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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\renewcommand{\sfdefault}{phv}% police helvetica pour les blocs scratch.
\usepackage{scratch}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\tracingtabularx
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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pdfsubject = {Corrigé du brevet des collèges},
pdftitle = {Antilles-Guyane 27 juin 2019},
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du brevet des collèges}
\lfoot{\small{Antilles-Guyane}}
\rfoot{\small{27 juin 2019}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
    
{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du brevet des collèges Antilles-Guyane 27 juin 2019~\decofourright}}
    
\bigskip
    
\textbf{Durée : 2 heures} 

%\medskip
%\textbf{Indications portant sur l'ensemble du sujet :}
\end{center}
%
%\textbf{Toutes les réponses doivent être justifiées, sauf si une indication contraire est
%donnée.\\
%Pour chaque question, si le travail n'est pas terminé, laisser tout de même une
%trace de la recherche ; elle sera prise en compte dans la notation.}

\bigskip

\textbf{Exercice 1 \hfill 13 points}

\medskip

%Damien a fabriqué trois dés à six faces parfaitement équilibrés mais un peu particuliers.
%
%Sur les faces du premier dé sont écrits les six plus petits nombres pairs strictement positifs : 2 ; 4 ; 6 ; 8 ; 10 ; 12.
%
%Sur les faces du deuxième dé sont écrits les six plus petits nombres impairs positifs.
%
%Sur les faces du troisième dé sont écrits les six plus petits nombres premiers.
%
%Après avoir lancé un dé, on note le nombre obtenu sur la face du dessus.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Quels sont les six nombres figurant sur le deuxième dé ? 
Sur les faces du deuxième dé sont écrits : 1 ; 3 ; 5 ; 7 ; 9 ; 11.

%Quels sont les six nombres figurant sur le troisième dé ?
Sur les faces du troisième dé sont écrits : 2 ; 3 ; 5  ; 7 ; 11 ; 13.
\item %Zoé choisit le troisième dé et le lance. Elle met au carré le nombre obtenu.
%Léo choisit le premier dé et le lance. Il met au carré le nombre obtenu.
	\begin{enumerate}
		\item %Zoé a obtenu un carré égal à $25$. Quel était le nombre lu sur le dé qu'elle a lancé ?
On a $25 = 5^2$ : Zoé a obtenu 5.
		\item %Quelle est la probabilité que Léo obtienne un carré supérieur à celui obtenu par Zoé ?
Les nombres du premier dé dont le carré est supérieur à 25 sont : 6 ; 8 ; 10 ; 12 soit 4 nombres sur 6.
		
La probabilité que Léo obtienne un carré supérieur à celui obtenu par Zoé est donc égale à $\dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}$.
 	\end{enumerate}
\item  %Mohamed choisit un des trois dés et le lance quatre fois de suite. Il multiplie les quatre nombres obtenus et obtient 525.
	\begin{enumerate}
		\item %Peut-on déterminer les nombres obtenus lors des quatre lancers ? Justifier.
$\bullet~~$525 est impair, donc Mohamed n'a pas choisi le premier dé qui ne donne que des nombres pairs ;
		
$\bullet~~$On a $525 = 25 \times 21 = 3 \times 5^2 \times 7$.

On peut donc exclure de la liste des numéros sortis 9 et 11 pour le dé 2 et 11 et 13 pour le dé 3 ainsi que 2, car le produit serait pair.

On voit qu'avec le dé 2 ou le dé 3, il a pu obtenir (dans n'importe quel ordre) : 3 ; 5 ; 5 ; 7 qui sont les quatre nombres obtenus.

