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%Merci à :Victor Rabiet
%Corrigé :Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du brevet des collèges}
\lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}}
\rfoot{\small{13 décembre 2022}}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 2 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du brevet Nouvelle--Calédonie~\decofourright}}\\[7pt]
{\Large \textbf{13 décembre 2022}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 : Vrai ou Faux\hfill 18 points}

\medskip

%Pour chacune des trois affirmations ci-dessous, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse.

%\medskip

\textbf{Affirmation \no 1 :} %La vitesse d'un avion qui vole à \np{1200} km/h est supérieure à la vitesse du son qui est $340,29$~m/s.
\np{1200} km/h soit $\np{1200000}$~m en \np{3600}~s soit $\dfrac{\np{1200000}}{\np{3600}} \approx 333,33$ mètres en une seconde. Affirmation fausse.
\smallskip

\textbf{Affirmation \no 2 :} %Pour tout nombre $x$, on a $4(4x - 4) + 16 = 16 x^2$.

$4(4x - 4) + 16 = 16x - 16 + 16 =  16x$. Affirmation fausse.
\smallskip

\textbf{Affirmation \no 3 :}  %$33 \times 13$ est la décomposition en produit de facteurs premiers de $429$.
$33 = 3 \times 11$ n'est pas un nombre premier.  Affirmation fausse.

\bigskip

\textbf{Exercice 2 : QCM\hfill 12 points}

\medskip

%Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM).
%
%Pour chaque question, \textbf{une seule} des trois réponses proposées est exacte.
%
%Sur la copie, indiquer le numéro de la question et la réponse A, B ou C choisie.
%
%Aucune justification n'est demandée.
%
%Aucun point ne sera enlevé en cas de mauvaise réponse.
%
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{5cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%\multicolumn{2}{c|}{Questions}&Réponse A&Réponse B&Réponse C\\ \hline
%1&Dans un tableur, quelle formule faut-il saisir dans la cellule D1 pour afficher la somme des nombres des cellules A1, B1 et C1 ?
%
%\begin{tabular}{|*{5}{c|}}\hline
%	&A&B&C&D\\ \hline
%1	&3&5&4&\\ \hline
%\end{tabular}&=somme(A1:~C1)&=(A1:~C1)&somme(A1*C1)\\ \hline
%2&Soit la série de nombres:
%
%15 ; 10 ; 13 ; 9 ; 10 ; $x$.
%
%La moyenne de la série est 11 pour $x$
%égal à \ldots&9&10&11\\ \hline
%3&Sur la Terre, l'équateur est:&un méridien&un demi-cercle&un parallèle\\ \hline
%4&Le volume exact, en cm$^3$, d'une boule de $6$~cm de diamètre est :
%
%{\footnotesize On rappelle le volume $V$ d'une boule de rayon $R$}
%
%{\footnotesize $V = \dfrac{4\pi R^3}{3}$}&$36\pi$&\np{113,0973355}&$288\pi$\\ \hline
%\end{tabularx}
%\end{center}
\textbf{Question 1} : =somme(A1:~C1)

\textbf{Question 2} : la moyenne est égale à $\dfrac{15 + 10 + 13 + 9 + 10 + x}{6} = \dfrac{57 + x}{6}$.

On a $\dfrac{57 + x}{6} = 11$ si $57 + x = 66$ ou $x = 9$.

\textbf{Question 3} : L'Équateur est un parallèle.

\textbf{Question 4} : On a $V = \dfrac{4 \times \pi \times 3^3}{3} = 4 \times \pi \times 3^2 = 36\pi$.
\bigskip

\textbf{Exercice 3 : Le vent\hfill 12 points}

\medskip

%On a relevé la vitesse du vent à 13 heures du 1\up{er} au 15 novembre sur une plage de Nouvelle- Calédonie. 
%
%Les vitesses approchées sont données, en nœuds, dans le tableau ci-dessous :
%
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3cm}|*{15}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%Jours du 1\up{er} au 15 novembre&1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8 &9 &10 &11 &12 &13 &14 &15\\ \hline
%Vitesse du vent en nœuds& 10 &15 &20 &20 &15 &10 &10 &20 &15 &25 &25 &25 &20 &15 &15\\ \hline
%\end{tabularx}
%\end{center}

\begin{enumerate}
\item %À partir des données ci-dessus, compléter le tableau figurant sur l'annexe.
Voir l'annexe à la fin.
\item %Calculer le pourcentage de jours où la vitesse de vent est supérieure ou égale à 15 nœuds sur la plage, entre le 1\up{er} et le 15 novembre.
Il y a 12 jours sur 15 où la vitesse de vent a été supérieure ou égale à 15 nœuds sur la plage, entre le 1\up{er} et le 15 novembre, soit un pourcentage de $\dfrac{12}{15} \times 100 = \dfrac45 \times 100 = \dfrac{400}{5} = 80$(\,\%).
\item %Déterminer la vitesse médiane du vent sur la plage durant cette période.
La 7\up{e} et la 8\up{e} valeur de la série sont égales à 15 : 15 est donc la vitesse médiane
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 4 : Construction\hfill 20 points}

