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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\lhead{\small L'année 2025}
\rhead{\small \textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\rfoot{\small Corrigé du brevet Métropole  Antilles-Guyane }
\lfoot{\small 26 juin 2025}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du brevet Métropole Antilles--Guyane~\decofourright\\[7pt]26 juin 2025}}
	\end{center}

\bigskip

{\large \textbf{Exercice 1 \hfill 20 points}}

\medskip

On dispose d'une urne A contenant 6 boules numérotées: 7~;~10 ~;~12~;~15~;~24~;~30 et d'une urne B contenant 9 boules numérotées: 2~;~ 5~;~6~;~8~;~17~;~18~;~21~;~22~;~25. Les boules sont indiscernables au toucher.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Il y a 4 nombres pairs sur 6 nombres : la probabilité est donc égale à $\dfrac 46 = \dfrac 23$.
\item Les nombres premiers sont : 2~;~5~;~17 : la probabilité est donc égale à $\dfrac 39 = \dfrac 13$.
\item Dans l'urne A, $12 = 6 \times 2~;~24 = 6 \times 4$ et $30 = 6 \times 5$ sont des multiples de 6.

Dans l'urne B, $6 = 6 \times 1~;~18 = 6 \times 3$ sont des multiples de 6.

C'est donc l'urne A qui contient le plus grand nombre de multiples de 6.
\item Dans l'urne A il y a 2 nombres supérieurs ou égaux à 20  : la probabilité est égale à $\dfrac26 = \dfrac 13$.

Dans l'urne B, il y a 3 nombres supérieurs ou égaux à 20  : la probabilité est égale à $\dfrac39 = \dfrac 13$ : les deux probabilités sont égales.
\item Le tirage dans l'urne A a une probabilité de $\dfrac 37$ celui dans l'urne B aura une probabilité de $\dfrac{4}{10} = 0,4$.

Or $\dfrac 37 \approx 0,428$, les probabilités ne sont plus égales.
\end{enumerate}

\bigskip

{\large \textbf{Exercice 2 \hfill 23 points}}

\medskip

%Cette année, les professeurs d'EPS proposent aux élèves un aquathlon (course à pied et natation).
%
%\medskip

\textbf{Partie A : La Course à pied}

\begin{enumerate}
\item On a AD $ = \text{AE} - \text{DE} = 250 - 50 = 200$~(m).

%Les points A, C, B sont alignés dans cet ordre et les points A, D, E sont alignés dans cet ordre

\item Dans le triangle ADC rectangle en A, le théorème de Pythagore permet d'écrire l'égalité :

DC$^2 = \text{DA}^2 + \text{AC}^2 = 200^2 + 480^2 = \np{40000} + \np{230400} = \np{270400} = 520^2$.

Donc DC $ = 520$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Si les droites (CD) et (BE) sont parallèles, les points A, C, B étant alignés dans cet ordre et les points A, D, E étant alignés dans cet ordre, on a une configuration de Thalès si en particulier on a l'égalité des rapports :

$\dfrac{\text{AC}}{\text{AB}}$ et $\dfrac{\text{AD}}{\text{AE}}$, soit d'une part $\dfrac{\text{AC}}{\text{AB}} = \dfrac{480}{480 + 120} = \dfrac{480}{600}$ et d'autre part $\dfrac{\text{AD}}{\text{AE}} = \dfrac{200}{250} = \dfrac 45$ ou encore en multipliant chaque terme par 12 : $\dfrac45 = \dfrac{48}{60}$. 

Ces deux quotients sont de façon évidente égaux : les droites (CD) et (BE) sont donc parallèles d'après la réciproque du théorème de Thalès.
		\item On a par exemple dans le triangle ACD rectangle en A, 

$\tan \widehat{\text{ACD}} = \dfrac{\text{AD}}{\text{AC}} = \dfrac{200}{480} = \dfrac{20}{48} = \dfrac{5}{12}$.

La calculatrice donne $\widehat{\text{ACD}} \approx 22,6~\degres$.