Ce sont les nombres obtenus, mais ils peuvent provenir du dé 2 ou du dé 3, donc
		\item %Peut-on déterminer quel est le dé choisi par Mohamed ? Justifier.
Ce sont les nombres obtenus, mais ils peuvent provenir du dé 2 ou du dé 3, donc on ne peut pas savoir quel est le dé choisi par Mohamed.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2 \hfill 18 points}

\medskip

%\og S'orienter à 90 \fg{} signifie que l'on se tourne vers la droite.
%
%Mathieu, Pierre et Elise souhaitent tracer le motif ci-dessous à l'aide de leur ordinateur. Ils commencent tous par le \textbf{script commun} ci-dessous, mais écrivent un script \textbf{Motif} différent.
%\medskip
%
%\parbox{0.4\linewidth}{\textbf{Script commun} aux trois élèves
%
%{\small \begin{scratch}
%\blockinit{Quand  \greenflag est cliqué}
%\blockmove{aller à x: \ovalnum{-160} y: \ovalnum{-100}}
%\blockmove{s’orienter à \ovalnum{90\selectarrownum}}
%\blockpen{effacer tout}
%\blockpen{mettre la taille du stylo à \ovalnum{4}}
%\blockpen{stylo en position d’écriture}
%\blocklook{Motif}
%\end{scratch}}
%} \hfill
%\parbox{0.57\linewidth}{\hspace{3cm}\textbf{Motif}
%
%\psset{unit=0.5cm}
%\begin{pspicture}(10,9)
%\multido{\n=6+1}{5}{\psline[linecolor=blue](\n,3)(\n,8)}
%\multido{\n=3+1}{6}{\psline[linecolor=blue](6,\n)(10,\n)}
%\pspolygon[linewidth=2.3pt](7,5)(8,5)(8,4)(9,4)(9,7)(8,7)(8,6)(7,6)
%\rput(2,2){\footnotesize Point de départ}
%\rput(8,2.5){\footnotesize Le quadrillage a des}
%\rput(8,2){\footnotesize carreaux qui mesurent}
%\rput(8,1.5){\footnotesize 10 pixels de côté.}
%\psline{->}(3,2.2)(8,4)
%\end{pspicture}}
% 
%\bigskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%\textbf{Motif de Mathieu}& \textbf{Motif de Pierre}& \textbf{Motif d'Elise}\\
%{\small \begin{scratch}
%\initmoreblocks{définir \namemoreblocks{Motif}}
%\blockmove{avancer de \ovalnum{10}}
%\blockmove{tourner \turnleft{} de \ovalnum{90} degrés}
%\blockmove{avancer de \ovalnum{30}}
%\blockmove{tourner \turnleft{} de \ovalnum{90} degrés}
%\blockmove{avancer de \ovalnum{20}}
%\blockrepeat{répéter \ovalnum{2} fois}
%{\blockmove{tourner \turnleft{} de \ovalnum{90} degrés}
%\blockmove{avancer de \ovalnum{10}}
%}
%\blockmove{tourner \turnright{} de \ovalnum{90} degrés}
%\blockmove{avancer de \ovalnum{20}}
%\end{scratch}}
%&
%{\small \begin{scratch}
%\initmoreblocks{définir \namemoreblocks{Motif}}
%\blockmove{avancer de \ovalnum{10}}
%\blockmove{tourner \turnleft{} de \ovalnum{90} degrés}
%\blockmove{avancer de \ovalnum{30}}
%\blockrepeat{répéter \ovalnum{2} fois}
%{\blockmove{tourner \turnleft{} de \ovalnum{90} degrés}
%\blockmove{avancer de \ovalnum{10}}
%\blockmove{tourner \turnleft{} de \ovalnum{90} degrés}
%\blockmove{avancer de \ovalnum{10}}
%\blockmove{tourner \turnleft{} de \ovalnum{90} degrés}
%\blockmove{avancer de \ovalnum{10}}
%}
%\blockmove{tourner \turnleft{} de \ovalnum{90} degrés}
%\end{scratch}}&
%{\small \begin{scratch}
%\initmoreblocks{définir \namemoreblocks{Motif}}
%\blockmove{avancer de \ovalnum{10}}
%\blockmove{tourner \turnleft{} de \ovalnum{90} degrés}
%\blockmove{avancer de \ovalnum{30}}
%\blockrepeat{répéter \ovalnum{2} fois}
%{
%\blockmove{tourner \turnleft{} de \ovalnum{90} degrés}
%\blockmove{avancer de \ovalnum{10}}
%\blockmove{tourner \turnleft{} de \ovalnum{90} degrés}
%\blockmove{avancer de \ovalnum{10}}
%\blockmove{tourner \turnright{} de \ovalnum{90} degrés}
%\blockmove{avancer de \ovalnum{10}}
%}
%\blockmove{tourner \turnleft{} de \ovalnum{90} degrés}
%\end{scratch}}\\ \hline
%\end{tabularx}
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item ~%Tracer le motif de Mathieu en prenant comme échelle : 1 cm pour 10 pixels.
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(3,3)
\psline(1,0)(2,0)(2,3)(0,3)(0,2)(1,2)(1,0)
\end{pspicture}
\end{center}
\item %Quel élève a un script permettant d'obtenir le motif souhaité ? On ne demande pas de justifier.
C'est le motif d'Élise.
\item%~
	\begin{enumerate}
		\item La rotation centrée au point commun des quatre motifs (au centre de la figure et  de $+ 90\degres$ permet de passer de 1 à 2 de 2 à 3 de 3 à 4.
		\item\begin{scratch}[num blocks,num start=7]
\blockrepeat{répéter \ovalnum{4} fois}
{\blocklook{Motif}
\blockmove{tourner \turnleft{} de \ovalnum{90} degrés}
}
\end{scratch}	
	\end{enumerate}

