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%Tapuscrit : François Kriegk (avec le site https://mathpix.com/pdf-to-latex)
%Sujet fourni par : Jennifer Faber
%Relecture : Denis Vergès
%Corrigé : François Hache
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\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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	pdfauthor = {APMEP},
	pdfsubject = {Baccalauréat Spécialité},
	pdftitle = {Amérique du Nord Sujet 2 28 mars 2023},
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat spécialité sujet 2}
\lfoot{\small{Amérique du Nord}}
\rfoot{\small{28 mars 2023}}

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\begin{document}
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\thispagestyle{empty}
\setlength\parindent{0mm}
\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat Amérique du Nord - 28 mars 2023~\decofourright\\[7pt]  Sujet 2\\[7pt] ÉPREUVE D'ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip

\textbf{\large Partie A}

\medskip

Le plan est muni d'un repère orthogonal.

On considère une fonction $f$ définie et dérivable sur $\mathbb{R}$. On note $f'$ sa fonction dérivée. On donne ci-dessous la courbe représentative de la fonction dérivée $f'$.

\begin{center}
\scalebox{0.8}{
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture*}(-7,-8)(3,3)
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-7,-7.95)(3,3)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.3pt,gridcolor=gray]
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-7}{3}{x dup mul 3 x mul sub 1 add 2.71828 x exp mul}
\end{pspicture*}
}%% fin de scalebox
\end{center}

%Dans cette partie, les résultats seront obtenus par lecture graphique de la courbe représentative de la fonction dérivée $f'$. Aucune justification n'est demandée.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item Le sens de variation de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$ est donné par le signe de la dérivée $f'$.%. On utilisera des valeurs approchées si besoin.

~~\textbullet~~Sur $]-\infty~;~0,4[$, $f'>0$ donc $f$ est strictement croissante.

~~\textbullet~~Sur $]0,4~;~2,6[$, $f'<0$ donc $f$ est strictement décroissante.

~~\textbullet~~Sur $]2,6~;~+\infty[$, $f'>0$ donc $f$ est strictement croissante.

\item La fonction $f$ est convexe sur les intervalles sur lesquels la dérivée $f'$ est croissante, soit sur $]-\infty~;~-1[$ et sur $]2~;~+\infty[$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{\large Partie B}

\medskip

On admet que la fonction $f$ de la partie $\mathbf{A}$ est définie sur $\mathbb{R}$ par 
$f(x)=\left(x^{2}- 5 x + 6\right) \mathrm{e}^{x}$.

On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère.

%\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On détermine la limite de la fonction $f$ en $+\infty$.
		
$\left .
\begin{array}{l}
\ds\lim_{x\to +\infty} \left (x^2-5x+6\right ) = \ds\lim_{x\to +\infty} x^2 = +\infty\\
\ds\lim_{x\to +\infty} \e^{x} = +\infty
\end{array}
\right \}		
\implies
\ds\lim_{x\to +\infty} \left (x^2-5x+6\right )\e^{x} = +\infty$

donc
$\ds\lim_{x\to +\infty} f(x)=+\infty$		
		
		\item On détermine la limite de la fonction $f$ en $-\infty$.
		
Pour $x\neq 0$, $f(x)=x^2\left (1-\dfrac{5}{x} +\dfrac{6}{x^2}\right )\e^{x}	
= x^2\e^{x}\left (1-\dfrac{5}{x} +\dfrac{6}{x^2}\right )$

$\left .
\begin{array}{l}
\ds\lim_{x\to -\infty} x^2 \e^{x} = 0\\
\ds\lim_{x\to -\infty} \left (1-\dfrac{5}{x} +\dfrac{6}{x^2}\right )=1
\end{array}
\right \}		
\implies
\ds\lim_{x\to -\infty} x^2\e^{x}\left (1-\dfrac{5}{x} +\dfrac{6}{x^2}\right ) = 0$

donc
$\ds\lim_{x\to -\infty} f(x)=0$
		
	\end{enumerate}
\item %Montrer que, pour tout réel $x$, on a $f'(x)=\left(x^{2}-3 x+1\right) \mathrm{e}^{x}$.
La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ et:

$f'(x)=\left (2x-5\right )\e^{x} + \left (x^2-5x+6\right )\times \e^{x}
= \left ( 2x-5+x^2-5x+6\right )\e^{x}
= \left (x^2-3x+1\right )\e^{x}$


\item Pour déterminer le sens de variation de la fonction $f$, on étudie le signe de $f'(x)$.