Conclusion : les droites (CD) et (BE) sont parallèles et l'angle $\widehat{\text{ACD}}$ a une mesure supérieure à $20\degres$, donc le parcours sera validé.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\textbf{Partie B : La natation}

\begin{enumerate}
\item Il y a 9 temps rangés dans l'ordre croissant : comme $\dfrac{9-1}{2} = 4$, le 5\up{e} temps 6~min partage l'effectif des temps en deux séries de quatre temps : 4 inférieurs à 6 min et 4 supérieurs à 6 min : ce temps de 6~min est la médiane de la série.

\item %Un poisson rouge nage à la vitesse de 5 km/h. Nage-t-it plus vite que l'élève le plus rapide 
L'élève le plus rapide parcourt 200~m en 5~min 30 ou $5 \times 60 + 30 = 330~$s.

Sa vitesse est donc égale à $\dfrac{200}{330} = \dfrac{20}{33}$~(m/s) soit $\dfrac{20}{33} \times \np{3600}$~(m/h) soit environ \np{2181,8}~(m/h) et enfin environ 2,2~km/h. Le poisson rouge nage plus de deux fois plus vite que l'élève le plus rapide !
\end{enumerate}

\bigskip

{\large \textbf{Exercice 3 \hfill 18 points}}

\medskip

%Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Aucune justification  n'est demandée.
%
%Pour chaque question, quatre réponses (A, B, C ou D) sont proposées.
%
%Une seule réponse est exacte. Recopier sur la copie le numéro de la question et la lettre
%correspondant à la réponse exacte.

\medskip

\textbf{Question 1}

$8,4 = 3 \times 2,8$, donc un melon coûte 

2,80~(\euro){} et 5 melons coûtent $5 \times 2,80 = \dfrac{2,8 \times 10}{2} = \dfrac{28}{2} = 14$~(\euro)

\textbf{Question 2}

Une symétrie autour de la droite perpendiculaire au segment ayant pour extrémités les deux points les plus proches des deux figures, perpendiculaire au milieu de ce segment. Réponse~D.

\textbf{Question 3}

Augmenter de 20\,\% c'est multiplier par $1 + \dfrac{20}{100} = 1 + 0,20 = 1,20$.

Donc $350 \times 1,2 = 420$~(\euro).

\textbf{Question 4}

En prenant comme base [AB] et [BC] comme hauteur, l'aire est égale à 

$\dfrac{6 \times 4,5}{2} = 3 \times 4,5 = 13,5~\left(\text{cm}^2\right)$.

\textbf{Question 5}

$(2x + 3)(x - 4) = 2x \times x - 2x \times 4 + 3 \times x + 3 \times (- 4) = 2x^2 - 8x + 3x - 12 = 2x^2 - 5x - 12$.

\textbf{Question 6}

Avec la base rectangulaire d'aire $\mathcal{B} = 7 \times 4 = 28~\left(\text{cm}^2\right)$ et la hauteur $h = 12$~(cm), on a :

\[V = \dfrac{\mathcal{B} \times h}{3} = \dfrac{28 \times 12}{3} = 28 \times 4 = 112~\left(\text{cm}^3\right).\]

\bigskip

{\large \textbf{Exercice 4 \hfill 20 points}}

\medskip

\textbf{Partie A :} Le programme de Zoé

\begin{center}
\begin{tabular}{|l|}\hline
$\bullet~$Choisir un nombre\\
$\bullet~$Soustraire 4\\
$\bullet~$Multiplier par 2\\
$\bullet~$Ajouter 8.\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item $10 \longmapsto 6 \longmapsto 12 \longmapsto 20$.
\item De même en partant de $- 7$ : $- 7  \longmapsto -11  \longmapsto -22  \longmapsto - 14$.

\item En partant du nombre $a$ : $a  \longmapsto a - 4  \longmapsto 2(a	 - 4) = 2a - 8  \longmapsto 2a$ : on obtient effectivement le double du nombre de départ.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B : Le programme de Fred}

\medskip

\begin{enumerate}[resume]
\item 
On obtient $x  \longmapsto 4x  \longmapsto 4x + 10  \longmapsto 5(4x + 10) = 5 \times 4x + 5 \times 10 = 20x + 50$.

\item Il faut trouver $x$ tel que $20x + 50 = 75$, soit en ajoutant $- 50$ à chaque membre : $20x = 25$ et en multipliant chaque membre par $\dfrac{1}{20}$, d'où $x = 25 \times \dfrac{1}{20} = \dfrac{25}{20} = \dfrac{5}{4} = 1,25$.

