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%Tapuscrit : Denis Vergès
%Relecture : 
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du brevet des collèges}
\lfoot{\small{Sujet 0 2026}}
\rfoot{\small{Sujet B}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du brevet des collèges 0 Sujet B pour 2026
 ~\decofourright}}

\bigskip

\textbf{Durée : 2 heures}

\end{center}

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|c|X|}\hline
Partie 1 — automatismes &6 points\\ \hline
20 min (\textbf{calculatrice interdite})& \\ \hline
Partie 2 — raisonnement et résolution de problèmes& 14 points\\ \hline
1 h 40 (\textbf{calculatrice autorisée})&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Partie 1 - Automatismes - 6 points - 20 minutes}


%\medskip
%
%\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|X|}\hline
%\textbf{Pour chaque question, recopier sur la copie son numéro et la réponse
%correspondante.}\\
%\textbf{Pour cette partie, aucune justification n’est demandée.}\\
%\textbf{Pour les questions a choix multiple, une seule réponse est exacte.}\\ \hline
%\end{tabularx}
%\end{center}

\medskip

\textbf{Question 1}

%Quelle est la mesure, en degrés, d’un angle droit ?
90~degrés

\medskip

\textbf{Question 2}

%Voici une série de quatre notes : 8~;~10~;~11~;~11. 

%Quelle est la moyenne de cette série ?
%
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
%\textbf{A.~~}9,5 &\textbf{B.~~}10 &\textbf{C.~~}10,5 &\textbf{D.~~}11
%\end{tabularx}
%\end{center}
%\medskip
La moyenne est égale à $\dfrac{8 + 10 + 11 + 11}{4} = \dfrac{40}{4} = 10$ : réponse B.
\medskip

\textbf{Question 3}

%Dans un collège de 800 élèves, 25\,\% des élèves portent des lunettes.
%
%Combien d’élèves portent des lunettes ?

25\,\% des 800 élèves représente $\dfrac{25}{100} \times 800 = \dfrac{25 \times 800}{100} = 25 \times 8 = 200$~(élèves).

\emph{Remarque } : $\dfrac{25}{100} = \dfrac{25 \times 1}{4 \times 25} = \dfrac14$ : c'est le quart, soit la moitié de la moitié : on part de 800 et on divise deux fois par 2 : $800 \longmapsto 400 \longmapsto 200$.

\medskip

\textbf{Question 4}

%Le graphique ci-dessous donne l’évolution de la température (en degrés Celsius) en fonction de l’horaire (en heures).
%
%\begin{center}
%\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.125cm}
%\begin{pspicture}(-2,-5)(18,35)
%\multido{\n=0+2}{10}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,0)(\n,35)}
%\multido{\n=0+5}{8}{\psline[linewidth=0.2pt](0,\n)(18,\n)}
%\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=2,Dy=5,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(0,0)(18,35)
%\psdots[dotscale=1.5](8,15)(12,27)(16,30)
%\psline(8,15)(12,27)(16,30)
%\uput[d](9,-3){Horaire (en heures)}
%\rput{90}(-2,17.5){Température (en \degres C)}
%\end{pspicture}
%\end{center}

%Entre 8~h et 16~h, de combien de degrés la température a-t-elle augmenté ?
La température est passée de $15\degres$ à $30\degres$ soit une élévation de température de $15\degres$.

\medskip

\textbf{Question 5}

%Une voiture roule à 90~km/h. Combien de temps met-elle pour parcourir 45~km ?~
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
%\textbf{A.~~}15 min &\textbf{B.~~}30 min &\textbf{C.~~}45~min &\textbf{D.~~}1~h
%\end{tabularx}
%\end{center}
La voiture parcourt 90 km en 1 heure, donc 45 km en 0,5~h = 30~min
\medskip

%\begin{minipage}{0.65\linewidth}
\textbf{Question 6}

%Donner le périmètre du losange ABCD représenté ci- contre.
%\end{minipage}\hfill
%\begin{minipage}{0.32\linewidth}
%\psset{unit=1cm}
%\begin{pspicture}(-2.5,-2.2)(2.5,2.2)
%\uput[l](-2.3,0){A} \uput[u](0,2){D} \uput[r](2.3,0){C} \uput[d](0,-2){B} \uput[ul](-1.15,1){3 cm} 
%\pspolygon(-2.3,0)(0,2)(2.3,0)(0,-2)%ABCD
%\end{pspicture}
%\end{minipage}
Le losange a ses quatre côtés de même longueur ; son périmètre est égal à $4 \times 3 = 12$~(cm).

