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%Tapuscrit : François Hache
%Relecture : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}

\setlength\parindent{0mm}
\setlength\parskip{5pt}

\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\lhead{\small Brevet - corrigé}
\rhead{\small \textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\rfoot{\small Polynésie - voie professionnelle}
\lfoot{\small Septembre 2023}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du Brevet - Polynésie~\decofourright\\[7pt]
Voie professionnelle - septembre 2023}}
\end{center}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\large Exercice 1 \hfill 24 points}

\vspace{0.25cm}

%Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM). Pour chaque question, une seule des trois réponses proposées est exacte.
%
%Indiquer sur la copie pour chaque question, sans justifier, la réponse choisie : Réponse A, Réponse B ou Réponse C.
%
%\medskip

{\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c| m{5.5cm} | *3{>{\centering\arraybackslash}X|}}
\hline
\textbf{N$\degres$} & \centering\textbf{Questions} & \textbf{Réponse A} & \textbf{Réponse B} & \textbf{Réponse C}\\
 \hline
1. & Soient les 6 nombres suivants:\newline 18\;;\;2\;;\;14\;;\;5\;;\;8\;;\;16\newline La moyenne est: & $9,5$ & $\blue 10,5$ & $15,5$\\
\hline
2. & La forme développée de\newline $(x+2)(x+3)$ est: & $x^2+5$ & $\blue x^2+5x+6$ & $x^2+6$\\
\hline
3. & Soit le triangle ABC tel que\newline AB = 3 cm, BC = 4 cm et AC = 5 cm.\newline Ce triangle est-il rectangle? & $\text{\blue OUI}$ & NON & On ne peut pas savoir.\\
\hline
4. & $\qquad\qquad\dfrac{2}{5}- \dfrac{1}{5}=$\rule[-15pt]{0pt}{35pt} & 1 & 0 & $\blue\dfrac{1}{5}$\\
\hline
&&&&\\
5. & La fonction $f$ est définie par: \newline{}\hspace*{1cm} $f(x)=2x+20$ \newline Sa représentation graphique est: 
&
\psset{unit=0.05cm,arrowsize=2pt 2}
\parbox{2.5cm}{
\def\xmin{-14}   \def\xmax{30} \def\ymin{-9}   \def\ymax{48}
{\psset{linecolor=blue} 
\begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psgrid[unit=0.5cm,subgriddiv=5, gridlabels=0, gridcolor=blue!60,subgridcolor=blue!30](-2,-1)(3,5)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,gridlabelcolor=blue, ticksize=-0pt 0pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[ul](30,0){\scriptsize\blue $x$} \uput[dr](0,48){\scriptsize\blue $y$} %\uput{7pt}[dl](0,0){\scriptsize $0$}
\psplot[linecolor=red]{\xmin}{\xmax}{20 2 x mul add}
%\psplot[linecolor=blue]{\xmin}{\xmax}{20 -2 x mul add}
%\psplot[linecolor=green]{\xmin}{\xmax}{-2 x mul}
\end{pspicture*}}}
&
\psset{unit=0.05cm,arrowsize=2pt 2}
\parbox{2.5cm}{
\def\xmin{-14}   \def\xmax{30} \def\ymin{-9}   \def\ymax{48}
\begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psgrid[unit=0.5cm,subgriddiv=5, gridlabels=0, gridcolor=lightgray,subgridcolor=lightgray!40](-2,-1)(3,5)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle, ticksize=-0pt 0pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[ul](30,0){\scriptsize $x$} \uput[dr](0,48){\scriptsize $y$} %\uput{7pt}[dl](0,0){\scriptsize $0$}
%\psplot[linecolor=red]{\xmin}{\xmax}{20 2 x mul add}
\psplot[linecolor=blue]{\xmin}{\xmax}{20 -2 x mul add}
%\psplot[linecolor=green]{\xmin}{\xmax}{-2 x mul}
\end{pspicture*}}
&
\psset{unit=0.05cm,arrowsize=2pt 2}
\parbox{2.5cm}{
\def\xmin{-14}   \def\xmax{30} \def\ymin{-9}   \def\ymax{48}
\begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psgrid[unit=0.5cm,subgriddiv=5, gridlabels=0, gridcolor=lightgray,subgridcolor=lightgray!40](-2,-1)(3,5)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle, ticksize=-0pt 0pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[ul](30,0){\scriptsize $x$} \uput[dr](0,48){\scriptsize $y$}% \uput{7pt}[dl](0,0){\scriptsize $0$}
%\psplot[linecolor=red]{\xmin}{\xmax}{20 2 x mul add}
%\psplot[linecolor=blue]{\xmin}{\xmax}{20 -2 x mul add}
\psplot[linecolor=green]{\xmin}{\xmax}{-2 x mul}
\end{pspicture*}} \\
&&&&\\
\hline
6. & Le volume de la boule suivante est:\newline\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-2.5,-2)(1.7,2)
%\psgrid
\pscircle(0,0){1.6}
\psellipse[linestyle=dashed](0,0)(1.6,0.7)
\psdots(0,0)
\psline(-1.6,0)(0,0) \uput[u](-0.6,0){\scriptsize $R = 2$}
\end{pspicture}\newline
Volume boule: $\dfrac{4}{3}\pi R^3$\rule[-12pt]{0pt}{0pt}
& $\dfrac{8}{3}\pi$ & $\dfrac{24}{3}\pi$ & $\blue\dfrac{32}{3}\pi$\\
\hline
\end{tabularx} }

