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% Algorithmes

\usepackage[linesnumbered,algoruled]{algorithm2e}
\makeatletter
\renewcommand{\algocf@captiontext}[2]{\AlCapNameSty{\centerline{\AlCapNameFnt{}#2}}}
\makeatother

\SetKwInput{Var}{Variable}
\SetKwInput{Vars}{Variables}

\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref}
% Commandes
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\oij}{(O;\vv{\imath};\vv{\jmath})}
\newcommand{\df}[1][f]{#1^{\prime}}
\newcommand\dx[1][x]{\mathrm{d}#1}
\DeclareMathOperator{\E}{e}
\DeclareMathOperator{\I}{i}

\usepackage{fancyhdr}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Baccalauréat S}
\lfoot{\small Baccalauréat S}
\cfoot{\small \scshape Polynésie 7 juin 2013}
\rfoot{\thepage / \pageref{LastPage}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}%
\pagestyle{fancy}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 
%% 
%% Figures en code asymptote
%% 
%% Pour compiler le fichier :
%% 1) latex BacS-Polynesie-2013.tex  // crée les fichier .asy
%% 2) asy *.asy  // compile les fichiers .asy et crée les images au format .eps
%% 3) latex BacS-Polynesie-2013.tex  // insère les images crées
%% 
%% L'équivalent existe avec pdflatex :
%% 1) pdflatex BacS-Polynesie-2013.tex  // crée les fichier .asy
%% 2) asy -f pdf *.asy  // compile les fichiers .asy et crée les images au format .pdf
%% 3) latex BacS-Polynesie-2013.tex  // insère les images crées
%% 
%% 
%% POUR PLUS DE PRECISION, VOIR LE FICHIER asymptote.txt joint au pdf
%% 
%% 
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 

% ==============================
% \usepackage{embedfile} 	% joindre un fichier au pdf
% \embedfile[desc=asymptote memo]{asymptote.txt}
% ==============================
\usepackage[frenchb]{babel}
\begin{document}
\newcolumntype{C}{>{\centering\arraybackslash}X}
\thispagestyle{empty}
\setlength{\parindent}{0pt}

\begin{center} 
\Large \bfseries \decofourleft~Corrigé du baccalauréat S Polynésie 7 juin 2013~\decofourright
\end{center}

\bigskip

\textbf{Exercice 1 :  \hfill 6 points}

\emph{\bfseries Commun à  tous les candidats}

\medskip

%On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = (x+2)\E^{-x}$. On note $\mathscr C$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal.

\begin{enumerate}
\item %Étude de la fonction $f$.
  \begin{enumerate}
  \item \begin{itemize}
  \item[$\bullet$] Les coordonnées du point d'intersection de la courbe $\mathscr C$ avec l'axe des ordonnées est le point de coordonnées $ \left( 0 ; f(0) \right)  $ soit $ \left(0~;~2 \right)$.
  \item[$\bullet$] Les abscisses des points d'intersection de la courbe $\mathscr C$ avec l'axe des abscisses sont les solutions de l'équation $ f(x) = 0 $.
  
  On applique la règle du produit nul en sachant que $ \text{e}^{-x} \neq 0 $ :
  
  $ f(x) = 0 \iff x+2 = 0 \iff x = -2$.
  
  Le point d'intersection de $\mathscr C$ avec l'axe des abscisses a pour coordonnées $ \left(-2~;~0 \right)  $.
  
  \end{itemize}
  \item %Étudier les limites de la fonction $f$ en $-\infty$ et en $+\infty$. En déduire les éventuelles asymptotes de la courbe $\mathscr C$.
  
  \textbf{Remarque :} la fonction $ \left(  x \mapsto \text{e}^{-x} \right) $ peut être considérée comme une fonction composée  $ x \mapsto -x $ suivie de l'exponentielle
  
  ou bien comme un quotient $\left(  \E^{-x} = \dfrac{1}{\E^{x}} \right)  $.
  
  $ \left. \begin{array}{l}
  \displaystyle \lim_{x \rightarrow - \infty} \text{e}^{-x} = + \infty \\
  \displaystyle \lim_{x \rightarrow - \infty} (x + 2) = - \infty 
  \end{array} \right\rbrace {\text{par produit} \atop \Longrightarrow }   \displaystyle \lim_{x \rightarrow - \infty} f(x) = - \infty$.
  
La même stratégie menée en $ +\infty $ conduit à  la forme indéterminée \og $ +\infty \times 0 $ \fg{} car $  \displaystyle \lim_{x \rightarrow + \infty} \text{e}^{-x} = 0 $. Mais, $ \forall x \in \R , f(x) = \dfrac{x}{\text{e}^x} + \dfrac{2}{\text{e}^x}$.
  
