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%Tapuscrit : Jean-Claude Souque
%Corrigé : François Hache
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat STL spécialité - corrigé}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{14 mars 2023}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STL Polynésie 14 mars 2023~\decofourright\\[7pt]   ÉPREUVE D'ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ}}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\large Physique-Chimie et Mathématiques}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill (Physique-Chimie et Mathématiques) \hfill (4 points)}

\begin{center}
\textbf{\large Chute verticale dans un fluide visqueux}
\end{center}

\vspace{0.25cm}

Cet exercice propose de modéliser la chute verticale d'une bille de plomb dans une huile
alimentaire.

\vspace{0.25cm}



\textbf{Étude mathématique de la vitesse}

\medskip

On souhaite déterminer une expression de la vitesse de la chute de la bille. Les données
physiques de l'expérience conduisent à résoudre l'équation différentielle $(E)$ :
\[y ' = -27,7\,y + 9,81.\]

\begin{enumerate}[start=5]
\item % Déterminer l'ensemble des solutions de l'équation différentielle $(E)$.
\begin{list}{\textbullet}{}
\item Les solutions de l'équation différentielle \og sans second membre \fg{}: $y'=-27,7y$, sont les fonctions $t \longmapsto k\times \e^{-27,7t}$ où $k\in\R$.
\item Une solution particulière de $(E)$ est la fonction constante $t \longmapsto \dfrac{9,81}{27,7}$.
\end{list}

Donc l'équation différentielle $(E)$ a pour solutions les fonctions $v$ définies par 
\[v(t)=k\times\e^{-27,7t}+\dfrac{9,81}{27,7} \text{ où } k\in\R.\]

\item %Montrer que l'unique solution $v$ de l'équation différentielle $(E)$ qui vérifie $v(0) = 0$ est définie par l'expression : $ v(t) =\dfrac{9,81}{27,7}\times \left(1 -\e^{-27,7t}\right)$.
$v(0) = 0 \iff k\times\e^{0}+\dfrac{9,81}{27,7} = 0
\iff k=-\dfrac{9,81}{27,7}$

Donc l'unique solution $v$ de l'équation différentielle $(E)$ qui vérifie $v(0) = 0$ est définie par l'expression : 
$v(t)=-\dfrac{9,81}{27,7} \times\e^{-27,7t}+\dfrac{9,81}{27,7}$,
soit
$ v(t) =\dfrac{9,81}{27,7}\times \left(1 -\e^{-27,7t}\right)$.

\item% Calculer $\displaystyle \lim_{t \to +\infty}v(t)$.
$\ds\lim_{t\to +\infty} -27,7t = -\infty$ et $\ds\lim_{T\to -\infty} \e^{T}=0$;
donc $\ds\lim_{t\to +\infty} \e^{-27,7t} =0$

On en déduit que
$\ds\lim_{t\to +\infty} \left (1-\e^{-27,7t}\right )=1$ et donc que
$\ds\lim_{t\to +\infty} v(t) = \dfrac{9,81}{27,7}$.

\end{enumerate}


\newpage


\textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill (Mathématiques) \hfill (4 points)}


\bigskip

La fonction $f$ est définie sur $[0~;~ +\infty[$ par : $f(x) = x \e^{\np{0.02}x}- \np{10 000}$.

\begin{enumerate}
\item  %Déterminer $\displaystyle \lim_{x\to +\infty}f(x)$
$\ds\lim_{x\to +\infty} 0,02 x = +\infty$ et $\ds\lim_{X\to +\infty} \e^{X}=+\infty$ donc $\ds\lim_{x\to +\infty} \e^{0,02x}=+\infty$

On en déduit que: $\ds\lim_{x\to +\infty} x\e^{0,02x}=+\infty$ et donc $\ds\lim_{x\to +\infty} g(x)=+\infty$.

\item On note $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur $[0~;~ +\infty[$.
%Justifier que pour tout nombre réel $x\geqslant 0,\  f'(x) = (0,02x + 1)\,\e^{0,02x + 1})\,\e^{0,02}$.

$f'(x) = 1\times \e^{0,02x} + x \times 0,02 \e^{0,02x} = \left (0,02x+1\right ) \e^{0,02x}$

\item Pour tout $x$ de $[0~;~+\infty[$, $x\geqslant 0$ donc $0,02x+1>0$.

Pour tout réel $X$, $\e^{X}>0$ donc $\e^{0,02x}>0$.

On en déduit que, pour tout $x\geqslant 0$, on a: $f'(x)>0$ donc la fonction $f$ est strictement croissante sur $[0~;~+\infty[$.

\item  
\og Tout nombre réel $x$, compris entre 0 et \np{1000}, a une image négative par $f$. \fg{} est une affirmation fausse car, par exemple, $f(200)\approx 919,6>0$.

\item Quatre fonctions A, B, C et D sont écrites dans le même programme Python
ci-dessous. %Laquelle de ces quatre fonctions permet de déterminer la plus petite valeur entière dont l'image par $f$ est positive ?

\begin{center}
\fbox{
\begin{minipage}{13cm}
\begin{multicols}{2}
from math import exp\\

def A(~):\\
\phantom{de}n = 0\\
\phantom{de}return n * exp(0.02 * n) – 10000\\

def B(~):\\
\phantom{de}n = 0\\
\phantom{de}f = – 10000\\
\phantom{de}while f < 0:\\
\phantom{dem}n = n + 1\\
\phantom{dem}f = n * exp(0.02 * n) – 10000\\
\phantom{de}return n\\

\columnbreak

def C(~):\\
\phantom{de}f = – 10000\\
\phantom{de}for n in range(0,1000):\\
\phantom{demn}f = n * exp(0.02 * n) – 10000\\
return f\\
\phantom{xxxx}\\
def D(~):\\
\phantom{de}n = 0\\
\phantom{de}f = – 10000\\
\phantom{de}if f < 0:\\
\phantom{denm}n = n + 1\\
\phantom{denm}f = n * exp(0.02 * n) – 10000\\
return n\\
\end{multicols}
\end{minipage}
}
\end{center}

Parmi ces quatre fonctions, celle qui permet de déterminer la plus petite valeur
entière dont l'image par $f$ est positive est la fonction \texttt{B()}.

\begin{list}{\textbullet}{En effet:}
\item la fonction \texttt{A()} renvoie \np{-10000};
\item la fonction \texttt{C()} renvoie $f(\np{1000})$;
\item la fonction \texttt{D()} renvoie le nombre 1.
\end{list}

Remarque: en faisant tourner ce programme, on trouve $n=197$; en effet, $f(196)\approx -121,5 <0$ et $f(197)\approx 129,5 >0$.
\end{enumerate}
\end{document}