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|c|  *6{>{\centering\arraybackslash}X|}}
\hline
Questions & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6\\
\hline
Réponses & B & B & A & C & A & C \\
\hline
\end{tabularx}
\end{center}

\newpage

\textbf{\large Exercice 2 \hfill 10 points}

\vspace{0.25cm}

\begin{minipage}{0.65\linewidth}
\emph{Les calculs seront détaillés sur la copie.}

\medskip

Tehani souhaite une étagère murale composée de 2 planches en manguier et d'une corde.\\
Les deux planches représentées par les segments [MN] et [BC] mesurent respectivement 20 cm et 40 cm.\\
Pour des raisons d'esthétique, elle décide d'espacer les 2 planches et le point de fixation A de 30 cm à chaque fois.\\
On donne : AP = PH = 30 cm, (MN) // (BC) et (AH) $\perp$ (BC).
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.3\linewidth}
\begin{flushright}
\psset{unit=1cm,radius=0pt}
\scalebox{0.6}{
\begin{pspicture}(-1,-0.5)(7,5.5)
%\psgrid[subgriddiv=1,  gridlabels=0, gridcolor=lightgray] 
\Cnode*(0,0){B} \Cnode*(6,0){C} \Cnode*(3,5){A} \Cnode*(3,0){H}
\uput[u](A){A} \uput[190](B){B} \uput[-10](C){C} \uput[d](H){H} 
\psframe(H)(2.7,0.3) \psline(B)(A)(C) \psline[linewidth=2pt](B)(C)
\Cnode*(1.5,2.5){M} \Cnode*(4.5,2.5){N} \Cnode*(3,2.5){P}
\uput[l](M){M} \uput[r](N){N} \uput[ur](P){P} 
\psline[linewidth=2pt](M)(N) \psline(A)(H)
\rput(1.5,0){\pmb /} \rput(4.5,0){\pmb /} 
\uput[d](3,-0.5){Le schéma n'est pas à l'échelle.}
\end{pspicture}}
\end{flushright}
\end{minipage}

\begin{enumerate}
\item  %\textbf{Donner} les mesures des longueurs MN et BC, exprimées en cm.
D'après le texte: MN = 20 cm et BC = 40 cm.
\item %\textbf{Calculer} la longueur BH. \textbf{Exprimer} le résultat en cm.
D'après la figure, BH = HC donc $\text{BH}=\dfrac{\text{BC}}{2}$ donc BH = 20 cm.
\item %\textbf{Calculer} la longueur AH. \textbf{Exprimer} le résultat en cm.
AH = AP + PH; or AP = PH = 30 cm donc AH = 60 cm.
 \end{enumerate}
 
 Pour terminer son étagère, elle doit rajouter une corde (représentée par les segments [AB] et [AC]).

\begin{enumerate}[resume]
 \item  %\textbf{Calculer} la longueur AB. \textbf{Exprimer} le résultat en cm
Le triangle ABH est rectangle en H donc, d'après le théorème de Pythagore, on a:\\
$\text{AB}^2=\text{AH}^2+\text{BH}^2$.

Or AH = 60 et BH = 20, donc $\text{AB}^2=60^2+20^2= \np{3600} + 400=\np{4000}$.\\ 
On en déduit que $\text{AB}=\ds\sqrt{\np{4000}}$ soit environ $63,2$ cm.

