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%Tapuscrit : Denis Vergès
%Corrigé : François Hache
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\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}

\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 2022}
\rfoot{\small Métropole, Antilles-Guyane - corrigé}
\lfoot{\small 9 septembre 2022}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat spécialité Jour 2 \decofourright\\[7pt]
Métropole Antilles-Guyane 9 septembre 2022}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Exercice 1 \hfill 7 points\hfill Thèmes : probabilités}

\medskip

Dans le magasin d'Hugo, les clients peuvent louer deux types de vélos : vélos de route ou bien vélos tout terrain. 

Chaque type de vélo peut être loué dans sa version électrique ou non.

On choisit un client du magasin au hasard, et on admet que:
\begin{itemize}
\item Si le client loue un vélo de route, la probabilité que ce soit un vélo électrique est de 0,4 ;
\item Si le client loue un vélo tout terrain, la probabilité que ce soit un vélo électrique est de 0,7 ; 
\item La probabilité que le client loue un vélo électrique est de $0,58$.
\end{itemize}

\medskip

On appelle $\alpha$ la probabilité que le client loue un vélo de route, avec $0 \leqslant \alpha \leqslant 1$. 

On considère les évènements suivants:

\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $R$ : \og le client loue un vélo de route \fg{} ;
\item[$\bullet~~$] $E$ : \og le client loue un vélo électrique \fg{} ;
\item[$\bullet~~$] $\overline{R}$ et $\overline{E}$, évènements contraires de $R$ et $E$.
\end{itemize}

%\medskip

%\begin{minipage}{0.48\linewidth}
%
%On modélise cette situation aléatoire à l'aide de l'arbre reproduit ci-contre:
%
%Si $F$ désigne un évènement quelconque, on notera $p(F)$ la probabilité de $F$.
%\end{minipage} \hfill
%\begin{minipage}{0.48\linewidth}
%\begin{center}
%\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=2.5pt,treesep = 1cm,levelsep=2.5cm]{\TR{}}
%{\pstree{\TR{$R$~}\taput{$\alpha$}}
%{\TR{$E$}\taput{\ldots}
%\TR{$\overline{E}$}\tbput{\ldots}
%}
%\pstree{\TR{$\overline{R}$~}\tbput{$1 - \alpha$}}
%{\TR{$E$}\taput{\ldots}
%\TR{$\overline{E}$}\tbput{\ldots}
%}}
%\end{center}
%\end{minipage} 
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item On complète l'arbre proposé.

\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=2.5pt,treesep = 1cm, levelsep=3cm,nrot=:U]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$R$~}\naput{$\alpha$}}
{\TR{$E$}\naput{\blue $0,4$}
\TR{$\overline{E}$}\nbput{\blue $1-0,4=0,6$}
}
\pstree{\TR{$\overline{R}$~}\nbput{$1 - \alpha$}}
{\TR{$E$}\naput{\blue $0,7$}
\TR{$\overline{E}$}\nbput{\blue$1-0,7=0,3$}
}}
\bigskip
\end{center}

\item 
	\begin{enumerate}
		\item D'après la formule des probabilités totales:
		
		 $p(E) = p\left (R\cap E\right )+p\left (\overline{R}\cap E\right )
		 = \alpha \times 0,4+\left (1-\alpha\right )\times 0,7
		 =0,4\alpha + 0,7 - 0,7\alpha 
		 = 0,7 - 0,3\alpha$.
		 
		\item  La probabilité que le client loue un vélo électrique est  $p(E) = 0,58$.
		
Or $p(E)=0,7-0,3\alpha$. Donc $0,7 - 0,3\alpha = 0,58$ ce qui équivaut à $0,7-0,58 = 0,3\alpha$ ou encore $0,12=0,3\alpha$ soit $\alpha = 0,4$.
	\end{enumerate}
	
\item On sait que le client a loué un vélo électrique. 

La probabilité qu'il ait loué un vélo tout terrain est:

$p_E\left (\overline{R}\right ) 
= \dfrac{p\left ( \overline{R}\cap E\right )}{p(E)}
= \dfrac{\left (1-0,4\right )\times 0,7}{0,58}
= \dfrac{0,42}{0,58} \approx 0,72$.

%On donnera le résultat arrondi au centième.

\item La probabilité que le client loue un vélo tout terrain électrique est:
$p\left (\overline{R} \cap E\right )=0,42$.

