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%Sujet aimablement fourni par Marc Incamps
%Tapuscrit et corrigé : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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%pdfauthor = {APMEP},
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%pdftitle = {Polynésie 23 juin 2023},
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du brevet des collèges}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{23 juin 2023}}
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\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du brevet des collèges Polynésie 23 juin 2023~\decofourright}}

\bigskip

\textbf{Durée : 2 heures} \end{center}

\bigskip

\textbf{Exercice 1 \hfill 16 points}

\medskip

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples QCM

%\textbf{Aucune justification n’est demandée}
%
%Pour chaque question, trois réponses sont proposées, une seule est exacte.
%
%Écrire sur votre copie, le numéro de la question et la réponse correspondante.

\medskip

\textbf{Question 1 :} soit $f$, la fonction définie par $f(x) = -2x + 3$.
Réponse B : la fonction est décroissante ($a = - 2$) et l'ordonnée à l'origine est égale à 3.
%Quelle est la représentation de la fonction $f$ ?
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{>{\centering \arraybackslash}X}}
%Réponse A  &Réponse B&  Réponse C\\ 
%\psset{unit=0.5cm,arrowsize=2pt 3}
%\begin{pspicture*}(-4,-2.5)(4,5)
%\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-4,-2.5)(4,5)
%\psplot[linewidth=1.25pt]{-4}{4}{1.5 x mul 3 add}
%\end{pspicture*}&
%\psset{unit=0.5cm,arrowsize=2pt 3}
%\begin{pspicture*}(-4,-2.5)(4,5)
%\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-4,-2.5)(4,5)
%\psplot[linewidth=1.25pt]{-4}{4}{4 2 x mul sub}
%\end{pspicture*}&
%\psset{unit=0.5cm,arrowsize=2pt 3}
%\begin{pspicture*}(-4,-2.5)(4,5)
%\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-4,-2.5)(4,5)
%\psplot[linewidth=1.25pt]{-4}{4}{2 x mul 2 sub}
%\end{pspicture*}
%\end{tabularx}

\medskip

%\begin{minipage}{0.65\linewidth}\textbf{Question 2 :}
%On considère la fonction dont la représentation graphique est donnée ci-contre.
%
%D’après le graphique, quelle est l’image de 1  par cette fonction ?
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
%Réponse A  &Réponse B&  Réponse C\\ 
%L’image de 1 est 2&L’image de 1 est  -2&L’image de 1 est 0\\
%\end{tabularx}
%\end{minipage}\hfill
%\begin{minipage}{0.28\linewidth}
%\psset{unit=0.5cm,arrowsize=2pt 3}
%\begin{pspicture*}(-4,-2.5)(4,3)
%\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-4,-2.5)(4,3)
%\psplot[linewidth=1.25pt]{-4}{2}{3 x mul x 3 exp sub}
%\end{pspicture*}
%\end{minipage}
\medskip

\textbf{Question 2 :} On lit que l'image de 1 est 2. Réponse A.

\medskip

\textbf{Question 3 :}

On donne ci-dessous un tableau de valeurs de la fonction $h$ définie par $h(x) = - x + 1$ réalisé à l’aide d’un tableur :

La réponse est C : c'est la seule qui utilise la cellule B1.
\medskip

\textbf{Question 4 :}

%Quelle est la forme développée de l’expression $(3x - 7)^2$ ?
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
%Réponse A  &Réponse B&  Réponse C\\ 
%$3x^2 - 49$& $9x^2 - 42x + 49$&$9x^2 - 49$.
%\end{tabularx}
$(3x - 7)^2 = (3x)^2 - 2 \times 3x \times 7 + 7^2 = 9x^2 - 42x + 49$ : réponse B.