\medskip

%Un triangle MWB est tel que MB $= 7,5$cm; WB $= 4,5$~cm et MW $= 6$~cm.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Sur la copie, construire le triangle MWB.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture*}(-0.3,-0.3)(9,7)
%\psgrid
\psline(0.2,0.2)(7.7,0.2)
\psarc(0.2,0.2){6}{30}{50}
\psarc(7.7,0.2){4.5}{120}{150}
\psline(0.2,0.2)(5,3.8)(7.7,0.2)
\uput[d](3.95,0.2){7,5}\uput[ul](2.6,2){6}\uput[ur](6.35,2){4,5}
\uput[dl](0.2,0.2){M}\uput[dr](7.7,0.2){B}\uput[u](5,3.8){W}
\psarc(5,3.8){3}{-58}{-48}\uput[r](6.8,1.4){F}\uput[ul](1.8,1.4){E}
\psline(6.8,1.4)(1,1.4)\psline(5,3.8)(9.8,7.4)\uput[l](8.2,6.2){T}
\psarc(5,3.8){4}{30}{40}\psline(8.2,6.2)(7.7,0.2)
\end{pspicture*}
\end{center}

\item %Montrer que le triangle MWB est rectangle en W.

%Rédiger la réponse en faisant apparaître les différentes étapes.
On a MB$^2 = 7,5^2 = 56,25$ ;

D'autre part $\text{MW}^2 + \text{WB}^2 = 6^2 + 4,5^2 = 36 + 20,25 = 56,25$.

Or $56,25 = 36 + 20,25$ ou encore $\text{MB}^2 = \text{MW}^2 + \text{WB}^2$ qui montre par réciproque du théorème de Pythagore que le triangle MWB est rectangle en W.
\item %Calculer la mesure de l'angle $\widehat{\text{BMW}}$. Arrondir le résultat au degré près.
Dans le triangle rectangle en W, MWB, on a $\cos \widehat{\text{BMW}} = \dfrac{\text{MW}}{\text{MB}} = \dfrac{6}{7,5} = \dfrac{2}{2,5} = \dfrac{4}{5} = 0,8$.

La calculatrice donne $\widehat{\text{BMW}} \approx 36,87 \approx 37(\degres)$.
\item
	\begin{enumerate}
		\item %Placer le point F sur le segment [WB] tel que WF $= 3$~cm.
Voir la figure.
		\item %Tracer la parallèle à (MB) passant par F. Elle coupe (MW) en E. Placer le point E.
Voir la figure.
		\item %Calculer WE.
		Les droites (EF) et (BM) sont parallèles : on a donc une configuration de Thalès et on peut donc écrire :
		
$\dfrac{\text{WE}}{\text{WM}} = \dfrac{\text{WF}}{\text{WB}}$, ou encore $\dfrac{\text{WE}}{6} = \dfrac{3}{4,5}$, d'où WE $= 6 \times \dfrac{3}{4,5} = \dfrac{18}{4,5} = \dfrac{36}{9} = 4$~(cm).

%\textbf{Rédiger la réponse en faisant apparaître les différentes étapes.}
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Placer le point T sur la demi-droite [MW) de la figure précédente tel que MT $= 10$~cm.
Voir la figure.
		\item %Tracer le segment [TB].
Voir la figure.
	\end{enumerate}
\item %Calculer la longueur TE.
On a MT $= 10 = \text{MW} + \text{WT} = 6 + \text{WT}$, d'où $\text{WT} = 10 - 6 = 4$.

Or WE $ = 4$, donc TE $ = \text{TW} + \text{WE} = 4 + 4 = 8$.
%\textbf{Faire apparaître les différentes étapes du calcul.}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 5 : Le club \hfill 20 points}

\medskip

Juliette désire apprendre la planche à voile, elle prend des renseignements auprès d'un club qui propose trois tarifs mensuels.