\medskip

\textbf{Question 7} (1 point)

%Pour résoudre l’équation $4x - 3 = 20$, on effectue le calcul :
%
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
%\textbf{A.~~}$x = \dfrac{20}{4} + 3$ &\textbf{B.~~}$x = (20 - 4) + 3$ &\textbf{C.~~}$x = 20 \times 4 + 3$ &\textbf{D.~~}$x = \dfrac{20 + 3}{4}$
%\end{tabularx}
%\end{center}
Pour résoudre l'équation $4x - 3 = 20$, on ajoute 3 à chaque membre :

\[4x = 20 + 3\]

4 est un facteur : on le neutralise pae son inverse $\dfrac14$ :

\[\dfrac14 \times 4x = \dfrac14\left(20 + 3\right) \:\text{ou } \: x  = \dfrac{(20 + 3)}{4}.\]

Réponse D

\medskip

\textbf{Question 8} (1 point)

%\begin{minipage}{0.55\linewidth}
%Sur la figure ci-contre, les droites (DE) et (AC) sont parallèles.
%
%Écrire une égalité de rapports permettant de déterminer la longueur AB.
%
%\end{minipage}\hfill
%\begin{minipage}{0.4\linewidth}
%\psset{unit=1cm}
%\begin{pspicture}(5.4,4)
%\pspolygon(0.3,0.1)(4.7,0.6)(0.4,3.4)%ACB
%\psline(0.35,1.2)(3.37,1.5)%DE
%\uput[dl](0.3,0.1){A}  \uput[r](4.7,0.6){C}\uput[ul](0.4,3.4){B}
%\uput[l](0.35,1.2){D}\uput[ur](3.37,1.5){E}
%\uput[d](2.5,0.35){6}\uput[d](1.86,1.35){4}\uput[ur](1.88,2.45){4,5}
%\uput[l](0.375,2.3){3}
%\end{pspicture}
%\end{minipage}
%\medskip
$\bullet~$Les points B, D et A sont alignés dans cet ordre ;

$\bullet~$Les points B, E et C sont alignés dans cet ordre ;

$\bullet~$les droites (DE) et (AC) sont parallèles.

On a donc une configuration de Thalès et les mesures des côtés des triangles BAC et BDE sont proportionnelles : 

en particulier $\dfrac{\text{BA}}{\text{BD}} = \dfrac{\text{AC}}{\text{DE}}$, soit 
$\dfrac{\text{BA}}{3} = \dfrac{6}{4}$ ; on en déduit en multipliant chaque membre par 3 : BA $= 3 \times \dfrac64 = \dfrac{3 \times 2 \times 3}{2 \times 2} = \dfrac92 = 4,5$.

\medskip

\textbf{Question 9} (1 point)

On obtient successivement : $1 \longmapsto 1 \times 8 = 8 \longmapsto 8 + 10 = 18 \longmapsto \dfrac{18}{2} = 9$.

%\medskip
%
%\begin{center}{\textbf{Restitution de la copie du candidat à l’issue de la partie 1}}
%\end{center}

\bigskip

\begin{center}

\textbf{Partie 2 — Raisonnement et résolution de problèmes — 14 points — 1 h 40}
\end{center}

\medskip

%\begin{tabular}{|p{14cm}|}\hline
%\textbf{Dans cette partie, toutes les réponses doivent être justifiées, sauf si une indication
%contraire est donnée.}\\
%\textbf{La clarté et la précision des raisonnements ainsi que la rédaction sont évaluées sur
%2 points.}\\
%\textbf{Pour chaque question, si le travail n’est pas terminé, laisser tout de même une trace de la
%recherche ; les essais et les démarches engagées, même non aboutis, seront pris en
%compte dans la notation.}\\ \hline
%\end{tabular}
%
%\medskip

\textbf{Exercice 1 : \hfill 3 points}

\medskip

%\begin{minipage}{0.5\linewidth}
%Sur la figure ci-contre, les points B, A et D sont alignés. 
%
%Les droites (BA) et (EC) sont parallèles.

\begin{enumerate}
\item %Rappeler la propriété de la somme des angles d’un triangle, puis calculer la mesure de l’angle
%$\widehat{\text{ACB}}$ repéré par la lettre $x$.
Dans tout triangle la somme des mesures en degrés des trois angles est égale à 180.

Donc dans le triangle ABC on a $36 + 108 + x = 180$, ou $144 + x = 180$ et $x = 180 - 144 = 36.(\degres)$.

\emph{Remarque }: on voit tout de suite que le triangle ABC est isocèle en A.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Que peut-on dire des droites (AB) et (EB) ? 

