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% Tapuscrit : Luc Giraud 
% Corrigé : François Hache
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\newcommand{\e}{\,\text{e}\,}%    le e de l'exponentielle
\renewcommand{\i}{\text{\,i\,}}%  le i des complexes

\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat STI2D STL spécialité SPCL}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{16 juin 2016}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat  Métropole 16 juin 2016~\decofourright\\[4pt] STI2D--STL spécialité SPCL}}
\end{center}

%\vspace{0,25cm}

\subsection*{\textsc{Exercice 1} \hfill  3 points}

%\medskip
%Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n'est demandée. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l'absence de réponse à une question ne rapportent ni n'enlèvent de point.\\
%\textbf{Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse.}\\
%Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct  \Ouv.  On note $\text{i} $ le nombre complexe vérifiant $\text{i}^2 =-1$

\begin{enumerate}

\item  Un argument du nombre complexe $2 + 2\i$ est égal à :

\begin{enumerate}
\begin{multicols}{4}
\item $-\dfrac{\pi}{4}$\vphantom{\fbox{$\dfrac{\pi}{4}$}}
\item $-\dfrac{9\pi}{4}$\vphantom{\fbox{$\dfrac{\pi}{4}$}}
\item $2\sqrt 2$\vphantom{\fbox{$\dfrac{\pi}{4}$}}
\item  \fbox{$\dfrac{\pi}{4}$}
\end{multicols}
\end{enumerate}

\medskip

$\left | 2+2\i \rule{0pt}{10pt}\right | = \ds\sqrt{2^2 + 2^2} = \ds\sqrt{8} = 2\sqrt{2}$
donc
$2+2\i = 2\sqrt{2}\left ( \dfrac{\sqrt{2}}{2} + \i \dfrac{\sqrt{2}}{2} \right ) =
2\sqrt{2} \left ( \cos \dfrac{\pi}{4} + \i \sin \dfrac{\pi}{4}\right )$

\textbf{Réponse d.}

\medskip

\item Le nombre complexe $\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{5}}\times \text{e}^{\text{i}\frac{2\pi}{15}}$	est égal à :

\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item \fbox{$\frac{1}{2}+ \frac{\sqrt 3}{2}\text{i}$}
\item $\frac{\sqrt 3}{2}+\frac{1}{2} \text{i}$
\item $0,5+0,866 \text{i}$
\item $0,5+ \np{0,8660254038} \text{i}$
\end{multicols}
\end{enumerate}

\medskip

$\e^{\i\frac{\pi}{5}}\times \e^{\i\frac{2\pi}{15}}
= \e^{\i\left ( \frac{\pi}{5} + \frac{2\pi}{15}\right )}
= \e^{\i\frac{\pi}{3}}
= \cos \dfrac{\pi}{3} + \i  \sin \dfrac{\pi}{3}
= \dfrac{1}{2} + \i \dfrac{\sqrt{3}}{2}$

\textbf{Réponse a.}

\medskip

\item    On considère les points A et B d'affixes respectives $z_{\text A} = 2 \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}$ et $z_{\text B} = \frac{5}{2} \text{e}^{\text{i}\frac{5\pi}{6}}$. Le triangle OAB est :

\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item isocèle en O
\item \fbox{rectangle en O}
\item rectangle et isocèle en B
\item isocèle en B
\end{multicols}
\end{enumerate}

\medskip

\begin{multicols}{2}

$\left ( \vect{\text{OA}}~;~\vect{\text{OB}}\right )
= \arg \left ( \dfrac{z_{\text B} - z_{\text O}}{z_{\text A} - z_{\text O}} \right )
= \arg \left (  \dfrac{\frac{5}{2}\e^{\i\frac{5\pi}{6}}}{2\e^{\i \frac{\pi}{3}}}\right )\\
\phantom{\left ( \vect{\text{OA}}~;~\vect{\text{OB}}\right )}
= \dfrac{5\pi}{6} - \dfrac{\pi}{3}
= \dfrac{\pi}{2} \pmod{2\pi}$

Donc le triangle OAB est rectangle en O.