%\hspace{0.5cm}\parbox{0.6\linewidth}{ 
%On utilise ce motif pour obtenir la figure ci-contre.

%Quelle transformation du plan permet de passer à la fois du
%motif 1 au motif 2, du motif 2 au motif 3 et du motif 3 au
%motif 4 ?
%Modifier le \textbf{script commun} à partir de la ligne 7 incluse
%pour obtenir la figure voulue. On écrira sur la copie
%uniquement la partie modifiée. Vous pourrez utiliser
%certaines ou toutes les instructions suivantes :

%\parbox{0.31\linewidth}{\psset{unit=0.5cm}
%\begin{pspicture}(8,8)
%\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=blue]
%\def\Te{\pspolygon[linewidth=1.6pt](0,0)(3,0)(3,1)(2,1)(2,2)(1,2)(1,1)(0,1)}
%\rput(4,3){\Te}\rput{90}(5,4){\Te}\rput{-90}(3,4){\Te}\rput{-180}(4,5){\Te}
%\rput(2.5,4.5){2}
%\rput(4.5,5.5){1}
%\rput(3.5,2.5){3}
%\rput(5.5,3.5){4}
%\end{pspicture}
%}
%
%\medskip
%
%\begin{scratch}
%\blockrepeat{répéter \ovalnum{2} fois}
%{}
%\end{scratch} \begin{scratch}\initmoreblocks{\namemoreblocks{Motif}}\end{scratch}
%
%\begin{scratch}\blockmove{tourner \turnleft{} de \ovalnum{} degrés}\end{scratch}
%\begin{scratch}\blockmove{avancer de \ovalnum{}}\end{scratch}
%\begin{scratch}\blockmove{tourner \turnright{} de \ovalnum{} degrés}\end{scratch}

\item  %Un élève trace les deux figures A et B que vous trouverez en \textbf{ANNEXE 1.1}

%Placer sur cette annexe, \textbf{qui est à rendre avec la copie}, le centre O  de la symétrie centrale qui transforme la figure A en figure B.
Voir sur l'annexe le point en rouge.
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{Exercice 3 \hfill 17 points}

\medskip

%Le premier juillet 2018, la vitesse maximale autorisée sur les routes à double sens de circulation, sans séparateur central, a été abaissée de $90$ km/h à $80$ km/h.
%
%En 2016, \np{1911} personnes ont été tuées sur les routes à double sens de circulation, sans séparateur central, ce qui représente environ 55\,\% des décès sur l'ensemble des routes en France.
%
%\emph{Source : www.securite-routiere.gouv.fr}
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Si $x$ est le nombre de personnes tuées sur toutes les routes, on a :
		
		\dfrac{55}{100} \times x = \np{1911}$, d'où $x = \np{1911} \times \dfrac{100}{55} \approx \np{3474,55}$ soit \np{3475} tués à l'unité près.
%Montrer qu'en 2016, il y a eu environ \np{3475} décès sur l'ensemble des routes en France.
		\item %Des experts ont estimé que la baisse de la vitesse à $80$ km/h aurait permis de sauver $400$ vies en 2016. 
		
