\documentclass[11pt,french]{article}
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%Tapuscrit : jcs
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\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 2023}
\rfoot{\small  Correction Métropole Antilles-Guyane}
\lfoot{\small 18 septembre 2023}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large\textbf{\decofourleft~ Diplôme national du Brevet
 ~\decofourright}}\\[7pt]
{\Large \textbf{Métropole  Antilles-Guyane 18 septembre 2023}}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Durée : 2 heures}
\end{center}
\medskip
%
%\emph{L'usage de calculatrice avec mode examen activé est autorisé.\\
%L'usage de calculatrice sans mémoire \og type collège \fg{} est autorisé\\
%L'utilisation du dictionnaire est interdite.}

%\vspace{0,5cm}
\framebox[16cm]
{
\begin{minipage}{15cm}
\begin{center}
\textbf{Indications portant sur l'ensemble du sujet.}
\end{center}
Toutes les réponses doivent être justifiées, sauf si une indication contraire est donnée.\\
Pour chaque question, toute  trace de  recherche  sera prise en compte dans la notation.
\end{minipage}
}
\vspace{0.5cm}

\textbf{{\large \textsc{Exercice 1}} \hfill 20 points}

\medskip

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM).

Pour chaque question, trois réponses (A, B ou C) sont proposées.

\textbf{Une seule réponse est exacte.}

\textbf{Recopier sur la copie le} numéro de la question et la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{7.5cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\textbf{Questions}& \textbf{Réponse A}&\textbf{Réponse B}&\textbf{Réponse C}\\ \hline
\textbf{1.~~}Citer trois diviseurs de $84$.&\psCancel{84, 168 et 252}& 2, 3 et 4&\psCancel{ 2, 5 et 7}\\ \hline
\textbf{2.~~}La pyramide SABCD est un agrandissement de coefficient 2 de la pyramide SA$'$B$'$C$'$D$'$.

\begin{minipage}{3.75cm}Par quel nombre doit-on multiplier le volume de la pyramide SA$'$B$'$C$'$D$'$ pour obtenir le volume de la pyramide SABCD ?
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{3.75cm}
\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture}(-0.6,-0.5)(4,3.7)
\pspolygon(0,0)(2.7,0)(3.5,0.8)(0,3.2)%ABCSA
\psline(2.7,0)(0,3.2)%BS
\psline(0,1.6)(1.4,1.6)(1.8,2)%A'B'C'
\psline[linestyle=dotted](1.8,2)(0.4,2)(0,1.6)%C'D'A'
\psline[linestyle=dotted](0,0)(0.8,0.8)(3.5,0.8)%ADC
\psline[linestyle=dotted](0.8,0.8)(0,3.2)%DS
\uput[dl](0,0){\small A} \uput[dr](2.7,0){\small B} \uput[ur](3.5,0.8){\small C}
\uput[dr](0.8,0.8){\small D} \uput[l](0,1.6){\small A$'$} \uput[dl](1.4,1.6){\small B$'$}
\uput[ur](1.8,2){\small C$'$} \uput[ur](0.4,2){\small D$'$} \uput[u](0,3.2){\small S}
\end{pspicture}
\end{minipage}&\psCancel{2}&8&\psCancel{4}\\ \hline
\textbf{3.~~}Quelle est la valeur de l’expression 

$x^2 + 3x - 5$ pour $x  =  - 2$ ?& \psCancel{$- 15$}&\psCancel{5}&$- 7$\\ \hline
\textbf{4.~~}Dans un sac opaque, on dispose de huit boules numérotées de 1 à 8.

On tire une boule au hasard.

Quelle est la probabilité d’obtenir un multiple de 2 ?&$\dfrac12$&
\psCancel{$\dfrac18$}&\psCancel{$\dfrac15$}\\ \hline
\textbf{5.~~}Le triangle DEF est l’image du triangle ABC par une homothétie de centre O. Quel est son rapport ?