\bigskip

\textbf{Exercice 2 \hfill 16 points}

\medskip

%Olivia a décidé d’installer sur le sol, plat de son jardin, quatre panneaux photovoltaïque pour produire une partie de l’électricité qu’elle consomme.
%
%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline
%\textbf{Description}\\
%Un panneau photovoltaïque est un dispositif permettant de générer de l'électricité à partir de l'énergie lumineuse.\\
%\textbf{Caractéristiques d’un panneau}\\
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~~$] Longueur 1700 mm
%\item[$\bullet~~$] Largeur 1000 mm
%\item[$\bullet~~$] Épaisseur 40 mm
%\item[$\bullet~~$] Fonctionnement optimal : inclinaison par rapport à l’horizontale comprise entre $30\degres$ et $35\degres$
%\item[$\bullet~~$] Orientation : Sud
%\end{itemize}\\ \hline
%\end{tabularx}
%
%\smallskip
%
%Pour incliner ses panneaux et obtenir un fonctionnement optimal, Olivia choisit de fabriquer elle-même un support. Pour cela, elle réalise les schémas suivants de support qui sera constitué de trois équerres identiques, reliées entr’elles par trois barres latérales de $4$~m de long.\\
%Chaque support est prévu pour accueillir quatre panneaux.\\
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{p{7cm}|X}
%Plan général du support, un panneau est représenté : &Plan détaillé d’une équerre :\\
%\psset{unit=0.8cm,arrowsize=2pt 3}
%\begin{pspicture}(8.2,4.4)
%%\psgrid
%\pspolygon[linewidth=0.8pt](0,2.8)(0,1.1)(2.2,1.1)(8.2,2.6)(6,4.3)
%\psline[linestyle=dotted,linewidth=1.25pt](0,1.1)(6,2.6)
%\pspolygon[linestyle=dotted,linewidth=1.25pt](3,3.52)(3,1.82)(5.2,1.82)
%\pspolygon[linestyle=dotted,linewidth=1.25pt](6,4.3)(6,2.6)(8.2,2.6)
%\psline[linestyle=dotted,linewidth=1.25pt](0.9,1.1)(0.9,2.1)
%\psline[linestyle=dotted,linewidth=1.25pt](3.8,1.9)(3.8,2.8)
%\psline[linestyle=dotted,linewidth=1.25pt](6.8,2.7)(6.8,3.6)
%\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0,2.8)(1.5,3.15)(3.7,1.45)(2.2,1.1)
%\rput(6,0.1){Barres latérales}
%\psline{->}(6,0.2)(7,2.3)
%\psline{->}(6,0.2)(4.8,4)
%\psline{->}(6,0.2)(0.6,1.22)
%\psline{<->}(0,2.9)(6,4.4)\uput[u](3,3.65){4~m}
%\end{pspicture}&
%\psset{unit=0.9cm,arrowsize=2pt 3}
%\begin{pspicture}(6.8,4.4)
%\pspolygon[linewidth=1.4pt](1.1,0.8)(6.6,0.8)(1.1,3.9)
%\psline[linewidth=1.4pt](2.2,0.8)(2.2,3.3)
%\psframe(1.1,0.8)(1.3,1)\psframe(2.2,0.8)(2.4,1)
%\uput[ul](1.1,3.9){H} \uput[l](1.1,0.8){P} \uput[ur](2.2,3.3){U} \uput[ul](2.2,0.8){T} \uput[r](6.6,0.8){S}
%\psline[linewidth=0.65pt]{<->}(1.1,0.6)(6.6,0.6)\uput[d](3.85,0.6){140~cm}
%\rput{90}(0.9,2.35){90~cm}
%\end{pspicture}
%\end{tabularx}
%\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Vérifier que la distance HS arrondie au millimètre est égale à 166,4 cm.
Le théorème de Pythagore appliqué au triangle HPS rectangle en P donne :
		
HS$^2 = \text{HP}^2 + \text{PS}^2 = 90^2 + 140^2 = \np{8100} + \np{19600} = \np{27700}$.

HS étant positive : HS $= \sqrt{\np{27700}} \approx 166,43$, soit $166,4$~cm au millimètre près.
		\item %Pour que le panneau soit bien tenu, le fabricant conseille que la distance HS du support mesure au moins 95\,\% de la longueur du panneau.
%On rappelle que cette longueur mesure 1700 mm.
%Ce support sera-t-il conforme aux conseils du fabricant ?
\np{1700}~mm = 170~cm (longueur du panneau.

Or $95\,\%$ de $170 = \dfrac{95}{100} \times 170 = 0,95 \times 170 = 161,5$~cm.