%De quel pourcentage le nombre de morts sur l'ensemble des routes de France
%aurait-il baissé ? Donner une valeur approchée à $0,1$\,\% près.
400 sur \np{3475} représentent $\dfrac{400}{\n{3475}}\times 100 \approx 11,51$, soit au dixième près 11,5\,\%
	\end{enumerate}
\item %En septembre 2018, des gendarmes ont effectué une série de contrôles sur une route dont la vitesse maximale autorisée est $80$ km/h. Les résultats ont été entrés dans un tableur dans l'ordre croissant des vitesses. Malheureusement, les données de la colonne B ont été effacées.
	
\begin{center}
	\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|l|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}c|}\hline
	&A 						&B 	&C 	&D 	&E 	&F 	&G 	&H 	&I 	&J &K\\ \hline
1 	&vitesse relevée (km/h)	&	&72 &77 &79 &82 &86 &90 &91 &97& TOTAL\\ \hline
2 	&nombre d'automobilistes&	& 2 &10 &6 	&1 	&7 	&4 	&3 	&6	&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item %Calculer la moyenne des vitesses des automobilistes contrôlés qui ont dépassé la vitesse maximale autorisée. Donner une valeur approchée à $0,1$ km/h près.
Moyenne des vitesses des véhicules en excès de vitesse : 
		
		$\dfrac{82 + 7 \times 86 + 4 \times 90 + 3 \times 91 + 6 \times 97}{1 + 7 + 4 + 3 + 6} = \dfrac{\np{1899}{21} \approx 90,42$ soit 90,4~(km/h) au dixième près.
		\item %Sachant que l'étendue des vitesses relevées est égale à $27$ km/h et que la médiane est égale à $82$ km/h, quelles sont les données manquantes dans la colonne B ?
$\bullet~~$Si $b$ est la vitesse la plus basse, on a donc $97 - b = 27$ ou $b = 97 - 27 = 70$.

$\bullet~~$La médiane étant égale 82, il y a $7 + 4 + 3 + 6 = 20$ vitesses supérieures à cette médiane donc 20 qui sont inférieures : on en connait déjà $2 + 10 + 6 = 18$ : conclusion : 2 automobilistes ont été contrôlés à 70~km/h.

Il y a donc en B1  : 70 et en B2 : 2.
		\item %Quelle formule doit-on saisir dans la cellule K2 pour obtenir le nombre total d'automobilistes contrôlés?
		Il faut écrire =Somme(B2:J2)
	\end{enumerate}.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 4 \hfill 10 points}

\medskip

%Leila est en visite à Paris. Aujourd'hui, elle est au Champ de Mars où l'on peut voir la tour Eiffel dont la hauteur totale BH est $324$~m.
%
%Elle pose son appareil photo au sol à une distance AB = 600 m du monument et le programme pour prendre une photo (voir le dessin ci-dessous).
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Quelle est la mesure, au degré près, de l'angle $\widehat{\text{HAB}}$ ?
La Tour Eiffel est en principe verticale : le triangle ABH est donc rectangle en B et dans ce triangle on a $\tan \widehat{\text{HAB}} = \dfrac{\text{côté opposé}}{\text{côté adjacent}} = \dfrac{324}{600} = \dfrac{6 \times 54}{6 \times 100} = \dfrac{54}{100} = 0,54$.

La calculatrice donne $\widehat{\text{HAB}} \approx 28,369$, soit 28\degres au degré près.
\item %Sachant que Leila mesure $1,70$ m, à quelle distance AL de son appareil doit-elle se placer pour paraître aussi grande que la tour Eiffel sur sa photo ?
Leila étant en position verticale le segment la représentant est parallèle au segment [BH].