\medskip

$\text{OA} = \left | z_{\text A}\right | = 2$ et 
$\text{OB} = \left | z_{\text 5}\right | = \dfrac{5}{2}$
donc $\text{OA} \neq \text{OB}$

Donc le triangle OAB n'est pas isocèle en O.

\columnbreak

\begin{center}
\psset{unit=1cm,PtNameMath=false}
\def\xmin {-3}   \def\xmax {2}
\def\ymin {-1}   \def\ymax {3}
\begin{pspicture}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psgrid[subgriddiv=1, gridlabels=0,griddots=15, gridcolor=gray] 
\psaxes[ticksize=-2pt 2pt, labels=none](0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\pstGeonode[PosAngle={-135,60,150}](0,0){O}(2;60){A}(2.5;150){B}
\pspolygon(O)(A)(B)
\uput[d](1,0){1} \uput[l](0,1){i}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{multicols}

\textbf{Réponse b.}

\medskip

\item  Pour tout nombre réel $\theta$, le nombre complexe  $\e^{\i\theta} +\dfrac{1}{\e^{\i\theta}} $ est égal à :
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}

\item \fbox{$2\cos\left(\theta\right)$}
\item $\cos\left(\theta\right)+\i\sin\left(\theta\right) $
\item $1$
\item $2\i\sin\left(\theta\right)$
\end{multicols}
\end{enumerate}

\medskip

$\e^{\i\theta} +\dfrac{1}{\e^{\i\theta}} 
= \e^{\i\theta}  + \e^{-\i\theta} 
= \cos (\theta) + \i \sin (\theta) + \cos (-\theta) + \i \sin (-\theta)$

Or $\cos(-\theta) = \cos (\theta)$ et $\sin(-\theta) = - \sin(\theta)$ donc:

$\cos (\theta) + \i \sin (\theta) + \cos (-\theta) + \i \sin (-\theta)
= \cos (\theta) + \i \sin (\theta) + \cos (\theta) - \i \sin (\theta)
= 2 \cos(\theta)$

\textbf{Réponse a.}
\end{enumerate}

%\vspace{0,25cm}

\subsection*{\textsc{Exercice 2} \hfill  6 points}

\medskip
Un centre de vacances possède une piscine de $600$~m$^3$ soit \np{600000} litres. L'eau du bassin contient du chlore qui joue le rôle de désinfectant. Toutefois le chlore se dégrade et 25\,\% de celui-ci disparaît chaque jour, en particulier sous l'effet des ultra-violets et de l'évaporation. Le 31 mai à 9 h, le responsable analyse l'eau du bassin à l'aide d'un kit distribué par un magasin spécialisé.

Le taux de chlore disponible dans l'eau est alors de 1,25 mg/L (milligrammes par litre).

%\newpage
\bigskip

\textbf{Document }
\begin{center}
\textbf{Réglementation des piscines publiques}

\begin{tabular}{|m{4cm}|m{4cm}|m{4cm}|}
\hline 
\textbf{Paramètres contrôlés} & \textbf{Seuils de qualité réglementaire} &\textbf{Incidences sur la qualité de l'eau }\\ 
\hline 
 					&  & $< 2$ mg/L : sous chloration\\
					&	Au minimum 2 mg/L &Risque de prolifération\\
Présence de Chlore					&					&bactérienne dans l'eau \\ 
\cline{2-3}
	&Au maximum 4 mg/L 	\rule{0pt}{15pt}& $> 4$ mg/L : surchloration \\
					&					&Irritation de la peau\\ \hline
					\multicolumn{3}{r}{\footnotesize \textbf{Source : Agence Régionale de Santé}} 
\end{tabular} 
\end{center}

À partir du 1\up{er} juin pour compenser la perte en chlore, la personne responsable de l'entretien ajoute, chaque matin à 9~h, $570$~g de chlore dans la piscine.

Pour le bien-être et la sécurité des usagers, le responsable souhaite savoir si cet apport journalier en chlore permettra de maintenir une eau qui respecte la réglementation donnée par l' Agence Régionale de Santé pour les piscines publiques.