$\left. \begin{array}{l}
  \displaystyle \lim_{x \rightarrow + \infty}  \dfrac{x}{\text{e}^x}  = 0\: \text{\footnotesize théorème de croissance comparée}
  
\displaystyle \lim_{x \rightarrow + \infty} \dfrac{2}{\text{e}^x} = 0 
\end{array} \right\rbrace {\text{par somme}$

$ \atop \Longrightarrow }\displaystyle \lim_{x \rightarrow + \infty} f(x) = 0$
  
L'axe des abscisses est donc asymptote à  $\mathscr C$ en $+\infty$.
\item %Étudier les variations de $f$ sur $\mathbb{R}$.
  
$f$ est dérivable sur $\R$ car composée et produit de fonctions dérivables sur $\R$ et, $ \forall x \in \R,$
  
$f'(x) = \text{e}^{-x} - (x + 2) \text{e}^{-x} = -(x+1) \E^{-x} $.
  
  Comme $\text{e}^{-x}>0$, $f'(x)$ est donc du signe de $ -(x + 1) $. D'o\`u le tableau de variations :
  
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.75]
% Styles 
\tikzstyle{cadre}=[thin]
\tikzstyle{fleche}=[->,>=latex,thin]
\tikzstyle{nondefini}=[lightgray]
% Dimensions Modifiables
\def\Lrg{1.5}
\def\HtX{1}
\def\HtY{0.5}
% Dimensions Calculées
\def\lignex{-0.5*\HtX}
\def\lignef{-1.5*\HtX}
\def\separateur{-0.5*\Lrg}
% Largeur du tableau
\def\gauche{-1.5*\Lrg}
\def\droite{4.5*\Lrg}
% Hauteur du tableau
\def\haut{0.5*\HtX}
\def\bas{-2.5*\HtX-2*\HtY}
% Ligne de l'abscisse : x
\node at (-1*\Lrg,0) {$x$};
\node at (0*\Lrg,0) {$-\infty$};
\node at (2*\Lrg,0) {$-1$};
\node at (4*\Lrg,0) {$+\infty$};
% Ligne de la dérivée : f'(x)
\node at (-1*\Lrg,-1*\HtX) {$f'(x)$};
\node at (0*\Lrg,-1*\HtX) {$$};
\node at (1*\Lrg,-1*\HtX) {$+$};
\node at (2*\Lrg,-1*\HtX) {$0$};
\node at (3*\Lrg,-1*\HtX) {$-$};
\node at (4*\Lrg,-1*\HtX) {$$};
% Ligne de la fonction : f(x)
\node  at (-1*\Lrg,{-2*\HtX+(-1)*\HtY}) {$f(x)$};
\node (f1) at (0*\Lrg,{-2*\HtX+(-2)*\HtY}) {$-\infty$};
\node (f2) at (2*\Lrg,{-2*\HtX+(0)*\HtY}) {$\E$};
\node (f3) at (4*\Lrg,{-2*\HtX+(-2)*\HtY}) {$0$};
% Flèches
\draw[fleche] (f1) -- (f2);
\draw[fleche] (f2) -- (f3);
% Encadrement
\draw[cadre] (\separateur,\haut) -- (\separateur,\bas);
\draw[cadre] (\gauche,\haut) rectangle  (\droite,\bas);
\draw[cadre] (\gauche,\lignex) -- (\droite,\lignex);
\draw[cadre] (\gauche,\lignef) -- (\droite,\lignef);
\end{tikzpicture}
\end{center}
  \end{enumerate}
\item %Calcul d'une valeur approchée de l'aire sous une courbe.

%On note $\mathscr D$ le domaine compris entre l'axe des abscisses, la courbe $\mathscr C$ et les droites d'équation $x=0$ et $x=1$. On approche l'aire du domaine $\mathscr D$ en calculant une somme d'aires de rectangles.
	\begin{enumerate}
		\item $ 1,642 $
%    L'algorithme ci-dessous permet d'obtenir une valeur approchée de l'aire du domaine $\mathscr D$ en ajoutant les aires des quatre rectangles précédents :
%    \begin{center}
%      \begin{tabular}{|rl|}
%        \hline
%        Variables : & $k$ est un nombre entier \\
%   & $N$ est un nombre entier \\
%        & $S$ est un nombre réel \\
%        Initialisation : & Affecter à  $S$ la valeur 0 \\
%        Traitement : & Pour $k$ variant de 0 à  N-1 \\
%        & $\phantom{a}\left\vert \text{ Affecter à  } S \text{ la valeur } S+\dfrac{1}{N} f\left( \dfrac{k}{N} \right)\right.$ \\
%        & Fin Pour \\
%        Sortie : & Afficher $S$ \\
%        \hline
%      \end{tabular}
%    \end{center}
%    Donner une valeur approchée à  $10^{-3}$ près du résultat affiché par cet algorithme.
\item %Dans cette question, $N$ est un nombre entier strictement supérieur à  1. On découpe l'intervalle $[0;1]$ en $N$ intervalles de même longueur. Sur chacun de ces intervalles, on construit un rectangle en procédant de la même manière qu'à  la question 2.a).

