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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat S}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small 23 juin 2009}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat S Métropole 23 juin 2009~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item $v_{n+1}=u_{n+1}-6=\frac{1}{3}u_n+4-6=\frac{1}{3}u_n-2=\frac{1}{3}(u_n-6)=\frac{1}{3}v_n$ donc la suite $(v_n)$ est \fbox{géométrique} de raison $q = \frac{1}{3}$ et de premier terme 
		
$v_0 = u_0 - 6 = 1 - 6 = - 5$.
		\item  Donc pour tout $n$ dans $\N$, on a $v_n = v_0 \times q^n = -5\times\left(\frac{1}{3} \right)^n$. Or $v_n = u_n - 6$ donc $u_n = v_n + 6$ et on obtient bien 
\fbox{$u_n=-5\times\left(\frac{1}{3}\right)^n+6$}
	\item $\frac{1}{3}\in \left] -1~;~1 \right[$ donc $\displaystyle\lim_{n\to +\infty} \left(\frac{1}{3} \right)^n = 0$ donc $\displaystyle\lim_{n\to +\infty} -5\times\left(\frac{1}{3} \right)^n = 0$ et donc on en déduit facilement que la suite $\left(u_n\right)$ converge et que \fbox{$\displaystyle\lim_{n\to +\infty} u_n=6$}
	\end{enumerate}
	\begin{enumerate}
		\item  Appliquons la formule de récurrence définissant $\left(w_n\right)$ pour $n=10$ :

$10w_{10} = 11w_9 + 1$  donc $10w_{10} = 11\times 19 + 1 = 210$ donc \fbox{$w_{10}=21$}
		\item   On conjecture que la suite $\left(w_n\right)$ est arithmétique de raison $r = 2$ et de premier terme $w_0 = 1$, autrement dit que pour tout $n$ dans $\N$, on a 
		
$w_n = 2n+1$. 
		
Démontrons-le par récurrence sur $n$ : notons $\mathscr{P}_n$ la proposition 

\og $w_n=2n+1$ \fg.

$\bullet$ \emph{Initialisation} : $w_0 = 1$ et $2\times 0+1=1$ donc $\mathscr{P}_0$ est vraie.

$\bullet$ \emph{Hérédité} : soit $n$ un entier quelconque dans $\N$. Supposons $\mathscr{P}_n$ vraie. 

On sait que $(n + 1)w_{n+1} = (n + 2)w_n + 1$. 

Or par hypothèse de récurrence, on sait que $w_n = 2n + 1$ donc $(n + 1)w_{n + 1} = (n + 2)(2n + 1) +1 = 2n^2 + 5n + 3 = (2n + 3)(n + 1)$. Or $n + 1\not = 0$ donc on en déduit que $w_{n+1} = 2n + 3 = 2(n+1)+1$ et donc $\mathscr{P}_{n+1}$ est vraie. Ainsi, la proposition $\mathscr{P}_n$ est héréditaire.

$\bullet$ Conclusion : $\mathscr{P}_0$ est vraie, et si $\mathscr{P}_n$ est vraie $\mathscr{P}_{n+1}$ est aussi vraie ; par le principe de récurrence, la proposition $\mathscr{P}_n$ est vraie pour tout $n$ dans $\N$, à savoir que, \fbox{$w_n = 2n + 1$} d'où \fbox{$w_{2009}= \np{4019}$}.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points}

\medskip

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item D'après le cours, $\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{\text{e}^x}{x}=+\infty$ donc par passage à l'inverse, on a 
		
$\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}x\text{e}^{-x}=\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{x}{\text{e}^x} =  0^+$ donc $\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}1 + x\text{e}^{-x}=1$ et donc $\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}\ln(1 + x\text{e}^{-x}) = \ln(1) = 0$ par continuité de la fonction $\ln$ en $1$. On a donc bien \fbox{$\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x) = 0$}
		\item  Posons $u(x) = 1 + x\text{e}^{-x}$ pour tout $x$ dans $[0~;~+\infty[$. La fonction $u$ est clairement dérivable sur $[0~;~+\infty[$ et pour tout $x$ dans $[0~;~+\infty[$, on a :

\[u'(x)=0 + 1\times \text{e}^{-x} + x\times (-\text{e}^{-x}) = (1-x)\text{e}^{-x}.\]

On sait que $\text{e}^{-x}>0$. D'autre part, $x \geqslant 0$ donc $x\text{e}^{-x}\geqslant 0$ donc 

$u(x) \geqslant 1>0$. 