\item %\textbf{Justifier} si une corde de 100 cm est assez longue.
Le triangle ABC est isocèle donc AB = AC.

La corde doit donc avoir une longueur au moins égale à 2 fois AB, soit $2\times 63,2$ c'est-à-dire $126,4$ cm.

Une corde de 1 m n'est donc pas assez longue.

\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\large Exercice 3 \hfill 22 points}

\vspace{0.25cm}

De 2000 à 2015, on a noté l'évolution des températures moyennes à Tahiti au mois de janvier.

%\begin{center}
%\psset{xunit=0.8cm,yunit=1.2cm}
%\begin{pspicture}(0,26)(17,30)
%\psgrid[subgriddiv=5,  gridlabels=0, subgridcolor=lightgray,gridcolor=gray] 
%\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,arrowsize=3pt 3, ticksize=-2pt 2pt, labels=y,Oy=26]{->}(0,26)(0,26)(17,30)
%\def\data{1 28.6 2 27.6 3 28 4 28 5 28.1 6 28.3 7 27.8 8 27.6 9 26.9 10 27.9 11 28.7 12 27.2 13 26.9 14 26.8 15 27.4 16 28.1}
%\psset{dotstyle=x,dotscale=2,linecolor=blue}
%\listplot[plotstyle=line,showpoints]{\data}
%\multido{\i=1+1,\I=2000+1}{16}{\uput[d](\i,26){\scriptsize \I}}
%\uput*[r](0.2,29.6){\small Températures moyennes (en \degres{}C)}
%\uput*[u](16,26){\small Années} 
%\end{pspicture}
%\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item À  l'aide du graphique, on peut dire que:
\begin{enumerate}
\item la température moyenne en janvier 2002 est de 28\,\degres{}C;
\item la température moyenne en janvier 2006 est de $27,8$\,\degres{}C;
\item l'année où la température moyenne en janvier est la plus basse est 2013 avec une température de  $26,8$\,\degres{}C.
\end{enumerate}
\item% \textbf{Décrire}, à l'aide du graphique, l'évolution des températures moyennes en janvier de 2013 à 2015.
De 2013 à 2015 l'évolution des températures moyennes en janvier est croissante.

\item On place les points dans le repère ci-après correspondant aux températures moyennes en janvier pour 2016, 2017, 2018 et 2019.

\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|}
\hline
\hspace*{0.5cm}\textbf{Date}\hspace*{0.5cm} & \textbf{Températures moyennes en janvier (en \degres{}C)}\\
 \hline
 2016 & $28$\\
 \hline
 2017 & $27,8$\\
 \hline
 2018 & $28$\\
 \hline
 2019 & $28,2$\\
 \hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{enumerate}

{\psset{xunit=0.7cm,yunit=1.2cm}
\begin{pspicture}(0,26)(21,30)
\psgrid[subgriddiv=5,  gridlabels=0, subgridcolor=lightgray,gridcolor=gray] 
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,arrowsize=3pt 3, ticksize=-2pt 2pt, labels=y,Oy=26]{->}(0,26)(0,26)(21,30)
\def\data{1 28.6 2 27.6 3 28 4 28 5 28.1 6 28.3 7 27.8 8 27.6 9 26.9 10 27.9 11 28.7 12 27.2 13 26.9 14 26.8 15 27.4 16 28.1}
\listplot[plotstyle=line,showpoints,dotstyle=x,dotscale=2,linecolor=blue]{\data}
\def\data{17 28 18 27.8 19 28 20 28.2}
\listplot[plotstyle=line,linecolor=red]{16 28.1 17 28}
\listplot[plotstyle=line,showpoints,dotstyle=x,dotscale=2,linecolor=red]{\data}
\multido{\i=1+1,\I=2000+1}{16}{\uput[d](\i,26){\scriptsize \I}}
\multido{\i=17+1,\I=2016+1}{4}{\uput[d](\i,26){\scriptsize\red \I}}
\uput*[r](0.2,29.6){\small Températures moyennes (en \degres{}C)}
\uput*[u](20,26){\small Années} 
\end{pspicture}}