Comme $163,4 > 161,5$, le panneau est conforme.
	\end{enumerate}
\item %L’angle d’inclinaison, $\widehat{\text{HSP}}$ permettra-t-il un fonctionnement optimal des panneaux ?
Dans le triangle HPS rectangle en P{}, on a la relation :

$\tan \widehat{\text{HSP}} = \dfrac{\text{HP}}{\text{PS}} = \dfrac{90}{140} = \dfrac{9}{14} \approx 0,643$.

La calculatrice donne $\widehat{\text{HSP}} \approx 32,7\degres$.

On a bien $30 < 32,7 < 35$. L’angle d’inclinaison, $\widehat{\text{HSP}}$ permet donc un fonctionnement optimal des panneaux.
\item %Pour consolider l’ensemble, Olivia fixe, à l’intérieur de ses équerres, une barre de renfort de $50$~cm de longueur.

%Sur le plan détaillé d’une équerre, cette barre est représentée par le segment [AT] perpendiculaire au segment [PS].

%Calculer la longueur ST. On arrondira au millimètre.
Les droites (UT) et (HP) sont perpendiculaires à la droite (PS) : elles sont donc parallèles.

S, U, H d'une part S, T et P sont alignés donc le théorème de Thalès permet d'écrire :

$\dfrac{\text{ST}}{\text{SP}} = \dfrac{\text{SU}}{\text{SH}} = \dfrac{\text{UT}}{\text{PT}}$.

En particulier $\dfrac{\text{ST}}{140} = \dfrac{50}{90}$. On en déduit :

ST $ = 140 \times \dfrac{50}{90} = 140 \times \dfrac59 \approx 77,8$~(cm) au millimètre près.
\item %Olivia, achète des tubes en acier inoxydable de longueur $4,5$~m à $37$~\euro{} l’unité pour fabriquer le support composé de trois équerres et des trois barres latérales.
%Montrer qu’elle doit prévoir un budget minimum de $222$~\euro{} pour l’achat des tubes en acier inoxydable.
Chaque équerre avec sa barre de renfort nécessite une longueur de tube égale à environ :

$140 + 90 + 166,4 + 50 = 446,4$~(cm) soit environ 4,464~m.

De plus il faut 3 équerres et 3 barres latérales de 4~m, soit $3 \times 4,464 + 3 \times 4 = 25,392$~(m).

Un tube mesurant 4,5~m il faut donc $\dfrac{25,392}{4,5} \approx 5,64$ : 6 tubes sont donc nécessaires à 37~\euro{} l'unité ce qui qui représente une dépense de :

$6 \times 37 = 222$~(\euro).
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3 \hfill 18 points}

\medskip

%Dans cette exercice, on étudie la probabilité de gain des deux jeux ci-dessous.
%
%\bigskip
%
\textbf{Partie A }
%
%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{X|X}
%Jeu 1&Jeu 2\\
%Un sac contient cinq boules indiscernables au toucher, dont une portant la lettre N, deux, portant la lettre G et deux portant la lettre P.& Une roue à six  secteurs angulaires identiques numérotées de un à six.
%\end{tabularx}
%
\medskip

\begin{enumerate}
\item %On considère le jeu 1.

%On pioche une boule au hasard dans ce sac et on note la lettre inscrite sur la boule choisie.

%On considère qu’on a gagné si on pioche la lettre G.

%Montrer que la probabilité de gagner avec ce jeu et de $\dfrac25$.
Il y a deux boules avec la lettre G sur 5 boules, d'où $P(G) = \dfrac25 = \dfrac{4}{10} = 0,4$.
\item %On considère le jeu 2.

%On fait tourner la roue et on note le nombre d’inscrits sur le secteur pointé par la flèche.

%On considère qu’on a gagné si on s’arrête sur un nombre premier.

%Quelle est la probabilité de gagner à ce jeu ?
Les nombres premiers sont : 2, \: 3 et 5 : il y a 3 cas favorables sur 6, donc la probabilité de gagner est égale à $\dfrac36 = \dfrac12 = 0,5$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Quel est le jeu qui présente la plus faible probabilité de gagner ?
On a $0,4 < 0,5$ :c'est le jeu 1 qui a la plus faible probabilité de gagner.
		\item %Proposer une liste de boules à rajouter pour que la probabilité de gagner avec le jeu 1 soit de $\dfrac14$.
On a $\dfrac14 = \dfrac28$ : le numérateur représente le nombre de boules G (on les a déja) et le dénominateur le nombre total de boules (8). Comme on a déjà 5 boules il faut donc en rajouter 3 qui ne soient pas marquées G, par exemple 3 P ou 2P et 1 N.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

