\documentclass[11pt]{article}
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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\usepackage{diagbox}% à mettre après pst-eucl
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\usepackage{pstricks-add}
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\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
%\newcommand{\arc}[1]{\widehat{#1}}
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\begin{document}
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\lhead{\small L'année 2026}
\rhead{\small \textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\rfoot{\small Amérique du Nord - corrigé}
\lfoot{\small 3 juin 2026}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du DNB -  Amérique du Nord~\decofourright\\[7pt] 3 juin 2026}}
\end{center}

%\section*{Exercice 1 :\hfill 20 points}

%\begin{center}
%  {\large\textbf{DIPLÔME NATIONAL DU BREVET}}\\[4pt]
%  {\large\textbf{SESSION 2026}}\\[20pt]
%  \fbox{\parbox{0.75\textwidth}{\centering
%    \vspace{12pt}
%    {\LARGE\textbf{MATHÉMATIQUES}}\\[10pt]
%    {\large\textbf{Série générale}}\\[12pt]
%    \textbf{Durée : 2 h 00} \hfill \textbf{Coefficient : 2}\\[8pt]
%  }}
%\end{center}
%
%\vspace{12pt}
%\begin{center}
%  Dès que le sujet vous est remis, assurez-vous qu'il est complet.\\
%  Ce sujet comporte 8 pages numérotées de la page 1/8 à la page 8/8.
%\end{center}

%\vspace{12pt}
\begin{center}
\begin{tabular}{|p{0.60\textwidth}|p{0.25\textwidth}|}
\hline
\textbf{Partie 1 – Automatismes} \newline 20 min (calculatrice interdite) & \textbf{6 points} \\
\hline
\textbf{Partie 2 – Raisonnement et résolution de problèmes} \newline 1 h 40 (calculatrice autorisée) & \textbf{14 points} \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\vspace{12pt}

%\begin{center}
%\textbf{À l'issue de la partie 1, les copies sont ramassées.}
%\end{center}
%
%\vspace{12pt}
%L'usage de la calculatrice avec mode examen actif ou sans mémoire \og type collège \fg est \textbf{interdit} pour la partie 1 et \textbf{autorisé} pour la partie 2.
%
%L'utilisation du dictionnaire est interdite.

%\bigskip


\section*{Partie 1 – Automatismes – 6 points – 20 minutes}


%\begin{mdframed}
%\itshape
%Pour chaque question, recopier sur la copie son numéro et la réponse correspondante.\\
%Pour cette partie, aucune justification n'est demandée.\\
%Pour les questions à choix multiple, une seule réponse est exacte.
%\end{mdframed}
%
%\vspace{10pt}

\paragraph{Question 1}
On calcule: $A = \dfrac{2}{3} + \dfrac{3}{4} = \dfrac{8}{12}+ \dfrac{9}{12}=\dfrac{17}{12}$.

\vspace{8pt}
\paragraph{Question 2}
Un article coûte 45\,\euro. 

On effectue une réduction de 10\,\%: $45-45\times \dfrac{10}{100}=45-4,5=40,5$.

Après réduction, l'article coûte $40,5$~\euro.

\vspace{8pt}
\paragraph{Question 3}
Un professeur a dessiné à main levée le quadrilatère ci-dessous avec ses diagonales.
%
%Que peut-on affirmer à propos de la nature de ce quadrilatère\,?\\
%Recopier sur la copie la lettre de la bonne réponse.
%
%\vspace{6pt}

%Tikz
%\begin{center}
%\begin{tikzpicture}[scale=1.1]
%  % Quadrilatère quelconque avec marques sur les côtés opposés
%  \coordinate (A) at (0,0);
%  \coordinate (B) at (3.2,0.3);
%  \coordinate (C) at (3.5,1.8);
%  \coordinate (D) at (0.4,1.5);
%  % Diagonales
%  \draw (A) -- (B) -- (C) -- (D) -- cycle;
%  \draw (A) -- (C);
%  \draw (B) -- (D);
%  % Marques égalité côtés AB et CD
%  \draw[thick] (1.55,0.13) -- (1.65,0.17);
%  \draw[thick] (1.85,1.65) -- (1.95,1.69);
%  % Marques égalité côtés BC et DA
%  \draw[thick] (3.4,1.05) -- (3.37,1.15);
%  \draw[thick] (0.15,0.78) -- (0.12,0.88);
%\end{tikzpicture}
%\end{center}
%Fin Tikz
%PsTricks
\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=1.5cm}
\begin{pspicture}(4,2)
%\uput[dl](0,0){A}\uput[dr](3.2,0.3){B}\uput[ur](3.5,1.8){C}\uput[ul](0.4,1.5){D}
\def\barre{\psline(-0.05,-0.1)(-0.05,0.1)\psline(0.05,-0.1)(0.05,0.1)}
\rput{30}(1,0.5){\barre}\rput{30}(2.6,1.35){\barre}\rput{-30}(1.1,1.2){\barre}\rput{-30}(2.4,0.65){\barre}
\pslineByHand(0,0)(0.4,1.5)(3.5,1.8)(3.2,0.3)(0,0)
\pslineByHand(0,0)(3.5,1.8)
\pslineByHand(0.4,1.5)(3.2,0.3)
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{list}{\textbullet}{D'après la figure:}
\item les diagonales se coupent en leur milieu, donc le quadrilatère est un parallélogramme;
\item les diagonales sont égales.
\end{list}