\item Le prix de la location à la journée d'un vélo de route non électrique est de $25$~euros, celui d'un vélo tout terrain non électrique de $35$~euros. 
Pour chaque type de vélo, le choix de la version électrique augmente le prix de location à la journée de $15$~euros. 

On appelle $X$ la variable aléatoire modélisant le prix de location d'un vélo à la journée. 
	\begin{enumerate}
		\item %Donner la loi de probabilité de $X$. On présentera les résultats sous forme d'un tableau.
On a quatre possibilités.

\begin{list}{\textbullet}{}
\item La location d'un vélo de route non électrique coûte 25~\euro.

Cela correspond à  l'évènement $R\cap \overline{E}$ de probabilité $0,4\times 0,6=0,24$.

\item La location d'un vélo de route  électrique coûte $25+15$ soit 40~\euro.

Cela correspond à  l'évènement $R\cap E$ de probabilité $0,4\times 0,4=0,16$.
 
\item La location d'un vélo tout terrain non électrique coûte 35~\euro.

Cela correspond à  l'évènement $\overline{R} \cap \overline{E}$ de probabilité $0,6 \times 0,3=0,18$.

\item La location d'un vélo tout terrain  électrique coûte $35+15$ soit 50~\euro.

Cela correspond à  l'évènement $\overline{R}\cap E$ de probabilité $0,6\times 0,7=0,42$.
 
\end{list}		
		
On établit la loi de probabilité de $X$:

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|c|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
\hline
$x_i$ & 25 & 35 & 40 & 50\\
\hline
$p_i=p(X=x_i)$ & $0,24$ & $0,18$ & $0,16$ & $0,42$\\
 \hline
\end{tabularx}
\end{center}
			
		\item %Calculer l'espérance mathématique de $X$ et interpréter ce résultat.
L'espérance mathématique de $X$ est:

$E(X)=\ds\sum x_i\times p_i 
= 25\times 0,24 + 35\times 0,18 + 40\times 0,16 + 50\times 0,42 
= 39,7$.		

Le coût moyen d'une location est donc de $39,70$~euros.		
		
	\end{enumerate}	
\item Lorsqu'on choisit $30$ clients d'Hugo au hasard, on assimile ce choix à un tirage avec remise. 
On note $Y$ la variable aléatoire associant à un échantillon de 30 clients choisis au hasard le nombre de clients qui louent un vélo électrique.

On rappelle que la probabilité de l'évènement $E$ est : $p(E) = 0,58$.
	\begin{enumerate}
		\item 
Il s'agit d'une répétition de 30 épreuves identiques et indépendantes n'ayant que deux issues, la probabilité du succès pour une épreuve étant égale à $0,58$.		
		
		Donc la variable aléatoire $Y$ qui donne le nombre de succès sur 30 tirages, suit une loi binomiale de paramètres $n=30$ et $p=0,58$.
				
		\item La probabilité qu'un échantillon contienne exactement $20$ clients qui louent un vélo électrique est:%. On donnera le résultat arrondi au millième.
		
$p(Y=20) = \ds\binom{30}{20}\times 0,58^{20}	\times (1-0,58)^{30-20}
\approx 0,095$.

		\item La probabilité qu'un échantillon contienne au moins $15$ clients qui louent un vélo électrique est:%. On donnera le résultat arrondi au millième.

$p(Y\geqslant 15) = 1 - p(Y\leqslant 14)\approx 1 - 0,14190 \approx 0,858$.

	\end{enumerate}

\end{enumerate}

\newpage

\textbf{Exercice 2 \hfill 7 points\hfill Thèmes : suites, fonctions}

%\medskip
%
%\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte.\\
%Une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse à une question ne rapporte ni n'enlève de point.\\
%Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.}
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère les suites $\left(a_n\right)$ et $\left(b_n\right)$ définie par $a_0 = 1$ et, pour tout entier naturel $n$,\: $a_{n+1} = 0,5a_n + 1$ et $b_n = a_n - 2$.

On peut affirmer que:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{a.~} $\left(a_n\right)$ est arithmétique ;&\textbf{b.~} $\left(b_n\right)$ est géométrique;\\
\textbf{c.~} $\left(a_n\right)$ est géométrique;&\textbf{d.~} $\left(b_n\right)$ est arithmétique. 
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{tabular}{@{\hspace{0.05\linewidth}} | p{0.9\linewidth}}
$b_n=a_n-2$ donc $a_n=b_n+2$.