Pour tout $x$, $\e^{x}>0$ donc $f'(x)$ est du signe de $x^2-3x+1$.

$\Delta=(-3)^2-4\times 1 \times 1 = 5>0$;
$x'=\dfrac{-(-3)-\sqrt{5}}{2\times 1} = \dfrac{3-\sqrt{5}}{2}$
et $x''=\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}$

\begin{center}
{
\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\def\esp{\hspace*{2cm}}
$\begin{array}{|c | *{7}{c} |} 
\hline
x  & -\infty & \esp & \frac{3-\sqrt{5}}{2} & \esp & \frac{3+\sqrt{5}}{2} & \esp & +\infty \\
\hline
x^2-3x+1 &  & \pmb{+} &  \vline\hspace{-2.7pt}{0} & \pmb{-} & \vline\hspace{-2.7pt}{0} & \pmb{+} &\\
\hline
\e^x &  & \pmb{+} &  \vline\hspace{-2.7pt}{\phantom 0} & \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}{\phantom 0} & \pmb{+} &\\
\hline
f'(x) &  & \pmb{+} &  \vline\hspace{-2.7pt}{0} & \pmb{-} & \vline\hspace{-2.7pt}{0} & \pmb{+} & \\
\hline
f &  & \text{croissante} &  \vline\hspace{-2.7pt}{\phantom 0} & \text{décroissante} & \vline\hspace{-2.7pt}{\phantom 0} & \text{croissante} & \\
\hline
\end{array}$
}
\end{center}


\item La tangente $(\mathcal{T})$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 0 a pour équation réduite: \\
$y=f'(0)\left (x-0\right ) + f(0)$.

~~\textbullet~~$f(x)=\left (x^2-5x+6\right )\e^{x}$ donc $f(0)=6\e^{0}=6$

~~\textbullet~~$f'(x)=\left (x^2-3x+1\right )\e^{x}$ donc $f'(0)=1\e^{0}=1$

$\mathcal{T}$ a pour équation réduite $y=1\left (x-0\right )+6$ soit $y=x+6$.

\end{enumerate}

On admet que la fonction $f$ est deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$. On note $f''$ la fonction dérivée seconde de la fonction $f$. On admet que, pour tout réel $x$, on a $f''(x) = (x + 1)(x - 2) \mathrm{e}^{x}$.

\begin{enumerate}[resume]
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Pour étudier la convexité de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$, on étudie le signe de $f''(x)$.
		
\begin{center}
{
\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\def\esp{\hspace*{2cm}}
$\begin{array}{|c | *{7}{c} |} 
\hline
x  & -\infty & \esp & -1 & \esp & 2 & \esp & +\infty \\
\hline
x+1 &  & \pmb{-} &  \vline\hspace{-2.7pt}{0} & \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}{\phantom 0} & \pmb{+} &\\
\hline
x-2 &  & \pmb{-} &  \vline\hspace{-2.7pt}{\phantom 0} & \pmb{-} & \vline\hspace{-2.7pt}{0} & \pmb{+} &\\
\hline
\e^x &  & \pmb{+} &  \vline\hspace{-2.7pt}{\phantom 0} & \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}{\phantom 0} & \pmb{+} &\\
\hline
f''(x) &  & \pmb{+} &  \vline\hspace{-2.7pt}{0} & \pmb{-} & \vline\hspace{-2.7pt}{0} & \pmb{+} & \\
\hline
f &  & \text{convexe} &  \vline\hspace{-2.7pt}{\phantom 0} & \text{concave} & \vline\hspace{-2.7pt}{\phantom 0} & \text{convexe} & \\
\hline
\end{array}$
}
\end{center}
		
		\item %Montrer que, pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $[-1~;~2]$, on a $f(x) \leqslant x + 6$.
Sur $[-1~;~2]$, la fonction $f$ est concave donc la courbe $\mathcal{C}$ est en dessous de ses tangentes, et en particulier en dessous de la tangente $\mathcal{T}$ car $0\in [-1~;~2]$.		
		
