% préambule APMEP - Annales
%%% Auteurs
% tapuscrit : Denis Vergès
% relecture :
% figures TikZ :
% figures pstricks :
% modifications :
% Remerciements : 
%%%
\documentclass[11pt,a4paper,french]{article}

%%% codage et police utilisée
\usepackage[T1]{fontenc}
\RequirePackage{iftex}
\iftutex % moteur utf-8 lualatex, xelatex
	\usepackage{fourier-otf} % remplace fourier pour moteur utf8 (LuaLaTeX, XeLaTeX)
	% Alternatives nécéssite (LuaLaTeX, XeLaTeX)
	\usepackage{fontspec}% pour utiliser des fontes système
\else % pour les autres moteurs latex, pdflatex
	\usepackage[utf8]{inputenc}
	\usepackage{fourier}
	\usepackage{amsmath,amssymb}
\fi
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
%%% chargement des packages utiles
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{lscape}
\usepackage{multicol}
%\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{tabularray}
\usepackage{multirow}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{textcomp}
\usepackage[pstricks]{tablvar}
\usepackage{esvect}
\usepackage{babel}
\DecimalMathComma
\usepackage[np]{numprint}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{fancyvrb}
\usepackage{makeidx}
\makeindex
\usepackage{scratch3}



%%% pour PsTricks
\usepackage{pst-bezier}%% AVANT les autres PST
\usepackage{pstricks-add}
\usepackage{pst-func,pst-tree,pst-circ}
\usepackage{pst-eucl}
%%% pour TikZ
\usepackage{tikz,pgfplots,pgf,tkz-tab,tikzpagenodes}
\pgfplotsset{compat=1.18,/pgf/number format/.cd,use comma}
%%% Définitions ou redéfinitions
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
% notation en mode mathématique et hors mode mathématique
\newcommand{\R}{\ensuremath{\mathbb{R}}} 
\newcommand{\N}{\ensuremath{\mathbb{N}}}
\newcommand{\D}{\ensuremath{\mathbb{D}}}
\newcommand{\Z}{\ensuremath{\mathbb{Z}}}
\newcommand{\Q}{\ensuremath{\mathbb{Q}}}
\newcommand{\C}{\ensuremath{\mathbb{C}}}
%
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\newcommand{\vectt}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut\text{#1}\,}}
%
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
%
\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}
\newcommand{\e}{\mathrm{\,e\,}}
%%% Redéfinitions
\renewcommand{\d}{\mathrm{\,d}}
\renewcommand{\i}{\mathrm{\,i\,}}
\providecommand{\up}{\textsuperscript}
%%% Taille de la zone d'écriture
\usepackage[left=3cm,right=3cm,top=3cm,bottom=3cm]{geometry}
%%% Formatage du pdf
\iftutex % moteur utf-8 lualatex, xelatex
\usepackage{hyperref}
\else
\usepackage[dvips]{hyperref}
\fi
\hypersetup{%
	pdfauthor = {APMEP},
	pdfsubject = {Diplôme national du brevet},
	pdftitle = {Brevet -- sujet},
	allbordercolors = white,
	pdfstartview=FitH
	}
% packages ajoutés
\usepackage[np]{numprint}
\usepackage[french]{babel}
\begin{document}
\setlength{\parindent}{0pt}
\setlength{\headheight}{14pt}
\addtolength{\topmargin}{-1.59999pt}
	\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
	\lhead{\small Diplôme national du brevet professionnel}
	\lfoot{\small{Antilles--Guyane }}
	\rfoot{\small{30 juin 2026}}
	\pagestyle{fancy}
	\thispagestyle{empty}
	\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
	
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du diplôme national du brevet~\decofourright\\[7pt]
Série professionnelle\\[7pt]Antilles--Guyane 30 juin 2026}}
\end{center}
	
\vspace{10mm}

\begin{center}
\begin{tabular}{|p{0.60\textwidth}|p{0.25\textwidth}|}\hline
\textbf{Partie 1 – Automatismes} \newline 20 min (calculatrice interdite) & \textbf{6 points} \\
\hline
\textbf{Partie 2 – Raisonnement et résolution de problèmes} \newline 1 h 40 (calculatrice autorisée) & \textbf{14 points} \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\begin{center}
\textbf{À l'issue de la partie 1, les copies sont ramassées.}
\end{center}

\medskip

L'usage de la calculatrice avec mode examen actif ou sans mémoire \og type collège \fg{} est \textbf{interdit} pour la partie 1 et \textbf{autorisé} pour la partie 2.