%Modifier l'algorithme précédent afin qu'il affiche en sortie la somme des aires des $N$ rectangles ainsi construits.
\begin{center}
      \begin{tabular}{|rl|}
        \hline
Variables : & $k$ est un nombre entier \\
   & $N$ est un nombre entier \\
        & $S$ est un nombre réel \\
Initialisation : & Affecter à  $S$ la valeur 0 \\
Traitement : & Pour $k$ variant de 0 à  N-1 \\
        & $\phantom{a}\left\vert \text{ Affecter à  } S \text{ la valeur } S+\dfrac{1}{N} f\left( \dfrac{k}{N} \right)\right.$ \\
        & Fin Pour \\
        Sortie : & Afficher $S$ \\
        \hline
      \end{tabular}
    \end{center}
  \end{enumerate}
\item %Calcul de la valeur exacte de l'aire sous une courbe.

  %Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=(-x-3) \E^{-x}$. On admet que $g$ est une primitive de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$.
  \begin{enumerate}
  \item %Calculer l'aire $\mathscr A$ du domaine $\mathscr D$, exprimée en unités d'aire.
  
  Sur $[0~;~1]$, $f$ est continue et positive, donc l'aire $\mathscr A$ du domaine $\mathscr D$, exprimée en unités d'aire, est donnée par $\mathscr A = \displaystyle\int_0^1 f(t)\:\text{d}t$. Comme $g$ est une primitive de $f$ sur $\R$, on a donc :
  
  $\mathscr A = \left[g(t) \right]_0^1 = g(1) - g(0) = -4 \text{e}^{-1} + 3 = 3- \dfrac{4}{\text{e}}$.
  \item %Donner une valeur approchée à  $10^{-3}$ près de l'erreur commise en remplaçant $\mathscr A$ par la valeur approchée trouvée au moyen de l'algorithme de la question 2.a), c'est à  dire l'écart entre ces deux valeurs.
  avec la calculatrice, $3- \dfrac{4}{\text{e}} - 1,642 \approx 0,113$
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

% \bigbreak
%\newpage

\textbf{Exercice 2 : \hfill4 points}

\emph{\bfseries Commun à  tous les candidats}

\medskip

\textbf{d - c - a - b}

%\emph{Cet exercice est un questionnaire à  choix multiples. Aucune justification n'est demandée. Pour chacune des questions, une seule des quatre propositions est exacte. Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse erronée ou une absence de réponse n'enlève pas de point. Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question et la réponse choisie.}

%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Soit $z_1 = \sqrt{6} \E^{\I \dfrac{\pi}{4}}$ et $z_2 = \sqrt{2} \E^{-\I \dfrac{\pi}{3}}$. La forme exponentielle de $\I \dfrac{z_1}{z_2}$ est :
\textbf{(d) $\sqrt{3}\text{e}^{\text{i} \frac{13\pi}{12}}$ :}

$ \left| \I \dfrac{z_1}{z_2} \right| = \dfrac{\mid \text{i} \mid \times \mid z_1\mid}{ \mid z_2 \mid} = \dfrac{1 \times \sqrt{6}}{\sqrt{2}} = \sqrt{3}$

$ \arg\left(\text{i} \dfrac{z_1}{z_2} \right) = \arg(\text{i}) + \arg \left(z_1\right)- \arg \left(z_2\right) = \dfrac{\pi}{2} + \dfrac{\pi}{4} + \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{13 \pi}{12} $.


\item \textbf{(c) une infinité de solutions dont les points images dans le plan complexe sont situés sur une droite.}

Pour s'en convaincre, écrire les formes algébriques...

$-z = \overline z \iff -a- \I b = a - \I b \iff a= -a \iff a = 0$

%L'équation $-z=\overline z$, d'inconnue complexe $z$, admet :
%  \begin{enumerate}
%  \item une solution
%  \item deux solutions
%  \item une infinité de solutions dont les points images dans le plan complexe sont situés sur une droite.
%  \item une infinité de solutions dont les points images dans le plan complexe sont situés sur un cercle.
%  \end{enumerate}

\item \textbf{ (a) $\begin{cases}
      x = -2t - 1 \\ y = 3t \\ z= t + 4
    \end{cases},\:\: t\in \mathbb{R}$  }

Vecteur directeur : $ \vv{AB} \left( -2~;~3~;~1 \right)  $ ce qui exclut la proposition (b).