Donc, pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $[-1~;~2]$, on a $f(x) \leqslant x + 6$.		
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\medskip

On étudie un groupe de \np{3000} sportifs qui pratiquent soit l'athlétisme dans le club A, soit le basketball dans le club B.

En 2023, le club A compte \np{1700} membres et le club B en compte \np{1300}.

%\smallskip

On décide de modéliser le nombre de membres du club A et du club B respectivement par deux suites $\left(a_{n}\right)$ et $\left(b_{n}\right)$, où $n$ désigne le rang de l'année à partir de 2023.
L'année 2023 correspond au rang 0. On a alors $a_{0}= \np{1700}$ et $b_{0} = \np{1300}$.

Pour notre étude, on fait les hypothèses suivantes :
\begin{itemize}
\item durant l'étude, aucun sportif ne quitte le groupe ;
\item chaque année, $15\,\%$ des sportifs du club A quittent ce club et adhèrent au club B ;
\item chaque année, $10\,\%$ des sportifs du club B quittent ce club et adhèrent au club $A$.
\end{itemize}

%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Calculer les nombres de membres de chaque club en 2024.
\begin{list}{\textbullet}{D'après le texte:}
\item $a_1 = a_0 - \dfrac{15}{100}a_0 + \dfrac{10}{100}b_0
= \np{1700} - 255 + 130 = \np{1575}$
\item $b_1 = b_0 - \dfrac{10}{100}b_0 + \dfrac{15}{100}a_0
= \np{1300} - 130 + 255 = \np{1425}$
\end{list}

\item Comme on suppose que durant l'étude, aucun sportif ne quitte le groupe, on a, pour tout entier naturel $n$, $a_{n}+b_{n}=\np{3000}$.

\item %Montrer que la suite $\left(a_{n}\right)$ vérifie la relation suivante pour tout entier naturel $n$, on a : $a_{n+1}= 0,75 a_{n} + 300$.
D'après le texte, on a:
$a_{n+1} = a_n - \dfrac{15}{100} a_n +\dfrac{10}{100} b_n$.

Or $a_n+b_n=\np{3000}$ donc $b_n=\np{3000} - a_n$.
On a alors:

$a_{n+1} = a_n - \dfrac{15}{100} a_n +\dfrac{10}{100} \left (\np{3000}-a_n\right )
= a_n - \dfrac{15}{100} a_n + \dfrac{10}{100}\times \np{3000} - \dfrac{10}{100}a_n\\
\phantom{a_{n+1}}
= a_n - \dfrac{25}{100}a_n + 300
= \dfrac{75}{100}a_n + 300
= 0,75 a_n +300$

\item 
	\begin{enumerate}
		\item Soit la propriété: $\np{1200} \leqslant a_{n+1} \leqslant a_{n} \leqslant \np{1700}$.
		
\begin{list}{\textbullet}{}
\item \textbf{Initialisation}

$a_0=\np{1700}$ et $a_1=\np{1575}$ donc $\np{1200} \leqslant a_{1} \leqslant a_{0} \leqslant \np{1700}$

Donc la propriété est vraie pour $n=0$.
\item \textbf{Hérédité}

On suppose la propriété vraie au rang $n$, soit $\np{1200} \leqslant a_{n+1} \leqslant a_{n} \leqslant \np{1700}$; c'est l'hypothèse de récurrence.