%\textbf{Justifier la réponse.}

		\item %En déduire la mesure de l’angle
%$\widehat{\text{CBE}}$ repéré par la lettre $y$.
Les droites (BA) et (EC) sont parallèles et les droites (EB) et (EC) sont perpendiculaires : si deux droites sont parallèles toute perpendiculaire à l'une est perpendiculaire à l'autre : l'angle $\widehat{\text{ABE}}$ est donc droit, de mesure $90~\degres$, donc finalement :

$y = \widehat{\text{CBE}} = 90 - 36 = 54(\degres)$
	\end{enumerate}
\item %On s’intéresse à l’angle $\widehat{\text{ADC}}$ repéré par la lettre $z$.

%\textbf{Déterminer la mesure de cet angle en expliquant chaque étape de la démarche.}
$\bullet~$$\widehat{\text{DAC}}$ est le supplément (à $180\degres$) de l'angle $\widehat{\text{BAC}}$ car B, A et D sont alignés donc $\widehat{\text{BAD}}$ est un angle plat de mesure $180\degres$.

On a donc $\widehat{\text{CAD}} = 180 - 108 = 72(\degres)$.

$\bullet~$On repère sur la figure le codage DA = DC ; le triangle ACD est donc isocèle en D et $\widehat{\text{CAD}} = \widehat{\text{DAC}} = 72\degres$.

Enfin dans le triangle DAC, $z$ est le supplément à 180 des deux angles à la base qui mesurent chacun 72\degres :

$z = 180 - (72 + 72) = 180 - 144 = 36(\degres)$

\emph{Remarque} : le triangle BCD est isocèle en C !
\end{enumerate}
%\end{minipage}\hfill
%\begin{minipage}{0.46\linewidth}
%\psset{unit=0.9cm}
%\begin{pspicture}(7.7,6.6)
%\def\dblv{\psline(-0.05,0.1)(-0.05,-0.1)\psline(0.05,0.1)(0.05,-0.1)}
%%\psgrid
%\pspolygon(0.1,2.75)(1.1,0.2)(4.8,1.6)(7.2,5.8)%BECD
%%\psarc(7.2,5.8){4.8}{187}{250}
%\psline(2.8,3.92)(4.8,1.6)(0.1,2.75)%ACB
%\uput[l](0.1,2.75){B} \uput[dl](1.1,0.2){E} \uput[dr](4.8,1.6){C} \uput[ur](7.2,5.8){D} \uput[ul]
%(2.8,3.92){A} 
%\rput{26}(5,4.86){\dblv}\rput{64}(6,3.7){\dblv}
%\psarc(0.1,2.75){0.4}{-11}{26}\psarc(0.1,2.75){0.6}{-67}{-12}
%\psarc(2.8,3.92){0.5}{201}{310}\psarc(4.8,1.6){0.5}{127}{164}
%\psarc(7.2,5.8){0.6}{201}{240}
%\rput(2.5,3.2){$108\degres$}\rput(0.9,2.8){$36\degres$}
%\rput{20}(1.1,0.2){\psframe(0.25,0.25)}\rput(0.8,2.1){$y$}\rput(4.1,2){$x$}
%\rput(6.5,5.2){$z$}
%\end{pspicture}
%\end{minipage}

\bigskip

\textbf{Exercice 2 : \hfill 2 points}

\medskip

%Une urne contient 21 jetons numérotés de 1 
%à 21 indiscernables au toucher.
%
%On tire un jeton au hasard.

\begin{enumerate}
\item %On note $A$ l’évènement \og obtenir 2, 3 ou 10 \fg.
Il y a trois chances de succès sur 21 sorties différentes, donc $p(A) = \dfrac{3}{21} = \dfrac{3 \times 1}{3 \times 7} = \dfrac17$.

%Calculer la probabilité de l’évènement $A$.

%On donnera le résultat sous forme de fraction irréductible.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %On note $B$ l’évènement \og obtenir un jeton dont le numéro est un diviseur de 24 \fg. 

%Donner les issues de l’évènement $B$.
On a $24 = 1\times 24 = 2 \times 12 = 3 \times 8 = 4 \times 6$.

Les diviseurs de 24 sont donc dans l'ordre croissant : 1~;~2~;~3~;~4~;~6~;~8~;~12~;~24.