\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] Le tarif découverte à \np{1600}~F par heure de cours.
\item[$\bullet~~$] Le tarif personnalisé qui comprend une carte d'adhérent à \np{4800}~F et un prix fixe de $600$~F par heure de cours.
\item[$\bullet~~$] Le tarif renforcé à \np{9600}~F pour un nombre illimité d'heures de cours.
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Calculer le prix à payer pour 4 heures de cours avec le tarif découverte.
4 heures à \np{1600}~F coûtent $4 \times \np{1600} = \np{6400}$~(F).
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que 4 heures de cours avec le tarif personnalisé coûtent 7200 F.
4 heures de cours avec le tarif personnalisé coûtent $\np{4800} + 4 \times 600 = \np{4800} + \np{2400} = \np{7200}$~(F).
		\item %Calculer le prix à payer pour $10$ heures de cours avec le tarif personnalisé.
$10$ heures de cours avec le tarif personnalisé coûtent $\np{4800} + 10 \times 600 = \np{4800} + \np{6000} = \np{10800}$~(F).

%On désigne par $x$ le nombre d'heures de cours. On note $P(x)$ le prix à payer en francs avec le tarif personnalisé.
		\item %Exprimer $P(x)$ en fonction de $x$.
		On a $P(x) =  \np{4800} + x \times 600 = \np{4800} + 600x$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

%Les fonctions donnant les prix à payer avec les tarifs découverte et renforcé sont représentées sur l'annexe.

\begin{enumerate}[resume]
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Pour combien d'heures de cours ces deux tarifs sont-ils égaux?
D'après les représentations graphiques il semble que le prix au tarif découverte est égal au prix renforcé pour  $x = 6$.
		
$\np{1600}x = \np{4800} + 600x$ soit $\np{1000}x = \np{4800}$ ou $x = 4,8$ : ceci n'est pas possible puisque le nombre d'heure de cours est un entier.
		\item %Tracer la représentation graphique de la fonction $P$ définie par $P(x) = 600x + \np{4800}$ sur l'annexe.
Voir l'annexe. On utilise les points (4~;~\np{7200}) et (10~;~10800) des questions 2. a. et 2. b.
		\item %Quel est le tarif le plus économique pour Juliette si elle décide de prendre $7$ heures de cours ? Justifier la réponse.
En traçant la verticale à partir du point (7~;~0), la première droite rencontrée est celle du tarif personnalisé qui est donc le moins cher.
		
$P(7) = 600 \times 7 + \np{4800} = \np{4200} + \np{4800} = \np{9000}$.
	\end{enumerate}
\item %Pour combien d'heures de cours Juliette paie-t-elle le même prix avec le tarif personnalisé et le tarif renforcé ?
$\bullet~~$ Graphiquement pour 8 heures de cours Juliette paiera le même prix avec le tarif personnalisé et le tarif renforcé.

$\bullet~~$ Par le calcul : Il faut trouver $x$ tel que $P(x) = \np{9800}$, soit résoudre l'équation dans l'ensemble des naturels :

$\np{4800} + 600x = \np{9600}$, soit $600x = \np{4800}$ ou $x = \dfrac{\np{4800}}{600} = 8$.

Pour 8 heures de cours le prix est le même avec le tarif renforcé et le tarif personnalisé.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 6 : Les dés\hfill 13 points}

\medskip

%\begin{minipage}{0.6\linewidth}
%Gabriel lance deux fois de suite un dé équilibré à quatre faces numérotées de 1 à 4 et il relève le numéro qui figure sur la face cachée du dé.
%
%Si Gabriel obtient 2 au premier lancer puis 4 au second, il note (2~;~4).
%\end{minipage}\hfill
%\begin{minipage}{0.35\linewidth}
%\begin{center}
%\psset{unit=1cm}
%\begin{pspicture}(4.5,3.7)
%\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=red](0,0.2)(1.95,3.6)(4.15,1.1)(4,0)
%\psline[linewidth=2pt,linecolor=white](1.95,3.6)(4,0)
%\rput(2,1.5){\white \Huge 3}
%\rput{28}(3.4,1.5){\white \Huge 1}
%\end{pspicture}
%\end{center}
%\end{minipage}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Gabriel a noté (3 ; 2).
	\begin{enumerate}
		\item %Quel numéro a-t-il obtenu au premier lancer ?
Gabriel a obtenu 3 au premier lancer.
		\item %Quel numéro a-t-il obtenu au second lancer ?
Gabriel a obtenu 2 au second lancer.
	\end{enumerate}
\item %Quelles sont les $16$ issues possibles de ce jeu ?
(1~;~1) (1~;~2) (1~;~3) (1~;~4) (2~;~1) (2~;~2) (2~;~3) (2~;~4) (3~;~1) (3~;~2) (3~;~3) (3~;~4) (4~;~1) (4~;~2) (4~;~3) (4~;~4).
\item %Que dire de l'évènement $A$ : \og Obtenir 1 en additionnant les deux numéros obtenus\fg{} ?
L'évènement $A$ est impossible : la plus petite somme est 2.