$b_{n+1}=a_{n+1}-2 = 0,5 a_n +1-2 = 0,5\left ( b_n+2\right ) -1
=0,5 b_n +1-1=0,5 b_n$ \\
donc la suite $(b_n)$ est géométrique de raison $0,5$.
\hfill\textbf{Réponse b.}
\end{tabular}
\end{enumerate}

\medskip

Dans les questions 2. et 3., on considère les suites $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$ définies par :

\[u_0 = 2,\: v_0 = 1 \:\: \text{et, pour tout entier naturel }\:\:n : 
\left\{\begin{array}{l !{=} l}
u_{n+1}&u_n + 3v_n\\
v_{n+1}&u_n + v_n.
\end{array}\right.\]

\begin{enumerate}[resume]
\item On peut affirmer que :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~}$\left\{\begin{array}{l !{=} l}
u_2&  5\\ v_2 & 3
\end{array}\right.$&\textbf{b.~} $u_2^2 - 3v_2^2 = - 2^2$&\textbf{c.~} $\dfrac{u_2}{v_2} = 1,75$&\textbf{d.~} $5u_1 = 3v_1$.\\
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{tabular}{@{\hspace{0.05\linewidth}} | p{0.9\linewidth}}
$\left\{\begin{array}{l !{=} l  !{=} l  !{=} l}
u_1 &  u_0+ 3v_0 & 2+3\times 1 & 5\\ 
v_1 & u_0+v_0 & 2 +1 & 3
\end{array}\right.$
\hfill
$\left\{\begin{array}{l !{=} l  !{=} l  !{=} l}
u_2 &  u_1+ 3v_1 & 5+3\times 3 & 14\\ 
v_2 & u_1+v_1 & 5 +3 & 8
\end{array}\right.$

$\dfrac{u_2}{v_2}=\dfrac{14}{8}=1,75$
\hfill\textbf{Réponse c.}
\end{tabular}

\medskip

\item On considère le programme ci-dessous écrit en langage Python :

\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\texttt}l|}\hline
\texttt{def valeurs() :}\\
\quad \texttt{u = 2}\\
\quad \texttt{v = 1}\\
\quad \texttt{for k in range(1,11) :}\\
\quad \quad \texttt{c = u}\\
\quad \quad \texttt{u = u + 3*v}\\
\quad \quad \texttt{v = c + v}\\
\quad \texttt{return (u,v)}\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

Ce programme renvoie :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~} $u_{11}$ et $v_{11}$ ;&
\textbf{b.~} $u_{10}$ et $v_{11}$ ;&
\textbf{c.~} les valeurs de $u_n$ et $v_n$ pour $n$ allant de 1 à 10;&
\textbf{d.~} $u_{10}$ et $v_{10}$.
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{tabular}{@{\hspace{0.05\linewidth}} | p{0.9\linewidth}}
\hfill\textbf{Réponse d.}
\end{tabular}
\end{enumerate}

Pour les questions 4. et 5., on considère une fonction $f$ deux fois dérivable sur l'intervalle
$[-4~;~2]$. On note $f'$ la fonction dérivée de $f$ et $f''$  la dérivée seconde de $f$.

On donne ci-dessous la courbe représentative $\mathcal{C}'$ de la fonction dérivée $f'$ dans un repère du plan. On donne de plus les points A$(-2~;~0)$, B(1~;~0) et C(0~;~5).

\begin{minipage}{0.52\linewidth}
\begin{enumerate}[resume]
\item La fonction $f$ est :

%\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{a.~} concave sur $[-2~;~1]$ ; 	&\textbf{b.~} convexe sur $[-4~;~0]$;\\
\textbf{c.~}convexe sur $[-2~;~1]$;		&\textbf{d.~} convexe sur [0~;~2].
\end{tabularx}
%\end{center}

\smallskip

\begin{tabular}{@{\hspace{0.05\linewidth}} | p{0.9\linewidth}}
La fonction $f'$ est croissante sur $[-4\;; 0]$ donc la fonction $f$ est convexe sur cet intervalle.
\hfill\textbf{Réponse b.}
\end{tabular}

\medskip

\item On admet que la droite (BC) est la tangente à la courbe $\mathcal{C}'$ au point B.
On a :