Le quadrilatère est un parallélogramme qui a ses diagonales égales, donc c'est un rectangle.

%\vspace{6pt}
%\begin{center}
%\begin{tabular}{|p{0.19\textwidth}|p{0.19\textwidth}|p{0.19\textwidth}|p{0.25\textwidth}|}
%\hline
%\centering\textbf{Réponse A} & \centering\textbf{Réponse B} & \centering\textbf{Réponse C} & \centering\textbf{Réponse D}\tabularnewline
%\hline
%\centering C'est un losange & \centering C'est un rectangle & \centering C'est un carré &
%\centering Ce n'est ni un losange, ni un rectangle\tabularnewline
%\hline
%\end{tabular}
%\end{center}

%\vspace{8pt}

\paragraph{Question 4}
On résout l'équation $5x - 15 = 20$.

\vspace*{-10pt}

\begin{align*}
5x-15&=20\\
5x&=20+15\\ 
5x&=35\\
x&=\dfrac{35}{5}\\ 
x&=7
\end{align*}

L'équation a pour solution $x=7$.

\paragraph{Question 5}
Dans le repère ci-contre, on a placé deux points A et B.

\medskip
\begin{minipage}{0.45\textwidth}
\begin{enumerate}[label=\textbf{\alph*.}]
\item L'abscisse du point A est $-4$.\\\\
\item Le point B a pour coordonnées $(-2\;; -1)$.
\end{enumerate}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.52\textwidth}
\begin{center}
%Tikz
%\begin{tikzpicture}[scale=0.65]
%\begin{axis}[
%axis lines=center,
%xmin=-5.5, xmax=3.5,
%ymin=-3.5, ymax=3.5,
%xtick={-5,-4,...,3},
%ytick={-3,-2,...,3},
%tick label style={font=\small},
%xlabel={},ylabel={},
%grid=both,
%grid style={line width=0.3pt, draw=gray!40},
%width=7.5cm, height=7.5cm,
%]
%\addplot[only marks, mark=x, mark size=3pt, thick] coordinates {(-2,2)};
%\node[above left, font=\small] at (axis cs:-2,2) {A};
%\addplot[only marks, mark=x, mark size=3pt, thick] coordinates {(-2,-1)};
%\node[below right, font=\small] at (axis cs:-2,-1) {B};
%\end{axis}
%\end{tikzpicture}
%fin Tikz
%PSTricks
\scalebox{0.6}{
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture*}(-5.1,-3.1)(3.1,3.1)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0pt,gridwidth=0.15pt,gridcolor=lightgray!50](-6,-4)(4,4)
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-6,-4)(4,4)
\psdots[dotstyle=x,dotscale=1.5](-4,2)(-2,-1)
\uput[l](-4,2){A}\uput[l](-2,-1){B}
\end{pspicture*}}
%Fin PSTricks
\end{center}
\end{minipage}

%\vspace{10pt}

\paragraph{Question 6}
Voici une série de nombres : 8 ; 19 ; 12 ; 3 ; 12 ; 25 ; 3 ; 11 ; 1.\\
%Déterminer la médiane de cette série.

On range les neuf nombres en ordre croissant: 
1 ; 3 ; 3 ; 8 ; \fbox{11} ; 12 ; 12 ; 19 ; 25 

La série comporte un nombre impair de nombres, donc la médiane est le nombre situé \og au milieu \fg{} c'est-à-dire 11.

%\vspace{8pt}

\paragraph{Question 7}
On considère un triangle ABC rectangle en A tel que 
 BC $= 5$ cm et $\widehat{\text{ABC}} = 60\degres$.

%Recopier sur la copie la formule qui permet d'obtenir la longueur AB.