L'utilisation du dictionnaire est interdite.

\medskip

\begin{center}
\textbf{\large Partie 1 -- Automatismes -- 6 points -- 20 minutes}
\end{center}

%Pour chaque question, recopier sur la copie son numéro et la réponse correspondante.
%\medskip
%
%Pour cette partie, aucune justification n’est demandée. Pour les questions à choix multiples, une seule réponse est exacte.
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline
%\textbf{Pour chaque question, recopier sur la copie son numéro et la réponse correspondante}.\\
%\textbf{Pour cette partie, aucune justification n’est demandée. Pour les questions à choix multiples, une seule réponse est exacte.}\\ \hline
%\end{tabularx}
%	
\medskip

\textbf{Question 1}

\medskip

%Écrire sur la copie l’expression correspondant à $3 \times  4^5$

%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
%\textbf{A.~} $3 \times 4 \times 5$ &\textbf{C.~} $3 \times 4 \times 4 \times 4 \times 4 \times 4$\\
%\textbf{C.~} $3 \times (4+4+4+4+4)$ &\textbf{D.~} $3 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5$
%\end{tabularx}
%\end{center}
$3 \times  4^5 = 3 \times 4 \times 4 \times 4 \times 4 \times 4$.
\medskip

\textbf{Question 2}

\medskip

%Écrire sur la copie la notation scientifique de \np{1200000}.
$\np{1200000} = 1,2 \cdot 10^6$.
\medskip

\textbf{Question 3}

\medskip

%Écrire le calcul permettant d’obtenir la moyenne des notes suivantes : 

%\[11\quad  10\quad 16\quad 9\quad 20\]
Si $\overline{m}$ est la moyenne  des 5 notes alors :

\[\overline{m} = \dfrac{11 + 10 + 16 +  9 + 20}{5} = \dfrac{66}{5} = \dfrac{132}{10} = 13,2.\]
\medskip

\textbf{Question 4}

\medskip

%On donne la taille de 11 joueurs de football en mètre.
%
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{11}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%1,72 &1,75& 1,78& 1,84& 1,85& 1,89& 1,89& 1,90& 1,90& 1,92& 1,99\\ \hline
%\end{tabularx}
%\end{center}
%
%Déterminer la taille médiane de ces joueurs.
Les 11 tailles sont rangées dans l'ordre croissant : la médiane est la sixième (5 plus petites et 5 plus grandes) : c'est donc 1,89~(m).

\medskip

\textbf{Question 5}

\medskip

%Donner le quart de 20.
Le quart de 20 est égal à $\dfrac14 \times 20 = \dfrac{20}{4} = 5$.
\medskip

\textbf{Question 6}

\medskip

%Une voiture parcourt $240$~km en $3$~heures. Calculer sa vitesse moyenne en km/h.
La distance parcourue est proportionnelle au temps : en simplifiant par 3  on obtient 

Une voiture parcourt $80$~km en $1$~heure : sa vitesse moyenne est égale à 80~(km/h).
\medskip

\textbf{Question 7}

\medskip

%On dispose de carreaux dont les dimensions sont données ci-dessous.
%
%Écrire le calcul qui permet de connaître le nombre de carreaux nécessaires pour couvrir la surface à carreler ci-dessous :
%
%\begin{center}
%\psset{unit=1cm}
%\begin{pspicture}(9,5)
%
%\psframe(0,1.6)(3.4,4.1)
%\psframe(0,1.6)(0.2,1.8)\psframe(0,4.1)(0.2,3.9)
%\psframe(3.4,4.1)(3.2,3.9)
%\uput[d](1.7,1.6){90 cm}\uput[r](3.4,2.85){80 cm}
%\psframe(5.4,3.3)(6.2,4.1)\uput[d](5.8,3.2){10 cm}\uput[r](6.2,3.6){10 cm}
%\rput(1.7,4.6){Surface à carreler}\rput(5.8,4.6){Carreau de carrelage}
%\rput(4.5,0.4){Les schémas ne sont pas à l’échelle}
%\end{pspicture}
%\end{center}
Sur la longueur on peut placer exactement 9 carreaux de carrelage ($9 \times 10 = 90$) ;