De plus, $C$ est le point de paramètre $0$ dans la première représentation.
%Dans un repère de l'espace, on considère les trois points $A(1;2;3)$, $B(-1;5;4)$ et $C(-1~;~0~;~4)$. La droite parallèle à  la droite $(AB)$ passant par le point $C$ a pour représentation paramétrique :
%
%  \begin{tabularx}{1.0\linewidth}{XX}
%    (a) $\begin{cases}
%      x = -2t-1 \\ y=3t \\ z=t+4
%    \end{cases}, t\in \mathbb{R}$ & 
%    (b) $\begin{cases}
%      x=-1 \\ y=7t \\ z=7t+4
%    \end{cases}, t \in \mathbb{R}$ \\
%    (c) $\begin{cases}
%      x=-1-2t \\ y=5+3t \\ z=4+t
%    \end{cases}, t \in \mathbb{R}$ &
%    (d) $\begin{cases}
%      x=2t \\ y=-3t \\ z=-t
%    \end{cases}, t \in \mathbb{R}$
%  \end{tabularx}

\item \textbf{(b) La droite $\Delta$ est parallèle au plan $\mathscr P$ et n'a pas de point commun avec le plan $\mathscr P$.}

La droite $\Delta$ est dirigée par $ \vv{u} (1~;~1~;~2) $.

$ \vv{u} \bullet \vv{n} = 3 - 5 + 2 = 0 $. Donc  $\Delta$ et parallèle à  $\mathscr P$ : ne restent que (b) et (d).

On teste si un point de la droite est dans le plan : pour $t=0$, on a 

$A(-7~;~3~;~5) \in \Delta $.

Ensuite, $ A \in \mathscr P \iff \vv{AD}  $ et $ \vv{n} $ orthogonaux.

Or, $ \vv{AD} (6~;~- 1~;~- 2) $ et $ \vv{AD}   \bullet \vv{n} = 18 + 5 -2 \neq 0$. Donc $ A \notin \mathscr P $

\end{enumerate}
%\newpage

\textbf{Exercice 3 : \hfill 5 points} 

\emph{\bfseries Commun à  tous les candidats}

%\medskip
%
%\emph{Les 3 parties peuvent être traitées de façon indépendante.}

%\medskip
%
%Thomas possède un lecteur MP3 sur lequel il a stocké plusieurs milliers de morceaux musicaux.
%
%L'ensemble des morceaux musicaux qu'il possède se divise en trois genres distincts selon la répartition suivante :
%\begin{center}
%  30~\% de musique classique, 45~\% de variété, le reste étant du jazz.
%\end{center}
%
%Thomas a utilisé deux qualités d'encodage pour stocker ses morceaux musicaux : un encodage de haute qualité et un encodage standard. On sait que : 
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet$] les $\dfrac{5}{6}$ des morceaux de musique classique sont encodés en haute qualité.
%\item[$\bullet$] les $\dfrac{5}{9}$ des morceaux de variété sont encodés en qualité standard.
%\end{itemize}
%
%\medskip
%
%On considérera les évènements suivants :
%\begin{description}
%\item[$C$ :] \og Le morceau écouté est un morceau de musique classique \fg{} ;
%\item[$V$ :] \og Le morceau écouté est un morceau de variété \fg{} ;
%\item[$J$ :] \og Le morceau écouté est un morceau de jazz \fg{} ;
%\item[$H$ :] \og Le morceau écouté est encodé en haute qualité \fg{} ;
%\item[$S$ :] \og Le morceau écouté est encodé en qualité standard \fg{}.
%\end{description}
%
%\medskip

\textbf{Partie 1}

\medskip

%:-+-+-+- Engendré par : http://math.et.info.free.fr/TikZ/Arbre/
\begin{center}
% Racine à  Gauche, développement vers la droite
\begin{tikzpicture}[xscale=0.7,yscale=0.7]
% Styles (MODIFIABLES)
\tikzstyle{fleche}=[->,>=latex,thick]
\tikzstyle{noeud}=[circle]
\tikzstyle{feuille}=[circle]
\tikzstyle{etiquette}=[midway,fill=white]
% Dimensions (MODIFIABLES)
\def\DistanceInterNiveaux{3}
\def\DistanceInterFeuilles{2}
% Dimensions calculées (NON MODIFIABLES)
\def\NiveauA{(0)*\DistanceInterNiveaux}
\def\NiveauB{(1)*\DistanceInterNiveaux}
\def\NiveauC{(2)*\DistanceInterNiveaux}
\def\InterFeuilles{(-1)*\DistanceInterFeuilles}
% Noeuds (MODIFIABLES : Styles et Coefficients d'InterFeuilles)
\node[noeud] (R) at ({\NiveauA},{(2.5)*\InterFeuilles}) {$ $};
\node[noeud] (Ra) at ({\NiveauB},{(0.5)*\InterFeuilles}) {$C$};
\node[feuille] (Raa) at ({\NiveauC},{(0)*\InterFeuilles}) {$H$};
\node[feuille] (Rab) at ({\NiveauC},{(1)*\InterFeuilles}) {$S$};
\node[noeud] (Rb) at ({\NiveauB},{(2.5)*\InterFeuilles}) {$V$};
\node[feuille] (Rba) at ({\NiveauC},{(2)*\InterFeuilles}) {$H$};
\node[feuille] (Rbb) at ({\NiveauC},{(3)*\InterFeuilles}) {$S$};
\node[noeud] (Rc) at ({\NiveauB},{(4.5)*\InterFeuilles}) {$J$};
\node[feuille] (Rca) at ({\NiveauC},{(4)*\InterFeuilles}) {$H$};
\node[feuille] (Rcb) at ({\NiveauC},{(5)*\InterFeuilles}) {$S$};
% Arcs (MODIFIABLES : Styles)
\draw[fleche] (R)--(Ra) node[etiquette] {$0,3$};
\draw[fleche] (Ra)--(Raa) node[etiquette] {$\frac{5}{6}$};
\draw[fleche] (Ra)--(Rab) node[etiquette] {$\frac{1}{6}$};
\draw[fleche] (R)--(Rb) node[etiquette] {$0,45$};
\draw[fleche] (Rb)--(Rba) node[etiquette] {$\frac{4}{9}$};
\draw[fleche] (Rb)--(Rbb) node[etiquette] {$\frac{5}{9}$};
\draw[fleche] (R)--(Rc) node[etiquette] {$0,25$};
\draw[fleche] (Rc)--(Rca) node[etiquette] {$? $};
\draw[fleche] (Rc)--(Rcb) node[etiquette] {$ ?$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
%:-+-+-+-+- Fin