La fonction $u$ est dérivable et strictement positive sur $[0~;~+\infty[$ donc d'après le cours, $f=\ln \circ~u$ est dérivable sur $[0~;~+\infty[$ et pour tout $x$ dans $[0~;~+\infty[$, on a :

\[f'(x)=\frac{u'(x)}{u(x)}=\frac{(1-x)\text{e}^{-x}}{1 + x\text{e}^{-x}}\]

On sait que $\text{e}^{-x} > 0$ et $u(x) = 1 + x\text{e}^{- x} > 0$ donc $f'(x)$ est bien du signe de $1 - x$.
		\item  Par suite, $f'(x) > 0$ si $x\in[0~;~1[$, $f'(1) = 0$ et $f'(x) < 0$ si $x\in]1~;~+\infty[$, donc $f$ est strictement croissante sur $[0~;~1]$ puis strictement décroissante sur $[1~;~+\infty[$.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Représentation graphique de $A(\lambda)$ :

La fonction $f$ est continue et positive sur $[0~;~+\infty[$ donc l'intégrale $A(\lambda)$ désigne l'aire (en unité d'aire) de la partie du plan délimitée par la courbe $\mathscr{C}$, l'axe des abscisses et les droites verticales d'équation $x=0$ et $x=\lambda$ :
\begin{center}
\psset{xunit=1.7cm,yunit=4.3755cm}
\begin{pspicture}*(-0.3,-0.2)(7,0.5)
\psset{plotpoints=1000}
\psline[linewidth=0.5pt,linecolor=black]{->}(-0.1,0)(6,0)
\psline[linewidth=0.5pt,linecolor=black]{->}(0,-0.2)(0,0.5)
%\psline[linewidth=1pt]{->}(0,0) (1,0)
\def\f{2.7182818 x -1 mul exp x mul 1 add ln}
\psplot[plotpoints=200]{0}{5.8}{\f}
\pscustom[fillstyle=hlines,linestyle=solid,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]      
{
  \psline(0,0)(0,0) 
  \psplot{0}{1.33}{\f} 
  \psline(1.33,0.301)(1.33,0) 
}
\uput[-90](3,0.25){\blue $\mathscr{C}$}
\uput[-90](1.33,0){$\lambda$}
\uput[-135](0,0){$O$}
\end{pspicture}	
\end{center}

		\item  D'après la question \textbf{1. c.} on sait que $f$ présente un maximum en $x = 1$ donc pour tout $x$ dans $[0~;~+\infty[$, $f(x)\leqslant f(1)$. Par croissance de l'intégrale, on en déduit que $\int_0^{\lambda}f(x)\:\text{d}x \leqslant \int_0^{\lambda}f(1)\:\text{d}x$, soit \fbox{$A(\lambda)\leqslant \lambda\times f(1)$} (c'est évident géométriquement !)
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On procède par intégration par parties :

$\begin{array}{llll}
u'(x)	=\text{e}^{-x} 	& &u(x)=-\text{e}^{-x}\\
v(x)	=x       		& &v'(x)=1
\end{array}$

$\int_0^{\lambda}x\text{e}^{-x}dx=\left[-x\text{e}^{-x}\vphantom{\frac{1}{2}}\right]_0^{\lambda}-\int_0^{\lambda}-\text{e}^{-x}dx=-\lambda \text{e}^{-\lambda}+\int_0^{\lambda}\text{e}^{-x}dx=-\lambda \text{e}^{-\lambda}+\left[-\text{e}^{-x}\vphantom{\frac{1}{2}}\right]_0^{\lambda}$
donc finalement \fbox{$\int_0^{\lambda}x\text{e}^{-x}dx=-\lambda \text{e}^{-\lambda}- \text{e}^{-\lambda}+1$}
		\item  On sait que pour tout $x$ dans $[0;+\infty[$, $x\text{e}^{-x}\geqslant 0$ donc $\ln(1+x\text{e}^{-x})\leqslant x\text{e}^{-x}$. Par croissance de l'intégrale (les fonctions sont bien continues sur $[0~;~\lambda]$), on obtient :

\[A(\lambda)=\int_0^{\lambda}\ln(1+x\text{e}^{-x})\:\text{d}x \leqslant \int_0^{\lambda} x\text{e}^{-x}\:\text{d}x=-\lambda \text{e}^{-\lambda}- \text{e}^{-\lambda}+1.\]
	\end{enumerate}
\item Pour $\lambda=5$, une calculatrice donne $\lambda\times f(1) \simeq 1,57$ et $-\lambda \text{e}^{-\lambda}- \text{e}^{-\lambda}+1\simeq 0,96$. C'est donc la deuxième méthode qui donne le meilleur majorant dans le cas $\lambda=5$ :