%\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{a.~} $f'(1) < 0$ ;	&\textbf{b.~} $f'(1) = 5$ ;\\
\textbf{c.~} $f''(1) > 0$;	&\textbf{d.~} $f''(1) = - 5$.
\end{tabularx}
%\end{center}

\begin{tabular}{@{\hspace{0.05\linewidth}} | p{0.9\linewidth}}
Le coefficient directeur de la droite (BC) est égal à $f''(1)$.
\hfill\textbf{Réponse d.}
\end{tabular}
\end{enumerate}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.45\linewidth}
\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture*}(-4.1,-3)(2,6)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(-4,-3)(2,6)
\psaxes[linewidth=1.25pt](0,0)(1,1)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-4}{2}{x 2 add 1 x  sub mul 2.71828 x 0.5 mul exp mul}\uput[dr](-4,-1.5){\blue $\mathcal{C}'$}
\psline(-4,0.1)(-4,-0.1)
\uput[dr](-2,0){A} \uput[ur](1,0){B} \uput[l](0,5){C} 
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt]{-4}{2}{5 5 x  mul sub}
\uput[d](-4,0){$-4$}
\psdots(-2,0)(1,0)(0,5)
\end{pspicture*}
\end{center}

\end{minipage}

\begin{enumerate}[resume,start=6]
\item Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x) = \left(x^2 + 1\right)\text{e}^x$.

La primitive $F$ de $f$ sur $\R$  telle que $F(0) = 1$ est définie par:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{a.~} $F(x) = \left(x^2 - 2x +3\right)\text{e}^x$ ;&\textbf{b.~} $F(x) = \left(x^2 - 2x + 3\right)\text{e}^x - 2;$\\
\textbf{c.~} $F(x) = \left(\dfrac13 x^3 + x\right)\text{e}^x + 1$ ;&\textbf{d.~} $F(x) = \left(\dfrac13 x^3 + x \right) \text{e}^x$.\\
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{tabular}{@{\hspace{0.05\linewidth}} | p{0.9\linewidth}}
Pour la fonction $F$ de la réponse a. on a $F(0)=3$, et pour la fonction $F$ de la réponse d., on a $F(0)=0$. On peut donc éliminer ces deux réponses et tester les deux autres.

Si $F(x)= \left(x^2 - 2x + 3\right)\e^x - 2$, \\
alors $F'(x)=\left (2x-2\right )\e^{x} + \left(x^2 - 2x + 3\right)\e^x = \left(x^2 +1\right)\e^x  = f(x)$.

De plus $F(0)=3\e^{0}-2=1$.
\hfill\textbf{Réponse b.}
\end{tabular}

\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{Exercice 3 \hfill 7 points\hfill Thèmes : fonction logarithme, suites}

%\medskip
%
%\textbf{Les parties B et C sont indépendantes}

\medskip

On considère la fonction $f$  définie sur $]0~;~+\infty[$ par 
$f(x) = x - x \ln x,$

où ln désigne la fonction logarithme népérien.

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On cherche la limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers $0$.

On sait que $\ds\lim_{x\to 0 \atop x>0} x\,\ln x=0$ donc $\ds\lim_{x\to 0 \atop x>0} f(x) = 0$.

\item On cherche la limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers $+\infty$.

$f(x)=x\left (1 - \ln x\right )$.

$\ds\lim_{x\to +\infty} \ln x = +\infty$ donc $\ds\lim_{x\to +\infty} 1- \ln x = -\infty$

Par produit de limites, on déduit : $\ds\lim_{x\to +\infty} f(x) = -\infty$

\item On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $]0~;~+\infty[$ et on note $f'$ sa fonction dérivée.
	\begin{enumerate}
		\item Pour tout réel $x > 0$, on a :
		$f'(x) = 1 - 1\times \ln x - x\times \dfrac{1}{x} = - \ln x$.
		
		\item %En déduire les variations de la fonction $f$ sur $]0~;~+\infty[$ et dresser son tableau de variations.
		
