\documentclass[a4paper,11pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{geometry}
\geometry{ hmargin=2cm, vmargin=2cm }

\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage{graphics,graphicx}
% Définit un environnement exercice avec un compteur
% usage :
% \begin{exercice}
%\end{exercice}
\newcounter{num}
\renewcommand{\thenum}{\Roman{num}}
\newcommand{\exo}{\addtocounter{num}{1}{\noindent \textbf{Exercice~\thenum~:}}}
\newenvironment{exercice}{\exo}{\vskip 0.5cm}

%Définit un environnement questionnaire utilisé avec le package tex4ht pour faire des qcm interactifs
%les mêmes commandes permettent de faire un qcm interactif ou bien un qcm papier.
%usage:
%\begin{questionnaire}
%\end{questionnaire}
\newcounter{numquestion}
\addtocounter{numquestion}{1}
\newenvironment{questionnaire}{\textit{A chaque question est affecté un certain nombre de points. Pour chaque question, une réponse exacte rapporte le nombre de points affectés ; une réponse inexacte enlève la
 moitié du nombre de points affectés. Le candidat peut décider de ne pas répondre à
 certaines de ces questions. Ces questions ne rapportent aucun point et n'en enlèvent
 aucun. Si le total est négatif, la note est ramenée à} 0.
}{}
\newenvironment{question}{{\noindent}{\thenumquestion.~~}}{\addtocounter{numquestion}{1}} 
\newenvironment{choix}[1]{\indent ${\huge \Box}$}{\quad}

% en paramètre on mettra 1 si la reponse est vraie, sinon -1 
\newcommand{\vrai}[1]{\indent ${\huge \Box}$ {\quad} Vrai}
\newcommand{\faux}[1]{\indent ${\huge \Box}$ {\quad} Faux}

%Raccourci maths

%Ensembles R, C, N et D
%usage: $\R$
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}

% Pour avoir un vecteur
% usage \V{AB}
\newcommand{\V}{\overrightarrow}
% usage \vect{AB}
\newcommand{\vect}{\overrightarrow}

% Repère (O,i,j)
%usage : $\RE$ 
\newcommand{\RE}{(O;\V{i},\V{j})}
%usage \Oij
\newcommand{\Oij}{$(O;\V{i},\V{j})$}
% Repère (O;u,v)
\newcommand{\RC}{(O;\V{u},\V{v})}
\newcommand{\Ouv}{$(O;\V{u},\V{v})$}
% un autre repère (O;i,j)
\newcommand{\REP}{\mbox{$\left(O,\vec{\imath},\vec{\jmath}\right)$}}
% un autre repère (O;u,v)
\newcommand{\REPB}{\mbox{$\left(O,\vec{u},\vec{v}\right)$}}

% Repère (O,i,j,k)
%usage : $\RES$ 
\newcommand{\RES}{(O;\V{i},\V{j},\V{k})}
%usage \Oijk
\newcommand{\Oijk}{$(O;\V{i},\V{j},\V{k})$}