%\vspace{6pt}

\begin{minipage}{0.45\textwidth}
Le triangle ABC est rectangle en A donc, d'après les relations trigonométriques dans un triangle rectangle:

\[\text{AB} = \text{BC} \times \cos\left (\widehat{\text{ABC}}\right )\]
 donc \[\text{AB} = 5\times\cos\left (60\right ).\]
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.50\textwidth}
\begin{center}
%Tikz
%\begin{tikzpicture}[scale=1.0]
%\coordinate (A) at (0,0);
%\coordinate (B) at (2.5,0);
%\coordinate (C) at (0,2.5);
%\draw[thick] (A) -- (B) -- (C) -- cycle;
%% Angle droit en A
%  \draw (0.25,0) -- (0.25,0.25) -- (0,0.25);
%  % Angle 60° en B
%  \node[below right] at (B) {$60°$};
%  % Labels
%  \node[below left] at (A) {A};
%  \node[below right, xshift=2pt] at (B) {};
%  \node[below] at (B) {B};
%  \node[above left] at (C) {C};
%  % mesure BC
%  \node[right] at ($(B)!0.5!(C)$) {$5$ cm};
%\end{tikzpicture}
%Fin Tikz
%PSTricks
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(7,4.5)
\pspolygon(2.6,0.8)(4.5,0.8)(2.6,4)%ABC
\uput[dl](2.6,0.8){A}\uput[dr](4.5,0.8){B}\uput[l](2.6,4){C}
\psarc(4.5,0.8){0.4cm}{120}{180}\psframe(2.6,0.8)(2.8,1)
\uput[ul](4.1,1){$60\degres$}\uput[ur](3.55,2.4){5 cm}
%\rput(3.5,0.1){\small\emph{La figure n'est pas représentée en vraie grandeur}}
\end{pspicture}
%Fin PSTricks

%\vspace{4pt}

\end{center}
\end{minipage}

%\vspace{10pt}

\paragraph{Question 8}
On cherche un diviseur de 387 autre que 1 et lui-même.

$3+8+7=18$ est divisible par 3, donc 387 est divisible par 3, donc 3 est un diviseur de 387.

\vspace{20pt}

\begin{center}
  \textbf{Restitution de la copie du candidat à l'issue de la partie 1}
\end{center}

\newpage

%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section*{Partie 2 – Raisonnement et résolution de problèmes 14 points 1 h 40}


%\begin{mdframed}
%\itshape
%Dans cette partie, toutes les réponses doivent être justifiées, sauf si une indication contraire est donnée.\\
%La clarté et la précision des raisonnements ainsi que la rédaction sont évaluées sur 2 points.\\
%Pour chaque question, si le travail n'est pas terminé, laisser tout de même une trace de la
%recherche ; les essais et les démarches engagées, même non aboutis, seront pris en compte dans la notation.
%\end{mdframed}

\vspace{10pt}

%-------------------------------------------------------------
\subsection*{Exercice 1 \normalfont(2,5 points)}
%-------------------------------------------------------------

%La figure ci-contre n'est pas représentée en vraie grandeur.

\vspace{6pt}
\begin{minipage}[t]{0.48\textwidth}
\vspace{0pt}
Les points B, A et E sont alignés.\\
Les points C, A et D sont alignés.\\
Le triangle ABC est rectangle en B.
\begin{itemize}
\item DE $= 4,8$ cm
\item AD $= 7,3$ cm
\item AE $= 5,5$ cm
\item BC $= 7,2$ cm.
\end{itemize}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}[t]{0.48\textwidth}
\vspace{0pt}
\begin{center}
%début Tikz
%\begin{tikzpicture}[scale=0.9]
%% Coordonnées
%\coordinate (B) at (0,0);
%\coordinate (A) at (1.8,0);
%\coordinate (E) at (4.2,0);
%\coordinate (C) at (1.8,3.5);
%\coordinate (D) at (3.5,-2.0);
%% Triangle ABC
%\draw[thick] (B) -- (A) -- (C) -- cycle;
%% Angle droit en B
%\draw (0.25,0) -- (0.25,0.25) -- (0,0.25);
%% Extension vers E et D
%\draw[thick] (A) -- (E);
%\draw[thick] (A) -- (D);
%% Triangle AED
%\draw[thick] (E) -- (D);
%% Angle droit en E
%\draw ($(E)!0.3cm!(A)$) -- ++(0,-0.3) -- ($(E)+(0,-0.3)$);
%% Labels
%\node[below left] at (B) {B};
%\node[above] at (C) {C};
%\node[above right, xshift=2pt] at (A) {A};
%\node[right] at (E) {E};
%\node[below right] at (D) {D};
%\end{tikzpicture}
%Fin Tikz
%PSTricks
\scalebox{0.8}{
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(5.8,6)
\pspolygon(0.4,3)(5.4,3)(5.4,0.2)(0.4,6.2)%BEDC
\uput[ur](3,3){A}\uput[dl](0.4,3){B}\uput[ur](5.4,3){E}\uput[dr](5.4,0.2){D}
\uput[ul](0.4,6.2){C}
\psframe(0.4,3)(0.6,3.2)
\end{pspicture}}
%Fin PSTricks
\end{center}
\end{minipage}