\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture}(-2.4,-1)(4.6,1.8)
\pspolygon(-1.1,0)(-0.6,-0.5)(-2.3,-0.5)%ACB
\pspolygon(2.2,0)(4.5,1.1)(1.1,1.1)%DEF
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45](0,0)(-1.1,0)(-0.6,-0.5)(-2.3,-0.5)(2.2,0)(4.5,1.1)(1.1,1.1)
\uput[u](-1.1,0){\small A} \uput[d](-2.3,-0.5){\small B} \uput[d](-0.6,-0.5){\small C} \uput[d](2.2,0){\small D} 
\uput[u](4.5,1.1){\small E} \uput[u](1.1,1.1){\small F} \uput[u](0,0){\small O}
\end{pspicture}&$-2$&\psCancel{2}&\psCancel{$- \dfrac12$}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\newpage

\textbf{{\large \textsc{Exercice 2}} \hfill 14 points}

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture}(-1,0)(2.1,1.9)
\pspolygon[linecolor=blue](0,0)(2.1;0)(2.1;60)(2.1;120)
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item On souhaite tracer le losange ci-dessus de côté $50$ pas à l’aide du bloc losange.

On a écrit le script ci-dessous avec le logiciel Scratch.

Les lignes 3 et 6 sont complétées en rouge .

\begin{center}
\begin{scratch}[num blocks]
\initmoreblocks{définir \namemoreblocks{losange}}
\blockpen{stylo en position d'écriture}
\blockrepeat{répéter \ovalnum{\textcolor{red}{2}} fois}
{
\blockmove{avancer de \ovalnum{50} pas}
\blockmove{tourner \turnright{} de \ovalnum{60} degrés}
\blockmove{avancer de \ovalnum{\textcolor{red}{50}} pas}
\blockmove{tourner \turnright{} de \ovalnum{120} degrés}
}
\blockpen{relever le stylo}
\end{scratch}
\end{center}

\item Préciser sur votre copie quelle figure est associée à chaque script 1, 2 ou 3.

Aucune justification n’est demandée.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{>{\centering \arraybackslash}X}}
Figure A &Figure B& Figure C\\ \hline
\psset{unit=0.3cm}
\begin{pspicture}(-3,0)(6.1,1.9)
\def\los{\pspolygon[linecolor=blue](0,0)(2.1,0)(1.2,1.8)(-0.9,1.8)}
\multido{\n=-3.0+3}{4}{\rput(\n,0){\los}}
\end{pspicture}&
\psset{unit=0.25cm}
\begin{pspicture}(-3,-1)(7.6,5)
\def\los{\pspolygon[linecolor=blue](0,0)(2.1,0)(1.2,1.8)(-0.9,1.8)}
\multido{\n=-3+2.1,\na=-0.5+1.0}{4}{\rput(\n,\na){\los}}
\end{pspicture}&
\psset{unit=0.3cm}
\begin{pspicture}(-3,0)(5,3.9)
\def\los{\pspolygon[linecolor=blue](0,0)(2.1,0)(1.2,1.8)(-0.9,1.8)}
\multido{\n=-2.0+2.1}{4}{\rput(\n,0){\los}}
\end{pspicture}\\
Script 1 &Script 2 &Script 3\\
\begin{scratch}
\blockinit{Quand \ovalnum{1} est pressé}
\blockmove{aller à x: \ovalnum{-220} y: \ovalnum0}
\blockmove{s'orienter à \ovalnum{\selectmenu{90}} degrés}
\blockpen{effacer tout}
\blockrepeat{répéter \ovalnum{4} fois}
{\blockmove{losange}
\blockmove{avancer de \ovalnum{50} pas}
}
\end{scratch}&
\begin{scratch}
\blockinit{Quand \ovalnum{2} est pressé}
\blockmove{aller à x: \ovalnum{-220} y: \ovalnum0}
\blockmove{s'orienter à \ovalnum{\selectmenu{90}} degrés}
\blockpen{effacer tout}
\blockrepeat{répéter \ovalnum{4} fois}
{\blockmove{losange}
\blockmove{avancer de \ovalnum{100} pas}
}
\end{scratch}&
\begin{scratch}
\blockinit{Quand \ovalnum{3} est pressé}
\blockmove{aller à x: \ovalnum{-220} y: \ovalnum0}
\blockmove{s'orienter à \ovalnum{\selectmenu{90}} degrés}
\blockpen{effacer tout}
\blockrepeat{répéter \ovalnum{4} fois}
{\blockmove{losange}
\blockmove{avancer de \ovalnum{50} pas}
\blockmove{ajouter \ovalnum{30} à y}
}
\end{scratch}\\
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

Association des scripts :

Script 1\ figure C \quad Script 2\ figure A\quad Script 3 figure B.