% debut du document 
\begin{document}
\begin{center}
Correction Liban Mai 2006
\end{center}
 \begin{exercice}
\begin{enumerate}
\item Les vecteurs $\V{AB}$ et $\V{AC}$ ont pour coordonnées respectives $\left(-5~;~-2~;~4\right)$ et  $\left(1~;~1~;~1\right)$.\\
Or il n'existe pas de réél $k$ tel que $\V{AB}=k\V{AC}$, donc les vecteurs $\V{AB}$ et $\V{AC}$ ne sont pas colinéaires et les points A, B et C ne sont pas alignés, ils forment donc le plan (ABC).
\item \begin{enumerate}
	\item La droite (d) admet pour vecteur directeur $\V{u}$ de coordonnées $\left(2~;~-3~;~1\right)$ (les coefficients de $t$ dans son équation paramétrique voir son cours).\\
	Or $$\V{u}\cdot\V{AB}=2\times(-5)+(-3)\times(-2)+1\times4=-10+6+4=0$$ et $$\V{u}\cdot\V{AC}=2\times1+(-3)\times1+1\times1=2-3+4=0$$
	Donc la droite (d) est orthogonale à deux droites sécantes du plan (ABC), les droites (AB) et (AC), ainsi (d) est perpendiculaire au plan (ABC) et un vecteur normal au plan (ABC) est $\V{u}$.
	\item Donc (ABC) a pour équation: $2x-3y+z+d=0$.\\
	Mais comme A appartient à (ABC), on a: $2\times2-3\times1+3\times1+d=0 \Leftrightarrow d=-4$.\\
	Donc le plan (ABC) a pour équation cartésiennne: $$2x-3y+z-4=0$$
      \end{enumerate}
\item Appelons G le barycentre de (A;-2), (B;-1) et (C;2), alors G appartient au plan (ABC) (cf cours).\\
Montrons que G appartient à la droite (d). Pour cela, calculons les coordonnées de G:
\begin{eqnarray*}
x_G=\frac{-2\times2+(-1)\times(-3)+2\times3}{-2-1+2}=-5\\
y_G=\frac{-2\times1+(-1)\times(-1)+2\times2}{-2-1+2}=-3\\
z_G=\frac{-2\times3+(-1)\times7+2\times4}{-2-1+2}=5
\end{eqnarray*}
Déterminons, s'il existe un réel $t$ vérifiant:
$$
\left\lbrace\begin{array}{l}
-5=-7+2t\\
-3=-3t\\
5=4+t
\end{array}
\right.
\Leftrightarrow t=1
$$
Ainsi G appartient à la droite (d), mais aussi au plan (ABC) donc (comme (d) est perpendiculaire à (ABC) il ne peut y avoir qu'un point d'intersection), le point d'intersection de (ABC) avec (d) est le  barycentre de (A;-2), (B;-1) et (C;2), c'est à dire H.
\item Comme $\left(-2\V{MA}-\V{MB}+2\V{MC}\right)\cdot \left(\V{MB}-\V{MC}\right)=0\Leftrightarrow -\V{MH}\cdot\left(\V{MB}-\V{MC}\right)=0$, alors l'ensemble $\Gamma_1$ des points M de l'espace vérifiant $\left(-2\V{MA}-\V{MB}+2\V{MC}\right)\cdot \left(\V{MB}-\V{MC}\right)=0$ est le plan de vecteur normal $\V{BC}$ passant par H.
\item Comme $\|-2\V{MA}-\V{MB}+2\V{MC}\|=\sqrt{29} \Leftrightarrow \|-\V{MH}\|=\sqrt{29}$, alors l'ensemble $\Gamma_2$ des points M de l'espace vérifiant $\|-2\V{MA}-\V{MB}+2\V{MC}\|=\sqrt{29}$ est la sphère de centre H et de rayon $\sqrt{29}$.
\item Comme la sphère est de centre H et le plan passant par H, alors l'intersection de $\Gamma_1$ et $\Gamma_2$ est le cercle de centre H et de rayon $\sqrt{29}$.
\item Comme les vecteurs $\V{SH}$ et $\V{CB}$ ont pour coordonnées respectives $\left(3~;~-4~;~2\right)$ et $\left(-6~;~-3~;~3\right)$, donc $$\V{SH}\cdot\V{CB}=-18+12+6=0$$
Ainsi S appartient à $\Gamma_1$.\\