\vspace*{-20pt}

\begin{enumerate}
\item %Montrer que le triangle AED est un triangle rectangle en E.
\begin{list}{\textbullet}{Dans le triangle AED, on a:}
\item $\text{AD}^2=7,3^2=53,29$;
\item $\text{AE}^2 + \text{ED}^2 = 5,5^2+4,8^2=30,25+23,04=53,29$.
\end{list}

Donc $\text{AD}^2= \text{AE}^2 + \text{ED}^2$. 	D'après la réciproque du théorème de Pythagore, on conclut que le triangle AED est rectangle en E.

\item $\dfrac{\text{AE}\times \text{DE}}{2} = \dfrac{5,5 \times 4,8}{2}= \dfrac{26,4}{2}=13,2$

L'aire du triangle AED vaut $13,2$~cm$^2$.

\item% Pourquoi peut-on affirmer que les droites (BC) et (ED) sont parallèles ?
\begin{list}{\textbullet}{On sait que:}
\item le triangle ABC est rectangle en B, donc la droite (BC) est perpendiculaire à la droite (AB);
\item le triangle AED est rectangle en E, donc la droite (ED) est perpendiculaire à la droite (AE);
\item les points B, A et E sont alignés, donc les droites (AB) et (AE) sont identiques.
\end{list}

 Les droites (BC) et (ED) sont toutes les deux perpendiculaires à la même droite (BE) donc elles sont parallèles entre elles.

\item On veut calculer la valeur exacte de la longueur AB.

\begin{list}{\textbullet}{On sait que:}
		\item (BC) est parallèle à  (ED); 
		\item les points E, A, B d'une part, et D, A, C d'autre part sont alignés dans le même ordre.
\end{list}	  

D'après le théorème de Thalès, on a : 
$\dfrac{\text{AB}}{\text{AE}}=\dfrac{\text{AC}}{\text{AD}}=\dfrac{\text{BC}}{\text{ED}}$.

On déduit: $\dfrac{\text{AB}}{\text{AE}} =\dfrac{\text{BC}}{\text{ED}}$
donc:
$\dfrac{\text{AB}}{5,5}=\dfrac{7,2}{4,8}$
et donc:
$\text{AB} = 5,5\times \dfrac{7,2}{4,8}= 8,25$.

Donc AB mesure $8,25$ cm.

\item On admet que l'angle $\widehat{\text{ACB}}$ mesure environ $49\degres$. %En déduire la mesure de l'angle $\widehat{\text{ADE}}$.

Les droites (BC) et (ED) sont parallèles, coupées par la sécante (CD); les angles alternes-internes $\widehat{\text{ACB}}$ et $\widehat{\text{ADE}}$ ont donc la même mesure: l'angle $\widehat{\text{ADE}}$ mesure donc environ $49\degres$.

\end{enumerate}

\newpage

%-------------------------------------------------------------
\subsection*{Exercice 2 \normalfont(3,5 points)}
%-------------------------------------------------------------

On considère les fonctions $f$ et $g$ définies par :
$f(x) = (x-1)(x+3)$  et  $g(x) = 2x+1$.

\begin{enumerate}
\item On calcule: $f(-4)=\left ((-4)-1\right )\left ((-4)+3\right ) = (-5)\times (-1)=5$.

\item Un antécédent de 2 par la fonction $g$ est une solution de l'équation $g(x)=2$. \\
On résout cette équation.

$g(x)=2$ si et seulement si 
$2x+1=2$ si et seulement si 
$2x=1$ si et seulement si 
$x=\dfrac{1}{2}$

L'antécédent de 2 par la fonction $g$ est $\dfrac{1}{2}$.

\item On utilise un tableur pour donner les images des nombres entiers de 0 à 8 par les fonctions $f$ et $g$.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\cellcolor{lightgray}\bf} c|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\rowcolor{lightgray} & \textbf{A} & \textbf{B} & \textbf{C} & \textbf{D} & \textbf{E} & \textbf{F} & \textbf{G} & \textbf{H} & \textbf{I} & \textbf{J} \\\hline
\textbf{1} & $x$ & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\\hline
\textbf{2} & $f(x)$ & $-3$ & 0 & 5 & 12 & 21 & 32 & 45 & 60 & 77 \\\hline
\textbf{3} & $g(x)$ & 1 & 3 & 5 & 7 & 9 & 11 & 13 & 15 & 17 \\\hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}[label=\alph*)]
\item Comme $g(x)=2x+1$, la formule qu'on doit saisir en cellule B3 puis étirer vers la droite pour compléter la ligne 3 est:
\fbox{\texttt{= 2 * B1 + 1}}
%\textit{Aucune justification n'est demandée.}

\item Dans la colonne \texttt{D} du tableau, on voit que $f(x)=5$ et $g(x)=5$; cette colonne correspond à $x=2$.