%\textbf{Dans cette partie, toute trace de recherche sera valorisé}
%
%\medskip
%
%On choisit finalement de combiner ces deux jeux.
%
%Dans un premier temps, le joueur doit tirer une boule dans le sac du jeu 1.
%
%On doit ensuite faire tourner la roue du jeu 2.
%
%Le joueur gagne un lot s'il a tiré une boule portant la lettre G et si la roue s'arrête sur un secteur angulaire dont le numéro est un nombre premier.
%
%Quelle est la probabilité de gagner à cette combinaison des deux jeux ?
\textbf{Méthode 1} : principe multiplicatif :

$P(\text{gagner}) = P(\text{G}) \times P(\text{nombre premier}) = \dfrac25 \times \dfrac12 = \dfrac15 = \dfrac{2}{10} = 0,2$.

\textbf{Méthode 2} On peut faire un tableau à double entrée de 5 colonnes (tirage de l'une des boules) et 6 lignes (arrêt sur l'un des six secteurs).

Les cas favorables sont G1-2, G1-3, G1-5 et G2-2, G2-3 et G2-5 soit 6 cas favorables sur 30, d'où une probabilité de $\dfrac{6}{30} = \dfrac{1\times 6}{6 \times 5} = \dfrac15 = 0,2$.

\bigskip

\textbf{Exercice 4 \hfill 22 points}

\medskip

%On considère le programme de calcul suivant :
%
%\medskip
%
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~~$]Choisir un nombre
%\item[$\bullet~~$]Prendre le carré de ce nombre
%\item[$\bullet~~$]Multiplier le résultat par 2
%\item[$\bullet~~$]Ajouter le nombre de départ
%\item[$\bullet~~$]Soustraire 66
%\end{itemize}
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que si le nombre choisi au départ est 4, le résultat obtenu est $-30$.
On a $4^2 = 16$, puis $16 \times 2 = 32$, puis
		
$32 + 4 = 36$, puis $36 - 66 = - 30$.
		\item %Quel résultat obtient-on si le nombre choisi au départ est $-3$ ?
$(-3)^2 = 9$, puis $2 \times 9 = 18$, puis 
		
$18 + (- 3) = 15$ et $15 - 66 = - 51$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %On s'intéresse au bloc d'instruction ci-dessous intitulé \og Programme de calcul \fg.
%On souhaite le compléter pour calculer le résultat obtenu avec le programme de calcul en fonction du nombre choisi au départ.

%On précise que deux variables ont été créées: \og nombre choisi\fg{} qui correspond au nombre choisi au départ, et \og Résultat \fg.

%\begin{center}
%\begin{scratch}
%\blockcontrol{Programme de calcul}
%\end{scratch}
%
%\begin{scratch}
%\blockmove{mettre{\selectmenu{Résultat} à \ovaloperator{\ovalmove{A} * \ovalmove{nombre choisi}}}}
%\blockmove{mettre{\selectmenu{Résultat} à \ovaloperator{\ovalmove{B} * \ovalmove{nombre choisi}}}}
%\blockmove{mettre{\selectmenu{Résultat} à \ovaloperator{Résultat + \ovalmove{nombre choisi}}}}
%\blockmove{mettre{\selectmenu{Résultat} à \ovaloperator{Résultat - \ovalmove{66}}}}
%\end{scratch}
%\end{center}
%Écrire sur votre copie le contenu qui doit être inséré dans les emplacements A et B. 

Pour A : on met nombre choisi (pour obtenir le carré).