Et $$\|\V{SH}\|=\sqrt{9+16+4}=\sqrt{29}$$
Donc  S appartient aussi à  $\Gamma_2$, donc  S appartient  à l'intersection de $\Gamma_1$ et $\Gamma_2$.
\end{enumerate}
 \end{exercice}

 \begin{exercice}
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
	\item Comme B$_1$ est l'image de B, d'affixe 2, par l'homothétie de centre A, d'affixe i, et de rapport $\sqrt{2}$, alors son affixe est:
	$$\sqrt{2}(2-\text{i})+\text{i}=2\sqrt{2}+\text{i}(1-\sqrt{2})$$
	\item Comme B' est l'image de B$_1$ par la rotation de centre A et d'angle $\frac{\pi}4$, alors son affixe est:
	\begin{eqnarray*}
	\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}4}(2\sqrt{2}+\text{i}(1-\sqrt{2})-\text{i})+\text{i}&=&\frac{\sqrt{2}}2\left(1+\text{i}\right)\left(2\sqrt{2}-\text{i}\sqrt{2}\right)+\text{i}\\
	&=&\frac{2}2\left(1+\text{i}\right)\left(2-\text{i}\right)+\text{i}\\
	&=&3+2\text{i}
	\end{eqnarray*}
      \end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
	\item L'image de B par la transformation $f$ du plan dans lui-même qui, à tout point M d'affixe $z$ associe le point M' d'affixe $z'=(1+\text{i})z+1$ a pour affixe:
	$$(1+\text{i})\times2+1=3+2\text{i}$$
	Donc l'image de B est bien B'.
	\item Un point M d'affixe $z$ est invariant par $f$ si et seulement si:
	\begin{eqnarray*}
	z'=z &\Leftrightarrow& (1+\text{i})z+1=z\\
	&\Leftrightarrow& \text{i}z=-1\\
	&\Leftrightarrow& z=-\frac1{\text{i}}=\text{i}
	\end{eqnarray*}
	Donc le point A est le seul point invariant par $f$.
	\item Pour tout nombre complexe distinct de $\text{i}$, 
	\begin{eqnarray*}
	\frac{z'-z}{\text{i}-z}&=&\frac{(1+\text{i})z+1-z}{\text{i}-z}\\
	&=&\frac{\text{i}z-1}{\text{i}-z}\\
	&=&\frac{-\text{i}\left(\text{i}-z\right)}{\text{i}-z}=-\text{i}
	\end{eqnarray*}
	Or $$\frac{\text{MM}'}{\text{MA}}=\left|\frac{z'-z}{\text{i}-z}\right|=|-\text{i}|=1 \Leftrightarrow \text{MM}'=\text{MA}$$
	Donc M' appartient au cercle de centre M et de rayon AM.\\
	
	De plus, $$\left(\V{MA};\V{MM'}\right)=arg\left(\frac{z'-z}{\text{i}-z}\right)=arg(-\text{i})=-\frac{\pi}2$$
		
	Ainsi M' est le point du cercle de centre M et de rayon AM tel que: $\left(\V{MA};\V{MM'}\right)=-\dfrac{\pi}2$.
      \end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
	\item Comme $|z-2|=\sqrt{2} \Leftrightarrow \text{BM}=\sqrt{2}$, alors l'ensemble $\Sigma_1$ des points M d'affixe $z$ vérifiant $|z-2|=\sqrt{2}$ est le cercle de centre B et de rayon $\sqrt{2}$.
	\item De plus, $$z'-3-2\text{i}=(1+\text{i})z+1-3-2\text{i}=(1+\text{i})z+1-2(1+\text{i})=(1+\text{i})(z-2)$$
	D'où: $$|z'-3-2\text{i}|=|(1+\text{i})(z-2)|=|1+\text{i}||z-2|=\sqrt{2}|z-2|$$
	Donc si M appartient à $\Sigma_1$, $|z-2|=\sqrt{2}$ et $$|z'-3-2\text{i}|=\sqrt{2} \times \sqrt{2}=2 \Leftrightarrow \text{M}'\text{B}'=2$$
	Donc si M appartient à $\Sigma_1$, alors M' appartient au cercle de centre B' et de rayon 2.
	\item Figure de l'exercice \\
	%figure réalisée avec geogebra
	\vspace{0.5cm}
	\includegraphics[scale=0.75]{FigEx2.eps}
      \end{enumerate}
\end{enumerate}
 
