\documentclass[11pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage{graphicx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{lscape} \usepackage{multicol} \usepackage{enumitem} \usepackage{diagbox} \usepackage{multirow} \usepackage{scratch3} \usetikzlibrary{patterns} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %\DeclareUnicodeCharacter{0301}{~} %Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage[dvipsnames]{pstricks} \usepackage{pst-plot,pst-text,pst-tree,pstricks-add} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm,headheight=14pt]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref} %\usepackage[dvips]{hyperref} %\hypersetup{% %pdfauthor = {APMEP}, %pdfsubject = {}, %pdftitle = {}, %allbordercolors = white, %pdfstartview=FitH} \usepackage[french]{babel} \frenchbsetup{StandardLists=true} \usepackage[np]{numprint} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \lhead{\small Brevet} \rhead{\small \textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \rfoot{\small Métropole Antilles-Guyane - corrigé} \lfoot{\small 19 septembre 2024} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du Brevet Métropole Antilles--Guyane \decofourright\\[7pt] 19 septembre 2024}} \end{center} %\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline %\multicolumn{1}{|c|}{Indications portant sur l'ensemble du sujet}\\ %Toutes les réponses doivent être justifiées, sauf si une indication contraire est donnée.\\ %Pour chaque question, si le travail n'est pas terminé, laisser tout de même une trace de la recherche ; elle sera prise en compte dans la notation.\\ \hline %\end{tabularx} \bigskip {\large \textbf{Exercice 1 \hfill 20 points}} %\medskip % %Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse. % %Toutes les réponses devront être justifiées. \medskip \begin{enumerate} \item Affirmation 1 La décomposition en produit de facteurs premiers du nombre $260$ est $4 \times 5 \times 13$. \begin{tabular}{@{\hspace*{0.05\linewidth}} | p{0.92\linewidth}} Le nombre 4 n'est pas un nombre premier donc $4 \times 5 \times 13$ n'est pas une décomposition en produit de facteurs premiers. \hfill\textbf{Affirmation 1 fausse} \end{tabular} \item Affirmation 2 Une urne opaque contient des boules indiscernables au toucher: 3 boules blanches, 4 boules jaunes et 8 boules rouges. On pioche au hasard une boule dans cette urne et on note sa couleur. Une autre urne opaque contient des boules indiscernables au toucher : 1 boule marquée de la lettre A, 1 boule marquée de la lettre B et 3 boules marquées de la lettre C. On pioche au hasard une boule dans cette urne et on note la lettre obtenue. La probabilité d'obtenir une boule de couleur rouge est supérieure à la probabilité d'obtenir une boule marquée de la lettre C. \begin{tabular}{@{\hspace*{0.05\linewidth}} | p{0.92\linewidth}} \begin{list}{\textbullet}{D'après le texte:} \item La première urne contient $3+4+8=15$ boules dont 8 rouges. La probabilité d'obtenir une boule de couleur rouge est donc $\frac{8}{15}$. \item La seconde urne contient $1+1+3=5$ boules dont 3 marquées C. La probabilité d'obtenir une boule marquée de la lettre C est donc $\frac{3}{5}$. \end{list} $\frac{3}{5}=\frac{9}{15}$ et $\frac{8}{15}<\frac{9}{15}$ donc la probabilité d'obtenir une boule de couleur rouge est inférieure à la probabilité d'obtenir une boule marquée de la lettre C. \hfill\textbf{Affirmation 2 fausse} \end{tabular} \item Affirmation 3 La solution de l'équation $7x + 5 = 2x - 2$ est $-1,4$. \begin{tabular}{@{\hspace*{0.05\linewidth}} | p{0.92\linewidth}} $7x + 5 = 2x - 2$ équivaut à $7x-2x = -2-5$ équivaut à $5x=-7$ équivaut à $x=-\frac{7}{5}$ équivaut à $x=-1,4$ \hfill\textbf{Affirmation 3 vraie} \end{tabular} \item Affirmation 4 On empile 10 pièces cylindriques de $1,9$~cm de diamètre et de $0,2$~cm de hauteur. Le volume du cylindre, arrondi à l'unité, formé par les $10$~pièces est de $6$~cm$^3$. %\emph{Rappel} : le volume d'un cylindre de rayon $R$ et de hauteur $h$ est égal à $\pi \times R^2 \times h$. \begin{tabular}{@{\hspace*{0.05\linewidth}} | p{0.92\linewidth}} Une pièce cylindrique a un diamètre de $1,9$~cm, donc un rayon $R=0,95$. \\ Sa hauteur est de $h=0,2$. Le volume d'une pièce est $\pi \times R^2 \times h$ soit environ $3,14 \times 0,95^2 \times 0,2$ et donc $0,567$ Le volume des 10 pièces est environ $0,567\times 10=5,67$ soit 6~cm$^3$ en arrondissant à l'unité. \hfill\textbf{Affirmation 4 vraie} \end{tabular} \item Affirmation 5 Un éléphant qui court à une vitesse de 5 m/s est plus rapide qu'un cochon qui se déplace à une vitesse de 17 km/h. \begin{tabular}{@{\hspace*{0.05\linewidth}} | p{0.92\linewidth}} Dans une heure, il y a \np{3600} secondes, et dans un kilomètre, il y a $\np{1000}$ mètres. Une vitesse de 5 m/s correspond donc en m/h à $5\times \np{3600}=\np{18000}$, soit en km/h: $\frac{\np{18000}}{\np{1000}}=18$. Donc l'éléphant court à une vitesse de 18 km/h et le cochon se déplace à une vitesse de 17 km/h; donc l'éléphant est plus rapide que le cochon. \hfill\textbf{Affirmation 5 vraie} \end{tabular} \end{enumerate} \hspace{0.5cm} {\large \textbf{Exercice 2 \hfill 20 points}} \medskip Un agriculteur possède un champ de blé ayant la forme d'un triangle ABC rectangle en B représenté ci-contre. On donne AB $= 200$ m et BC $= 150$ m. Pour moissonner son champ, il utilise une moissonneuse batteuse qui, à chaque passage, coupe des bandes de 12 mètres de large parallèles à la droite (AB). On a donc BE~$=~12$~m. Il commence à passer le long du côté [AB]. Le segment en pointillés [DE] représente la limite du premier passage de la moissonneuse batteuse. Après avoir fait 5 passages, il a moissonné le quadrilatère ABGF{}. \medskip \begin{minipage}{0.65\linewidth} \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item $\text{BG}=5\text{BE}=5\times 12=60$ donc $\text{BG}=60$~m. % Montrer que BG $= 60$ m. \item $\text{CG} = \text{BC} - \text{BG} = 150-60=90$ donc $\text{CG}= 90$ m. \end{enumerate} \item %Démontrer que la longueur GF est de $120$ m. \begin{list}{\textbullet}{Dans les triangles ABC et FGC:} \item (AB) et (FG) sont parallèles; \item B, G et C sont alignés dans cet ordre; \item A, F et C sont alignés dans cet ordre. \end{list} On peut donc appliquer le théorème de Thalès: $\dfrac{\text{GF}}{\text{BA}}=\dfrac{\text{CG}}{\text{CB}}$ soit $\dfrac{\text{GF}}{200}=\dfrac{90}{150}$ donc $\text{GF}=\dfrac{90}{150}\times 200=120$ La longueur GF est donc de $120$ m. \end{enumerate} \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.3\linewidth} \scalebox{0.8}{ \psset{unit=0.7cm} \begin{pspicture}(6.2,11) %\psgrid \pspolygon(0.1,0.2)(6.1,0.2)(0.1,10.3) \uput[dr](6.1,0.2){C} \psline(2.4,0.2)(2.4,6.4) \psline[linestyle=dashed](0.56,0.2)(0.56,9.5) \psline[linestyle=dashed](1.02,0.2)(1.02,8.8) \psline[linestyle=dashed](1.48,0.2)(1.48,8) \psline[linestyle=dashed](1.94,0.2)(1.94,7.2) \multido{\n=0.33+0.46}{5}{\rput(\n,0.2){/}} \uput[ul](0.1,10.3){A}\uput[dl](0.1,0.2){B}\psframe(0.1,0.2)(0.3,0.4)\psframe(2.4,0.2)(2.6,0.4) \uput[d](0.56,0.2){E}\uput[ur](0.56,9.5){D} \uput[d](2.4,0.2){G}\uput[ur](2.4,6.4){F} \end{pspicture} }%% fin du scalebox \end{minipage} \begin{enumerate}[start=3] \item \begin{enumerate} \item Le triangle CGF est rectangle en G donc son aire est: $\dfrac{\text{GF}\times \text{CG}}{2} = \dfrac{120\times 90}{2}=\np{5400}$. L'aire du triangle rectangle CGF est donc de \np{5400}~m$^2$. \item Le quadrilatère ABGF a une surface de \np{9600} m$^2$ qui a été moissonnée en 80 minutes, et on admet que le temps de travail de la moissonneuse batteuse est proportionnel à la surface moissonnée. %Calculer le temps de travail qu'il faut pour moissonner la partie restante CGF de son champ. On établit un tableau de proportionnalité: \hfill {\renewcommand{\arraystretch}{1.5} \begin{tabular}{|c|c|c|} \hline Surface (m$^2$) & \np{9600} & \np{5400}\\ \hline Temps (min) & 80 & ?\\ \hline \end{tabular} } \begin{tabularx}{\linewidth}{@{} l @{~} X} $\dfrac{\np{5400} \times \np{80}}{\np{9600}}=45$ & donc le temps de travail qu'il faut pour moissonner la partie restante CGF de son champ est de 45 minutes. \end{tabularx} \end{enumerate} \item L'année suivante, il décide de clôturer son champ ABC. %Quelle longueur de clôture doit-il acheter ? La longueur de la clôture est $\text{AB} + \text{BC} + \text{AC}=200+150 + \text{AC} = 350+\text{AC}$. Le triangle ABC est rectangle en B donc, d'après le théorème de Pythagore, on a: $\text{AC}^2 = \text{AB}^2 + \text{BC}^2 = 200^2 + 150^2=\np{62500}$; donc $\text{AC}=\ds\sqrt{\np{62500}}=250$ $350+250=600$ donc il faut acheter 600 mètres de clôture. \end{enumerate} \vspace{0.5cm} {\large \textbf{Exercice 3\hfill 20 points}} \medskip Une entreprise décide de faire poser sur le toit de son hangar des panneaux solaires. Pendant une semaine d'utilisation, les productions d'électricité journalières en kilowattheures (kWh) de ces panneaux ont été relevées dans le tableau ci-dessous : \begin{center} \begin{tabular}{|m{2cm}|*{7}{c|}}\hline Jour de la\newline semaine&Lundi&Mardi& Mercredi& Jeudi&Vendredi& Samedi&\small Dimanche\\ \hline Production d'électricité en kWh&381&363 &322& 329&393& 405& 376\\ \hline \end{tabular} \end{center} %\smallskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item La production d'électricité a été la plus grande le samedi avec 405 kWh. \item La production d'électricité a été la plus petite le mercredi avec 322 kWh. $405-322= 83$ donc l'étendue de ces productions d'électricité est 83 kWh. \item $\dfrac{381 + 363 + 322 + 329 + 393 + 405 + 376}{7} = \dfrac{\np{2569}}{7} = 367$ donc la production moyenne d'électricité par jour sur cette période est de $367$ kWh. \end{enumerate} \item L'entreprise revend 15\,\% de sa production d'électricité au tarif de 8 centimes le kWh. La production sur la semaine a été de $\np{2569}$ kWh. Les 15\,\% de cette production correspondent à $\np{2569}\times \dfrac{15}{100}= 385,35$. $ 385,35\times 8 = \np{3082,8}$ donc elle a gagné $30,828$\,\euro{} pendant ces 7 jours. \item Afin que les panneaux solaires aient une production maximale, le toit doit avoir une pente avec l'horizontale comprise entre $30\degres$ et $35\degres$. \newpage %\begin{minipage}{0.42\linewidth} %Schéma en coupe du hangar. \begin{multicols}{2} La pente du toit avec l'horizontale correspond à l'angle $\widehat{\text{OLV}}$. Dans le triangle OLV rectangle en V, on a: $\sin \left (\widehat{\text{OLV}}\right ) = \dfrac{\text{OV}}{\text{OL}} = \dfrac{7}{13,5}$. On en déduit que $\widehat{\text{OLV}} \approx 31,2\degres$. $31,2$ est compris entre 30 et 35 donc, sur ce toit, les panneaux solaires ont une production maximale. %\end{minipage}\hfill %\begin{minipage}{0.55\linewidth} \columnbreak \scalebox{0.7}{ \psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3} \begin{pspicture}(8.5,6.6) %\psgrid \pspolygon(2,0)(8.2,0)(8.2,3.9)(5.1,6.3)(2,3.9) \psline(5.1,6.3)(5.1,3.9)\psframe(5.1,3.9)(5.3,4.1) \psline(8.2,3.9)(2,3.9) \psline[linewidth=2.5pt](4.7,6)(2.4,4.2) \uput[d](5.1,3.9){V} \uput[r](8.2,3.9){K} \uput[u](5.1,6.3){O} \uput[l](2,3.9){L} \uput[r](5.1,5.1){7 m}\rput{37}(3.56,5.4){13,5 m} \rput(1.8,5.8){panneaux solaires}\psline[linewidth=1.2pt]{->}(1.8,5.5)(3.2,4.9) \end{pspicture} } %\end{minipage} \end{multicols} \end{enumerate} \vspace{0.5cm} {\large \textbf{Exercice 4 \hfill 20 points}} \medskip On considère la fonction $f$ définie par $f(x) = x^2 + 10x + 16$. \begin{enumerate} \item $f(6)=6^2+10\times 6 +16=36+60+16=112$, donc l'image de 6 par la fonction $f$ est $112$. \item On utilise un tableur afin de calculer les images des entiers compris entre $-4$ et 4 par la fonction $f$. \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline &A&B&C&$\blue \text{D}$ &E&F&G&H&I&J\\ \hline 1&$x$&$-4$&$-3$&$\blue -2$&$-1$&0&1&2&3&4\\ \hline 2&$f(x)$&$-8$&$-5$&$\blue 0$ &7&16&27&40&55&72\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \begin{enumerate} \item Parmi les 4 formules ci-dessous, \begin{footnotesize} \fbox{=B1*B1+10*B1+16}\hfill \fbox{=A1*A1+10*A1+16}\hfill \fbox{$=(-4)*(-4)+10*(-4)+16$}\hfill \fbox{$=x*x+10*x+16$} \end{footnotesize} celle qui a été saisie dans la cellule B2, puis étirée vers la droite afin de calculer les images des nombres donnés par la fonction $f$est: \fbox{=B1*B1+10*B1+16} \item D'après la colonne D du tableau, on peut dire que $-2$ est un antécédent de $0$ par la fonction $f$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item $(x + 2)(x + 8) = x^2 + 2x + 8x + 16 = x^2+10x+16=f(x)$ \item Pour déterminer les antécédents de 0 par la fonction $f$, on résout l'équation $f(x)=0$. $\aligned f(x)=0 & \text{ si et seulement si } (x+2)(x+8)=0 \\ & \text{ si et seulement si } x+2=0 \text{ ou } x+8=0 \\ & \text{ si et seulement si } x=-2 \text{ ou } x=-8 \endaligned$ Le nombre $-8$ est donc un autre antécédent de 0 par la fonction $f$. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage {\large \textbf{Exercice 5 \hfill 20 points}} \medskip La quadrilatère ABCD ci-dessous est constitué de deux triangles équilatéraux de côté 5 cm. \begin{multicols}{2} \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item On reproduit le quadrilatère ABCD en vraie grandeur. \item Le triangle ABC est équilatéral donc AB = BC = CA. Le triangle ACD est équilatéral donc AC = CD = DA. On déduit que AB = BC = CD = DA et donc que le quadrilatère ABCD est un losange. \end{enumerate} \end{enumerate} \columnbreak \psset{unit=0.75cm} \begin{center} \begin{pspicture}(6.5,5) %\psgrid \pspolygon(0.2,0.2)(5.2,0.2)(7.5,4.53)(2.7,4.53)%BCDA \psline(5.2,0.2)(2.7,4.53) \uput[ul](2.7,4.53){A} \uput[dl](0.2,0.2){B} \uput[dr](5.2,0.2){C} \uput[ur](7.5,4.53){D} \uput[d](2.7,0.2){5 cm} \psline(2.7,0.3)(2.7,0.1) \def\marque{\psline(0,0.1)(0,-0.1)} \rput{60}(1.45,2.36){\marque}\rput{-60}(3.95,2.36){\marque}\rput{60}(6.35,2.36){\marque} \rput(5.1,4.53){\marque} \end{pspicture} \end{center} \end{multicols} \begin{enumerate}[label=~] \item \begin{enumerate} \setcounter{enumii}{2} \item % Démontrer que l'angle $\widehat{\text{BCD}}$ mesure $120\degres$. Le triangle ABC est équilatéral donc $\widehat{\text{BCA}}=60$. Le triangle ACD est équilatéral donc $\widehat{\text{ACD}}=60$. Or $\widehat{\text{BCD}} = \widehat{\text{BCA}} + \widehat{\text{ACD}}$, donc on en déduit que l'angle $\widehat{\text{BCD}}$ mesure $120\degres$. \end{enumerate} \end{enumerate} \begin{enumerate}[start=2] \item On complète les lignes 5 et 6 du programme ci-dessous pour qu'il permette de créer le bloc Motif qui trace le quadrilatère ABCD. %Recopier et compléter les lignes 5 et 6 de ce programme. % %On utilise l'échelle suivante : 10 pas dans le programme représentent 1 cm dans la réalité. \medskip \begin{minipage}{0.55\linewidth} \begin{scratch}[scale=0.75,num blocks] \renewcommand*\numblock[1]{\large #1~~} \initmoreblocks{d\'efinir \namemoreblocks{Motif}} \blockrepeat{r\'ep\'eter \ovalnum{2} fois} { \blockmove{avancer de \ovalnum{50 } pas} \blockmove{tourner \turnleft{} de \ovalnum{60 } degr\'es} \renewcommand*\numblock[1]{\large\red #1~~} \blockmove{avancer de \ovalnum{\red 50~~} pas} \blockmove{tourner \turnleft{} de \ovalnum{\red 120~~} degr\'es} } \end{scratch} \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.45\linewidth} \psset{unit=0.5cm,arrowsize=2pt 3} \def\losan{\pspolygon(0.2,0.2)(5.2,0.2)(7.5,4.53)(2.7,4.53)} \psset{unit=0.25cm,arrowsize=2pt 3} \begin{pspicture}(4,3.8) \rput(1.3,2.){\losan} \rput(1.3,-2.4){Point de départ} \psline[linecolor=blue]{->}(1.3,-1.4)(1.3,2) \end{pspicture} \end{minipage} \item On complète les trois phrases suivantes afin d'associer chaque figure au programme qui permet de la tracer. Le programme A permet de tracer la figure {\blue 2}. Le programme B permet de tracer la figure {\blue 3}. Le programme C permet de tracer la figure {\blue 1}. \end{enumerate} \medskip \begin{center} \psset{linecolor=blue} \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{>{\centering \arraybackslash}X}} \fbox{Programme A} & \fbox{Programme B} & \fbox{Programme C}\\ & & \\ \begin{scratch}[scale=0.75] \blockinit{quand \greenflag est cliqu\'e} \blockmove{aller à x: \ovalnum{0} y: \ovalnum{0}} \blockmove{s'orienter à \ovalnum{90}} \blockpen{effacer tout} \blockpen{stylo en position d'\'ecriture} \blockrepeat{r\'ep\'eter \ovalnum{5} fois} { \blockevent{Motif} \blockmove{tourner \turnleft{} de \ovalnum{72} degr\'es} } \end{scratch} & \begin{scratch}[scale=0.75] \blockinit{quand \greenflag est cliqu\'e} \blockmove{aller à x: \ovalnum{0} y: \ovalnum{0}} \blockmove{s'orienter à \ovalnum{90}} \blockpen{effacer tout} \blockpen{stylo en position d'\'ecriture} \blockrepeat{r\'ep\'eter \ovalnum{5} fois} { \blockevent{Motif} \blockmove{tourner \turnleft{} de \ovalnum{72} degr\'es} \blockmove{avancer de \ovalnum{25 } pas} } \end{scratch} & \begin{scratch}[scale=0.75] \blockinit{quand \greenflag est cliqu\'e} \blockmove{aller à x: \ovalnum{0} y: \ovalnum{0}} \blockmove{s'orienter à \ovalnum{90}} \blockpen{effacer tout} \blockpen{stylo en position d'écriture} \blockrepeat{r\'ep\'eter \ovalnum{5} fois} { \blockevent{Motif} \blockmove{avancer de \ovalnum{25 } pas} } \end{scratch}\\ && \\ && \\ Figure 1&Figure 2&Figure 3\\ \psset{unit=0.25cm} \def\losan{\pspolygon(-1.8,7.2)(3.2,7.2)(5.7,11.53013)(0.7,11.53013)} \begin{pspicture}(0,0)(2.5,10) \multido{\n=-5+2.5}{5}{\rput(\n,0){\losan}} \end{pspicture} & \psset{unit=0.25cm} \def\losan{\pspolygon(-1.8,0.2)(3.2,0.2)(5.7,4.53013)(0.7,4.53013)} \begin{pspicture}(-2,-10)(2,10) \def\losan{\pspolygon(0,0)(5,0)(7.5,4.33013)(2.5,4.33013)} \multido{\n=0+72}{5}{\rput{\n}(0,0){\losan}} \end{pspicture} & \psset{unit=0.25cm} \def\losan{\pspolygon(0,0)(5,0)(7.5,4.33013)(2.5,4.33013)} \begin{pspicture}(-7,-10)(4,12) %\psgrid \multido{\i=18+72,\I=90+72,\n=72+72}{5}{ \psline(2.13;\i)(2.13;\I) \rput{\n}(2.13;\i){\losan}} \end{pspicture} \\ \end{tabularx} \end{center} \end{document}