Donc $x=2$ est une solution de l'équation $f(x)=g(x)$.
%\textit{Aucune justification n'est demandée.}
\end{enumerate}

\item On représente graphiquement chacune de ces fonctions.

\medskip

\begin{minipage}[t]{0.38\textwidth}
\begin{center}
%début Tikz
%\begin{tikzpicture}
%\begin{axis}[
%axis lines=center,
%xmin=-4.5, xmax=3.5,
%ymin=-5.5, ymax=5.5,
%xtick={-4,-3,...,3},
%ytick={-5,-4,...,5},
%tick label style={font=\small},
%grid=both,
%grid style={line width=0.3pt, draw=gray!40},
%width=7.5cm, height=8.5cm,
%]
%% C1 = courbe parabolique f(x)=(x-1)(x+3)
%\addplot[thick, domain=-4.2:3.2, samples=80] {(x-1)*(x+3)};
%\node[above left, font=\small] at (axis cs:-3.8,4.5) {$\mathcal{C}_1$};
%% C2 = droite g(x)=2x+1
%\addplot[thick, domain=-4.2:3.2, samples=2] {2*x+1};
%\node[below right, font=\small] at (axis cs:2,4) {$\mathcal{C}_2$};
%\end{axis}
%\end{tikzpicture}
%Fin Tikz
%début PSTricks
\scalebox{0.7}{
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture*}(-4.5,-5.5)(3.5,5.5)
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-4.5,-5.5)(3.5,5.5)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-4}{2.5}{x 1 sub x 3 add mul}
\uput[r](-3.5,3.5){\red $\mathcal{C}_1$}
\psplot[plotpoints=200,linewidth=1.25pt]{-4}{2.5}{x 2 mul 1 add}\uput[r](-2.7,-4.5){ $\mathcal{C}_2$}
%%% corrigé
\psset{linecolor=blue, linestyle=dashed, linewidth=1.2pt}
\psdots(-2,-3)(2,5)
\psline(-2,-3)(-2,0) \psline(2,0)(2,5)
\uput*[u](-2,0){\blue $-2$} \uput*[d](2,0){\blue 2} 
\end{pspicture*}}
%fin PSTricks
\end{center}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}[t]{0.55\textwidth}
\vspace{20pt}
\begin{enumerate}[label=\alph*)]
\item %Associer à chacune des fonctions $f$ et $g$ sa représentation graphique.\\
%\textit{Aucune justification n'est demandée.}
La fonction $g$ est une fonction affine donc sa représentation graphique est une droite; ainsi $\mathcal{C}_2$ est la courbe représentative de la fonction $g$ et $\mathcal{C}_1$ est la courbe représentative de la fonction $f$.\\

\item Les solutions de l'équation $f(x) = g(x)$ sont les abscisses des points d'intersection des courbes $\mathcal{C}_1$ et  $\mathcal{C}_2$.\\
 Graphiquement, on trouve $x=-2$ et $x=2$.

%\textit{Aucune justification n'est demandée.}
\end{enumerate}
\end{minipage}

\medskip

\item Lola affirme que les solutions de l'équation $f(x) = g(x)$ sont les mêmes que les solutions de l'équation $x^2 - 4 = 0$. %A-t-elle raison\,? Justifier.

\vspace*{-15pt}

\begin{align*}
f(x)&=g(x)\\
\left (x-1\right )\left (x+3\right )&=2x+1\\
x^2-x+3x-3&=2x+1\\
x^2 +2x-3-2x-1&=0\\
x^2-4&=0
\end{align*}

Donc Lola a raison.

$x^2-4=0$ équivaut à
$\left (x-2\right )\left (x+2\right )=0$ équivaut à
$x=2 \text{ ou } x=-2$

On retrouve les deux solutions déterminées graphiquement.
\end{enumerate}

\bigskip

%%%%%%%%%
\subsection*{Exercice 3 \normalfont(4 points)}


%Dans cet exercice, les deux parties sont indépendantes.

Une entreprise développe une intelligence artificielle (IA) capable de reconnaître des objets sur des images.