Sur la largeur, on peut placer exactement 8 carreaux de carrelage($8 \times 10 = 80$)

On peut donc placer $9 \times 8 = 72$ carreaux de carrelage entiers.
\textbf{Question 8}

\medskip

%Dans une pièce de $2,50$~m de hauteur, on place une armoire de $170$~cm de hauteur.
%
%Calculer la distance entre le haut de l’armoire et le plafond.
La hauteur de l'armoire est égale à 1,70~cm de haut.

Il reste donc entre le haut de l'armoire et le le plafond :

\[2,50 - 1,70 = 0,80~(\text{m}) \: \text{ou} \: 80~(\text{cm})\]

\medskip

\textbf{Question 9}

\medskip

%Le prix d’un article coûtant 20~\euro{} augmente de $40$\,\%.
%
%Indiquer le calcul qui permet de trouver le nouveau prix.
Augmenter de $40$\,\% revient à multiplier l'ancien prix par :

\[1 + \dfrac{40}{100} = \dfrac{100}{100} +  \dfrac{40}{100} =  \dfrac{140}{100} = 1,4\]

Nouveau prix $ = \text{Ancien prix} \times 1,4$.
\bigskip

\textbf{Restitution de la copie du candidat à l’issue de la partie 1}

\bigskip

\textbf{Partie 2 - raisonnement et résolution de problèmes - 14 points - 1 h 40}

\medskip

%\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline
%\textbf{Dans cette partie, toutes les réponses doivent être justifiées, sauf si une indication contraire est donnée}.\\
%\textbf{La clarté et la précision des raisonnements ainsi que la rédaction sont évaluées sur 2 points.}\\
%\textbf{Pour chaque question, si le travail n’est pas terminé, laisser tout de même une trace de la recherche ; les essais et les démarches engagées, même non aboutis, seront pris en compte dans la notation.}\\ \hline
%\end{tabularx}
%
%\bigskip

\textbf{Exercice 1\hfill 3 points}

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(11,11)
%\psgrid
\psline[linewidth=2pt](0,1.4)(11,1.4)
\psline[linewidth=2pt](3.4,1.4)(3.4,8.6)
\psarc[linewidth=2pt](3.9,8.6){0.5}{90}{180}
\psline[linewidth=2pt](3.9,9.1)(3.9,10)
\psline[linewidth=2pt](3.9,9.6)(8.2,1.4)
\psline[linewidth=2pt,linecolor=red](3.9,9.6)(4.2,9.6)
\psellipse[linewidth=1.5pt,linecolor=red](4.9,9.6)(0.75,0.225)
\psline[linestyle=dashed](3.9,9.1)(3.9,1.4)\psframe(3.9,1.4)(4.15,1.65)
\pscurve[linecolor=blue](4.2,9.5)(4.3,9)(4.2,9.55)(4.45,9.)(4.6,9.4)(4.725,9)(4.75,9.4)(4.85,9.)(5,9.4)(5.125,9.)(5.25,9.35)(5.4,9.)(5.35,9.45)(5.45,9.3)(5.55,9.05)(5.6,9.5)
\rput(4.8,9.6){Panier}\uput[l](3.9,9.6){P}\uput[d](3.9,1.4){O}\uput[d](8.2,1.4){E}
\uput[r](7,6){PE = 3,30 m}
\uput[r](7,5){PO = 3,05 m}
\rput(5.5,0.4){Le schéma n’est pas à l’échelle }
\rput{-62.328}(6,5){Échelle}
\end{pspicture}
\end{center}

On considère le panneau de basket ci-dessus.

Pour changer le filet du panneau, il est nécessaire d’utiliser une échelle schématisée par le segment [PE].