Pour B on met 2 (pour calculer le double).
%\textbf{Aucune justification n'est attendue pour cette question.}
		\item  %Lucie insère le bloc précédent dans le script ci-dessous et observe la réponse donnée par le lutin:

%\begin{tabular}{l l}
%\multicolumn{1}{c}{Script}&\multicolumn{1}{c}{Réponse du lutin}\\
%\begin{scratch}
%\blockinit{Quand \greenflag est cliqué}
%\blockmove{mettre{\selectmenu{nombre choisi} à \ovalmove{0}}}
%\blockrepeat{répéter \ovalnum{20} fois}
%{
%\blockcontrol{Programme de calcul}
%\blockif{si {\selectmenu{Résultat = 0}  alors}}
%{\blocklook{dire {regrouper{On peut choisir comme nombre de départ et {\ovalmove{nombre choisi}}}}}
%\blockmove{mettre{\selectmenu{nombre choisi} à \ovalmove{nombre choisi} + \ovalnum{0,5}}}
%}
%}
%\end{scratch}&On peut choisir comme nombre du départ 5,5.
%%
%\end{tabular}
%
%À quoi correspond la valeur 5,5 donnée comme réponse par le lutin avec le programme de Lucie ?
La valeur 5,5 est une valeur possible comme nombre de départ pour que le résultat final soit $0$.
	\end{enumerate}
\item On nomme $x$ le nombre choisi au départ.
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer l'expression obtenue par ce programme de calcul en fonction de $x$.
On a successivement :

$x\:;\quad x^2\:;\quad  2x^2\:;\quad  2x^2 + x\:;\quad  2x^2 + x - 66$.
		\item %On admet que $(2x - 11) (x + 6)$ est la forme factorisée de l'expression trouvée à la question précédente.
		
%Pour quelle(s) valeur(s) de $x$, le résultat obtenu avec le programme est-il égal à $0$ ?
$2x^2 + x - 66 = (2x - 11) (x + 6) = 0$ : un produit est nul si l'un des facteurs est nul, soit 

$\left\{\begin{array}{l c l}
2x - 11&=&0\\
x + 6&=&0
\end{array}\right.$, ou encore $\left\{\begin{array}{l c l}
2x &=&11\\
x &=&- 6
\end{array}\right.$ et enfin $\left\{\begin{array}{l c l}
x &=&\frac{11}{2}\\
x &=&- 6
\end{array}\right.$

Les nombres qui donnent donc comme résultat final 0, sont 5,5 (déjà vu) et $- 6$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 5 \hfill 22 points}

\medskip

%Un professionnel et un amateur vont faire une séance de karting sur la piste ci-dessous (représentée en traits pleins).
%
%Cette piste est constituée de segments, de demi-cercles et de quarts de cercles. 
%
%Le professionnel fait un tour de piste en $60$ secondes.
%
%L'amateur fait un tour de piste en $72$ secondes.
%
%
%\begin{center}
%\psset{unit=0.9cm}
%\begin{pspicture}(16.4,11.6)
%%\psgrid
%\psset{linewidth=1.3pt}
%\psline(3,0.6)(8.4,0.6)%CB
%\psline(9.8,2)(9.8,4.5)%AL
%\psline(11,5.9)(13.7,5.9)%KJ
%\psline(13.7,11.2)(9.6,11.2)%IH
%\psline(8.2,10)(8.2,7.3)%GF
%\psline(3,6)(7,6)%ED
%\psarc(8.4,2){1.4}{-90}{0}
%\psarc(11.2,4.5){1.4}{90}{180}
%\psarc(13.7,8.55){2.65}{-90}{90}
%\psarc(9.6,9.8){1.4}{90}{180}
%\psarc(6.8,7.4){1.4}{-90}{0}
%\psarc(3,3.3){2.7}{90}{270}
%\psset{linewidth=1pt}
%\psline[linestyle=dashed](3,0.6)(3,6)%CD
%\psline[linestyle=dashed](0.25,3.3)(3,3.3)
%\psline[linestyle=dashed](8.4,0.6)(8.4,2)(9.8,2)%BXA
%\psline[linestyle=dashed](9.8,4.5)(11,4.5)(11,5.9)%JXL
%\psline[linestyle=dashed](13.7,5.9)(13.7,11.2)%JI
%\psline[linestyle=dashed](13.7,8.55)(16.4,8.55)
%\psline[linestyle=dashed](9.6,11.2)(9.6,9.8)(8.2,9.8)%HXG
%\psline[linestyle=dashed](8.2,7.3)(7,7.3)(7,6)%FXE
%\psframe(3,3.3)(2.8,3.5)\psframe(7,7.3)(7.2,7.1)
%\psframe(13.7,8.55)(13.9,8.35) \psframe(11,4.5)(10.8,4.7)
%\psframe(8.4,2)(8.6,1.8)
%\uput[r](9.8,2){A} \uput[d](8.4,0.6){B} \uput[d](3,0.6){C} \uput[u](3,6){D \small (Départ)} 
%\uput[d](7,6){E} \uput[r](8.2,7.3){F} \uput[l](8.2,10){G} \uput[u](9.6,11.2){H} 
%\uput[u](13.7,11.2){I} \uput[d](13.7,5.9){J}  \uput[u](11,5.9){K} \uput[l](9.8,4.5){L}
%\psline(6.9,6.55)(7.1,6.55)\psline(7.6,7.2)(7.6,7.4)
%\psline(8.3,1.3)(8.5,1.3)\psline(9.1,1.9)(9.1,2.1)
%\psline(10.4,4.4)(10.4,4.6)\psline(10.9,5.2)(11.1,5.2)
%\psline(8.9,9.7)(8.9,9.9)\psline(9.5,10.5)(9.7,10.5)
%\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=2.2](14.9,8.55)(13.7,7.2)(13.7,9.9)(1.5,3.3)(3,1.8)(3,4.6)(8.2,8.5)(12.4,5.9)(9.8,3.5)
%\psdots(5,6)
%\uput[u](5,6){90~m}\uput[d](5.7,0.6){120~m}\uput[r](9.8,3.5){60~m}
%\uput[r](9.6,10.6){30~m}
%\end{pspicture}
%\end{center}