%Thomas décide d'écouter un morceau au hasard parmi tous les morceaux stockés sur son MP3 en utilisant la fonction \og lecture aléatoire \fg{}.

%\emph{On pourra s'aider d'un arbre de probabilités.}

\begin{enumerate}
\item On veut $ P(C \cap H) = P(C) \times P_C(H) = 0,3 \times \dfrac{5}{6} = \dfrac{1}{4}$. 

%Quelle est la probabilité qu'il s'agisse d'un morceau de musique classique encodé en haute qualité ?
\item On sait que $P(H)=\dfrac{13}{20}$.
	\begin{enumerate}
		\item Nous venons de calculer $ P(C \cap H) = 0,25$ et
  
$ P(C) \times P(H) = 0,3 \times \dfrac{13}{20} = \dfrac{39}{200} \neq P(C \cap H)  $
  
  Les évènements $C$ et $H$ ne sont pas indépendants.
		\item d'après l'arbre, $ P(H) = P(H \cap C) + P(H \cap V) + P(H \cap J) $.
  
On a donc $P(J \cap H) = \dfrac{13}{20} - \dfrac{1}{4} - 0,45 \times \dfrac{4}{9} = \dfrac{1}{5}$ 
  
et $P_J(H) =  \dfrac{P(J \cap H)}{P(J)} = \dfrac{\dfrac{1}{5}}{\dfrac{1}{4}} = \dfrac{4}{5}$.
  \end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie 2}

%Pendant un long trajet en train, Thomas écoute, en utilisant la fonction \og lecture aléatoire \fg{} de son MP3, 60 morceaux de musique.

\begin{enumerate}
\item On répète $60$ fois, de façon indépendantes, l'expérience  \og choisir un morceau de musique \fg{} qui compte 2 issues :
\begin{itemize}
\item \og le morceau choisi est un morceau de musique classique \fg{} considéré comme succès, de probabilité $ 0,3 $
\item ou pas...
\end{itemize}

Nous sommes donc en présence d'un schéma de Bernoulli et la variable aléatoire $X$ prenant pour valeurs le nombre de succès obtenus suit la loi binomiale de paramètres $60$ et $0,3$.

L'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil 95~\% de la proportion de morceaux de musique classique dans un échantillon de taille 60 est donc donné par : 

\begin{align*}
  I & = \left[p - 1,96 \dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}}~;~ p +1,96
    \dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}} \right] \\
  & = \left[0,3 - 1,96 \dfrac{\sqrt{0,3 \times 0,7}}{\sqrt{60}}~;~ 0,3 + 1,96 \dfrac{\sqrt{0,3 \times 0,7}}{\sqrt{60}} \right] \\
  & = \left[0,184~; 0,416 \right]
\end{align*}
% soit environ (\textit{pas de précision dans le sujet !)} $ \left[0,184 ; 0,416 \right]  $. J'ai "agrandi" l'intervalle.
\item %Thomas a comptabilisé qu'il avait écouté 12 morceaux de musique classique pendant son voyage. Peut-on penser que la fonction \og lecture aléatoire \fg{} du lecteur MP3 de Thomas est défectueuse ?

La fréquence observée par Thomas est $ \dfrac{12}{60} = 0,2 $ est dans l'intervalle précédent. Donc NON, il n'y a pas de raison de penser que le baladeur est défectueux.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie 3}

%On considère la variable aléatoire $X$ qui, à  chaque chanson stocké sur le lecteur MP3, associe sa durée exprimée en secondes et on établit que $X$ suit la loi normale d'espérance 200 et d'écart-type 20.
%
%\medskip
%
%\emph{On pourra utiliser le tableau fourni en annexe dans lequel les valeurs sont arrondies au millième le plus proche.}

\medskip

%On écoute un morceau musical au hasard.
\begin{enumerate}
\item $P(180 \leqslant X \leqslant 220) = P(X \leqslant 220) - P(X \leqslant 180) \approx 0,841 - 0,159 $. Réponse : $ 0,682 $.
\item On veut $ P(X > 4 \times 60 ) = 1 - P(X \leqslant 240) \approx 1 - 0,977$. Réponse : $ 0,023 $.

