\documentclass[11pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{makeidx}
\makeindex
\usepackage{fancybox}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\newcommand{\textding}[1]{\text{\ding{#1}}}
\usepackage{lscape}
\usepackage{tabularx,booktabs}
\usepackage{scratch3}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{multicol}
\usepackage{multirow}
\definecolor{scrmovedddd}{HTML}{3373cc}%
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit et corrigé : François Hache
%Relecture : Denis Vergès
\usepackage{pst-eucl}
\usepackage{diagbox}% à mettre après pst-eucl
\usepackage{graphicx,pstricks,pst-plot,pst-grad,pst-node,pst-text,pstricks-add}
\usepackage{pstricks-add}
%\usepackage{pgf,tikz,pgfplots}
%\usetikzlibrary{patterns,calc,decorations.pathmorphing}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=2.2cm, bottom=2cm]{geometry}
\setlength\headheight{13.7pt}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[french]{babel}
\DecimalMathComma
\usepackage[np]{numprint}
\usepackage{colortbl}
\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Brevet},
pdftitle = {Année 2024},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}

\begin{document}

\setlength\parindent{0mm}
\setlength\parskip{5pt}

\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\lhead{\small Brevet - corrigé}
\rhead{\small \textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\rfoot{\small Métropole - voie professionnelle}
\lfoot{\small septembre 2023}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du Brevet - Métropole~\decofourright\\[7pt]
Voie professionnelle - septembre 2023}}
\end{center}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\large Exercice 1 \hfill 20 points}

\vspace{0.25cm}

%\medskip
%
%Pour chaque question, quatre réponses sont proposées mais \textbf{une seule réponse est exacte}.
%
%Cocher la bonne réponse \textbf{sans la justifier}.
%
%Une réponse juste rapporte 4 points, une réponse fausse ou absente rapporte 0 point.

\begin{enumerate}
\item  Un sac contient 64 dossards de 4 couleurs différentes. 

La répartition des couleurs est:
\hfill
\begin{tabular}{|*4{>{\centering\arraybackslash}p{1.7cm}|}}
\hline
12 rouges & 28 bleus & 6 noirs & 18 jaunes\\
\hline
\end{tabular}

On prend au hasard un dossard dans le sac. La probabilité qu'il soit bleu est:\\

\hfill
\begin{tabular}{*4{p{2cm}}}
$\square~0,5$ & $\square~\dfrac{64}{28}$ & \fbox{$\blue\boxtimes~\dfrac{28}{64}$} & $\square~\dfrac{28}{36}$
\end{tabular}
\hfill~\\

\item Dans l'équation : $\dfrac{17}{8}=\dfrac{5}{x}$

\medskip

La valeur de $x$ se calcule à l'aide de l'opération :\\

\hfill
\begin{tabular}{*4{p{3cm}}}
$\square~17\times 8 \div 5$ & \fbox{$\blue\boxtimes~8\times 5 \div 17$} & $\square~x\times 8\div 17\times  5$ & $\square~17\times 5 \div 8$
\end{tabular}
\hfill~

\smallskip

\item Voici la répartition des nationalités des 40 joueurs d'un club de rugby professionnel :

7 joueurs sont argentins, 6 sont sud-africains, 10\,\% sont anglais, un cinquième des joueurs sont écossais, les autres sont français.

Le nombre de joueurs écossais dans cette équipe est :\\

\hfill
\begin{tabular}{*4{p{2cm}}}
$\square~1$ & $\square~5$ & \fbox{$\blue\boxtimes~8$} & $\square~10$
\end{tabular}
\hfill~\\

\item Un ballon de rugby a la forme et les caractéristiques ci-dessous:

\hfill
\fbox{\parbox{1.8cm}{a = 15 cm\\b = $9,3$ cm}
}\hfill
\fbox{\parbox{5.5cm}{Le volume $V$ du ballon est donné\\par la formule: $V=4,2\times \text{a} \times \text{b}^2$}}\hfill~\\

Le volume du ballon, en cm$^3$, arrondi à l'unité est :\\

\hfill
\begin{tabular}{*4{p{3cm}}}
$\square~586\text{ cm}^3$ & $\square~\np{1172}\text{ cm}^3$ & $\square~\np{3430279}\text{ cm}^3$ & \fbox{$\blue\boxtimes~\np{5449}\text{ cm}^3$}
\end{tabular}
\hfill~

\smallskip

\item Un club de rugby propose des places plein tarif à 38 \euro. Pour le dernier match de la saison, il accorde une remise de 20\,\% pour l'achat de deux places.