 \end{exercice}
\begin{exercice}
\textbf{Partie A:}\\
Soit $f$ la fonction définie sur $[0;+\infty[$ par $f(x)=x\ln(x+1)$
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
	\item $f$ est dérivable sur $[0;+\infty[$, et $$f'(x)=\ln(x+1)+\frac{x}{x+1}$$
      Mais sur $[0;+\infty[$, $\ln(x+1) \geqslant 0$ et $\frac{x}{x+1} \geqslant 0$, donc $f'(x) \geqslant 0$.\\
Ainsi $f$ est croissante sur $[0;+\infty[$.
	\item Comme $f'(0)=0$ et $f(0)=0$, alors la tangente au point d'abscisse 0 est $y=0$, c'est à dire l'axe des abscisses.
	\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
	\item Déterminons les réels $a$, $b$ et $c$ tels que pour tout réel $x \neq -1$:
	\begin{eqnarray*}
	\frac{x^2}{x+1}=ax+b+\frac{c}{x+1} &\Leftrightarrow & x^2=(ax+b)(x+1)+c\\
	&\Leftrightarrow & x^2=ax^2+(a+b)x+b+c
	\end{eqnarray*}
	Donc 
	$\left\lbrace 
	\begin{array}{l}
	a=1\\
	a+b=0\\
	b+c=0
	\end{array}
	\right.
	\Leftrightarrow
	\left\lbrace 
	\begin{array}{l}
	a=1\\
	b=-1\\
	c=1
	\end{array}
	\right.$\\
	
	
	Ainsi pour tout réel $x \neq -1$:
	$$\frac{x^2}{x+1}=x-1+\frac{1}{x+1} $$
	\item Ainsi 
	\begin{eqnarray*}
	I=\int_0^1 \frac{x^2}{x+1} \:\text{d}x&=&\int_0^1 \left(x-1+\frac{1}{x+1}\right) \:\text{d}x\\
	&=&\left[\frac12 x^2-x+\ln(x+1)\right]_0^1\\
	&=&\frac12 -1+\ln(1+1)=-\frac12+\ln2
	\end{eqnarray*}
      \end{enumerate}
\item Or sur $[0;+\infty[$, $x\geqslant 0$ et $\ln(x+1) \geqslant 0$, alors $f$ est positive sur $[0;+\infty[$, donc l'aire $\mathcal{A}$ de la partie du plan limitée par la courbe $(\mathcal{C})$ et les droites $x=0$, $x=1$ et $y=0$ est:
$$\mathcal{A}=\int_0^1 f(x) \:\text{d}x$$
Intégrons par parties:
$$\begin{array}{ll}
u'=x & u=\frac12 x^2\\
v=\ln(x+1) & v'=\frac1{x+1}
\end{array}
$$
Donc
\begin{eqnarray*}
 \mathcal{A}&=& \left[\frac12 x^2\ln(x+1)\right]_0^1-\int_0^1\frac12 \frac{x^2}{x+1}\:\text{d}x\\
 &=&\left[\frac12 x^2\ln(x+1)\right]_0^1-\frac12 \text{I}\\
 &=&\frac12 \ln2- \frac12 \left(-\frac12+\ln2\right)=\frac14
\end{eqnarray*}
\item Comme $f$ est continue et strictement croissante sur [0;1] à valeurs dans $[f(0);f(1)]=[0;\ln2\approx 0,6]$, alors l'équation $f(x)=0,25$ admet une unique solution $\alpha$ sur [0;1] de valeur approchée 
\end{enumerate}