\fbox{$A(\lambda)\leqslant 0,96$}
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item ${n-1 \choose p-1}+{n-1 \choose p}
	=\frac{(n-1)!}{(p-1)!(n-1-(p-1))!}+\frac{(n-1)!}{p!(n-1-p)!}= \frac{p(n-1)!}{p!(n-p)!}+\frac{(n-p)(n-1)!}{p!(n-p)!}$
	
$=\frac{(n-1)!(p+n-p)}{p!(n-p)!}
	=\frac{n!}{p!(n-p)!}
	={n \choose p} \quad\Box$ \\
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Les jetons sont indiscernables au toucher donc on peut légitimement supposer qu'on se trouve dans une situation d'équiprobabilité. Il y a ${10 \choose 2}$ manières de choisir $2$ jetons parmi $10$ et il y a ${7 \choose 2}$ manières de choisir $2$ jetons blancs parmi les $7$ jetons blancs. Donc 
	
\[p(A)=\frac{{7 \choose 2}}{{10 \choose 2}}=\frac{7}{15}.\]

		\item  De même, $6$ jetons portent des numéros impairs donc
	$
	p(B) = \frac{{6 \choose 2}}{{10 \choose 2}} = \frac{1}{3}
	$.
		\item  De même, $4$ jetons blancs portent des numéros impairs donc
	$
	p(A\cap B) = \frac{{4 \choose 2}}{{10 \choose 2}} = \frac{2}{15}
	$.
	Ainsi, $p(A)\times p(B)=\frac{7}{15}\times \frac{1}{3} = \frac{7}{45}$ alors que $p(A\cap B) = \frac{2}{15} = \frac{6}{45}$ donc $p(A)\times p(B)\not = p(A\cap B)$ donc 
	
	\fbox{les évènements $A$ et $B$ ne sont pas indépendants}.
		\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item La variable aléatoire $X$ peut valoir $0$, $1$ ou $2$.\\
	$p(X=0) = \frac{{7 \choose 0}\times {3 \choose 2}}{{10 \choose 2}} = \frac{1}{15}$, \\
	$p(X=1) = \frac{{7 \choose 1}\times {3 \choose 1}}{{10 \choose 2}} = \frac{7}{15}$, \\
	$p(X=2) = \frac{{7 \choose 2}\times {3 \choose 0}}{{10 \choose 2}} = \frac{7}{15}$. D'où :\\
	
\begin{center}
\renewcommand\arraystretch{1.6}
\begin{tabular}{|*{4}{c|}}
\hline
$k$ 		&$0$ 			& $1$ 			& $2$ \\ \hline
$p(X=k)$ 	&$\frac{1}{15}$ & $\frac{7}{15}$& $\frac{7}{15}$ \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\renewcommand\arraystretch{1}
		\item  $E(X) = 0\times\frac{1}{15} + 1\times\frac{7}{15} + 2\times\frac{7}{15}=\frac{7}{5}$ : \fbox{$E(X) = \frac{7}{5}$}\\
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points} (obligatoire)

\medskip

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item $OM = |z|$ et $OM_1=\left|\frac{1}{z}\right|$ donc $OM\times OM_1 = |z|\times \left|\frac{1}{z}\right| = \left|z \times \frac{1}{z}\right|=|1|=1$.\\
D'autre part, $(\vect{u};\vect{OM})=\arg(z)\quad[2\pi]$ et $(\vect{u};\vect{OM_1})=\arg(\frac{1}{z})=-\arg(z)\quad[2\pi]$ donc on a bien $(\vect{u};\vect{OM_1})=-(\vect{u};\vect{OM}) \quad[2\pi]$.
		\item  cf. figure.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item $z'= z_{M'}=\frac{z_M+z_{M_1}}{2}=\frac{z+\frac{1}{z}}{2}$ donc on a bien \fbox{$z'=\frac{1}{2}\left(z+\frac{1}{z}\right)$}
\item[\textbf{2.{} b.}] $z_{B'}=\frac{1}{2}\left(2\i+\frac{1}{2\i}\right)=\frac{1}{2}\left(2\i-\frac{1}{2}\i\right)=\frac{3}{4}\i$ et de même on trouve $z_{C'}=-\frac{3}{4}\i$.
		\item  cf. figure.
	\end{enumerate}
\item On a clairement les équivalences suivantes :