Le prix à payer pour l'achat de deux places après remise est :

\medskip

\hfill
\begin{tabular}{*4{p{3cm}}}
$\square~15,20$ \euro & $\square~76$ \euro & \fbox{$\blue\boxtimes~60,80$ \blue\euro} & $\square~30,40$ \euro
\end{tabular}
\hfill~

\end{enumerate}

\newpage

\textbf{\large Exercice 2 \hfill 20 points}

\vspace{0.25cm}

Le nombre de licenciés dans les fédérations des sept principaux sports pratiqués en France en 2021 est donné ci-dessous.

%\begin{center}
%\includegraphics[width=\linewidth]{MetroProSept23_1}
%\end{center}

\begin{tabularx}{\linewidth}{| *7{>{\centering\arraybackslash} X|}}
\hline
Football & Tennis & Équitation & Basketball & Judo & Handball & Rugby\\
\hline
\np{1900000} & \np{950000} & \np{664000} & \np{515000} & \np{512000} & \np{335000} & \np{286000}\\
\hline
\end{tabularx}

\begin{enumerate}
\item  Le nombre de licenciés de la fédération d'équitation est \np{664000}.

\item %Vérifier par un calcul que le nombre total de licenciés des sept fédérations est 
$\np{1900000} + \np{950000} + \np{664000} + \np{515000} + \np{512000} + \np{335000} + \np{286000} = \np{5162000}$

\item Affirmation : \og Le nombre moyen de licenciés des sept fédérations est de \np{737429}. \fg

$\dfrac{\np{5162000}}{7}\approx \np{737428,57}$

Donc Le nombre moyen de licenciés des sept fédérations, arrondi à l'unité, est de \np{737429}.

%Cette affirmation est-elle exacte ? Justifier la réponse par un calcul.
\item Le pourcentage de licenciés de la fédération de rugby par rapport à l'ensemble des licenciés des sept fédérations est:
$\dfrac{\np{286000}}{\np{5162000}}\times 100 \approx 5,54$.

\item On suppose que le nombre total de licenciés des sept fédérations reste constant.\\
La fédération de rugby se fixe comme objectif de porter à 8\,\% la part de ses licenciés par rapport à l'ensemble des licenciés.

On calcule 8\,\% de \np{5162000}: cela donne $\np{5162000}\times \dfrac{8}{100}=\np{412860}$.

Le nombre de nouveaux licenciés que la fédération de rugby doit accueillir pour atteindre son objectif est donc de $\np{412860}- \np{286000}$ soit $\np{126960}$

%Calculer le nombre de nouveaux licenciés que la fédération de rugby doit accueillir pour atteindre son objectif.
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\large Exercice 3 \hfill 25 points}

\vspace{0.25cm}

Deux fournisseurs de maillots imprimés proposent les tarifs suivants:

\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\begin{tabular}{|c| *2{>{\centering\arraybackslash} m{3.5cm}|}}
\cline{2-3}
\multicolumn{1}{c|}{~} & Prix d'un maillot & Frais d'impression\\
\hline
Entreprise A & 80 € & Gratuit\\
\hline
Entreprise B & 50 € & 900~€ pour l'ensemble de la commande\\
\hline
\end{tabular}}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item $20\times 80 = \np{1600}$ donc  le prix de 20 maillots imprimés fournis par l'entreprise A est de \np{1600}~\euro.

\item La représentation graphique du tarif de l'entreprise B en fonction du nombre de maillots commandés est donnée dans le repère ci-après.

\begin{figure}[t!]
\centering
\psset{xunit=0.12cm,yunit=0.002cm,arrowsize=3pt 2}
\def\xmin{-9}   \def\xmax{94} \def\ymin{-490}   \def\ymax{5400}
\begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psgrid[xunit=1.2cm,yunit=1cm,subgriddiv=5,  gridlabels=0, subgridcolor=lightgray!50,gridcolor=gray!50](-1,-1)(10,11)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,ticks=none, Dx=10,Dy=500]{->}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax) 
\uput{9pt}[dl](0,0){\scriptsize 0}
\psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=blue]{0}{80}{900 50 x mul add}
\small
\uput[r](58,3700){\textbf{\blue{}Tarif de l'entreprise B}} 
\uput[r](2,5200){\textbf{Prix en \euro}} \uput[d](70,-250){\textbf{Nombre de maillots}} 
%%%%%%%%%%%%%%
\psset{linecolor=red,linestyle=dashed,linewidth=1.2pt}
\psline[ArrowInside=->](20,0)(20,1900)(0,1900)
\uput*[l](0,1900){\red\small \np{1900}}
\uput*{8pt}[d](20,0){\red\small 20}
\psdots(0,0)(20,1600)(30,2400)(60,4800)
\uput[dr](0,0){\red K} \uput[dr](20,1600){\red L} 
\uput[dr](30,2400){\red M} \uput[dr](60,4800){\red N}
\psplot{0}{80}{80 x mul}
\uput[ul](50,4000){\textbf{\red{}Tarif de l'entreprise A}} 
\end{pspicture*}
\end{figure}