\item IL faut écrire 
\begin{scratch}\blockvariable{mettre \selectmenu{résultat} à
	\ovaloperator{\ovalvariable{résultat} - \ovalnum{50}}}
	\end{scratch}
\end{enumerate}

\bigskip

{\large \textbf{Exercice 5 \hfill 19 points}}

\medskip

Un garage propose 2 options au client:

\begin{itemize}
\item Option \emph{Achat}  : prix d'achat de la voiture \np{22400}~\euro. Assurance obligatoire $75$~\euro{} par mois.
\item Option \emph{Location} : 425 \euro{} par mois, assurance comprise.
\end{itemize}

\smallskip

L'objectif de cet exercice est de comparer ces deux options.

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate}
\item \np{22400}~\euro{} pour le prix d'achat plus le coût de l'assurance pendant 12 mois soit $12 \times 75 = 900$~\euro, soit un total de

\begin{center}$\np{22400} + 900 = \np{23300}$~(\euro).\end{center}

\item De la même façon l'option \emph{Achat } reviendra à : $\np{22400} + 36 \times 75= \np{22400} +\np{2700}$, soit un total de $\np{22400} + \np{2700} = \np{25100}$~(\euro).

L'option \emph{Location} reviendra à $36 \times 425 = \np{15300}$~(\euro)

Donc sur une durée de 36 mois la location coûtera : $\np{25100} - \np{15300} = \np{9800}$~(\euro) de moins que l'achat.
\item %Afin de comparer les dépenses correspondantes à ces options le client a réalisé le tableau suivant à l'aide d'un tableur:

Dans la cellule il faut écrire =425 *B1.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\[g(x) = 425x.\]

\begin{enumerate}[resume]
\item Au bout de $x$ mois on aura dépensé \np{22400}~(\euro{}) et $x \times 75 = 75x$~(\euro{}) pour l'assurance obligatoire, soit un total de :

\[f(x) = \np{22400} + 75x.\]
\end{enumerate}

\psset{xunit=0.1cm,yunit=0.0002cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{center}
\begin{pspicture*}(-15,-3000)(130,45000)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=5000,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(0,0)(130,45000)
\multido{\n=0+2}{66}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,0)(\n,45000)}
\multido{\n=0+10}{14}{\psline[linewidth=0.4pt](\n,0)(\n,45000)}
\multido{\n=0+1000}{46}{\psline[linewidth=0.2pt](0,\n)(130,\n)}
\multido{\n=0+5000}{9}{\psline[linewidth=0.4pt](0,\n)(130,\n)}
\psplot[plotpoints=1000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0}{130}{425 x mul}
\psplot[plotpoints=1000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{130}{75 x mul 22400 add}
\uput[u](125,32000){\blue $\mathcal{C}_f$}\uput[u](95,42000){\red $\mathcal{C}_g$}
\psline[linewidth=1.25pt,linestyle=dashed,ArrowInside=->](64,27200)(64,0)
\psline[linewidth=1.25pt,linestyle=dashed,ArrowInside=->](64,27200)(0,27200)
\uput[d](64,0){64}\uput[l](0,27200){$\approx \np{27000}$}
\uput[u](118,0){durée en mois}\uput[r](0,43000){dépense en euro}
\end{pspicture*}
\end{center}

On lit sur le graphique que les deux droites sont sécantes au point d'abscisse 64 : donc à partir de  
65 mois il est préférable, financièrement de choisir l'option \emph{Achat}.

\emph{Remarque }: on peut s'interroger sur la pertinence de cette comparaison entre achat et location :

$\bullet~$ tout d'abord on laisse entendre qu'une voiture louée ne coûte rien en assurance, alors que celle-ci est obligatoire, mais que les assurances proposées par les loueurs sont souvent insuffisantes ;

$\bullet~$le concepteur du sujet semble ignorer que la plupart des locations sont proposées sur 3 et plus souvent 4 ans ;

$\bullet~$nulle part n'est signalé qu'à la fin de la location, le locataire n'a fait que payer et se retrouve sans rien ;

$\bullet~$enfin la même chose arrive en cas de vol ou d'accident grave du véhicule.

En conclusion il est très difficile de comparer location et achat.
\end{document}