\subsubsection*{Partie A}

On entraîne l'IA à partir d'une base de données de \np{50000} images réparties en 4 catégories : \og Objets du quotidien \fg, \og Animaux \fg, \og Véhicules \fg, \og Autres \fg.
L'intelligence artificielle est testée pour mesurer sa précision et son efficacité. Les images sont réparties comme suit :

%\vspace{6pt}
\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\columncolor{gris}}c|l|c|}\hline
\rowcolor{gris}
& \textbf{Type d'image} & \textbf{Nombre d'images} \\\hline
2 & Objets du quotidien & 28\,000 \\\hline
3 & Animaux & \np{12000} \\\hline
4 & Véhicules & \np{8000} \\\hline
5 & Autres & ? \\\hline
\end{tabular}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Combien d'images appartiennent à la catégorie \og Autres \fg\,?
Sur un total de  \np{50000} images, il y en a  $\np{28000} + \np{12000}  + \np{8000}$ soit $\np{48000}$ déjà réparties.

$\np{50000} - \np{48000} = \np{2000}$
donc il y a \np{2000} images dans la catégorie \og Autres \fg{}.     

\item Sur l'ensemble des tests, l'intelligence artificielle reconnaît correctement 90\,\% des \og Objets du quotidien \fg.
Il y a \np{28000} images dans cette catégorie.

$\np{28000}\times \dfrac{90}{100}= \np{25200}$ donc

l'IA reconnait correctement \np{25200} images dans la catégorie \og Objets du quotidien \fg{}.  

\item L'intelligence artificielle reconnaît correctement \np{5600} images de la catégorie \og Véhicules \fg. Il y a \np{8000} images dans cette catégorie.

$\dfrac{\np{5600}}{\np{8000}} \times 100=70$ 

Donc l'IA reconnaît correctement 70\,\% des images de la catégorie \og Véhicules \fg.

%Quel pourcentage de réussite cela représente-t-il dans cette catégorie\,?


\item Une image est tirée au hasard dans la base de données.

Il y a au total \np{50000} images dont \np{28000} dans la catégorie  \og Objet du quotidien \fg.

L'image est tirée au hasard, donc il y a équiprobabilité; $\dfrac{\np{28000}}{\np{50000}} = 0,56$ donc\\
la probabilité que l'image tirée soit l'image d'un \og Objet du quotidien \fg{} est  de $0,56$.

%On donnera le résultat sous la forme d'un nombre décimal.
\end{enumerate}

\bigskip

\subsubsection*{Partie B}

L'intelligence artificielle, très utilisée dans le monde entier, nécessite une quantité importante d'électricité. L'énergie consommée peut s'exprimer en wattheures (Wh).

En 2024, sa consommation annuelle est estimée à \np{82000}~Gigawattheures (GWh).

En comparaison, un collège consomme en moyenne \np{200000}~kilowattheures (kWh) par an.

%\medskip
%
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{0.35\linewidth}{|X|}\hline
%\textbf{Rappels :}\\
%-- 1\,kWh $= 10^3$\,Wh\\
%-- 1\,GWh $= 10^9$\,Wh\\ \hline
%\end{tabularx}
%\end{center}

\newpage

\begin{enumerate}[resume]
\item On convertit la consommation de l'IA et d'un collège en Wh.

\begin{list}{\textbullet}{}
\item La consommation annuelle de l'IA est estimée à \np{82000}~GWh) soit $8,2\times 10^{4}$~GWh.

1\,GWh $= 10^9$\,Wh donc $8,2\times 10^{4}$~GWh $= 8,2\times 10^{4} \times 10^{9}$~Wh, soit $8,2 \times 10^{13}$~Wh.

\item La consommation annuelle d'un collège est estimée à \np{200000}~kWh) soit $2\times 10^{5}$~kWh.

1\,kWh $= 10^3$\,Wh donc $2\times 10^{5}$~kWh $= 2\times 10^{5} \times 10^{3}$~Wh, soit $2 \times 10^{8}$~Wh.
\end{list}

%\emph{Exprimer ces résultats sous la forme d'une écriture scientifique.}
\item %Combien de collèges pourrait-on alimenter pendant un an avec la consommation électrique de l'intelligence artificielle\,?
L'IA consomme par an $8,2\times 10^{13}$~Wh et un collège $2\times 10^{8}$~Wh.

$\dfrac{8,2\times 10^{13}}{2\times 10^{8}} = 4,1 \times 10^{5}=\np{410000}$

Avec la consommation électrique de l'IA on pourrait alimenter $\np{410000}$ collèges.


\item En France, il y a environ \np{7100} collèges. Dans cette question, on suppose que chaque collège a la même consommation d'énergie annuelle moyenne (\np{200000} kWh).