On peut donc d'après la propriété de Thalès :

$\dfrac{\text{hauteur de Leila}}{\text{BH}} = \dfrac{\text{AL}}{\text{AB}}$, soit

$\dfrac{1,70}{324} = \dfrac{\text{AL}}{600}$. on a donc :

AL $ = 600\times \dfrac{1,70}{324} \approx 3,148$~(m) soit 3,15~m au centimètre près.

%Donner une valeur approchée du résultat au centimètre près.
\end{enumerate}

%\begin{center}
%\psset{unit=0.9cm,arrowsize=2pt 3}
%\begin{pspicture}(10,5)
%\pspolygon(1,1)(9,1)(9,4.5)%ABL
%\uput[dl](1,1){A}\uput[d](9,1){B}\uput[ur](9,4.5){H}
%\uput[u](1,1){appareil photo}\uput[u](3.,1){Leila}\rput{90}(9.5,2){Tour Eiffel}
%\uput[d](3,1){L}
%\psline(3,1)(3,1.88)
%\rput(5,-0.2){Le dessin n'est pas à l'échelle}
%\uput[u](4.5,0.4){AB  = 600 m}\rput{90}(9.5,3.75){324~m}
%\psline[linewidth=0.3pt]{<->}(1,0.4)(9,0.4)
%\end{pspicture}
%\end{center}

\bigskip

\textbf{Exercice 5 \hfill 22 points}

\medskip

%Voici deux programmes de calcul:
%
%\medskip
%
%\parbox{0.48\linewidth}{\begin{center}\textbf{PROGRAMME A}
%
%\psset{unit=1cm}
%\begin{pspicture}(0,0.5)(6,6)
%%\psgrid
%\rput(3,5){Choisir un nombre}\psframe(1.4,4.7)(4.6,5.2)\psline{->}(2.5,4.7)(2,3.3)
%\rput(2,3){Multiplier par 4}\psframe(0.8,2.8)(3.3,3.3)\psline{->}(3,4.7)(4.,4.3)
%\rput(4,4){Soustraire 2}\psframe(3,3.8)(5,4.3)\psline{->}(2,2.8)(2.5,1.2)
%\rput(4,2){Élever au carré}\psframe(2.8,1.7)(5.2,2.2)\psline{->}(4,3.8)(4,2.2)
%\rput(3,1){ Ajouter les deux nombres}\psframe(1,0.7)(5,1.2)\psline{->}(4,1.7)(3.5,1.2)
%\end{pspicture}
%\end{center}}\hfill
%\parbox{0.48\linewidth}{\begin{center}\textbf{PROGRAMME B}
%\vspace{1.5cm}
%\psset{unit=1cm}
%\begin{pspicture}(6,4)
%%\psgrid
%\uput[r](1,3.5){$\bullet~~$Choisir un nombre}
%\uput[r](1,2.5){$\bullet~~$Calculer son carré}
%\uput[r](1,1.5){$\bullet~~$Ajouter 6 au résultat.}
%\psframe(1,3.8)(4.6,1.2)
%\end{pspicture}
%\end{center}}
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que, si l'on choisit le nombre $5$, le résultat du programme A est $29$.
		En partant de 5, on obtient à gauche $5 \times 4 = 20$ et à droite $5 - 2 = 3$, puis $3^2 = 9$ et finalement la somme $20 + 9 = 29$.
		\item %Quel est le résultat du programme B si on choisit le nombre 5 ?
		On obtient $5 \to 5^2 = 25 \to 25 + 6 = 31$.
	\end{enumerate}
\item %Si on nomme $x$ le nombre choisi, expliquer pourquoi le résultat du programme A peut s'écrire $x^2 + 4$.
À partir de $x$ le programme A donne  :

$x \to 4x$ à gauche $x - 2)$ puis $(x - 2)^2$ et en faisant la somme :

$4x + (x - 2)^2 = 4x + x^2 + 4 - 4x = x^2 + 4$.
\item %Quel est le résultat du programme B si l'on nomme $x$ le nombre choisi ?
Le programme B donne à partir de $x$ :