$\np{1200} \leqslant a_{n+1} \leqslant a_{n} \leqslant \np{1700}\\
\iff 0,75\times \np{1200} \leqslant 0,75\times a_{n+1} \leqslant 0,75\times a_{n} \leqslant 0,75\times \np{1700}\\
\iff  \np{900} \leqslant 0,75\times a_{n+1} \leqslant 0,75\times a_{n} \leqslant  \np{1275}\\
\iff \np{900} +300 \leqslant 0,75\times a_{n+1}  +300\leqslant 0,75\times a_{n}  +300\leqslant \np{1275} +300\\
\iff \np{1200}  \leqslant a_{n+2} \leqslant a_{n+1}\leqslant \np{1575}$

Or $\np{1575}\leqslant \np{1700}$ donc $\np{1200}  \leqslant a_{n+2} \leqslant a_{n+1}\leqslant \np{1700}$. 

La propriété est donc vraie au rang $n+1$ donc elle est héréditaire.
\item \textbf{Conclusion}

La propriété est vraie au rang 0 et elle est héréditaire pour tout $n\geqslant 0$; donc d'après le principe de récurrence, la propriété est vraie pour tout $n\geqslant 0$.
\end{list}		

On a donc démontré que, pour tout $n$, $\np{1200} \leqslant a_{n+1} \leqslant a_{n} \leqslant \np{1700}$.
		
		\item Étude de la convergence de la suite $\left(a_{n}\right)$.
		
\begin{list}{\textbullet}{}
\item Pour tout $n\in\N$, $a_{n+1} \leqslant a_n$ donc la suite $(a_n)$ est décroissante.
\item Pour tout $n\in\N$, $\np{1200} \leqslant a_n$ donc la suite $(a_n)$ est minorée.
\end{list}		
		
La suite $(a_n)_{n\in\N}$ est décroissante et minorée donc, d'après le théorème de la convergence monotone, elle est convergente.		
		
	\end{enumerate}
\item Soit $\left(v_{n}\right)$ la suite définie pour tout $n$ par $v_{n}=a_{n}- \np{1200}$; donc $a_n=v_n+\np{1200}$.
	\begin{enumerate}
		\item %Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est géométrique.
$v_{n+1}	= a_{n+1} -\np{1200} = 0,75 a_n +300 -\np{1200}
= 0,75\left (v_n+\np{1200}\right ) -900\\
\phantom{v_{n+1}}
= 0,75 v_n +900-900 = 0,75v_n$	

$v_0=a_0-\np{1200}=\np{1700} - \np{1200} = 500$

Donc $(v_n)$ est la suite géométrique de premier terme $v_0=500$ et de raison $q=0,75$.		
		\item %Exprimer $v_{n}$ en fonction de $n$.
On en déduit que, pour tout $n$, on a: $v_n=v_0\times q^n = 500\times  0,75^n$.
		
		\item %En déduire que pour tout entier naturel $n, a_{n}= 500 \times 0,75^{n}+ \np{1200}$.
On sait que, pour tout $n$, $a_n=v_n+\np{1200}$, donc 	$a_n=500\times 0,75^n+\np{1200}$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer la limite de la suite $\left(a_{n}\right)$.
$-1<0,75<1$ donc $\ds\lim_{n\to +\infty} 0,75^n=0$;
on en déduit que $\ds\lim_{n\to +\infty}500\times 0,75^n=0$
et donc que $\ds\lim_{n\to +\infty} a_n=\np{1200}$.
				
		\item% Interpréter le résultat de la question précédente dans le contexte de l'exercice.
On peut donc dire qu'à long terme, le nombre de sportifs dans le club A va tendre vers \np{1200}, et donc que le nombre de sportifs dans le club B va tendre vers $\np{3000}-\np{1200}=\np{1800}$.		
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On complète le programme Python ci-dessous afin qu'il renvoie la plus petite valeur de $n$ à partir de laquelle le nombre de membres du club A est strictement inférieur à \np{1280}.


\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\fbox{
\begin{tabular}{l l}
\textbf{def}&seuil() :\\
&n = 0\\&A = \np{1700}\\
&\textbf{while \blue{}A>=1280} :\\
&\qquad n=n+1\\
&\qquad A = \blue{}0.75*A + 300\\
&\textbf{return} n\\
\end{tabular}
}
\end{center}

		\item La valeur renvoyée lorsqu'on appelle la fonction seuil est la plus petite valeur de $n$ telle que $a_n<\np{1280}$. On résout cette inéquation.
		