Graphiquement le prix de 20 maillots imprimés fournis par l'entreprise B est de \np{1900}~\euro.

%Laisser apparents les traits de lecture.
\item Pour 20 maillots,  l'entreprise qui propose le tarif le plus avantageux est l'entreprise A.

\item Représentation graphique du tarif de l'entreprise A.

\begin{enumerate}
\item  Le nombre de maillots commandés est noté $x$. L'expression, du tableau ci-dessous, qui correspond au tarif de l'entreprise A, en fonction de $x$ est $80\times x$.

\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|}
\hline
Expression 1 & Expression 2 & $\blue \text{Expression 3}$\\
\hline
\np{3200} &  $80 + x$ &  $\blue 80 \times x$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\item On complète le tableau de valeurs.

\begin{center}
\begin{tabular}{|*5{>{\centering\arraybackslash}m{2.2cm}|}}
\hline
Nombre de maillots $x$ & 0 & 20 & 30 & 60\\
\hline
Prix en \euro \rule[-5pt]{0pt}{20pt} & $\blue 0$ & $\blue \np{1600}$ & $\blue \np{2400}$ & \np{4800}\\
\hline
Coordonnées des points & K\,$(0\;;\; {\blue 0})$ & L\,$(20\;;\; {\blue\np{1600}})$ & M\,$(30\;;\; {\blue\np{2400}})$ & N\,$(60\;;\; \np{4800})$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\item On place les points K, L, M et N et on tracer la droite passant par ces quatre points. Cette droite représente le tarif de l'entreprise A en fonction du nombre de maillots commandés.
\end{enumerate}

\item Pour une commande de 35 à 50 maillots,  l'entreprise qui propose le tarif le plus avantageux est l'entreprise B car sa représentation graphique est \textbf{en-dessous} de la représentation graphique de l'entreprise A.
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\large Exercice 4 \hfill 16 points}

\vspace{0.25cm}

Dans un jeu vidéo réalisé avec le logiciel Scratch, l'avatar d'un joueur au maillot foncé prend le ballon à la sortie d'une mêlée puis se déplace vers la zone grisée. 
La partie est gagnée lorsque l'avatar entre dans la zone grisée en évitant les autres joueurs.

%Les programmes 1, 2 et 3 ci-dessous simulent différents chemins du joueur qui se déplace.

\begin{enumerate}
\item On trace en tirets rouges sur le graphique ci-dessous le chemin parcouru par l'avatar du joueur lorsqu'on utilise le programme 3.

%La ressource d'aide ci-dessous précise les commandes  \og s'orienter \fg{}  et \og tourner \fg{}.

\smallskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{ |*3{>{\centering\arraybackslash} X|}}
\hline
\textbf{Programme 1} & $\blue\text{\bf Programme 2}$ & $\red\text{\bf Programme 3}$\\
\hline
&&\\
\scalebox{0.8}{
\begin{scratch}
\blockinit{quand \greenflag est cliqué}
\blockmove{aller à x: \ovalnum{20} y: \ovalnum{20}}
\blockmove{s'orienter à \ovalnum{90}}
\blockmove{avancer de \ovalnum{120} pas}
\blockmove{tourner \turnleft{} de \ovalnum{90} degrés}
\blockmove{avancer de \ovalnum{40} pas}
\blockmove{tourner \turnright{} de \ovalnum{90} degrés}
\blockmove{avancer de \ovalnum{20} pas}
\blockmove{tourner \turnleft{} de \ovalnum{90} degrés}
\blockmove{avancer de \ovalnum{20} pas}
\end{scratch}}
&
\scalebox{0.8}{
\begin{scratch}
\blockinit{quand \greenflag est cliqué}
\blockmove{aller à x: \ovalnum{20} y: \ovalnum{20}}
\blockmove{s'orienter à \ovalnum{90}}
\blockmove{avancer de \ovalnum{40} pas}
\blockmove{tourner \turnleft{} de \ovalnum{90} degrés}
\blockmove{avancer de \ovalnum{80} pas}
\blockmove{tourner \turnright{} de \ovalnum{90} degrés}
\blockmove{avancer de \ovalnum{40} pas}
\blockmove{tourner \turnleft{} de \ovalnum{90} degrés}
\blockmove{avancer de \ovalnum{90} pas}
\end{scratch}}
&
\scalebox{0.8}{
\begin{scratch}
\blockinit{quand \greenflag est cliqué}
\blockmove{aller à x: \ovalnum{20} y: \ovalnum{20}}
\blockmove{s'orienter à \ovalnum{90}}
\blockmove{avancer de \ovalnum{80} pas}
\blockmove{tourner \turnleft{} de \ovalnum{90} degrés}
\blockmove{avancer de \ovalnum{80} pas}
\blockmove{tourner \turnright{} de \ovalnum{90} degrés}
\blockmove{avancer de \ovalnum{100} pas}
\blockmove{tourner \turnleft{} de \ovalnum{90} degrés}
\blockmove{avancer de \ovalnum{20} pas}
\end{scratch}}\\
&&\\
\hline
\end{tabularx}