\medskip

\subsection*{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Pour tout entier naturel $n$ on note $u_n$ la quantité de chlore disponible, exprimée en grammes, présente dans l'eau du bassin le $n$-ième jour suivant le jour de l'analyse, immédiatement après l'ajout de chlore. Ainsi $u_0$ est la quantité de chlore le 31 mai à 9 h et $u_1$ est la quantité de chlore le 1\up{er} juin à 9 h après l'ajout de chlore.

\begin{enumerate}
\item% Montrer que la quantité de chlore, en grammes, présente dans l'eau du bassin le 31 mai à 9h est $u_0 = 750$.
Le 31 mai à 9h, il y a une concentration de chlore de $1,25$~mg/L; la piscine contient $\np{600000}$~litres, donc la masse de chlore présent dans l'eau est:
$1,25\times \np{600000} = \np{750000}$~mg soit $750$ grammes.

Donc $u_0=750$.

%Au regard des recommandations de l'agence régionale de santé, le responsable pouvait-il donner l'accès à la piscine le 31 mai ?

La concentration de chlore était de $1,25$~mg/L donc inférieure à 2~mg/L, donc le responsable ne pouvait pas donner l'accès à la piscine le 31 mai à 9h.

\item% Montrer que $u_1 = \np{1132,5}$.
Chaque jour, le chlore perd $25$\,\% de sa masse donc le 1\ier{} juin il en reste:

$750 - \dfrac{25}{100}\times 750 = 562,5$~g.

On rajoute tous les matins 570~g de chlore donc $u_1=562,5 + 570 = \np{1132,5}$.

\item% Justifier que pour tout entier naturel $n, u_{n+1} = 0, 75u_n + 570$.
La masse de chlore perd 25\,\% tous les jours donc elle est multipliée par $1-\dfrac{25}{100}=0,75$.

De plus, on rajoute 570~g chaque matin.

Donc on passe de la masse de chlore au jour $n$ à la masse de chlore au jour $n+1$ en multipliant par $0,75$ puis en ajoutant $570$; autrement dit, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=0,75 u_n + 570$.

\item% La suite $\left(u_n\right)$ est-elle géométrique ?
On calcule $u_2=0,75 u_1 + 570 = 0,75\times \np{1132,5}+570 = \np{1419,375}$.

$\dfrac{u_2}{u_1} = \dfrac{\np{1419,375}}{1132,5} \approx 1,25$;
$\dfrac{u_1}{u_0} = \dfrac{1132,5}{750} =1,51$;
$\dfrac{u_2}{u_1} \neq \dfrac{u_1}{u_0}$ donc la suite $(u_n)$ n'est pas géométrique.

\end{enumerate}
\item  Soit l'algorithme ci-dessous :

\[\begin{array}{|l |l |}\hline
\text{Variables } 
&u : \text{un nombre réel }\\
&N : \text{un nombre entier naturel }\\
&k : \text{un nombre entier naturel }\\
\text{ Initialisation :} 
&\text{Saisir la valeur de } N  \\
& u \text{ prend la valeur } 750 \\  
\text{  Traitement :} 
&\text{ Pour  } k \text{ allant de   } 1 \text{ à  } N\\
&\hspace{0,5cm} u\text{ prend la valeur }  0,75 u +570\\
&\text{ Fin du Pour }\\
\text{ Sortie : }& \text{ Afficher  } u \\\hline 
        \end{array}\]
                
	\begin{enumerate}
        \item% Quel est le rôle de cet algorithme ?
Cet algorithme permet de calculer $u_N$ pour $N$ entier naturel.

        \item On complète le tableau suivant   pour $N=3$:
        
%\[\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
%\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline 
%\text{Variables } & \text{ Initialisation }& \text{ Étape 1 } & \text{ Étape 2 } & \text{ Étape 3 } \\ \hline 
%u & 750 &\np{1132,5}&  \textcolor{red}{\np{1419,375}} &  \textcolor{red}{\np{1634,53125}} \\ \hline 
%\end{array}\]

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|c|c|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
\hline 
Variables & Initialisation & Étape 1  & Étape 2  & Étape 3 \\
\hline
u & 750 &\np{1132,5}&  \textcolor{red}{\np{1419,375}} &  \textcolor{red}{\np{1634,53125}} \\ 
\hline 
\end{tabularx} 
\end{center}

%Au regard des recommandations de l'agence régionale de santé, au bout de combien de jours la piscine peut-elle être ouverte ?