\vspace{0.5cm}
%\newpage

\textbf{\large Exercice 4 \hfill 21 points}

\vspace{0.25cm}

%Dans cet exercice, aucune justification n'est attendue.\\
Teva travaille sur un programme. Voici des copies de son écran :

\begin{center}
\begin{tabular}{|*2 {>{\centering\arraybackslash}p{6cm}|}}
\hline
&\\
\textbf{Script principal}  &  \textbf{Blocks Motifs}\\
\begin{scratch}%[num blocks,baseline=10]
\blockinit{quand \greenflag est cliqué}
\blockmove{aller à x: \ovalnum{-200} y: \ovalnum{0}}
\blockpen{stylo en position d'écriture}
\blockpen{mettre la taille du stylo à \ovalnum{1}}
\blockmoreblocks{Motif}
\end{scratch}
 & 
\multirow{2}{5cm}{
 %\parbox[12cm][t]{8cm}{
 \scalebox{0.8}{
\begin{scratch}%[num blocks]
\initmoreblocks{définir \namemoreblocks{Motif}}
\blockmove{s'orienter à  \ovalnum{0}}
\blockrepeat{répéter \ovalnum{2} fois}
{\blockmove{avancer de \ovalnum{90} pas}
\blockmove{tourner \turnright{} de \ovalnum{90} degrés}
}
\blockmove{avancer de  \ovalnum{60} pas}
\blockrepeat{répéter \ovalnum{2} fois}
{\blockmove{tourner \turnright{} de \ovalnum{90} degrés}
\blockmove{avancer de \ovalnum{30} pas}
}
\blockmove{tourner \turnleft{} de \ovalnum{90} degrés}
\blockmove{avancer de \ovalnum{30} pas}
\blockmove{tourner \turnleft{} de \ovalnum{90} degrés}
\blockmove{avancer de \ovalnum{60} pas}
\blockmove{tourner \turnleft{} de \ovalnum{90} degrés}
\end{scratch}
}% fin du scalebox
}\\
&\\
&\\
&\\
\cline{1-1}
&\\
\textbf{Dessin obtenu}
&\\
&\\
{\psset{unit=0.4cm,arrowsize=2pt 1}
\begin{pspicture}(0,0)(9,11)
\psline[linecolor=blue](0,0)(0,9)(9,9)(9,3)(6,3)(6,6)(3,6)(3,0)
\psset{linewidth=0.5pt,linecolor=red}
\psline{<->}(-0.5,0)(-0.5,9)  \uput[l](-0.5,4.5){$\red  90$}
\psline{<->}(0,9.5)(9,9.5) \uput[u](4.5,9.5){$\red  90$}
\psline{<->}(9.5,9)(9.5,3)  \uput[r](9.5,6){$\red  60$}
\psline{<->}(9,2.5)(6,2.5) \uput[d](7.5,2.5){$\red 30$}
\psline{<->}(5.5,3)(5.5,6) \uput[l](5.5,4.5){$\red 30$}
\psline{<->}(6,6.5)(3,6.5) \uput[u](4.5,6.5){$\red 30$}
\psline{<->}(2.5,6)(2.5,0) \uput[l](2.5,3){$\red 60$}
\end{pspicture}}
& \\
&\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item  Les coordonnées $(x\,;\,y)$ du point de départ du tracé sont $(-200\,;\,0)$.

\item On complète les distances, exprimées en nombre de pas, sur le dessin représenté ci-dessus.

\item La distance totale parcourue par le lutin pour tracer le motif est, en pas:\\
$90+90+60+30+30+30+60=390$.
\end{enumerate}

Teva souhaite modifier son programme de façon à obtenir la frise ci-dessous.

\begin{center}
\psset{unit=0.3cm,arrowsize=3pt 2}
\begin{pspicture}(0,-0.5)(36,9.5)
\psline[linecolor=blue](0,0)(0,9)(9,9)(9,3)(6,3)(6,6)(3,6)(3,0)(12,0)
\psline[linecolor=blue](12,0)(12,9)(21,9)(21,3)(18,3)(18,6)(15,6)(15,0)(24,0)
\psline[linecolor=blue](24,0)(24,9)(33,9)(33,3)(30,3)(30,6)(27,6)(27,0)(36,0)
\small
\uput[ul](0,9){A} \uput[ur](9,9){B} \uput[dl](3,0){C} \uput[dr](12,0){D} 
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}[resume]
\item On complète les lignes 5 et 7 du script principal  sachant que AB = CD.