\begin{center}
\begin{tabular}{rcl}
   $M=M'$ & $\Longleftrightarrow$ & $z=\frac{1}{2}\left(z+\frac{1}{z}\right)$ \\
  & $\Longleftrightarrow$ & $2z=z+\frac{1}{z}$ \\
  & $\Longleftrightarrow$ & $z=\frac{1}{z}$\\
  & $\Longleftrightarrow$ & $z^2=1$\\
  & $\Longleftrightarrow$ & $z=1$ ou $z=-1$\\
  \end{tabular} 
  \end{center}
Notons (en devançant l'énoncé) $K$ et $L$ les points d'affixes respectives $-1$ et $1$. Alors l'ensemble des points $M$ tels que $M'=M$ est l'ensemble $\{ K ; L \}$
\item[\textbf{4.}] Un point $M$ d'affixe $z$ appartenant au cercle de centre $O$ et de rayon $1$ vérifie $z=\text{e}^{\i\theta}$ avec $\theta\in\R$. Alors 

$$z'=\frac{1}{2}\left(\text{e}^{\i\theta}+\frac{1}{\text{e}^{\i\theta}}\right)=\frac{1}{2}\left(\text{e}^{\i\theta}+\text{e}^{-\i\theta}\right)=\frac{\text{e}^{\i\theta}+\text{e}^{-\i\theta}}{2}=\cos(\theta), \text{ avec } \theta\in\R$$
ce qui montre bien que $M'$ appartient au segment $[KL]$.	
\end{enumerate}

\psset{unit=1.5cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-2.5,-2.5)(2.5,2.5)
\psaxes[linewidth=1pt,Dx=10,Dy=10](0,0)(-2.5,-2.5)(2.5,2.5)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[dl](0,0){O}
\pscircle(0,0){1}
\uput[dl](-1,0){$K$}
\psdots[linecolor=black](-1,0)
\uput[dr](1,0){$L$}
\psdots[linecolor=black](1,0)(0,2)(0,-2)(0,0.75)(0,-0.75)
\uput[ur](0,2){$B$}
%\psdots[linecolor=black]
\uput[dr](0,-2){$C$}
\uput[l](0,0.75){$B'$}
\uput[l](0,-0.75){$C'$}
\uput[ur](1.68,1.08){\red $A$}
\psdots[linecolor=red](1.68,1.08)
\uput[r](1.05,0.404){\blue $A'$}
\psdots[linecolor=blue](1.05,0.404)
\uput[d](0.421,-0.271){\green $A_1$}
\psdots[linecolor=green](0.421,-0.271)
\pscircle(0,0){2}
\psline[linecolor=black,linewidth=0.5pt]{-}(1.68,1.08)(0.421,-0.271)
\psline[linecolor=black,linewidth=0.5pt]{-}(1.68,1.08)(0,0)
\psline[linecolor=black,linewidth=0.5pt]{-}(0.421,-0.271)(0,0)
\end{pspicture}
\end{center}

\newpage
\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points} (spécialité)

\medskip

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Le couple $(x,~y) = (1,~1)$ est une solution particulière évidente. L'équation $(E)$ est donc équivalente à l'équation $(E')$ : $8(x-1)=5(y-1)$.
		
$\bullet$ Soit $(x,~y)$ une solution de $(E)$. $5~|~5(y-1)$ donc $5~|~8(x-1)$. Or $5\wedge 8=1$ donc d'après le théorème de Gauss, $5~|~x-1$. Soit donc $k$ dans $\Z$ tel que $x-1 = 5k$. Alors \fbox{$x=1+5k$}. L'équation $(E')$ donne alors $8(5k) = 5(y-1)$ donc $8k=y-1$ et \fbox{$y = 1+8k$}.
Ainsi,  $(x,~y)$ est solution de $(E)$, s'il existe $k$ dans $\Z$ tel que $x = 1 + 5k$ et $y = 1 + 8k$.