$a_n<\np{1280}
\iff 500\times 0,75^n + \np{1200} < \np{1280}
\iff 500\times 0,75^n < 80\\
\phantom{a_n<\np{1280}}
\iff 0,75^n < \dfrac{80}{500}
\iff \ln\left (0,75^n\right ) < \ln\left (0,16\right )
\iff n\ln(0,75)<\ln(0,16)\\
\phantom{a_n<\np{1280}}
\iff n>\dfrac{\ln(0,16}{\ln(0,75)}$

Or $\dfrac{\ln(0,16}{\ln(0,75)} \approx 6,38$ donc la valeur de $n$ renvoyée par la fonction \texttt{seuil} est 7.
		
	\end{enumerate}
\end{enumerate}	

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\medskip

Dans l'espace muni d'un repère orthonormé d'unité $1 \mathrm{~cm}$, on considère les points

\[\mathrm{D}(3~;~1~;~5), \qquad 
\mathrm{E}(3~;~-2~;~-1), \qquad 
\mathrm{F}(-1~;~2~;~1), \qquad 
\mathrm{G}(3~;~2~;~-3)\]

%\smallskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Le vecteur $\overrightarrow{\text{EF}}$ a pour coordonnées
$\begin{pmatrix}
-1-3 \\ 2-(-2) \\ 1-(-1)
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
-4 \\ 4 \\ 2
\end{pmatrix}$
		
		
 Le vecteur $\overrightarrow{\text{FG}}$ a pour coordonnées
$\begin{pmatrix}
3-(-1) \\ 2-2 \\ -3-1
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
4 \\ 0 \\-4
\end{pmatrix}$

		\item %Justifier que les points $\mathrm{E}, \mathrm{F}$ et $\mathrm{G}$ ne sont pas alignés.
$-4\times (-1)=4$ et $4\times (-1)=-4\neq 0$ donc les vecteurs $\vectt{EF}$ et $\vectt{FG}$ ne sont pas colinéaires; on en déduit que les points E, F et G ne sont pas alignés.		
		
		
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer une représentation paramétrique de la droite (FG).
La droite (FG) passe par le point F et a pour vecteur directeur $\vectt{FG}$; elle a donc pour représentation paramétrique:

$\left \{
\begin{array}{l !{=} l l}
x & x_{\text F} + 4t\\
y & y_{\text F} +0t & t\in\R\\
z & z_{\text F} + (-4)t
\end{array}
\right .	$ soit
$\left \{
\begin{array}{l !{=} l l}
x & -1 + 4t\\
y & \phantom{-}2 & t\in\R\\
z & \phantom{-}1-4t
\end{array}
\right.$

		\item On appelle $\mathrm{H}$ le point de coordonnées $(2~;~2~;~-2)$.

$\mathrm{H}$ est le projeté orthogonal de E sur la droite (FG) si H appartient à la droite (FG) et si les vecteurs $\vectt{EH}$ et $\vectt{FG}$ sont orthogonaux.

\begin{list}{\textbullet}{}
\item Le point H appartient à la droite (FG) si on peut trouver une valeur de $t$ telle que:
$\left \{
\begin{array}{l !{=}  l}
x_{\text H} & -1 + 4t\\
y_{\text H} & \phantom{-}2 \\
z_{\text H} & \phantom{-}1-4t
\end{array}
\right .	$
c'est-à-dire
$\left \{
\begin{array}{r !{=}  l}
2 & -1 + 4t\\
2 & \phantom{-}2 \\
-2 & \phantom{-}1-4t
\end{array}
\right .	$

La valeur $t=\dfrac{3}{4}$ convient donc le point H appartient à la droite (FG).

\item Le vecteur $\overrightarrow{\text{EH}}$ a pour coordonnées
$\begin{pmatrix}
2-3 \\ 2-(-2) \\ -2-(-1)
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
-1 \\ 4 \\-1
\end{pmatrix}$
et $\vectt{FG}$ a pour coordonnées
$\begin{pmatrix}
4 \\ 0 \\ -4
\end{pmatrix}$

$\vectt{EH}\cdot\vectt{FG} = (-1)\times 4 + 4\times 0 + (-1)\times (-4)=0$ donc $\vectt{EH}\perp\vectt{FG}$
\end{list}

Le point H est donc le projeté orthogonal du point E sur la droite (FG).