\smallskip

%\begin{center}
%\textbf{Ressources}
%\end{center}
%
%\setlength{\columnseprule}{1pt}
%\begin{multicols}{2}
%\begin{center}
%\begin{scratch}\blockmove{s'orienter à \ovalnum{90}}\end{scratch}
%\parbox{3cm}{\psset{unit=0.7cm,arrowsize=2pt 1}
%\begin{pspicture}(-2,-2)(2,2)
%%\psgrid
%\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=gray!70,linecolor=gray!70](-1.7,-1.7)(1.7,1.7)
%\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=gray!70,linecolor=gray!70](-0.3,1.7)(0,2)(0.3,1.7)
%\pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=gray,linecolor=gray](0,0){1.2}
%\pswedge[fillstyle=solid,fillcolor=gray!50,linecolor=gray!50](0,0){1.2}{0}{90}
%\multido{\i=0+15}{24}{\psline[linecolor=white](0.9;\i)(1.1;\i)}
%\psline[linecolor=white,linewidth=1.5pt](0,1.2)(0,0)(1.2,0)
%\psdots[dotscale=1.5,linecolor=white](0,0)
%\pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=white,linecolor=white](1.2,0){0.3}
%\psline[linewidth=1.5pt]{->}(1,0)(1.4,0)
%\end{pspicture}}
%
%\smallskip
%
%\emph{Le joueur s'oriente pour courir\\ dans le sens de la flèche}
%\end{center}
%
%\columnbreak
%
%\begin{center}
%
%\vspace*{0.48cm}
%
%\begin{scratch}\blockmove{tourner \turnleft{} de \ovalnum{90} degrés}\end{scratch}
%
%\smallskip
%
%\emph{Le joueur tourne de 90\degres{} \\
%dans le sens de la flèche}
%\end{center}
%\end{multicols}

\item% Choisir parmi les trois programmes proposés celui qui permet à l'avatar de gagner. Indiquer ce choix sur la copie. Justifier en traçant le chemin correspondant sur la capture d'écran de l’\textbf{ANNEXE 3}.
On trace en bleu sur le graphique le chemin du programme 2 permettant à l'avatar de gagner.

%\textbf{Remarque} : Les chemins des 3 programmes se superposent en début de parcours.

{\psset{unit=0.05cm}
\begin{pspicture*}(-20,-40)(230,220)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray!30](0,180)(220,200)
\psgrid[unit=1cm,subgriddiv=5,  gridlabels=0, subgridcolor=lightgray!40,gridcolor=lightgray](0,0)(11,10)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,arrowsize=3pt 3, ticksize=-2pt 2pt,Dx=20,Dy=20]{->}(0,0)(-19,-10)(220,200)
\uput[d](220,0){\scriptsize $x$} \uput[l](0,200){\scriptsize $y$}
\uput[r](-10,210){\scriptsize\textbf{Nombre de pas : déplacement vertical}}
\uput[l](215,-15){\scriptsize\textbf{Nombre de pas : déplacement horizontal}}
\psset{dotstyle=+,dotscale=1,linecolor=black,linewidth=5pt}
\psdots(39,38)(108,30)(150,24)(190,12)
\psset{dotstyle=+,linecolor=gray}
\psdots(39,53)(80,60)(120,60)(160,80)(20,100)(60,120)(200,120)
\psset{dotstyle=x,linecolor=red}
\psdots(20,20)
\uput[u](160,184){\textbf{ZONE GRISÉE}}  
%%%%%%%%%%%%%%
\psline[linestyle=dashed,linewidth=2pt](20,20)(100,20)(100,100)(200,100)(200,120)
\uput[u](150,100){\red\scriptsize programme 3}
\psline[linecolor=blue,linewidth=1.2pt](20,20)(60,20)(60,100)(100,100)(100,190)
\uput[r](100,150){\blue\scriptsize programme 2}
\uput[d](20,18){\red\scriptsize départ}
\end{pspicture*}}