La piscine peut être ouverte s'il y a entre 2 et 4 milligrammes par litre de chlore; comme la piscine contient $\np{600000}$ litres d'eau, il faut une masse de chlore comprise entre 

$2\times \np{600000}=\np{1200000}$~mg et $4\times \np{600000}=\np{2400000}$~mg, autrement dit il faut que la masse de chlore soit comprise entre $\np{1200}$ et $\np{2400}$ grammes.

La piscine pourra donc être ouverte pour $n=2$ soit le 2 juin à 9 h.

\item% Calculer une valeur approchée à $10^{-3}$ près de la quantité de chlore le 15\up{e} jour juste après l'ajout de chlore.
La quantité de chlore le 15\ieme{} jour est $u_{15} \approx \np{2259,554}$ grammes (à la calculatrice).
        \end{enumerate}        
\end{enumerate}

\bigskip

\subsection*{Partie B}

\medskip

Au fil du temps, la quantité de chlore évolue. On note $d_n$ l'écart de quantité de chlore d'un jour à l'autre en grammes. Pour tout entier naturel $n$, on a $d_n = u_{n+1}- u_n$.

\begin{enumerate}
\item    
	\begin{enumerate}
		\item% Calculer $d_0, d_1$ et  $ d_2$. On donnera une valeur exacte.
$d_0=u_1-u_0 = \np{1132,5} - 750 = 382,5$;
$d_1-= u_2 - u_1 = \np{1419,375} - \np{1132,5} = 286,875$;

$d_2 = u_3 - u_2 = \np{1634,53125} - \np{1419,375} = \np{215,15625}$

		\item%  Justifier que $d_0, d_1$ et  $ d_2$ semblent être les termes d'une suite géométrique.
$\dfrac{d_2}{d_1} = \dfrac{\np{215,15625}}{286,875} = 0,75$ et
$\dfrac{d_1}{d_0} = \dfrac{286,875}{382,5} = 0,75$

donc $d_0$, $d_1$ et $d_2$ semblent être les termes d'une suite géométrique de raison $0,75$.
	\end{enumerate}

\item%  Vérifier que  $u_{n+1}- u_n = -0,25u_n + 570$.
$u_{n+1} = 0,75 u_n + 570 = u_n - 0,25 u_n +570$ donc $u_{n+1} -u_n = - 0,25 u_n + 570$.

\item On admet que pour tout entier naturel $n$, on a $d_{n+1}= 0, 75d_n$; donc la suite $(d_n)$ est une suite géométrique de raison $q=0,75$ et de premier terme $d_0=382,5$.

	\begin{enumerate}
		\item% Justifier que $d_n = 382,5 \times  0, 75^n$.
La suite $(d_n)$ est une suite géométrique de raison $q=0,75$ et de premier terme 

$d_0=382,5$ donc, pour tout entier naturel $n$, on a:
$d_n=d_0\times q^n = 382,5 \times 0,75^n$.

		\item% En déduire que pour tout entier naturel $n$, on a $u_n = \np{2280} - \np{1530}\times  0,75^n$.
$d_n=382,5 \times 0,75^n \iff u_{n+1} - u_n = 382,5 \times 0,75^n
\iff -0,25 u_n + 570 = 382,5 \times 0,75^n\\
\phantom{d_n=382,5 \times 0,75^n}
\iff 570 - 382,5 \times 0,75^n = 0,25 u_n
\iff 4\left ( 570 - 382,5 \times 0,75^n\right ) = u_n\\
\phantom{d_n=382,5 \times 0,75^n}
\iff u_n = \np{2280} - \np{1530} \times 0,75^n$

		\item% Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$. Interpréter le résultat trouvé.
$-1 < 0,75 < 1$ donc $\ds\lim_{n \to +\infty} 0,75^n = 0$ donc $\ds\lim_{n \to +\infty} u_n = \np{2280}$

Si le processus se poursuit sur le long terme, la masse de chlore dans la piscine va tendre vers $\np{2280}$ grammes, ce qui permet de laisser la piscine ouverte.