\item  Dans la figure ci-dessous obtenue par le programme associé, la transformation qui permet d’obtenir le losange ABCD à partir du losange EDCF,

est la rotation de centre C et d'angle \ang{60}

%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{>{\centering \arraybackslash}X}}
\begin{minipage}{7cm}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-2.8,-2.8)(2.8,2.8)
\def\los{\pspolygon[linecolor=blue](0,0)(1.4;0)(2.42488;30)(1.4;60)}
\multido{\n=0+60}{6}{\rput{\n}(0,0){\los}}
\uput[u](2.42488;90){A} \uput[ur](1.4;60){B} \uput[d](0,-0.1){C}
\uput[ul](1.4;120){D} \uput[ul](2.42488;150){E} \uput[l](1.4;180){F} 
\end{pspicture}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{7cm}
\begin{scratch}
\blockinit{Quand \greenflag est cloqué}
\blockpen{effacer tout}
\blockmove{aller à x: \ovalnum{0} y: \ovalnum0}
\blockrepeat{répéter \ovalnum{6} fois}
{\blockmove{losange}
\blockmove{tourner \turnright{} de \ovalnum{60} degrés}}
\end{scratch}
\end{minipage}
%\end{tabularx}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{{\large \textsc{Exercice 3}} \hfill 22 points}

\medskip

{\footnotesize
Une piscine propose deux tarifs d'entrée pour l'année 2023.

\textbf{Tarif A} : $5,90$~\euro{} l'entrée.

\textbf{Tarif B} : $4,40$~\euro{} l'entrée avec une carte d'abonnement de $30$~\euro{} valable toute l'année.
}
\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Le prix total pour $10$ entrées avec le tarif A est en euros : $\np{5.9}\times 10=59$ 
		\item Le prix total pour $10$ entrées avec le tarif B  est en euros : $\np{4.4}\times 10+30=74$
	\end{enumerate}
\item  On note $f$ et $g$ les fonctions qui modélisent les prix, en euro, respectivement du tarif A et du tarif B en fonction du nombre $x$ d'entrées.

Donnons l'expression de $f(x)$, puis celle de $g(x)$.
 $f(x)=\np{5.9}x\qquad g(x)= \np{4.4}x+30$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Résolvons l'équation $5,90x = 4,40x + 30$.
		\begin{align*}
			5,90x &=4,40x+30\\
			5,90x-4,40x&=30\\
			1,5x&=30\\
			x&=\dfrac{30}{1,5}=20
		\end{align*}
		L'ensemble des solutions de l'équation est \{20\}.
			\item Le nombre d'entrées pour lequel les tarifs A et B donnent le même prix à payer est 20.
	\end{enumerate}
\item On relève le nombre d'entrées par mois durant une année.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{1.5cm}|*{12}{>{\centering \arraybackslash \footnotesize}X|}}\hline
\footnotesize Mois	&Jan.	& Fév.& Mars& Avril& Mai& Juin& Juillet& Août& Sept.& Oct.& Nov.& Déc.\\ \hline
\footnotesize 
Nombre d'entrées	&\np{12500} &\np{13700} &\np{10400} &\np{13600} &\np{12300} &\np{11700} &\np{10400} &\np{11600} &\np{10200} &\np{13800} &\np{12600} &\np{11800}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item Calculons le nombre moyen d'entrées par mois.

		$\overline{x}=\dfrac{\np{12500} +\np{13700}+\dots  +\np{10200} +\np{13800} +\np{12600} +\np{11800}}{12}=\np{12050}$		
		\item Calculons l'étendue du nombre d'entrées par mois. L'étendue est la différence entre les valeurs extrêmes.

		$\np{13800}-\np{10200}=\np{3600}$.

	\end{enumerate}
\item La piscine a la forme d'un pavé droit de longueur $\np[m]{50}$, de largeur $\np[m]{25}$ et de profondeur $\np[m]{3}$~m. En admettant qu'elle soit entièrement remplie, déterminons en m$^3$, le volume d'eau qui sera évacué pour réaliser la vidange.

Le volume d'un pavé droit est $ L \times \ell\times h$. Nous avons donc $50\times 25\times 3=\np{3750}$.