\begin{center}
\scalebox{0.9}{\begin{scratch}[num blocks]
\blockinit{quand \greenflag est cliqué}
\blockmove{aller à x: \ovalnum{-200} y: \ovalnum{0}}
\blockpen{stylo en position d'écriture}
\blockpen{mettre la taille du stylo à \ovalnum{1}}
\blockrepeat{répéter \ovalnum{\red 3} fois}
{\blockmoreblocks{Motif}
\blockmove{avancer de \ovalnum{\red 90} pas}}
\end{scratch}}
\end{center}

\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\large Exercice 5 \hfill 23 points}

\vspace{0.25cm}

%\emph{Les calculs seront détaillés sur la copie.}
%
%\smallskip

Pour limiter les bouteilles en plastique, une association souhaite offrir une gourde en métal à chaque élève de sixième.\\
Les prix que propose un commerçant sont dans le tableau page suivante.

\begin{figure}[t!]
\centering
Facture\rule[-15pt]{0pt}{0pt}

\renewcommand{\arraystretch}{1.4}
\begin{tabular}{|>{\cellcolor{lightgray}} c |c|c|>{\raggedleft\arraybackslash} m{3.5cm}|>{\raggedleft\arraybackslash} m{3cm}|}
\hline
\rowcolor{lightgray} & A & B & \centering C & \centering\arraybackslash  D\\
\hline
1 & Articles & Quantités & \centering Prix unitaire en F (prix d'une gourde) & \centering\arraybackslash Montant total \newline{} (en F)\\
\hline
2 & Gourdes vertes & 45 & \np{1500,00} & \np{67500,00}\\
\hline
3 & Gourdes bleues & 29 & \np{1200,00} & \np{34800,00}\\
\hline
4 & Gourdes rouges & 36 & \np{1300,00} & $\blue\np{46800,00}$\\
\hline
5 & Gourdes grises &$\blue 70$ & \np{1125,00} & $\blue\np{78750,00}$\\
\hline
6 & \multicolumn{2}{c|}{~} & \centering Total HT & \np{227850,00}\\
\cline{1-1} \cline{4-5} 
7 & \multicolumn{2}{|c|}{~} & \centering TVA 13\,\% & $\blue\np{29620,50}$\\
\cline{1-1} \cline{4-5} 
8 & \multicolumn{2}{|c|}{~} & \centering Total TTC & $\blue\np{257470,50}$\\
\cline{1-1} \cline{4-5} 
\end{tabular}
\end{figure}

\begin{flushleft}
\textbf{Partie A}
\end{flushleft}

\begin{enumerate}
\item % \textbf{Justifier} par un calcul le montant total pour les gourdes vertes.
Il y a 45 gourdes vertes à \np[F]{1500,00} pièce. \\
$45\times \np{1500,00}=\np{67500,00}$

Le montant total pour les gourdes vertes est donc bien de \np[F]{67500,00}.

\item 	
\begin{list}{\textbullet}{On détaille les calculs permettant de compléter le tableau.}
\item Montant total (en F) des gourdes rouges:
$36 \times \np{1300,00} = \np{46800,00}$.
\item Montant total (en F) des gourdes grises:\\
$\np{227850,00}  - ( \np{67500,00} + \np{34800,00} +  \np{46800,00}) = \np{78750,00}$.
\item Nombre de gourdes grises:
$\dfrac{\np{78750,00}}{\np{1125,00}}=70$.
\item Montant (en F) de la TVA:
$\np{227850,00} \times  \dfrac{13}{100} = \np{29620,50}$.
\item Montant total TTC (en F):
$\np{227850,00} + \np{29620,50} = \np{257470,50}$.
\end{list}

\item La formule que l'on doit mettre dans la cellule D8 est: \quad
\fbox{\texttt{= D6 + D7}}

\end{enumerate}

\begin{flushleft}
\textbf{Partie B}
\end{flushleft}

Les gourdes sont toutes distribuées aux élèves. Parmi les 180 élèves de sixième, on choisit un élève au hasard.

\begin{enumerate}[resume]
\item  Il y a 36 gourdes rouges et 180 gourdes au total.\\
La probabilité que l'élève ait une gourde rouge est $\dfrac{36}{180}$ soit $0,2$.

\item La probabilité qu'il ait une gourde d'une autre couleur est donc $1-0,2=0,8$.
\end{enumerate}

\end{document}