\begin{enumerate}
\item %Montrer que la longueur de la piste est de \np{1045}~m, arrondie à l'unité près.
$\bullet~~$Les parties rectilignes : six segments, [CB], [AL], [KJ], [IH], [GF] et [ED] d'une longueur de :

$120 + 60 + 60 + 90 + 60 + 90 = 480$~(m).

$\bullet~~$Les parties en arc de cercle : 

-- deux demi-cercles de rayon 60, soit un cercle de rayon 60, de longueur $2\times \pi \times 60 = 120\pi$~(m) ;

-- quatre quarts de cercle de rayon 30~(m), soit un cercle de rayon 30, d'où une longueur de $2\times \pi \times 30 = 60\pi$~(m).

La longueur totale de la piste est donc égale à : $480 + 120\pi + 60\pi = 480 + 180\pi \approx 480 + 565,487 \approx \np{1045,49}$, soit \np{1045}~(m) à l'unité près.

%Toute trace de recherche sera valorisée.
\item %Calculer la vitesse moyenne du professionnel en m/s. On arrondira au centième près.

\np{1045}~m en 72~s représente une vitesse moyenne de $\dfrac{\np{1045}}{72}\approx 17,42$~(m/s)
\item %Pour des raisons de sécurité sur ce circuit, les amateurs ne doivent pas dépasser les $60$~km/h de moyenne. Cet amateur respecte-t-il les règles de sécurité ?
En 1 heure il parcourt donc $\dfrac{\np{1045}}{72} \times \np{3600} = \np{52250}$~(m/h) soit 52,25~(km/h) : il respecte les règles de sécurité.
\item %Le professionnel et l'amateur partent en même temps de la ligne de départ et font plusieurs tours de circuit. 

On rappelle que le professionnel effectue un tour en $60$~s et l'amateur en $72$~s.
	\begin{enumerate}
		\item %Décomposer $60$ et $72$ en produit de facteurs premiers.
$60 = 6 \times 10 = 2 \times 3 \times 2 \times 5 = 2^2 \times 3 \times 5$.

$72 = 6 \times 12 = 8 \times 9 = 2^3 \times 3^2$.
		\item %Au bout de combien de temps se retrouveront-ils pour la première fois sur la ligne de départ ensemble ?
		Ils se retrouveront ensemble au bout d'un nombre de secondes multiple commun à 60 et 72 ; le plus petit petit multiple commun à 60 et 72 contient tous leurs facteurs premiers soit $2^3 \times 3^2 \times 5 = 72 \times 5 = 360$~(s) soit $\dfrac{360}{60} = 6$~(min).
		\item %Combien auront-ils alors effectué de tours chacun ?
		Au bout de 6~min = 360~s le professionnel aura fait $\dfrac{360}{60} = 6$~(tours) et l'amateur $\dfrac{360}{72} = 5$~(tours).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}