Le volume d'eau à évacuer est donc de $\np[m^3]{3750}$
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{{\large \textsc{Exercice 4}} \hfill 20 points}

\medskip

Un funiculaire est un type de transport en commun circulant sur des rails et dont la traction est
assurée par câble. Il est généralement utilisé pour des lignes comportant des fortes pentes.

Les documents suivants permettent de répondre aux questions.

\medskip
{\footnotesize
	\textbf{Document 1 : tarifs du funiculaire}

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{4.5cm}|X|m{4.5cm}|X|}\hline
\multicolumn{2}{|c}{Tarif individuel}& \multicolumn{2}{|c|}{Tarif de groupe à partir de 20 personnes}\\
\multicolumn{2}{|c}{(tarif enfant accordé pour les enfants de 5 à 11 ans)}& \multicolumn{2}{|c|}{(adultes et enfants)}\\ \hline
Aller simple par adulte&8 euros		&Aller simple par adulte&7 euros\\ \hline
Aller-retour par adulte&10 euros	&Aller-retour par adulte&8,50 euros\\ \hline
Aller simple par enfant&6,50 euros	&Aller simple par enfant &5,50 euros\\ \hline
Aller-retour par enfant&8 euros		&Aller- retour par enfant&7 euros\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\textbf{Document 2 : trajet du funiculaire vu de profil}

\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(15,5.5)
\psline(0.5,0)(10.7,0)(10.7,4)%DEB
\psline[linewidth=1.25pt](10.7,4)(6.8,2.9)(0.5,0)%BAD
\psline[linestyle=dashed](6.8,2.9)(10.7,2.9)%AC
\psline[linewidth=0.6pt]{<->}(0.3,0.6)(6.6,3.5)\rput{24.7}(3.45,2.25){448,5 m}
\psline[linewidth=0.6pt]{<->}(11.5,2.9)(11.5,4)\uput[r](11.5,3.45){Dénivelée : 50 m}
\uput[d](8.75,2.9){\small Longueur horizontale}
\psframe(10.7,2.9)(10.4,3.2)
\uput[ul](6.8,2.9){A} \uput[u](10.7,4){B} \uput[dr](10.7,2.9){C} \uput[dl](0.5,0){D} \uput[dr](10.7,0){E} 
\end{pspicture}
\end{center}
}

\begin{enumerate}
\item Un groupe constitué de 12 adultes et de 8 enfants (âgés de 6 à 10 ans) fait un aller-retour en funiculaire.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminons le prix à payer par le groupe en utilisant le tarif individuel 
		
		$12\times 10+8\times 8=120+64=184$ 
		le prix à payer est donc de 184 \euro.
		\item Déterminons le prix à payer par le groupe en utilisant le tarif de groupe.
		
		$12\times\np{8.50}+8\times \np{7}=102+56=158$
		
		Le prix à payer est alors de 158 \euro.
		\item Déterminons le pourcentage de la réduction obtenue en appliquant le tarif groupe par rapport au tarif individuel.
		
		$\dfrac{158-184}{184}\approx \np{0.1413}$
		
		Le pourcentage de réduction est donc de \np{14.13}\,\%.
	\end{enumerate}
\item Sur la première partie du trajet [DA], le funiculaire parcourt $448,5$~m en 8~min 45~s.

Déterminons sa vitesse moyenne en mètres par seconde ? 

Sachant que la vitesse est une distance divisée par un temps, nous avons alors 

 $v=\dfrac{\np{448.5}}{8\times 60+45}\approx \np{0.854}$

Sa vitesse, au centième près, en moyenne est d'environ \np[m/s]{0.85}.

 .
\item Sur la dernière partie du trajet [AB], la pente est de 25\,\% et la dénivelée BC est de $50$~m, calculons la longueur horizontale AC.
\end{enumerate}

{ \footnotesize \emph{Définition} : Pente $= \dfrac{\text{Dénivelée}}{\text{Longueur horizontale}}$}