%$\bullet$ Réciproquement, s'il existe $k$ dans $\Z$ tel que $x=1+5k$ et $y=1+8k$, alors $8x-5y=8(1+5k)-5(1+8k)=8+40k-5-40k=3$ donc $(x,y)$ est une solution de $(E)$.

$\bullet$ Conclusion : \fbox{$\mathscr{S}_{(E)}=\{ (1 + 5k~,~1 + 8k),\quad k\in\Z\}$}
		\item  $8p - 5q = (m - 1) - (m - 4) = 3$ donc \fbox{$(p,~q)$ est une solution de $(E)$}. Par suite, il existe $k$ dans $\Z$ tel que $p = 1 + 5k$, et donc $m = 8p+1 = 40k + 9$ donc on a bien \fbox{$m\equiv 9 \pmod {40}$}
		\item  Ce nombre est bien sûr \fbox{$m_0=2009$}, pour lequel $p_0=251$ et $q_0=401$.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item $2^3=8\equiv 1 \pmod 7$ donc $2^{3k} = \left(2^3\right)^k\equiv 1^k\equiv 1 \pmod 7$ : \fbox{$2^{3k}\equiv 1 \pmod 7$}
		\item  Procédons à la division euclidienne de $2009$ par $3$ : $2009=669\times 3 +2$ donc $2^{2009} = \left(2^3\right)^{669}\times 2^2\equiv1\times 4 \equiv 4 \pmod 7$ donc le reste dans la  division euclidienne de $2^{2009}$ par $7$ est \fbox{$4$}.	
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item $10\equiv 3 \pmod 7$ donc $10^2\equiv 9 \equiv 2 \pmod 7$ donc \fbox{$10^3 \equiv 6 \equiv -1 \pmod 7$}.
		\item  $N$ est divisible par $7$ ssi $N\equiv 0 \pmod 7$. Cette équation est équivalente à $a\times 10^3+b\equiv 0 \pmod 7$, elle-même équivalente à $-a+b\equiv 0 \pmod 7$, soit \fbox{$a\equiv b \pmod 7$}

$a=1$ : la condition $b\equiv 1 \pmod 7$ avec $b \in \llbracket 0,9 \rrbracket$ donne $b = 1$ ou $b=8$. 

D'où \fbox{$N=\np{1001}$} et \fbox{$N = \np{1008}$}.

$a=2$ : la condition $b\equiv 2 \pmod 7$ avec $b \in \llbracket 0,9 \rrbracket$ donne $b = 2$ ou $b=9$. 

D'où \fbox{$N=\np{2002}$} et \fbox{$N = \np{2009}$}.

$a=3$ : la condition $b\equiv 3 \pmod 7$ avec $b \in \llbracket 0,9 \rrbracket$ donne $b = 3$. 

D'où \fbox{$N = \np{3003}$}.

$a=4$ : la condition $b\equiv 4 \pmod 7$ avec $b \in \llbracket 0,9 \rrbracket$ donne $b = 4$. 

D'où \fbox{$N = \np{4004}$}.

$a=5$ : la condition $b\equiv 5 \pmod 7$ avec $b \in \llbracket 0,9 \rrbracket$ donne $b = 5$. 

D'où \fbox{$N = \np{5005}$}.

$a=6$ : la condition $b\equiv 6 \pmod 7$ avec $b \in \llbracket 0,9 \rrbracket$ donne $b=6$. 

D'où \fbox{$N = \np{6006}$}.

$a=7$ : la condition $b\equiv 7 \pmod 7$ avec $b \in \llbracket 0,9 \rrbracket$ donne $b = 0$ ou $b = 7$. D'où \fbox{$N = \np{7000}$} et \fbox{$N= \np{7007}$}.

$a=8$ : la condition $b\equiv 8 \pmod 7$ avec $b \in \llbracket 0,9 \rrbracket$ donne $b = 1$ ou $b = 8$. 

D'où \fbox{$N = \np{8001}$} et \fbox{$N = \np{8008}$}.

$a=9$ : la condition $b\equiv 9 \pmod 7$ avec $b \in \llbracket 0,9 \rrbracket$ donne $b = 2$ ou $b = 9$. 

D'où \fbox{$N = \np{9002}$} et \fbox{$N = \np{9009}$}.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}