		\item %Montrer que l'aire du triangle EFG est égale à $12\mathrm{~cm}^{2}$.
D'après les questions précédentes, [EH] est la hauteur du triangle EFG correspondant à la base [FG]; donc l'aire du triangle EFG vaut, en cm$^2$:

$\mathcal{A}=\dfrac{\text{EH}\times \text{FG}}{2}$.		

\begin{list}{\textbullet}{}
\item $\vectt{EH}\;\begin{pmatrix}
-1 \\ 4 \\-1
\end{pmatrix}$
donc
$\text{EH}=\ds\sqrt{(-1)^2+4^2+(-1)^2} = \ds\sqrt{18}=3\sqrt{2}$
\item $\vectt{FG}\;\begin{pmatrix}
4 \\ 0 \\-4
\end{pmatrix}$
donc
$\text{FG}=\ds\sqrt{4^2+0^2+(-4)^2} = \ds\sqrt{32}=4\sqrt{2}$
\end{list}

Donc l'aire du triangle est en cm$^2$: 
$\mathcal{A}= \dfrac{3\sqrt{2}\times 4\sqrt{2}}{2}=12$.

	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Le vecteur $\vec{n}\begin{pmatrix}2 \\ 1 \\ 2\end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan (EFG) s'il est orthogonal à $\vectt{EF}$ et à $\vectt{FG}$.
		
\begin{list}{\textbullet}{}
\item $\vect{n}\cdot\vectt{EF} = 2\times(-4) + 1\times 4 +2\times 2=0$ donc $\vect{n}\perp\vectt{EF}$
\item $\vect{n}\cdot\vectt{FG} = 2\times 4 + 1\times 0 +2\times (-4)=0$ donc $\vect{n}\perp\vectt{FG}$
\end{list}

Le vecteur $\vec{n}\begin{pmatrix}2 \\ 1 \\ 2\end{pmatrix}$ est donc un vecteur normal au plan (EFG).
		\item% Déterminer une équation cartésienne du plan (EFG).
$\vec{n}\begin{pmatrix}2 \\ 1 \\ 2\end{pmatrix}$ est  un vecteur normal au plan (EFG), donc le plan (EFG) a une équation de la forme $2x+y+2z+d=0$ où $d$ est un réel à déterminer.

F est un point de (EFG) donc
$2x_{\text F} + y_{\text F} +2z_{\text F}+d=0$
c'est-à-dire\\
$2\times (-1) + 2 +2\times 1+d=0$ ce qui donne $d=-2$.

Le plan (EFG) a donc pour équation $2x+y+2z-2=0$.

		\item La droite $(d)$ passant par le point $\mathrm{D}$ et orthogonale au plan (EFG)  a pour vecteur directeur tout vecteur normal au plan (EFG) donc en particulier le vecteur $\vect{n}$. Elle a donc pour représentation paramétrique;

$\left \{
\begin{array}{l !{=} l l}
x & x_{\text D} + x_{\vec n}t\\
y & y_{\text D} +y_{\vec n}t & t\in\R\\
z & z_{\text D} + z_{\vec n}t
\end{array}
\right .	$	
c'est-à-dire
$\left \{
\begin{array}{l !{=} l l}
x & 3 + 2t\\
y & 1 +t & t\in\R\\
z & 5 + 2t
\end{array}
\right.$

		\item On note K le projeté orthogonal du point D sur le plan (EFG). Le point K appartient donc à la droite $(d)$ et au plan (EFG) donc ses coordonnées sont solutions du système:
$\left \{
\begin{array}{r !{=}  l}
x & 3 + 2t\\
y & 1 +t \\
z & 5 + 2t\\
2x+y+2z-2 & 0
\end{array}
\right.$

On a donc $t$ tel que $2\left (3+2t\right ) + \left (1+t\right ) + 2\left (5+2t\right ) -2=0$, 
soit\\
$6+4t+1+t+10+4t-2 = 0$
ou encore
$9t+15 = 0$; ce qui donne $t=-\dfrac{15}{9}=-\dfrac{5}{3}$.
		