%Donner une valeur approchée à  $10^{-3}$ près de la probabilité que le morceau écouté dure plus de 4 minutes.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
%\newpage

\textbf{Exercice 4 : \hfill 5 points}

 \emph{\bfseries Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité mathématiques}

%\medskip
%
%On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=\dfrac{1}{2}$ et telle que pour tout entier naturel~$n$, \[
%u_{n+1} = \dfrac{3u_n}{1+2u_n}
%\]

\begin{enumerate}
\item
  \begin{enumerate}
  \item  $u_1 = \dfrac{3 \times u_0}{ 1+ 2u_0} = \dfrac{3 \times \frac{1}{2}}{ 1+2 \frac{1}{2}} = \dfrac{3}{4}$ 
  
et $u_2 = \dfrac{3 \times u_1}{ 1 + 2u_1} = \dfrac{3 \times  \frac{3}{4}}{1 + 2 \frac{3}{4}} = \dfrac{9}{10}$.
  \item 
  	\begin{itemize}
		\item Pour tout entier naturel $n$, notons $ \mathscr P_n $ la propriété : $0 < u_n$.
		\item \emph{Initialisation} : Si $n = 0$ 
  
  Alors $ u_0 = \dfrac{1}{2} > 0$, donc $ \mathscr P_0 $ est vraie.
		\item \emph{Hérédité} : Supposons que pour $k$ entier naturel quelconque, on ait $\mathscr P_k$  vraie 
  
(c-à-d. $ 0 < u_k $). Montrons que $ \mathscr P_{k+1} $ est vraie aussi (c-à-d. 

$0 < u_{k+1} $).
  
Par hypothèse de récurrence $0 < u_k $ donc $0 < 3u_k $ et $ 0 < 1 + 2u_k $. Ainsi, $u_{k+1}$ est le quotient de deux nombres strictement positifs, donc $0 < u_{k+1} $ et $ \mathscr P_{k+1} $  est vraie.
  
		\item $\mathscr P_0$ est vraie et $\mathscr P_n$  est héréditaire, par le principe de  récurrence on a bien pour tout entier naturel $n,\: 0 < u_n$.
	\end{itemize}    
  \end{enumerate}
\item %On admet que pour tout entier naturel $n$, $u_n<1$.
  \begin{enumerate}
  \item Comme pour tout entier naturel $n, 0 < u_n$, pour étudier les variations de la suite, on peut comparer $ \dfrac{u_{n+1}}{u_n} $ et $1$.
  
 $ \dfrac{u_{n+1}}{u_n} =  \dfrac{\dfrac{3u_n}{1+2u_n}}{u_n} = \dfrac{3}{1+2u_n}$ 
 
 Mais, $u_n<1 \iff 2u_n < 2 \iff 1+2u_n < 3 \iff 1 < \dfrac{3}{1+2u_n}$ car $1+2u_n > 0$.
 
 Finalement la suite $\left(u_n\right)$ est croissante.
  \item La suite $\left(u_n\right)$ est croissante et majorée par $1$; elle converge donc vers $\ell \leq 1 $.
  \end{enumerate}
\item %Soit $(v_n)$ la suite définie, pour tout entier naturel $n$, par $v_n = \dfrac{u_n}{1-u_n}$.
  \begin{enumerate}
  \item Pour tout entier naturel $n$,
  
    $ v_{n+1} = \dfrac{u_{n+1}}{1-u_{n+1}} = \dfrac{\dfrac{3u_n}{1+2u_n}}{1-\dfrac{3u_n}{1+2u_n}} = \dfrac{\dfrac{3u_n}{1+2u_n}}{\dfrac{1+2u_n-3u_n}{1+2u_n}} = \dfrac{3u_n}{1-u_n} = 3 v_n$
  
La suite $\left(v_n\right)$ est donc une suite géométrique de raison 3.
  \item Pour tout entier naturel $n$, $v_n = v_0 q^n = 3^n$.
  \item Pour tout entier naturel $n$, 
  
$ v_n = \dfrac{u_n}{1-u_n} \iff (1-u_n) v_n = u_n \iff v_n = u_n + u_n v_n \iff $
  
$u_n = \dfrac{v_n}{1+v_n}  \iff    u_n = \dfrac{3^n}{3^n+1}$.
  \item Comme $3 > 1, \displaystyle \lim_{n \rightarrow + \infty} 3^n = + \infty$. L'étude du quotient conduit donc à  une forme indéterminée.
  