	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\newpage

\subsection*{\textsc{Exercice 3} \hfill  4 points}

\medskip

 Quand l'oreille humaine est soumise à une intensité acoustique, exprimée en watts par mètre carré (W/m$^2$), le niveau sonore du bruit responsable de cette intensité acoustique est exprimé en décibels (dB).\\

\medskip

\textbf{Document}

\begin{center}
\textbf{Échelle de bruit}
\[\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline 
\text{Sources sonores} 	&\text{Intensité} 		&\text{Niveau} 		& \text{Sensation auditive} \\ 
						&\text{acoustique}		&\text{sonore}		&\\
						&\text{(W/m}^2\text{ )}	&\text{arrondi} 	&   \\
						&						&\text{éventuellement}&\\
						&						&\text{à l'unité}	&\\\hline 
\text{Décollage de la Fusée Ariane}& 10^ 6 		&180 				&\text{Exige une protection spéciale} \\ \hline 
\text{Turboréacteur} 	& 10^2 					&140	 			&\text{Exige une protection spéciale} \\ \hline 
\text{Course de Formule 1} & 10 					&130 				&\text{Exige une protection spéciale} \\ \hline 
\text{Avion au décollage} & 1					&120				&\text{Seuil de douleur} \\ \hline 
\text{Concert et discothèque} & 10^{-1} 		&110 				&\text{Très difficilement supportable} \\ \hline 
\text{Baladeur à puissance}&  10^{-2} 			&100  				&  \text{Très difficilement supportable} \\ 
\text{ maximum }			&					&					&\\ \hline 
\text{ Moto} 			& 10^{-5} 				& 70 				&\text{Pénible à entendre}  \\ 
\hline 
\text{ Voiture au ralenti}&10^{-7} 				& 50 				&\text{Bruit courant}\\ \hline 
\text{Seuil d'audibilité} & 10^{-12} 			& 0,08 				&\text{Silence anormal} \\ \hline 
\end{array}\]
\end{center}

\begin{enumerate}
\item% D'après le tableau, lorsque l'intensité acoustique est multipliée par 10, quelle semble être l'augmentation du niveau sonore ?
Quand l'intensité acoustique passe de 1 à 10, le niveau sonore passe de 120 à 130; quand l'intensité passe de 10 à 100, le niveau sonore passe de 130 à 140.

Il semble donc que quand l'intensité acoustique est multipliée par 10, le niveau sonore augmente de 10.

\item La relation liant l'intensité acoustique $x$ où $x$ appartient à l'intervalle  $\left [10^ {-12} ; 10^6\right ]$ et le niveau sonore est donnée par :
 $f(x) =\dfrac{10}{\ln (10)}	\times  \ln(x) + 120$.
 On pourra prendre $\dfrac{10}{\ln (10)} \approx 4,34$.

	\begin{enumerate}
		\item% Vérifier la conjecture émise à la question 1.
$f(10x) = \dfrac{10}{\ln (10)}	\times  \ln(10x) + 120
= 	 \dfrac{10}{\ln (10)} \left ( \ln(10) + \ln(x) \right )	+120
=  $

$\dfrac{10}{\ln (10)} \times \ln(10) +  \dfrac{10}{\ln (10)} \times \ln(x) +120
= 10+ f(x)$

La conjecture émise en question \textbf{1.} est donc vérifiée.
			
		\item% Quel serait le niveau sonore de deux motos ?
L'intensité acoustique d'une moto est de $10^{-5}$~W/m$^2$ donc l'intensité acoustique de deux motos est de $2\times 10^{-5}$~W/m$^2$.

Le niveau sonore de deux motos est donc:
$f\left (2\times 10^{-5}\right )\approx 73$~dB.