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Indiquer précisément la nature de la figure OPE.
Dans le triangle OPE, l'angle en O est droit : c'est donc un triangle rectangle en O.
\item %Calculer la longueur OE en mètre (m). Arrondir au centième.
Le théorème de Pythagore appliqué au triangle OPE s'écrit :

PE$^2 = \text{PO}^2 + \text{OE}^2$, soit 3,3^2 = 3,05^2 + \text{OE}^2$, d'où en ajoutant à chaque membre $- 3,05^2$ :

OE$^2 = 3,3^2 - 3,05^2 = 10,89 - \np{9,3025} = \np{1,5875}.

Comme OE est une longueur la solution est donc OE $ = \sqrt{\np{1,5875}} \approx \np{1,2599}$, soit OE $\approx 1,26$~(m) au centième de mètre près, soit au centimètre près.
\item %Pour des raisons de sécurité, il est recommandé que la mesure de l’angle $\widehat{\text{OEP}}$ form par l’échelle et le sol, soit comprise entre $73\degres$ et $77\degres$. L’angle $\widehat{\text{OPE}}$ mesure $22,4\degres$.

%Déterminer si la condition de sécurité est respectée. Rédiger la justification.
La somme des mesures des trois angles du triangle OPE est égale à $180\degres$ ; l'angle droit en O mesure $90\degres$. la somme des deux angles aigus est donc égale à :

$\widehat{\text{OEP}} + \widehat{\text{OPE}} = 180 - 90 = 90$. On a donc :

$\widehat{\text{OEP}} + 22,4 = 90$, d'où $\widehat{\text{OEP}} = 90 - 22,4 = 67,6$.

Or cette mesure n'est pas comprise entre 73 et 77 degrés : la condition de sécurité n'est pas respectée
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2\hfill 3 points}

\medskip

L’Euro de basket 2025 était organisé en 4 groupes de 6 équipes, chacune de ces équipes était constituée de 12 joueurs.

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Vérifier que 288 joueurs au total ont été retenus pour cet évènement.
Il y a $4 \times 6 = 24$ équipes de 12 joueurs.

Il y a 12 joueurs par équipe donc $24 \times 12 = 288$, joueurs différents dans cette compétition.
\item %On étudie la zone géographique des clubs des joueurs sélectionnés pour disputer cette compétition.

%Compléter le tableau de l’ANNEXE 1.
Voir le tableau de l’ANNEXE 1.
\item %Compléter la légende associée au diagramme circulaire de l’ANNEXE 1.
Voir la légende associée au diagramme circulaire de l’ANNEXE 1.
\item %Un supporter affirme qu’un quart des joueurs sélectionnés à l’Euro de basket provient d’un club d’Amérique du Nord.

%Indiquer s’il a tort ou raison. \textbf{Rédiger la justification}.
Sur les 288 joueurs la moitié représente 144 joueurs et le quart représente 72 joueurs.

Or il y a 32 joueurs d'Amérique du Nord : ils représentent moins du quart de la totalité des joueurs : le supporter a tort.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3 \hfill 4 points}

\medskip

Un club de basket propose à ses supporters deux tarifs pour assister aux matchs :

\begin{description}
\item[ ] Tarif 1 : 20~\euro{} le match
\item[ ] Tarif 2 : achat d’une carte d’abonnement annuelle de 80~\euro{} puis 12~\euro{} le match.
\end{description}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer le prix de 5 billets au tarif 1.
\item Montrer que le prix à payer pour assister à 5 matchs est égal à $140$~\euro{} avec le tarif 2.
\item On note $x$ le nombre de matchs auxquels un supporter assiste. Le prix à payer pour $x$ matchs avec le tarif 1 est ainsi égal à $20x$.