Les jetons de l'unité qui portent un nombre diviseur de 24 sont donc :

1~;~2~;~3~;~4~;~6~;~8~;~12
		\item %Déterminer la probabilité de l’évènement $B$.
		Il y a ici 7 possibilités de gagner, donc $p(B) = \dfrac{7}{21} = \dfrac{7 \times 1}{7 \times 3} = \dfrac13$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3 : \hfill 4,5 points}

\medskip

%Un paquet de lessive vide pèse 200~g. On y verse de la lessive.
%
%On sait que 1~cm$^3$ de lessive pèse 1,5~g.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Quelle est la masse totale d’un paquet de lessive (masse de la lessive et masse du paquet vide) contenant \np{600}~ cm$^3$ de lessive ?
On passe d'un volume de lessive en cm$^3$ à son poids en grammes en multipliant par 1,5, donc 600~cm$^3$ de lessive ont une masse de $600 \times 1,5 = 900$~(g).

En ajoutant la masse du paquet vide on arrive à une masse de $900 + 200 = \np{1100}$~(g) ou 1,1~(kg).
\item %On considère la fonction $f$ qui à $x$ associe $1,5x + 200$.
	\begin{enumerate}
		\item %Lorsque $x$ représente le volume de lessive en cm$^3$, que représente la valeur $f(x)$ ?
On a vu que le produit par 1,5 fait passer de u volume de lessive à sa masse ; ensuite l'ajout de 200 correspond au poids du paquet vide ; donc $f(x) = 1,5x + 200$ représente la masse d'un paquet de lessive contenant $x$ cm$^3$ de lessive.
		\item ~%Représenter graphiquement la fonction $f$ dans un repère orthogonal.

%On placera l’origine du repère en bas à gauche sur une feuille de papier millimétré. Sur l’axe des abscisses on prendra 1 cm pour 200~cm$^3$ et sur l’axe des ordonnées 1~cm pour $200$~g.
\begin{center}
\psset{unit=0.005cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture*}(-250,-150)(2000,2850)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=200,Dy=200]{->}(0,0)(0,0)(2000,2800)
\multido{\n=0+200}{11}{\psline[linewidth=0.25pt](\n,0)(\n,2800)}
\multido{\n=0+200}{16}{\psline[linewidth=0.25pt](0,\n)(2000,\n)}
%\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=0](0,0)(2000,2000)
%\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0}{2000}{x 1.5 mul 2 add 100 mul}
\psline[linewidth=1.25pt,linecolor=red](0,200)(1733.33,2800)
\psline[linewidth=1.25pt,ArrowInside=->](0,2300)(1400,2300)(1400,0)
\uput[d](1400,16){\red \np{1400}}
\uput[l](-35,2300){\blue \np{2300}}
\uput[u](1600,0){volume de lessive (cm$^3$)}
\uput[r](0,2750){masse de la lessive (g)}
\end{pspicture*}
\end{center}

	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item %En laissant les traits de construction apparents, trouver, par lecture graphique, le volume de lessive contenu dans un paquet de lessive de \np{2300}~g.
		\item %Retrouver ce résultat par le calcul.
Il faut trouver le volume $x$ tel que $f(x) = 1,5x + 200 = \np{2300}$ soit en ajoutant $- 200$ à chaque membre :

$1,5x = \np{2100}$ \quad et enfin $x = \dfrac{\np{2100}}{1,5} = \np{1400}$~(g) ou encore 1,4 kg de lessive.
		\item %Un paquet de lessive en forme de pavé de largeur 12~cm, de profondeur 8~cm et de
%hauteur 15~cm peut-il contenir un tel volume ? 

%\textbf{Argumenter la réponse en précisant la démarche.}
Le volume d'un pavé s'obtient en calculant le produit des trois nombres correspondant à la longueur, la largeur et la hauteur, ici :

$V = 12 \times 8 \times15 = 96 \times 15 = \np{1440}$~(cm$^3$).

Comme $\np{1440} > \np{1400}$ ce paquet pourra contenir la lessive.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 4 : \hfill 2,5 points}

\medskip

%Dans un collège, 91 filles et 77 garçons participent à un club sciences.
%
%On souhaite former des groupes, de sorte que chaque groupe ait le même nombre de filles et le même nombre de garçons.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Décomposer 91 et 77 en produit de facteurs premiers.
$91 = 7 \times 13$ ;

$77 = 7 \times 11$
\item %En déduire combien de groupes au maximum on peut former.

%\textbf{Argumenter la réponse en précisant la démarche.}
Les deux nombres sont des multiples de 7 ; on pourra constituer 7 groupes au maximum.
\item %Dans ce cas combien d’élèves y aura-t-il dans chaque groupe?
Chacun des groupes comportera 13 garçons et 11 filles.
\end{enumerate}
\end{document}