	\end{enumerate}
\item Pour éviter tout risque sur la santé, le port d'un casque de protection acoustique est donc conseillé au delà de $85$~dB.
L'intensité acoustique à partir de laquelle le port d'un tel casque est conseillé est le nombre $x$ solution de l'inéquation $f(x)>85$; on résout cette inéquation:

$f(x)>85
\iff
\dfrac{10}{\ln (10)}	\times  \ln(x) + 120 > 85
\iff
\dfrac{10}{\ln (10)}	\times  \ln(x) > -35
\iff$

$\ln(x) > -35\times \dfrac{\ln(10)}{10}
\iff
x > \e^{-35\times \frac{\ln(10)}{10}}$

\smallskip

$\e^{-35\times \frac{\ln(10)}{10}} \approx 3,2\times 10^{-4}$ donc à partir d'une intensité de $3,2\times 10^{-4}$~W/m$^2$, le port d'un casque est conseillé.
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill  6 points}

\medskip

\textbf{Les parties A et B sont indépendantes.}

Un pont levant enjambant un canal peu fréquenté est constitué d'un tablier qui, une fois relevé, permet le passage de bateaux de différentes tailles.

\begin{center}
\parbox{0.45\linewidth}{
\psset{unit=0.6cm}
\begin{pspicture}(10,7)
%\psgrid
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](1.6,4.3)(8.4,4.6)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0,1.3)(1.8,1.6)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](8.2,1.3)(9.9,1.6)
\pspolygon*(1.6,0)(2.4,0)(2.4,0.4)(2.2,0.4)(2.2,5)(1.8,5)(1.8,0.4)(1.6,0.4)
\pspolygon*(7.6,0)(8.4,0)(8.4,0.4)(8.2,0.4)(8.2,5)(7.8,5)(7.8,0.4)(7.6,0.4)
\psline(1.6,4.6)(1.8,5)(2.2,5.8)(2.2,5)\psline(2.2,5.8)(2.5,5.8)(2.5,4.6)
\psline(8.4,4.6)(8.2,5)(7.8,5.8)(7.8,5)\psline(7.8,5.8)(7.5,5.8)(7.5,4.6)
\psline(2,0)(8,0)
\rput(4.9,6.8){Position haute}
\rput(4.9,5){tablier du pont}
\rput(4.9,0.4){chenal maritime}
\rput(0.8,1.9){route}\rput(9.2,1.9){route}
\end{pspicture}} \hfill\parbox{0.45\linewidth}{
\psset{unit=0.6cm}
\begin{pspicture}(10,7)
%\psgrid
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0.6,1.3)(9.9,1.6)
%\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0,1.3)(1.8,1.6)
%\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](8.2,1.3)(9.9,1.6)
\pspolygon*(1.6,0)(2.4,0)(2.4,0.4)(2.2,0.4)(2.2,5)(1.8,5)(1.8,0.4)(1.6,0.4)
\pspolygon*(7.6,0)(8.4,0)(8.4,0.4)(8.2,0.4)(8.2,5)(7.8,5)(7.8,0.4)(7.6,0.4)
\psline(1.6,4.6)(1.8,5)(2.2,5.8)(2.2,5)\psline(2.2,5.8)(2.5,5.8)(2.5,1.6)
\psline(8.4,4.6)(8.2,5)(7.8,5.8)(7.8,5)\psline(7.8,5.8)(7.5,5.8)(7.5,1.6)
\psline(2,0)(8,0)
\rput(4.9,6.8){Position basse}
\rput(4.9,1.9){tablier du pont}
\rput(4.9,0.4){chenal maritime}
\rput(0.8,1.9){route}\rput(9.2,1.9){route}
\end{pspicture}
}
%\includegraphics[scale=0.1]{pont.png} 
\end{center}
\[\begin{array}{|l |}\hline 
\text{Hauteur du tablier en position haute : 7 mètres}\\
\text{Longueur du tablier : 30 mètres}\\
\text{Temps de montée du tablier : 2 minutes}\\
\text{Temps en position haute du tablier (hors incident) : 8 minutes}\\
\text{Temps de descente du tablier : 2 minutes}\\
\hline 
\end{array}\]