 $  u_n = \dfrac{3^n}{3^n+1} = \dfrac{1}{1 + \dfrac{1}{3^n}} = \dfrac{1}{1 + \left( \dfrac{1}{3} \right)^n} $ 
 
 Comme $ -1< \dfrac{1}{3} <1,\displaystyle \lim_{n \rightarrow + \infty} \left( \dfrac{1}{3} \right)^n = 0 $
 
 Par somme $ \displaystyle \lim_{n \rightarrow + \infty} 1+ \left( \dfrac{1}{3} \right)^n = 1 $, enfin, par quotient $ \displaystyle \lim_{n \rightarrow + \infty}u_n = 1 $
  
La suite $\left(u_n\right)$ converge vers $ 1 $.
  \end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{Exercice 4 :  \hfill 5 points} 

\emph{\bfseries Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité mathématiques}

\medskip
%
%Un opérateur téléphonique A souhaite prévoir l'évolution de nombre de ses abonnés dans une grande ville par rapport à  son principal concurrent B à  partir de 2013.
%
%En 2013, les opérateurs A et B ont chacun 300 milliers d'abonnés.
%
%\medskip
%
%Pour tout entier naturel $n$, on note $a_n$ le nombre d'abonnés, en milliers, de l'opérateur A la $n$-ième année après 2013, et $b_n$ le nombre d'abonnés, en milliers, de l'opérateur B la $n$-ième année après 2013.
%
%Ainsi, $a_0 = 300$ et $b_0 = 300$.

%\medskip
%
%Des observations réalisées les années précédentes conduisent à  modéliser la situation par la relation suivante :
%
%pour tout entier naturel $n$, 
%$\begin{cases}
%  a_{n+1} = 0,7a_n+0,2b_n+60 \\
%  b_{n+1} = 0,1a_n+0,6b_n+70
%\end{cases}$.

%\medskip
%
%On considère les matrices $M = 
%\begin{pmatrix}
%  0,7 & 0,2 \\ 0,1 & 0,6
%\end{pmatrix}$ et $P =
%\begin{pmatrix}
%  60 \\ 70
%\end{pmatrix}$.
%
%Pour tout entier naturel $n$, on note $U_n =
%\begin{pmatrix}
%  a_n \\ b_n
%\end{pmatrix}$.

\begin{enumerate}
\item
  \begin{enumerate}
  \item  $U_1 = 
  \begin{pmatrix}
  a_1 \\ b_1
\end{pmatrix}$

Or $\begin{cases}
  a_{1} = 0,7a_0+0,2b_0+60 \\
  b_{1} = 0,1a_0+0,6b_0+70
\end{cases}  \iff \begin{cases}
  a_{1} = 0,7 \times 300 +0,2\times 300+60 \\
  b_{1} = 0,1\times 300+0,6\times 300+70
\end{cases} $. 

Finalement  $U_1 = 
  \begin{pmatrix}
  330 \\ 280
\end{pmatrix}$
  \item  Pour tout entier naturel $n$, 
  
  $ M \times U_n +P = \begin{pmatrix}
  0,7 & 0,2 \\ 0,1 & 0,6
\end{pmatrix}  \times  \begin{pmatrix}
  a_n \\ b_n
\end{pmatrix} +  \begin{pmatrix}
  60 \\ 70
\end{pmatrix} =  \begin{pmatrix}
  0.7 a_n + 0.2 b_n  \\ 0.1 a_n + 0.6 b_n
\end{pmatrix} +  \begin{pmatrix}
  60 \\ 70
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
a_{n+1} \\ b_{n+1}
\end{pmatrix}$
  
  
  Pour tout entier naturel $n$, $U_{n+1} = M \times U_n +P$.
  \end{enumerate}
\item On note $I$ la matrice $
  \begin{pmatrix}
    1 & 0 \\ 0 & 1
  \end{pmatrix}$.
  \begin{enumerate}
  \item Calculer $(I-M)\times
\begin{pmatrix}
4 & 2 \\ 1 & 3
\end{pmatrix}$.
    
$(I-M) =
\begin{pmatrix}
1 - 0,7 & - 0,2 \\ - 0,1 & 1 - 0,6
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
0,3 & -0,2 \\ - 0,1 & 0,4
    \end{pmatrix}$.
    
Puis 
    
$ (I-M) \times  \begin{pmatrix}
      4 & 2 \\ 1 & 3
    \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
      4 \times 0,3 - 0,2 & 2 \times 0,3 - 3 \times 0,2 \\ -0,1 \times 4 + 0,4 & -0,1 \times 2 + 3 \times 0,4
    \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
      1 & 0 \\ 0 & 1
    \end{pmatrix} = I$
  \item On calcule $ \begin{pmatrix}
      4 & 2 \\ 1 & 3
    \end{pmatrix}  \times (I-M) = I $. Donc $I - M$ est inversible et son inverse est $ \begin{pmatrix}
      4 & 2 \\ 1 & 3
    \end{pmatrix}  $.
  