$x \to x^2 \to x^2 + 6$. 
\item %Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses? Justifier les réponses et écrire les étapes des éventuels calculs :
	\begin{enumerate}
		\item %\og Si l'on choisit le nombre $\dfrac{2}{3}$, le résultat du programme B est $\dfrac{58}{9}$. \fg
$\dfrac{2}{3} \to \left(\dfrac{2}{3}\right)^2 + 6 = \dfrac{4}{9} + 6 = \dfrac{4}{9} + \dfrac{54}{9} = \dfrac{58}{9}$ : l'affirmation est vraie.		
		\item %\og Si l'on choisit un nombre entier, le résultat du programme B est un nombre entier impair. \fg
		Si $x$ est pair, alors $x^2$ est pair et $x^2 + 6$ est pair : l'affirmation est fausse.
		\item %\og Le résultat du programme B est toujours un nombre positif. \fg
	Quel que soit le nombre $x$, \: $x^2 + 6 \geqslant 6 > 0$ : l'affirmation est vraie
		\item %\og Pour un même nombre entier choisi, les résultats des programmes A et B sont ou bien tous les deux des entiers pairs, ou bien tous les deux des entiers impairs. \fg
$\bullet~~$si $x$ est pair, alors $x^2$ et $x^2 + 4$ sont pairs et $x^2 + 6$ est pair ;

$\bullet~~$si $x$ est impair, alors $x^2$ est impair et $x^2 + 4$ est impair et $x^2 + 6$ est impair : l'affirmation est vraie.  
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 6 \hfill 20 points}

\medskip

%Pour servir ses jus de fruits, un restaurateur a le choix entre deux types de verres : un verre cylindrique A de hauteur $10$~cm et de rayon $3$~cm et un verre conique B de hauteur $10$~cm et de rayon $5,2$~cm.
%
%\medskip
%
%\parbox{0.42\linewidth}{\psset{unit=0.9cm}
%\begin{pspicture}(8,6)
%%\psgrid
%\psellipse(1.5,5)(1.1,0.2)\psline{<->}(1.5,5)(2.6,5)\uput[u](2.05,5){\small 3~cm}
%\psellipse(1.5,1)(1.1,0.2)
%\psline(0.4,1)(0.4,5)\psline(2.6,1)(2.6,5)
%\psellipse(5,5)(1.7,0.4)
%\psellipse(5,1)(1.1,0.2)
%\rput(1.5,0){Verre A}\rput(5,0){Verre B}
%\psline{<->}(3,1)(3,5)\uput[r](3,3){\small 10~cm}
%\psline{<->}(5,5)(6.7,5)\uput[u](5.85,4.85){\small 5,2~cm}
%\psline(3.3,4.95)(5,1)(6.7,4.95)
%\end{pspicture}}\hfill 
%\parbox{0.56\linewidth}{\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline
%\textbf{Rappels :}\\
%$\bullet~~$ Volume d'un cylindre de rayon $r$ et de hauteur $h$ :
%
%\[\pi \times  r^2 \times h\]\\
%$\bullet~~$ Volume d'un cône de rayon $r$ et de hauteur $h$ :
%
%\[\dfrac{1}{3} \times  \pi \times r^2 \times h\]\\
%$\bullet~~$ 1 L = 1 dm$^3$\\ \hline
%\end{tabularx}}
%
%Le graphique situé en \textbf{ANNEXE 1.2} représente le volume de jus de fruits dans chacun des verres en fonction de la hauteur de jus de fruits qu'ils contiennent.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item Répondre aux questions suivantes à l'aide du graphique en \textbf{ANNEXE 1.2} :
	\begin{enumerate}
		\item %Pour quel verre le volume et la hauteur de jus de fruits sont-ils proportionnels ? Justifier.
Le volume est proportionnel à la hauteur pour le verre cylindrique.
		\item %Pour le verre A, quel est le volume de jus de fruits si la hauteur est de $5$~cm ?
On lit approximativement $V \approx 141$~cm$^3$.
		\item %Quelle est la hauteur de jus de fruits si on en verse $50$~cm$^3$ dans le verre B ?
On lit approximativement $h \approx 5,6$~cm.
 	\end{enumerate}
\item  %Montrer, par le calcul, que les deux verres ont le même volume total à $1$ cm$^3$ près.
$V_{\text{A}} = \pi \times 3^2 \times 10 = 90\pi \approx 282,74$~cm$^3$ ;

$V_{\text{B}} = \dfrac{1}{3} \times \pi \times 5,2^2 \times 10 = \dfrac{270,4}{3}\pi \approx 283,16$~cm$^3$.