On détermine le signe de $f'(x)$:

\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\def\esp{\hspace*{3cm}}
$\begin{array}{|c |l *{4}{c} |} 
\hline
x  & 0 & \esp & 1 & \esp  & +\infty \\
\hline
\ln x &\vline\;\vline  & \pmb{-} &  \vline\hspace{-2.7pt}{0} & \pmb{+} &   \\
\hline
f'(x) &\vline\;\vline  & \pmb{+} &  \vline\hspace{-2.7pt}{0} & \pmb{-} &   \\
\hline
\end{array}$
}
\end{center}
		
$f(1) = 1 -\ln 1=1$; on établit le tableau des variations de la fonction $f$:		
		
\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}%  paramètres
\def\esp{\hspace*{2.5cm}}% pour modifier la largeur du tableau
\def\hauteur{0pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur
$\begin{array}{|c|l*4{c}|}
\hline
x 		& 0  & \esp & 1 & \esp & +\infty \\\hline
f'(x) 	& \vline\;\vline &   \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{-} & \\\hline
 		&  \vline\;\vline & & \Rnode{max}{1}  & & \\
f(x) &\vline\;\vline & &  & & \rule{0pt}{\hauteur} \\
 &\vline\;\vline \Rnode{min1}{~0} & & & & \Rnode{min2}{-\infty} \rule{0pt}{\hauteur}    
 \ncline{->}{min1}{max}
 \ncline{->}{max}{min2}\\ \hline
\end{array} $
}
\end{center}	
		
	\end{enumerate}
\item On résout l'équation $f(x) = x$ sur $]0~;~+\infty[$.

$f(x)=x \iff x - x\ln x = x \iff -x \ln x=0 \iff \ln x = 0 \iff x = 1$
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Dans cette partie, on pourra utiliser avec profit certains résultats de la partie A. 

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par:

\[\left\{\begin{array}{l !{=} l}
u_0 & 0,5\\
u_{n+1} & u_n - u_n \ln u_n \text{ pour tout entier naturel } n,
\end{array}\right.\]

Ainsi, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n+1} = f\left(u_n\right)$.

%\medskip

\begin{enumerate}
\item On rappelle que la fonction $f$ est croissante sur l'intervalle [0,5~;~1].

%Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a : $0,5 \leqslant  u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 1$.

Soit $\mathcal{P}_n$ la propriété: $0,5 \leqslant  u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 1$.

\begin{list}{\textbullet}{}
\item Pour $n=0$, $u_n=u_0=0,5$ et $u_1=f(u_0)=f(0,5)\approx 0,85$.

On a donc $0,5 \leqslant u_0 \leqslant u_1 \leqslant 1$, ce qui vaut dire que $\mathcal{P}_0$ est vraie.

\item On suppose la propriété vraie au rang $n$, c'est-à-dire que $0,5 \leqslant  u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 1$.

La fonction $f$ est croissante sur  $[0,5~;~1]$ donc
$f(0,5) \leqslant  f(u_n) \leqslant f(u_{n+1}) \leqslant f(1)$.

Or $f(0,5)\approx 0,85 \geqslant 0,5$, $f(u_n)=u_{n+1}$, $f(u_{n+1}) = u_{n+2}$ et $f(1)=1$.

On a donc: $0,5 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_{n+2} \leqslant 1$, donc  la propriété $\mathcal{P}_{n+1}$ est vraie.

\item La propriété $\mathcal{P}_n$ est vraie au rang 0; de plus elle est héréditaire. Donc, d'après le principe de récurrence, la propriété est vraie pour tout entier naturel $n$.
\end{list}

On a donc démontré que, pour tout entier naturel $n$, on a : $0,5 \leqslant  u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 1$.

\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.
Des inégalités $0,5 \leqslant  u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 1$, on peut déduire:

\begin{list}{\textbullet}{}
\item  $u_n \leqslant u_{n+1}$ donc la suite $(u_n)$ est croissante;
\item $u_n\leqslant 1$ donc la suite $(u_n)$ est majorée par 1.
\end{list}

D'après le théorème de la convergence monotone, on peut en déduire que la suite $(u_n)$ est convergente.
		
		
		\item On note $\ell$ la limite de la suite $\left(u_n\right)$. %Déterminer la valeur de $\ell$.
		
Pour tout $n$, on a $f(u_n)= u_{n+1}$. La fonction $f$ étant continue, la limite $\ell$ de la suite $(u_n)$ vérifie donc $f(\ell) = \ell$.

L'équation $f(x)=x$ a pour solution $x=1$ donc on peut dire que $\ell=1$.
		
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

Pour un nombre réel $k$ quelconque, on considère la fonction $f_k$ définie sur $]0~;~+\infty[$ par:
$f_k(x) = kx - x \ln x.$

\begin{enumerate}
\item %Pour tout nombre réel $k$, montrer que $f_k$ admet un maximum $y_k$ atteint en $x_k = \e^{k- 1}$.

On étudie les variations de la fonction $f_k$.