On a donc:
$x_{\text K} =3+2t=3+2\left (-\dfrac{5}{3}\right ) = -\dfrac{1}{3}$,
$y_{\text K} = 1+t=1+\left (-\dfrac{5}{3}\right )=-\dfrac{2}{3}$ et
$z_{\text K} = 5+2t = 5+2\left (-\dfrac{5}{3}\right )=\dfrac{5}{3}$

Donc le point K a pour coordonnées $\left ( -\dfrac{1}{3}~,~ -\dfrac{2}{3} ~,~\dfrac{5}{3} \right )$.

%À l'aide des questions précédentes, calculer les coordonnées du point $\mathrm{K}$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Vérifier que la distance DK est égale à $5 \mathrm{~cm}$.
$\text{DK}^2
= \left (-\dfrac{1}{3}-3 \right )^2 +\left (-\dfrac{2}{3}-1 \right )^2 +\left (\dfrac{5}{3}-5 \right )^2
= \left (-\dfrac{10}{3} \right )^2 +\left (-\dfrac{5}{3} \right )^2 +\left (-\dfrac{10}{3} \right )^2\\[7pt]
\phantom{\text{DK}^2}
=  \dfrac{100}{9} + \dfrac{25}{9}+\dfrac{100}{9} = \dfrac{225}{9}=25$

Donc la distance DK est égale à 5~cm.
		
		\item Le volume du tétraèdre DEFG est donné par la formule:
$ \dfrac{\text{aire de la base}\times\text{hauteur}}{3}$.

Une base du tétraèdre est le triangle EFG d'aire 12,
et la hauteur relative à cette base est [DK] de longueur 5.				

Le volume du tétraèdre DEFG est donc, en cm$^3$:
$\dfrac{12\times 5}{3}=20$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}

%\medskip
%
%\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiple. \\Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte.\\Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la réponse choisie.\\Aucune justification n'est demandée.\\
%Une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse à une question ne rapporte ni n'enlève de point.\\Les cinq questions sont indépendantes.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]1~;~+\infty[$ par 
$f(x)= 0,05 - \dfrac{\ln x}{x - 1}$.

La limite de la fonction $f$ en $+\infty$ est égale à :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $+\infty$&\textbf{b.~~}0,05&\textbf{c.~~}$-\infty$&\textbf{d.~~}0
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\begin{tabular}{@{\hspace*{0.05\linewidth}} || p{0.93\linewidth}}
$f(x)= 0,05 - \dfrac{\ln x}{x - 1}
= 0,05 - \dfrac{\ln x}{x}\times \dfrac{x}{x-1}$

Or $\ds\lim_{x\to +\infty} \dfrac{\ln x}{x}=0$
et
$\ds\lim_{x\to +\infty}  \dfrac{x}{x-1}=1$
donc
$\ds\lim_{x\to +\infty} \dfrac{\ln x}{x}\times \dfrac{x}{x-1}=0$.\\[7pt]
On en déduit que $\ds\lim_{x\to +\infty}f(x)=0,05$.
\hfill\textbf{Réponse b.}
\end{tabular}

\medskip

\item On considère une fonction $h$ continue sur  $[-2 ; 4]$ telle que :
$h(-1)=0$, $h(1) = 4$, $h(3) = -1$.