Les deux verres ont le même volume à 1 cm$^3$ près. 
\item %Calculer la hauteur du jus de fruits servi dans le verre A pour que le volume de jus soit égal à $200$~cm$^3$. Donner une valeur approchée au centimètre près.
On doit avoir $200 = \pi \times 3^2 \times h$, soit $h = \dfrac{200}{9\pi} \approx 7,07$~cm soit environ 7~cm..
\item  %Un restaurateur sert ses verres de telle sorte que la hauteur du jus de fruits dans le verre soit égale à $8$~cm.
	\begin{enumerate}
		\item %Par lecture graphique, déterminer quel type de verre le restaurateur doit choisir pour servir le plus grand nombre possible de verres avec 1 L de jus de fruits.
		Graphiquement o voit qu'avec une hauteur de 8~cm le volume de jus dans le verre B sera d'environ 140~cm$^3$, alors que dans le verre A il y aura plus de 220~cm$^3$. le restaurateur fera davantage de verres en utilisant des verres B.
		\item %Par le calcul, déterminer le nombre maximum de verres A qu'il pourra servir avec 1 L de jus de fruits.
1~L $  = 1~\text{dm}^3 = \np{1000}$~cm$^3$.

Il y aura dans les verres A pour une hauteur de 8~cm : $\pi \times 3^2 \times 8 = 72 \pi$cm$^3$.

Donc avec 1 L il pourra faire $\dfrac{\np{1000}}{72\pi} \approx 4,4$ : il pourra servir donc au plus 4 verres A.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}
\textbf{\large ANNEXE 1 - A rendre avec la copie}

\vspace{2cm}


\textbf{ANNEXE 1.1}

\bigskip

\psset{unit=0.5cm}
\begin{pspicture}(16,10)
\multido{\n=0+1}{17}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=blue](\n,0)(\n,10)}
\multido{\n=0+1}{11}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=blue](0,\n)(16,\n)}
\def\Te{\pspolygon[linewidth=1.6pt](0,0)(3,0)(3,1)(2,1)(2,2)(1,2)(1,1)(0,1)}
\rput(4,3){\Te}\rput{90}(5,4){\Te}\rput{-90}(3,4){\Te}\rput{-180}(4,5){\Te}
\rput(12,5){\Te}\rput{90}(13,6){\Te}\rput{-90}(11,6){\Te}\rput{-180}(12,7){\Te}
\rput(3.5,0.5){Figure A}
\rput(11.5,2.5){Figure B}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=2,linecolor=red,linewidth=2pt](8,5)
\end{pspicture}

\vspace{1.5cm}

\textbf{ANNEXE 1.2}

\bigskip

\psset{xunit=1cm,yunit=0.025cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-25)(10.5,325)
\multido{\n=0.0+0.2}{53}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,325)}
\multido{\n=0+1}{11}{\psline[linewidth=0.6pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,325)}
\multido{\n=0+10}{33}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](0,\n)(10.5,\n)}
\multido{\n=0+10}{7}{\psline[linewidth=0.6pt,linecolor=orange](0,\n)(10.5,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=50]{->}(0,0)(0,0)(10.5,325)
\uput[r](0,310){\footnotesize Volume de jus de fruits (en cm$^3$)}
\uput[d](8.6,-18){\footnotesize hauteur de jus de fruits (en cm)}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{10}{ x 3 exp 5.2 mul 5.2 mul 3.14159 mul 300 div}
\psline[linestyle=dashed](0,0)(10,283.162)
\uput[dr](7.8,140){\blue Verre B}
\uput[ul](6,170){Verre A}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}