$f'_k(x)=k - \ln x - x\times \dfrac{1}{x}= k-1 -\ln x$

\textbullet~~$f'_k(x) = 0 \iff k-1-\ln x = 0 \iff k-1 = \ln x \iff \e^{k-1}=x$

\textbullet~~$f'_k(x) > 0 \iff k-1-\ln x > 0 \iff k-1 > \ln x \iff \e^{k-1}>x$

Donc $f'_k(x)>0$ si $x<\e^{k-1}$, $f'_k(x)=0$ si $x=\e^{k-1}$ et $f'_k(x)<0$ si $x>\e^{k-1}$.

On en déduit que la fonction $f_k$ admet un maximum $y_k$ atteint pour $x_k=\e^{k-1}$.

\item  %Vérifier que, pour tout nombre réel $k$, on a : $x_k = y_k$.
$x_k = \e^k- 1$ donc 

$y_k=f_k(x_k) = kx_k - x_k \ln x_k
=k \e^{k- 1} -  \e^{k- 1}\ln \e^{k- 1}
= k\e^{k-1} - \e^{k- 1}\left (k-1\right )\\
\phantom{y_k}
=  k\e^{k-1} -  k\e^{k-1} +  \e^{k-1}
=\e^{k-1}
=x_k
$


\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 4 \hfill 7 points\hfill Thèmes : géométrie dans l'espace }

\medskip

Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé \Oijk, on considère:

\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] la droite $\mathcal{D}$ passant par le point A(2~;~4~;~0) et dont un vecteur directeur est $\vect{u}\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}$ ;
\item[$\bullet~~$] la droite $\mathcal{D}'$ dont une représentation paramétrique est : $\left\{\begin{array}{l !{=} l}
x&3\\
y& 3 + t\\
z&3 + t
\end{array}\right. ,\: t \in \R$.
\end{itemize}

%\medskip

\begin{enumerate}
\item 

	\begin{enumerate}
		\item %Donner les coordonnées d'un vecteur directeur $\vect{u'}$ de la droite $\mathcal{D}'$.
La droite $\mathcal{D}'$ a pour vecteur directeur $\vect{u'}$ de  coordonnées 
$\begin{pmatrix}
0\\1\\1
\end{pmatrix}$

		\item Les vecteurs $\vect{u}\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}$ et  $\vect{u'}\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}$ ne sont pas colinéaires, donc les droites $\mathcal{D}$ et $\mathcal{D}'$ ne sont pas parallèles.

		\item La droite $\mathcal{D}$ est l'ensemble des points M$\left (x\,; y\;;z\right )$ tels que $\vectt{AM}$ et $\vect{u}$ soient colinéaires, c'est-à-dire $\vectt{AM}= t.\vect{u}$ avec $t\in\R$, soit:	
$\left\{\begin{array}{l !{=} l}
x-2&t\\
y-4& 2 t\\
z-0&0t
\end{array}\right. ,\: t \in \R$
		
		
La droite $\mathcal{D}$ a pour représentation paramétrique
$\left\{\begin{array}{l !{=} l}
x&2+t\\
y&4+ 2 t\\
z&0
\end{array}\right. ,\: t \in \R$

	\end{enumerate}

\end{enumerate}

On admet dans la suite de cet exercice qu'il existe une unique droite $\Delta$ perpendiculaire aux droites $\mathcal{D}$ et $\mathcal{D}'$. Cette droite $\Delta$ coupe chacune des droites $\mathcal{D}$ et $\mathcal{D}'$. On appellera M le point d'intersection de $\Delta$ et $\mathcal{D}$, et M$'$ le point d'intersection de $\Delta$ et $\mathcal{D}'$.

On se propose de déterminer la distance MM$'$ appelée \og distance entre les droites $\mathcal{D}$ et $\mathcal{D}'$ \fg.

\begin{enumerate}[resume]
\item Soit le vecteur $\vect{v}\begin{pmatrix}2\\- 1\\1\end{pmatrix}$.

\begin{list}{\textbullet}{}
\item $\vect{v}\cdot\vect{u}=2\times 1 + (-1)\times 2 +1\times 0 = 0$ donc $\vect{v}\perp \vect{u}$.
\item $\vect{v}\cdot\vect{u'}=2\times 0 + (-1)\times 1 +1\times 1 = 0$ donc $\vect{v}\perp \vect{u'}$.
\end{list}

Le vecteur $\vect{v}$ est donc orthogonal aux deux vecteurs directeurs de $\mathcal{D}$ et $\mathcal{D}'$, donc c'est un vecteur directeur de leur perpendiculaire commune $\Delta$.