On peut affirmer que :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{X}
\textbf{a.~~} la fonction $h$ est croissante sur l'intervalle $[-1~;~1]$.\\
\textbf{b.~~} la fonction $h$ est positive sur l'intervalle $[-1~;~1]$.\\
\textbf{c.~~} il existe au moins un nombre réel $a$ dans l'intervalle $[1~;~3]$ tel que $h(a) = 1$.\\
\textbf{d.~~}~l'équation $h(x)=1$ admet exactement deux solutions dans l'intervalle 

$\phantom{d.~~~}[-2~;~4]$.
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\begin{tabular}{@{\hspace*{0.05\linewidth}} || p{0.93\linewidth}}
C'est l'application du théorème des valeurs intermédiaires sur l'intervalle $[1~;~3]$.
\hfill\textbf{Réponse c.}
\end{tabular}

\medskip

\item On considère deux suites $\left(u_{n}\right)$ et $\left(v_{n}\right)$ à termes strictement positifs telles que 

$\displaystyle\lim _{n \rightarrow+\infty} u_{n}=+\infty$ et $\left(v_{n}\right)$ converge vers 0 .

On peut affirmer que :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{a.~~}la suite $\left(\frac{1}{v_{n}}\right)$ converge.&
\textbf{b.~~} la suite $\left(\frac{v_{n}}{u_{n}}\right)$ converge.\\
\textbf{c.~~} la suite $\left(u_{n}\right)$ est croissante.&
\textbf{d.~~} $\displaystyle\lim _{n \rightarrow+\infty}\left(-u_{n}\right)^{n}=-\infty$
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\begin{tabular}{@{\hspace*{0.05\linewidth}} || p{0.93\linewidth}}
Limite du quotient de deux suites.
\hfill\textbf{Réponse b.}
\end{tabular}

\medskip

\item Pour participer à un jeu, un joueur doit payer $4$ \euro.

Il lance ensuite un dé équilibré à six faces :

\begin{itemize}
\item s'il obtient 1, il remporte $12$ \euro{};
\item s'il obtient un nombre pair, il remporte $3$ \euro{};
\item sinon, il ne remporte rien.
\end{itemize}

En moyenne, le joueur :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{a.~~}gagne $3,50$ \euro&\textbf{b.~~}perd $3$ \eurologo.\\
\textbf{c.~~}perd $1,50$ \euro&\textbf{d.~~}perd $0,50$ \euro.
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\begin{tabular}{@{\hspace*{0.05\linewidth}} || p{0.93\linewidth}}
Soit $X$ la variable aléatoire qui donne le gain (mise moins ce que l'on gagne); on cherche l'espérance mathématique de cette variable aléatoire.

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.9\linewidth}{|c|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
\hline
tirage & nombre 1 & nombre pair & autre\\
\hline
gain &	 $12-4=8$ & $3-4=-1$ & $0-4=-4$\\
\hline
probabilité & $\dfrac{1}{6}$ & $\dfrac{3}{6}$ & $\dfrac{2}{6}$\rule[-12pt]{0pt}{30pt}\\
\hline
\end{tabularx}
\end{center}

$E(X)= 8\times \dfrac{1}{6} +(-1)\times \dfrac{3}{6} + (-4)\times \dfrac{2}{6}
= -\dfrac{3}{6}=-\dfrac{1}{2}$ ce qui correspond à une perte de $0,50$~\euro.
\hfill\textbf{Réponse d.}
\end{tabular}

\medskip

\item On considère la variable aléatoire $X$ suivant la loi binomiale $\mathcal{B}(3~;~p)$.

On sait que $P(X = 0) = \dfrac{1}{125}$. On peut affirmer que :

\begin{center}
\renewcommand\arraystretch{1.9}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{a.~~}$p = \dfrac{1}{5}$&\textbf{b.~~}$P(X = 1) =\dfrac{124}{125}$\\
\textbf{c.~~}$p = \dfrac{4}{5}$&\textbf{d.~~}$P(X= 1) =\dfrac{4}{5}$
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\begin{tabular}{@{\hspace*{0.05\linewidth}} || p{0.93\linewidth}}
$P(X=0) = \ds\binom{3}{0}\times p^0 \times (1-p)^{3-0} =  (1-p)^3$

On a donc $(1-p)^3 = \dfrac{1}{125} \iff (1-p)^3 = \left ( \dfrac{1}{5}\right )^3 \iff 1-p=\dfrac{1}{5}$; donc $p=\dfrac{4}{5}$.

\hfill\textbf{Réponse c.}
\end{tabular}
\end{enumerate}
\end{document}