\end{enumerate}

\newpage

\textbf{\large Exercice 5 \hfill 19 points}

\vspace{0.25cm}

On considère la figure suivante.

\begin{center}
\psset{xunit=1.6cm,yunit=1.6cm,arrowsize=3pt 2,radius=0pt}
\begin{pspicture}(-1,-0.5)(6,4)
%\psgrid
\psframe[linecolor=gray](0,0)(5,3.5)
\psframe[linecolor=gray](0,0)(0.2,0.2) \psframe[linecolor=gray](5,3.5)(4.8,3.3)
\psframe[linecolor=gray](5,0)(4.8,0.2) \psframe[linecolor=gray](0,3.5)(0.2,3.3)
\Cnode*(0,3.5){B} \Cnode*(0,1.5){D} \Cnode*(4,1.5){O} 
\Cnode*(2.2,1.5){C}  \Cnode*(2.2,2.4){A}
\psframe[linecolor=gray](0,1.5)(0.2,1.7) \psframe[linecolor=gray](2.2,1.5)(2.4,1.7)
\pspolygon[linewidth=1.5pt](A)(C)(O)(B)(D)(C) 
\psline[linestyle=dashed](C)(2.2,-0.3) \psline[linestyle=dashed](O)(4,-0.3)
\uput[u](A){A} \uput[l](B){B} \uput[dl](C){C} \uput[ul](D){D} \uput[r](O){O} 
\psline{<->}(0,-0.2)(2.2,-0.2) \uput[d](1.1,-0.2){22 mètres}
\psline{<->}(4,-0.2)(5,-0.2) \uput[d](4.5,-0.2){10 mètres}
\psline{<->}(0,3.7)(5,3.7) \uput[u](2.5,3.7){50 mètres}
\psline{<->}(5.2,0)(5.2,3.5) \uput[r]{-90}(5.2,1.75){35 mètres}
\psline{<->}(-0.2,0)(-0.2,1.5) \uput[l]{-90}(-0.2,0.75){15 mètres}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item %Calculer la longueur du segment [BD].
$\text{BD} = 35 - 14 = 20$

\item% Montrer par un calcul que la longueur du segment [OC] est 18 mètres.
$\text{OC} = 50 -10 - 22 = 18$

\item 
\begin{list}{\textbullet}{On souhaite calculer la longueur du segment [AC] en utilisant le théorème de Thalès sachant que:}
\item Dans le triangle (ODB) les droites (AC) et (BD) sont parallèles
\item Les points O, A et B sont alignés
\item Les points O, C et D sont alignés
\end{list}

\begin{enumerate}
\item C'est l'égalité $\dfrac{\text{OC}}{\text{OD}} = \dfrac{\text{AC}}{\text{BD}}$ qui correspond au théorème de Thalès appliqué à la figure ci-dessus.

%\[\dfrac{\text{OC}}{\text{OD}} = \dfrac{\text{AC}}{\text{BD}} \;;\quad\quad \dfrac{\text{OC}}{\text{CD}} = \dfrac{\text{AC}}{\text{BD}} \;;\quad\quad\dfrac{\text{DC}}{\text{DO}} = \dfrac{\text{OA}}{\text{OB}} \;;\quad\quad\dfrac{\text{OD}}{\text{OC}} = \dfrac{\text{OA}}{\text{OB}}\]

%Recopier la bonne égalité sur la copie.

\item %Calculer la longueur du segment [AC] en donnant toutes les étapes du calcul.
$\dfrac{\text{OC}}{\text{OD}} = \dfrac{\text{AC}}{\text{BD}}$

Or $\text{OC}=18$, $\text{OD}=50-10=40$ et $\text{BD}=20$,
donc $\dfrac{18}{40} = \dfrac{\text{AC}}{20}$

Donc $40\times \text{AC} = 20\times 18$ et donc $\text{AC}=9$~m.

\end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{document}