%L'évènement $B$ : \og Obtenir 7 en additionnant les deux numéros obtenus \fg{} peut être réalisé avec l'issue (3~;~4) ou avec l'issue (4~;~3).
\item %Donner les quatre issues possibles qui réalisent l'évènement $C$ : \og Obtenir 5 en additionnant les deux numéros obtenus \fg.
(1~;~4), (2~;~3), (3~;~2), (4~;~1).
\item %Quelle est la probabilité que l'évènement $C$ se réalise ?
Il y a 4 issues favorables sur les 16 possibles, donc $p(C) = \dfrac{4}{16} = \dfrac14 = 0,25$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 7 : Le drapeau\hfill 11 points}

\medskip

%\begin{minipage}{0.6\linewidth}
%\begin{enumerate}
%\item Dessiner sur la copie le motif correspondant au script Scratch
%ci-contre, le stylo étant en position d'écriture.
%
%On prendra 1 cm pour $10$ pas.
%\end{enumerate}
%\end{minipage}\hfill
%\begin{minipage}{0.35\linewidth}
%\begin{scratch}
%\initmoreblocks{définir \namemoreblocks{motif de base}}
%\blockmove{avancer de \ovalnum{60} pas}
%\blockrepeat{répéter \ovalnum{4} fois}
%{\blockmove{avancer de \ovalnum{40} pas}
%\blockcontrol{attendre \ovalnum{0,5} seconde}
%\blockmove{tourner \turnright{} de \ovalnum{90} degrés}
%}
%\end{scratch}
%\end{minipage}
%
%\begin{enumerate}[start=2]
%\item \textbf{Sur l'annexe}, compléter les informations manquantes du script \no 2 qui permet d'obtenir la figure ci-dessous.
%
%\begin{center}
%\psset{unit=1cm}
%\begin{pspicture}(-2.5,-2.5)(2.5,2.5)
%\def\drapeau{\psline[linecolor=blue](0,0)(2.1,0)(2.1,-0.8)(1.3,-0.8)(1.3,0)}
%\multido{\n=18+45}{8}{\rput{\n}(0,0){\drapeau}}
%\end{pspicture}
%\end{center}
%\end{enumerate}
Motif de base : \begin{pspicture}(10.2,4.2)
\psline(0,4)(6,4)\psframe(6,4)(10,0,4)
\end{pspicture}
\newpage
\begin{center}\textbf{ANNEXE À RENDRE AVEC LA COPIE} \end{center}

\smallskip

\textbf{Exercice 3 : question 1}

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{5cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Vitesse du vent (en nœuds)	&\black 10 &\black 15 			&\black 20 	&\black 25\\ \hline
Nombre de jours				&\black 3	&\red 5			&\red 4	&\black 3\\ \hline
Fréquence en \,\% arrondie 
à l'unité					&\red 20	&\black 33		&\red 27&\red 20\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\textbf{Exercice 5 : question 3}

\begin{center}
\psset{xunit=0.8cm,yunit=0.0005cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(-1,-1000)(16.5,16000)
\multido{\n=0+1}{17}{\psline[linewidth=0.1pt](\n,0)(\n,16000)}
\multido{\n=0+2000}{8}{\psline[linewidth=0.1pt](0,\n)(16.5,\n)}
\multido{\n=0+2000}{8}{\uput[l](0,\n){\np{\n}}}
\multido{\n=0+200}{81}{\psline[linecolor=blue](-0.2,\n)(0,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=16000]{->}(0,0)(0,0)(16.5,16000)
\psline[linestyle=dashed,linecolor=red](4,0)(4,7200)(0,7200)
\psline[linestyle=dashed,linecolor=red](10,0)(10,10800)(0,10800)
\psplot[linewidth=1.25pt,linecolor=red,plotpoints=500]{0}{16}{600 x mul 4800 add}
\rput{20}(14,12600){\red Tarif personnalisé}
\psline(0,9600)(16.5,9600)
\psplot[plotpoints=500]{0}{9.8}{1600 x mul}
\rput{45}(8.75,13500){Tarif découverte}
\uput[d](15,9600){Tarif renforcé}
\end{pspicture}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Exercice 7 : question 2}

\medskip

\begin{center}
\textbf{Script \no 2}

\begin{scratch}
\blockinit{Quand \greenflag est cliqué}
\blockpen{effacer tout}
\blockpen{stylo en position d'écriture}
\blockmove{aller à x: \ovalnum0 y: \ovalnum0}
\blockrepeat{répéter \ovalnum{\red 8} fois}
{\blockmoreblocks{motif de base}
\blockmove{aller à x: \ovalnum{\red 0}  y: \ovalnum{\red 0} }
\blockmove{tourner \turnright{} de \ovalnum{\red 45} degrés}
\blockcontrol{attendre \ovalnum{0,5} seconde}
}
\end{scratch}
\end{center}
\end{document}