\textbf{Partie B:}\\
Soit la suite $(u_n)$ définie par $u_n=\int_0^1x^n\ln(x+1) \:\text{d}x$.
\begin{enumerate}
\item \begin{eqnarray*}
u_{n+1}-u_n&=&\int_0^1x^{n+1}\ln(x+1) \:\text{d}x-\int_0^1x^n\ln(x+1) \:\text{d}x\\
&=&\int_0^1 \left(x^{n+1}\ln(x+1) -\int_0^1x^n\ln(x+1)\right) \:\text{d}x\\
&=&\int_0^1 \left(x^{n}(x-1)\ln(x+1)\right) \:\text{d}x
      \end{eqnarray*}
Mais sur [0;1], $x^n \geqslant 0$, $x-1\leqslant 0$ et $\ln(x+1) \geqslant 0$, donc $x^{n}(x-1)\ln(x+1) \leqslant 0$.\\
Donc $$\int_0^1 \left(x^{n}(x-1)\ln(x+1) \right)\:\text{d}x \leqslant 0 \Leftrightarrow u_{n+1}-u_n \leqslant 0$$
Ainsi la suite $u$ est décroissante, comme de plus,  $u$ est minorée par 0 alors la suite $u$ converge.
\item Sur [0;1], $0 \leqslant \ln(x+1) \leqslant \ln2$ puisque la fonction $\ln$ est croissante.\\
Donc sur [0;1], 

\begin{eqnarray*}
0 \leqslant x^n\ln(x+1) \leqslant x^n\ln2 &\Leftrightarrow& 0 \leqslant \int_0^1x^n\ln(x+1) \:\text{d}x \leqslant \int_0^1x^n\ln(2) \:\text{d}x\\
&\Leftrightarrow& 0 \leqslant  u_n \leqslant \left[\frac1{n+1}x^{n+1}\ln2\right]_0^1\\
&\Leftrightarrow& 0 \leqslant  u_n \leqslant \frac1{n+1}\ln2
\end{eqnarray*}
Or, $\displaystyle \lim_{n\to+\infty}\frac1{n+1}=0$, donc (théorème des gendarmes), $\displaystyle \lim_{n\to+\infty}u_n=0$.
\end{enumerate}
\end{exercice}
 \begin{exercice}
La probabilité qu'un robot tombe en panne avant l'instant $t$ est:
 $$p(X\leqslant t)=\int_0^t \lambda \text{e}^{-\lambda x} \:\text{d}x=1-\text{e}^{-\lambda t}$$
 \begin{enumerate}
 \item \begin{eqnarray*}
 p(X>6) =0,3 &\Leftrightarrow& 1-p(X\leqslant6)=0,3\\
 &\Leftrightarrow& 1-\left(1-\text{e}^{-6\lambda } \right)=0,3\\
 &\Leftrightarrow& \text{e}^{-6\lambda } =0,3\\
 &\Leftrightarrow& -6\lambda  = \ln 0,3\\
 &\Leftrightarrow& \lambda  =- \frac{\ln 0,3}{6}
       \end{eqnarray*}
 \item L'instant $t$ pour lequel la probabilité qu'un robot tombe en panne pour la première fois soit de 0,5 vérifie:
 \begin{eqnarray*}
 p(X\leqslant t)=0,5 &\Leftrightarrow & 1-\text{e}^{-\lambda t}=0,5\\
 &\Leftrightarrow & \text{e}^{-\lambda t}=0,5\\
 &\Leftrightarrow & -\lambda t=\ln 0,5\\
 &\Leftrightarrow& t  =- \frac{\ln 0,5}{\lambda}\approx 3,5 \text{ ans}
 \end{eqnarray*}
 \item La probabilité que le robot n'ait pas de panne au cours des deux premières années est:
 $$p(X \geqslant 2)=1-p(X\leqslant 2)=\text{e}^{-2\lambda }=\text{e}^{-0,4}$$
 \item Sachant qu'un robot n'a  pas eu de panne au cours des deux premières années, la probabilité qu'il soit encore en état de marche au bout de six ans est:
 $$p(X\geqslant 6/X \geqslant 2)=p(X\geqslant 4)=\text{e}^{-0,8}$$
 \item Dans un lot de 10 robots fonctionnant de manière indépendante et donc des durées de vie indépendantes, la probabilité qu'au moins un robot n'ait pas eu de panne au cours des deux premières années est, en passant par l'événement contraire:
 $$1-\left(1-\text{e}^{-0,4} \right)^{10}$$
 \end{enumerate}
 
 \end{exercice}
\end{document} 