\item On note $\mathcal{P}$ le plan contenant les droites $\mathcal{D}$ et $\Delta$, c'est-à-dire le plan passant par le point A et de vecteurs directeurs $\vect{u}$ et $\vect{v}$.
	\begin{enumerate}
		\item Soit le vecteur $\vect{n}\begin{pmatrix}2\\-1\\-5 \end{pmatrix}$.
		
\begin{list}{\textbullet}{}
\item $\vect{n}\cdot\vect{u}=2\times 1 + (-1)\times 2 +(-5)\times 0 = 0$ donc $\vect{n}\perp \vect{u}$.
\item $\vect{n}\cdot\vect{v}=2\times 2 + (-1)\times (-1) +(-5)\times 1 = 0$ donc $\vect{n}\perp \vect{v}$.
\end{list}		

Le vecteur $\vect{n}$ est donc orthogonal à deux vecteurs directeurs du plan $\mathcal{P}$, donc le vecteur $\vect{n}$ est un vecteur normal au plan $\mathcal{P}$.
		
		\item %En déduire qu'une équation du plan $\mathcal{P}$ est : $2x - y - 5z = 0$.
Le plan $\mathcal{P}$ est le plan ayant $\vect n$ comme vecteur normal et passant par A, donc c'est  l'ensemble des points P$\left (x\,; y\;;z\right )$ tels que 
$\vectt{AP} \perp \vect n$.

$\vectt{AP}$ a pour coordonnées 
$\begin{pmatrix}
x-2\\y-4\\z
\end{pmatrix}$

$\vectt{AP} \perp \vect n
\iff \vectt{AP} \cdot \vect n
\iff (x-2)\times 2 + (y-4)\times (-1) + z\times (-5)=0\\
\phantom{\vectt{AP} \perp \vect n \iff \vectt{AP} \cdot \vect n}
\iff 2x-4-y+4 -5z=0
\iff 2x-y-5z=0$

Donc une équation du plan $\mathcal{P}$ est : $2x - y - 5z = 0$.		
		
		\item On rappelle que M$'$ est le point d'intersection des droites $\Delta$ et $\mathcal{D}'$.
		
%Justifier que M$'$ est également le point d'intersection de $\mathcal{D}'$ et du plan $\mathcal{P}$.

Le plan $\mathcal{P}$ contient la droite $\Delta$ et M$'$ est un point de la droite $\Delta$; donc M$'$ est un point du plan $\mathcal{P}$.
M$'$ appartient à $\mathcal{D}'$ et à $\mathcal{P}$ donc M$'$ est  le point d'intersection de la droite $\mathcal{D}'$ et du plan $\mathcal{P}$.
		
%En déduire que les coordonnées du point M$'$ sont (3~;~ 1~;~ 1).

Les coordonnées $\left (x\,; y\;;z\right )$ de M$'$ vérifient donc le système
$\left \{
\begin{array}{r !{=} l}
x & 3\\
y & 3+t\\
z & 3+t\\
2x-y-5z & 0
\end{array}
\right .$

$2x-y-5z=0$ devient $2\times 3 -(3+t) -5(3+t)=0$ soit $6-3-t-15-5t=0$ ou encore $-12=6t$ ce qui donne $t=-2$.

$x=3$; $y=3+t=3-2=1$ et $z=3+t=1$

Les coordonnées du point M$'$ sont donc (3~;~1~;~1).

	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item La droite $\Delta$ a pour vecteur directeur $\vect v$ et passe par le point M$'$,  donc elle a pour représentation paramétrique:
$\left \{
\begin{array}{r !{=} l}
x & 3+2t'\\
y & 1-t'\\
z & 1+t'
\end{array}
\right . \quad t'\in\R$.		
		