%En déduire que la matrice $I-M$ est inversible et préciser son inverse.
\item 
$U = M \times U + P \iff U - M \times U = P \iff (I - M) \times U = P \iff $

$U = (I-M)^{-1} P $
  
  Finalement $U= \begin{pmatrix}
      4 & 2 \\ 1 & 3
    \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}
     60\\ 70
    \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
     380\\ 270
    \end{pmatrix} $.
  \end{enumerate}
\item %Pour tout entier naturel, on pose $V_n = U_n - U$.
  \begin{enumerate}
  \item Pour tout entier naturel $n$, 
  
  $V_{n+1} = U_{n+1} - U = MU_n+P-(MU+P) = M(U_n-U) = M \times V_n$.
  \item Par récurrence :
  
  \begin{itemize}
  \item Pour tout entier naturel $n$, notons $ \mathscr P_n $ la propriété  : $V_n = M^n \times V_0$.
  \item \emph{Initialisation} : Si $n=0$ alors
  
  $ M^0 = I $ et $ V_0 = M^0 V_0 $. $ \mathscr P_0 $ est vraie.
  \item \emph{Hérédité} : Supposons que pour tout  entier naturel $k$,\: $\mathscr P_k $ soit vraie (c.-à-d. $ V_k = M^k \times V_0$). Montrons que $ \mathscr P_{k+1} $ est vraie aussi (c-à-d. $ V_{k+1} = M^{k+1} \times V_0 $).

$ V_{k+1} = M V_k = M \times ( M^k \times V_0) =  M^{k+1} \times V_0$  
  et $ \mathscr P_{k+1} $  est vraie.
  
  \item $ \mathscr P_0 $ est vraie et $ \mathscr P_n $  est héréditaire, par le principe de récurrencerécurrence on a bien pour tout entier naturel $n, V_n = M^n \times V_0$.
  \end{itemize}
  
 % En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $V_n = M^n \times V_0$.
  \end{enumerate}
\item On admet que, pour tout entier naturel $n$, \[V_n =
\renewcommand\arraystretch{1.8}
  \begin{pmatrix}
    \dfrac{-100}{3}\times 0,8^n - \dfrac{140}{3} \times 0,5^n \\
    \dfrac{-50}{3} \times 0,8^n + \dfrac{140}{3} \times 0,5^n 
  \end{pmatrix}\]
  \begin{enumerate}
  \item Pour tout entier naturel $n$, 
  
  $ V_n = U_n-U \iff U_n = V_n+U \iff U_n = 
\renewcommand\arraystretch{1.8}
  \begin{pmatrix}
    \dfrac{-100}{3}\times 0,8^n - \dfrac{140}{3} \times 0,5^n \\
    \dfrac{-50}{3} \times 0,8^n + \dfrac{140}{3} \times 0,5^n 
  \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}
  380 \\ 270 
\end{pmatrix} \iff U_n  = \begin{pmatrix}
    \dfrac{-100}{3}\times 0,8^n - \dfrac{140}{3} \times 0,5^n + 380 \\
    \dfrac{-50}{3} \times 0,8^n + \dfrac{140}{3} \times 0,5^n + 270
  \end{pmatrix}  $
\renewcommand\arraystretch{1}
  
On en déduit donc $ a_n = \dfrac{-100}{3}\times 0,8^n - \dfrac{140}{3} \times 0,5^n + 380 $
  
Si $-1 < q <1  $, alors $ \displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} q^n = 0 $, donc $ \displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} a_n = 380$
  
 % exprimer $U_n$ en fonction de $n$ et en déduire la limite de la suite $(a_n)$.
\item Le nombre d'abonnés de l'opérateur A à  long terme est donc de $ \numprint{380000} $.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

%\newpage
%
%\begin{center}
%  \bfseries \Large ANNEXE de l'exercice 3
%\end{center}
%
%$X$ est une variable aléatoire normale d'espérance 200 et d'écart-type 20.
%
%\begin{center}
%  \begin{tabularx}{.4\linewidth}{|C|C|}
%    \hline
%    $b$ & $P(X \leqslant b)$ \\
%    \hline
%    140 & 0,001 \\
%    \hline 
%    150 & 0,006 \\
%    \hline
%    160 & 0,023 \\
%    \hline
%    170 & 0,067 \\
%    \hline
%    180 & 0,159 \\
%    \hline
%    190 & 0,309 \\
%    \hline
%    200 & 0,500 \\
%    \hline
%    210 & 0,691 \\
%    \hline
%    220 & 0,841 \\
%    \hline
%    230 & 0,933 \\
%    \hline
%    240 & 0,977 \\
%    \hline
%    250 & 0,994 \\
%    \hline
%    260 & 0,999 \\
%    \hline
%  \end{tabularx}
%\end{center}
%
%
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%%% End:   
\end{document}