\subsection*{Partie A - Sur la route}

\medskip

Un automobiliste se présente devant le pont. Le tablier du pont est \emph{en position haute}. On s'intéresse ici au temps d'attente $D$, exprimé en minutes, de l'automobiliste avant qu'il puisse franchir le canal, pont baissé (hors incident).

\begin{enumerate}
\item% Combien de temps l'automobiliste attend-il au minimum ? au maximum?
\begin{list}{\textbullet}{}
\item Si le tablier se met à descendre dès que la voiture s'arrête, le temps d'attente sera de 2 minutes.
\item Si le tablier arrive en position haute au moment où la voiture s'arrête, le temps d'attente sera de $8+2=10$ minutes.
\end{list}

Le temps minimum d'attente d'un automobiliste quand le tablier est en position haute, est donc de 2 minutes, le temps maximum de 10 minutes.

\item On admet que le temps d'attente, en minutes, de l'automobiliste pour franchir le pont est une variable aléatoire $D$ qui suit la loi uniforme sur l'intervalle $\cd 2~;~10\cg$.

%Déterminer l'espérance $E(D)$ de la variable aléatoire $D$ et interpréter le résultat dans le contexte.

D'après le cours: $E(D)=\dfrac{2+10}{2}=6$. Le temps d'attente moyen d'un automobiliste est de 6 minutes.

\item La probabilité que le temps d'attente de l'automobiliste ne dépasse pas 5 minutes est:

$P(D\pp 5) = \dfrac{5-2}{10-2} = \dfrac{3}{8} = 0,375$.

\end{enumerate}

\bigskip

\subsection*{Partie B - Sur l'eau}

\medskip

%\emph{Dans cette partie les résultats demandés seront arrondis à $10^{-2}$ près.}
%
%\medskip

Lorsqu'un bateau est passé, le tablier du pont revient en position basse. Le temps, exprimé en heures, avant que le bateau suivant se présente devant le pont est une variable aléatoire $T$ qui suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda = 0,05$. Ce temps est appelé temps de latence.

\begin{enumerate}
\item% Déterminer l'espérance $E(T)$ de la variable aléatoire $T$ et interpréter le résultat dans le contexte.
$E(T)=\dfrac{1}{\lambda} = \dfrac{1}{0,05} = 20$.
Cela signifie que le temps moyen de latence est de 20 heures.

\item On considère la fonction $f$ définie sur $\cd 0~;~+\infty\cd$ par 
$f(x) = 0,05 \e^{-0,05 x}$.

	\begin{enumerate}
		\item Soit $F$ la fonction définie sur $\cd 0~;~+\infty\cd$  par $F(x) = -\e^{-0,05 x}$.
		
$F'(x)=-(-0,05)\e^{-0,05x} = 0,05\e^{-0,05x} = f(x)$
donc $F$ est une primitive de $f$ sur $\cd 0~;~+\infty\cd$.		
		
		\item On rappelle que pour tout nombre réel $t$  de $\cd 0~;~+\infty\cd$, $P(T \leqslant t) = \displaystyle\int_0 ^t f(x) \d x$.

$P(T \leqslant t)  = \displaystyle\int_0 ^t f(x) \d x 
= \left [ F(x) \rule{0pt}{10pt}\right ]_{0}^{t} 
= F(t) - F(0)
= -0,05 \e^{-0,05 t} - \left ( -0,05 \e^{0} \right )
= 1 - \e^{-0,05 t}$.

	\end{enumerate} 

\item 	
	\begin{enumerate}
		\item La probabilité que le temps de latence soit inférieur à 12 heures est:
		
$P( T \pp 12) = 1 - \e^{-0,05 \times 12} = 1-\e^{-0,6} \approx 0,45$.

		\item  La probabilité que le temps de latence soit supérieur à un jour est:
		
$P(T > 24) = 1 - P(T\pp 24) = 1 - \left (1-\e^{-0,05\times 24}\right ) = \e^{-1,2} \approx 0,30$.
		
		\item  En utilisant l'événement contraire:
$P(12\leqslant T \leqslant 24)
= 1 - \left ( P(T < 12) + P(T > 24)\right )$

$= 1 - (0,45+0,30) = 0,25$.

	\end{enumerate}

\end{enumerate}

 \end{document}