%Pendant combien d'années environ pourrait-on alimenter tous les collèges français avec la consommation électrique annuelle de cette intelligence artificielle\,?

$\dfrac{\np{410000}}{\np{7100}} \approx 57,7$

Donc on pourrait alimenter tous les collèges français avec la consommation électrique annuelle de cette intelligence artificielle pendant presque 58 ans.

\end{enumerate}

%\newpage

%%%%%%%%%%%%%%
\subsection*{Exercice 4 \normalfont(2 points)}

%Dans cet exercice, aucune justification n'est demandée.

Un élève souhaite réaliser une figure constituée de carrés et de triangles équilatéraux, à l'aide d'un logiciel de programmation. Pour cela, il crée les trois blocs ci-dessous :

\vspace{10pt}

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{X|}}\hline
\multicolumn{1}{|c|}{\textbf{Bloc 1}} &
\multicolumn{1}{|c|}{\textbf{Bloc 2}} &\multicolumn{1}{|c|}{\textbf{Bloc 3}}\\ \hline
\smallskip
\begin{scratch}[scale=0.86]
\initmoreblocks{définir \namemoreblocks{Initialisation}}
\blockmove{aller à x : \ovalnum{0} y : \ovalnum{0}}
\blockmove{s'orienter à ~\ovalnum{90}}
\blockpen{effacer tout}
\blockpen{stylo en position d'écriture}
\end{scratch}
&
\smallskip
\begin{scratch}[scale=0.86]
\initmoreblocks{définir \namemoreblocks{carré}}
\blockrepeat{répéter \ovalnum{\textbf{A}} fois}
{
\blockmove{avancer de \ovalnum{50} pas}
\blockmove{tourner \turnleft{} de \ovalnum{\textbf{B}} degrés}
}
\end{scratch}
&
\smallskip
\begin{scratch}[scale=0.86]
\initmoreblocks{définir \namemoreblocks{triangle équilatéral}}
\blockrepeat{répéter \ovalnum{\textbf{C}} fois}
{
\blockmove{avancer de \ovalnum{50} pas}
\blockmove{tourner \turnright{} de \ovalnum{\textbf{D}} degrés}
}
\end{scratch}
\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

L'instruction \og s'orienter à 90 \fg{} signifie que le lutin se dirige vers la droite.

\begin{enumerate}
\item %Quelles sont les coordonnées du lutin après l'exécution du Bloc 1\,?
L'instruction \og aller à x: 0 y: 0 \fg{} signifie que les coordonnées du lutin après l'exécution du Bloc 1 sont $(0\;; 0)$. 

\item %Dans les blocs 2 et 3, on a remplacé certaines valeurs par les lettres \textbf{A}, \textbf{B}, \textbf{C} et \textbf{D}.
\begin{list}{\textbullet}{Dans le Bloc 2:}
\item  on définit un carré donc il faut répéter 4 fois: A vaut 4.
\item  pour définir le carré, il faut tourner de 90\degres: donc B vaut 90.
\end{list}

\begin{list}{\textbullet}{Dans le Bloc 3:}
\item on définit un triangle , donc il faut répéter 3 fois: C vaut 3.
\item pour définir le triangle équilatéral, il faut tourner de 120\degres: donc D vaut 120.
\end{list}

%Sur la copie, indiquer la lettre et sa valeur correspondante.

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{| *4{>{\centering\arraybackslash} X|}}
\hline
A & B & C & D \\
\hline
4 & 90 & 3 & 120\\
\hline
\end{tabularx}
\end{center}


\newpage

\item L'élève a construit trois figures avec les trois programmes ci-dessous.

%Associer chaque figure au programme correspondant.
\end{enumerate}

\medskip

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{X|}}\hline
\multicolumn{1}{|c|}{\textbf{Programme 1}} &
\multicolumn{1}{|c|}{\textbf{Programme 2}} &\multicolumn{1}{|c|}{\textbf{Programme 3}}\\ \hline
\begin{scratch}[scale=0.9]
\blockinit{quand \greenflag est cliqué}
\blockmoreblocks{Initialisation}
\blockmoreblocks{triangle équilatéral}
\blockrepeat{répéter \ovalnum{\textbf{3}} fois}
{
\blockmoreblocks{carré}
\blockmove{avancer de \ovalnum{50} pas}
\blockmove{tourner \turnright{} de \ovalnum{\textbf{120}} degrés}
}
\end{scratch}
&
\begin{scratch}[scale=0.9]
\blockinit{quand \greenflag est cliqué}
\blockmoreblocks{Initialisation}
\blockmoreblocks{carré}
\blockrepeat{répéter \ovalnum{\textbf{4}} fois}
{
\blockmoreblocks{triangle équilatéral}
\blockmove{avancer de \ovalnum{50} pas}
\blockmove{\turnleft{} de \ovalnum{\textbf{90}} degrés}
}
\end{scratch}
&
\begin{scratch}[scale=0.9]
\blockinit{quand \greenflag est cliqué}
\blockmoreblocks{Initialisation}
\blockmoreblocks{triangle équilatéral}
\blockrepeat{répéter \ovalnum{\textbf{3}} fois}
{
\blockmove{avancer de \ovalnum{50} pas}
\blockmove{tourner \turnright{} \ovalnum{\textbf{60}} degrés}
\blockmoreblocks{triangle équilatéral}
\blockmove{tourner \turnright{} \ovalnum{\textbf{60}} degrés}
}
\end{scratch}\\ \hline
\end{tabularx}