Nous avons donc : $\dfrac{50}{\text{AC}}=\dfrac{25}{100}$  d'où $AC = 200$

\bigskip

\textbf{{\large \textsc{Exercice 5}} \hfill 24 points}

\medskip

\emph{La figure ci-dessous n'est pas à l'échelle}

\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(-1.5,-1)(12,7.4)
%\psgrid
\pspolygon[linewidth=1.25pt](0,0)(9.3,0)(2.2,5)%BCA
\psline[linewidth=1.25pt](2.2,5)(2.2,0)%AH
\psline[linewidth=1.25pt](1.03,2.4)(5.9,2.4)%MN
\psframe(2.2,0)(2.5,0.3)
\psline[linewidth=0.6pt]{<->}(-1,0.45)(0,2.85)\rput{67.4}(-0.65,1.85){2,5 cm}
\psline[linewidth=0.6pt]{<->}(0,2.85)(1.2,5.45)\rput{67.4}(0.35,4.35){2,7 cm}
\psline[linewidth=0.6pt]{<->}(3,6)(10.1,1)\rput{-35.15}(6.55,3.75){8,5 cm}
\psline[linewidth=0.6pt]{<->}(0,-0.8)(2.2,-0.8)\uput[d](1.1,-0.8){2 cm}
\uput[u](2.2,5){A} \uput[l](1.03,2.4){M} \uput[ur](5.9,2.4){N}
\uput[dl](0,0){B} \uput[d](2.2,0){H} \uput[dr](9.3,0){C}
\end{pspicture}
\end{center}

Dans le triangle ABC ci-dessus, M est un point du côté [AB], N est un point du côté [AC], et H est un point du côté [BC] ; les droites (MN) et (BC) sont parallèles.

On donne :
\begin{itemize}
\item[$\bullet$~~] AC $= 8,5$~cm ;
\item[$\bullet$~~] AM $= 2,7$~cm;
\item[$\bullet$~~] MB $= 2,5$~cm;
\item[$\bullet$~~] BH $= 2$~cm.
\end{itemize}

On rappelle que toutes les réponses doivent être justifiées.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculons AB.

AB = AM + MB  donc AB = 2,7+2,5=5,2.

La longueur AB est égale à \np[cm]{5.2}.
\item Montrons que la longueur AH est égale à $4,8$~cm.

Dans le triangle rectangle AHB, appliquons le théorème de Pythagore.

$\text{AH}^2+\text{BH}^2=\text{AB}^2$ $\text{AH}^2=5,2^2-2^2=27,04-4=23,04$ d'où $\text{AH}=4,8$

la longueur AH est égale à $4,8$~cm.

\item Calculons la mesure de l'angle $\widehat{\text{ACH}}$. Arrondir au degré près.

Pour ce faire, nous savons que $\sin\widehat{\text{ACH}}=\dfrac{\text{AH}}{\text{AC}}$
		
$\sin\widehat{\text{ACH}}=\dfrac{4,8}{8,5}\approx 0,5647$.

 Une mesure de $\widehat{\text{ACH}}$ est d'environ  $\ang{34}$

\item Calculons la longueur HC. Arrondir au cm près.

Dans le triangle ACH rectangle en H, $\cos\widehat{\text{ACH}}=\dfrac{\text{CH}}{\text{AC}}$

$\cos \widehat{\text{ACH}} \times \text{AC}=\text{CH} $ d'où $\text{CH}=8,5 \times \cos (34)\approx 7,04$.

La longueur HC est au centimètre près de \np[cm]{7}.

\item Un élève affirme que: \og AN est inférieure à $4$~cm.\fg. A-t-il raison ? 

 Pour le savoir utilisons le théorème de Thalès.
 
 
Les droites (MN) et (BC) sont parallèles, M appartient au segment [AB] et N au segment [AC]. Nous pouvons donc écrire 


$\dfrac{\text{AM}}{\text{AB}}=\dfrac{\text{AN}}{\text{AC}}$ soit $\dfrac{2,7}{5,2}=\dfrac{\text{AN}}{8,5}$

Nous avons alors $\text{AN}=\dfrac{2,7\times 8,5}{5,2} \approx 4,4$.

L'élève n'a donc pas raison.
\item Calculons  l'aire du triangle AHC.

$ \mathcal{A}_{\text{AHC}}=\dfrac{\text{AH}\times \text{HC}}{2}$  

$\mathcal{A}_{\text{AHC}}=\dfrac{4,8\times 7}{2}=16,8$ 

L'aire du triangle AHC  est d'environ $\np[cm^2]{16.8}$
\end{enumerate}
\end{document}