3 et l'ISSN reconstitué est $3308-2138$.	
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\end{document}