\vspace{14pt}

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\textbf{Figure A} & \textbf{Figure B} &\textbf{Figure C}\\ \hline
\begin{center}
%%début Tikz
%\begin{tikzpicture}[scale=0.4]
%% Triangle du bas
%\draw[thick] (0,0) -- (2,0) -- (1,1.732) -- cycle;
%% Triangle gauche
%\draw[thick] (0,0) -- (-2,0) -- (-1,1.732) -- cycle;
%% Triangle droit
%\draw[thick] (2,0) -- (4,0) -- (3,1.732) -- cycle;
%% Triangle du bas central inversé (ligne commune)
%% Petit triangle central pointe en bas
%\draw[thick] (0,1.732) -- (2,1.732) -- (1,0) -- cycle;
%\end{tikzpicture}
%Fin Tikz
%PSTricks
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-1.5,-1.5)(1.5,1.5)
\pspolygon(1;-30)(1;90)(1;210)
\pspolygon(0.5;30)(0.5;150)(0.5;270)
\end{pspicture}
%fin PSTricks
\end{center}
\vspace{4pt}
&
\vspace{6pt}
\begin{center}
%%début Tikz
%\begin{tikzpicture}[scale=0.4]
%% Figure B : carré + triangles sur chaque côté, répété 4 fois (style losange)
%\draw[thick] (0,0) -- (2,0) -- (2,2) -- (0,2) -- cycle;
%\draw[thick] (0,0) -- (-1,-1.732) -- (1,-1.732) -- (2,0);
%\draw[thick] (2,0) -- (3.732,1) -- (2.732,2.732) -- (2,2);
%\end{tikzpicture}
%Fin Tikz
%PSTricks
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-1.5,-1.5)(1.5,1.5)
%\pspolygon(1;-30)(1;90)(1;210)
\pspolygon(0.45;30)(0.45;150)(0.45;270)
\def\car{\psframe(-0.42,-0.42)(0.42,0.4)}
\multido{\n=90+120}{3}{\rput{\n}(0.66;\n){\car}}
\end{pspicture}
%fin PSTricks
\end{center}
\vspace{4pt}
&
\vspace{6pt}
\begin{center}
%%début Tikz
%\begin{tikzpicture}[scale=0.4]
%% Figure C : deux triangles se croisant (étoile)
%\draw[thick] (-1.5,0) -- (1.5,0) -- (0,2.6) -- cycle;
%\draw[thick] (-1.5,1.3) -- (1.5,1.3) -- (0,-1.3) -- cycle;
%\end{tikzpicture}
%Fin Tikz
%PSTricks
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-1.5,-1.5)(1.5,1.5)
%\pspolygon(1;-30)(1;90)(1;210)
\def\tri{\pspolygon(0.57;-30)(0.57;90)(0.57;210)}
%\def\car{\psframe(-0.42,-0.42)(0.42,0.4)}
\psframe(-0.49,-0.49)(0.49,0.49)
%\multido{\n=0+90}{4}{\rput{\n}(0.66;\n){\tri}}
\rput(0,0.768){\tri}\rput{90}(-0.768,0){\tri}
\rput{180}(0,-0.768){\tri}\rput{-90}(0.768,0){\tri}
\end{pspicture}
%fin PSTricks
\end{center}
\vspace{6pt}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{list}{\textbullet}{}
\item En exécutant le programme 1, on trace un triangle puis trois carrés; on trace donc la figure B.
\item En exécutant le programme 2, on trace un carré puis quatre triangles équilatéraux; on trace donc la figure C.
\item En exécutant le programme 3, on trace un triangle puis trois triangles équilatéraux; on trace donc la figure A.
\end{list}

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{2}
\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|c| *3{>{\centering\arraybackslash} X|}}
\hline
Programme & 1 & 2 & 3 \\
\hline
Figure & B & C & A\\
\hline
\end{tabularx}
\end{center}

\end{document}