		\item %Justifier que le point M a pour coordonnées (1~;~2~;~0).
Le point M est le point d'intersection de $\mathcal{D}$ et de $\Delta$ donc ses coordonnées $\left (x\,; y\;;z\right )$ sont solutions du système:
$\left \{
\begin{array}{r !{=} l}
x&2+t\\
y&4+ 2 t\\
z&0\\
x & 3+2t'\\
y & 1-t'\\
z & 1+t'
\end{array}
\right . $
		
On a donc 	
$\left \{
\begin{array}{r !{=} l}
2+t & 3+2t'\\
4+2t & 1-t'\\
0 & 1+t'
\end{array}
\right . $
ou encore
$\left \{
\begin{array}{r !{=} l}
t & -1\\
-1 & t'
\end{array}
\right . $

$\left \{
\begin{array}{r !{=} l}
x&2+t\\
y&4+ 2 t\\
z&0
\end{array}
\right . $	
donc
$\left \{
\begin{array}{r !{=} l}
x&1\\
y&2\\
z&0
\end{array}
\right . $

Donc  le point M a pour coordonnées (1~;~2~;~0).

		\item 
$\text{MM}' = \ds\sqrt{(x_{\text{M}'} - x_{\text{M}})^2+(y_{\text{M}'} - y_{\text{M}})^2+ (z_{\text{M}'} - z_{\text{M}})^2}\\
\phantom{\text{MM}'}
=\ds\sqrt{(3-1)^2+(1-2)^2+(1-0)^2}
=\ds\sqrt{4+1+1}
=\ds\sqrt{6}$
	\end{enumerate}
	
\item On considère la droite $d$ de représentation paramétrique 
$\left\{\begin{array}{l !{=} r}
x & 5t\\y & 2 + 5t \\z &1 + t\end{array}\right.$ avec $t \in \R$.
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que la droite $d$ est parallèle au plan $\mathcal{P}$.
On cherche	l'intersection de la droite $d$ et du plan $\mathcal{P}$, et pour cela on résout le système:
$\left\{\begin{array}{r !{=} r}
x & 5t\\y & 2 + 5t \\z &1 + t \\ 2x-y-5z & 0\end{array}\right.$

On a donc $2\times (5t) -(2+5t) -5(1+t)=0$ soit $10t -2-5t-5-5t=0$ ou  $0t=7$.

Le système n'a pas de solution donc la droite $d$ est strictement parallèle à $\mathcal{P}$.
		
		\item On note $\ell$ la distance d'un point N de la droite $d$ au plan $\mathcal{P}$ . 
		
On veut exprimer le volume $V$ du  tétraèdre ANMM$'$ en fonction de $\ell$.

$V = \dfrac13 \times B \times h$ où $B$ désigne l'aire d'une base et $h$ la hauteur relative à cette base.

Les points A, M et M$'$ appartiennent au plan $\mathcal{P}$ donc le triangle AMM$'$ forme une base du tétraèdre dont la hauteur est la distance du point N au plan $\mathcal{P}$, c'est-à-dire $\ell$.

La droite $\Delta$ est la perpendiculaire commune à $\mathcal{D}$ et $\mathcal{D}'$ donc $\mathcal{D}$ est perpendiculaire à $\Delta$.

A appartient à $\mathcal{D}$, M est le point d'intersection de $\mathcal{D}$ et de $\Delta$, M$'$ appartient à $\Delta$, et les droites $\mathcal{D}$ et $\Delta$ sont perpendiculaires. On peut en déduire que le triangle AMM$'$ est rectangle en M.

$\text{AM} = \ds\sqrt{(x_{\text{M}} - x_{\text{A}})^2+(y_{\text{M}} - y_{\text{A}})^2+ (z_{\text{M}} - z_{\text{A}})^2}\\
\phantom{\text{AM}}
= \ds\sqrt{(1-2)^2 + (2-4)^2 + (0-0)^2} = \ds\sqrt{5}$

L'aire de la base, c'est-à-dire AMM$'$ vaut $\dfrac{1}{2}\times\text{AM}\times \text{MM}' = \dfrac{\sqrt{5}\times \sqrt{6}}{2}=\dfrac{\sqrt{30}}{2}$.

Le volume du tétraèdre vaut donc $\dfrac{1}{3}\times \dfrac{\sqrt{30}}{2}\times \ell = \dfrac{\ell\sqrt{30}}{6}$.

		\item N$_1$ et N$_2$ sont deux points quelconques de la droite $d$.%, 
		
La droite $d$ est strictement parallèle au plan $\mathcal{P}$ donc les distances de N$_1$ et N$_2$ au plan $\mathcal{P}$ sont égales.

Les bases des  tétraèdres AN$_1$MM$'$ et AN$_2$MM$'$ sont identiques (le triangle AMM$'$).

Donc les tétraèdres AN$_1$MM$'$ et AN$_2$MM$'$ ont le même volume.
		
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}