Choisir et écrire sur la copie l’expression donnant le prix à payer avec le tarif 2 parmi celles figurant ci-dessous :

\[\text{A.~} 80x + 12\qquad \text{B.~} 12x + 80 \qquad \text{C.~} 12 + x + 80 \qquad \text{D.~} 92x\]

\item Compléter le tableau des prix du tarif 1 sur l’ANNEXE 2.
\item Sur le repère de l’ANNEXE 2, placer les points B et C puis tracer la droite $D_1$ correspondant au tarif 1.
\item Sur ce graphique, la droite $D_2$ représente le tarif 2. Déterminer graphiquement les coordonnées du point d’intersection des deux droites. Noter ces coordonnées sur la copie. Laisser apparents les traits de lecture.
\item Résoudre l’équation : 
\[20x = 12x + 80\]

\item Préciser le nombre de billets pour lequel les deux tarifs sont égaux.
\item \textbf{Selon le nombre de billets achetés, déterminer le tarif le plus avantageux.}
\end{enumerate}

\bigskip

\bigskip

\textbf{Exercice 4 \hfill 2,5 points}

\medskip

Le club de basket organise une tombola.

500 tickets sont à vendre. Chaque ticket coûte 4~\euro.

Les lots prévus sont les suivants :

\begin{itemize}[label=$\bullet~$]
\item 1 week-end au bord de mer d’une valeur de $200$~\euro,
\item 4 cartes d’abonnement d’une valeur de $80$~\euro{} chacune,
\item 10 maillots imprimés aux couleurs du club d’une valeur de $25$~\euro{} chacun,
\item 15 billets pour assister à un match d’une valeur de $20$~\euro{} chacun.
\end{itemize}

470 tickets sont perdants.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On achète un ticket. Déterminer la probabilité de gagner un lot.
\item Tous les tickets sont vendus.

Le club espère obtenir un bénéfice supérieur ou égal à $800$~\euro.

Indiquer en justifiant si l’objectif est atteint.
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}{\large \textbf{ANNEXE 1 - À rendre avec la copie}}\end{center}

\medskip

\textbf{EXERCICE 2} 

\medskip

\textbf{Question 2}

\begin{center}
\begin{tabular}{|p{7cm}|c|}\hline
Zone géographique des clubs&Nombre de joueurs\\ \hline
France &12\\ \hline
Pays européens excepté la France &200\\ \hline
Amérique du Nord& \red 32\\ \hline
Autres continents &44\\ \hline
Total& \red 288\\ \hline
\end{tabular}

Autres : Afrique, Amérique du Sud, Océanie et Asie
\end{center}

\bigskip

\textbf{Question 3}

\medskip

\begin{center}

\textbf{Zone géographique des clubs des joueurs}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-6,-6)(6,6)
\pscircle(0,0){5}
%\psline(5;90)\psline(5;75)
\pswedge*[linecolor=cyan]{5}{75}{90}\rput(5.5;82.5){\cyan \Large{\cyan France}}
\pswedge*[linecolor=red]{5}{90}{145}\rput(6;117.5){\red \Large{Autres continents}}
\pswedge*[linecolor=green]{5}{145}{185}\rput(6;162.5){\green \Large{Amérique}}
\pswedge*[linecolor=green]{5}{145}{185}\rput(6;167.5){\green \Large{du Nord}}
%\psline(5;145)\psline(5;185)
\rput(5.75;312.5){\black Pays}
\rput(5.75;307.5){\black européens}
\end{pspicture}
\end{center}

\newpage
\begin{center}
\large \textbf{ANNEXE 2 - À rendre avec la copie}
\end{center}

\medskip

\textbf{EXERCICE 3} 

\medskip

\textbf{Question 4}

\begin{center}Tableau des prix avec le tarif 1

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
&Point A &Point B&Point C\\ \hline
Nombre de matchs& 3&5&12\\ \hline
Prix payé en euros&&&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\begin{center}
\psset{xunit=0.75cm,yunit=0.0375cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(-1.2,-20)(16.5,260)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy =20,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(0,0)(16.1,260)
\multido{\n=0+1}{17}{\psline[linewidth=0.15pt](\n,0)(\n,260)}
\multido{\n=0+20}{14}{\psline[linewidth=0.15pt](0,\n)(16,\n)}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0}{15}{12 x mul 80 add}
\psdots(3,60)\uput[ur](3,60){A}\uput[dr](14.5,250){\red $D_2$}
\uput[u](14,0){Nombre de matchs}
\uput[r](0,255){Prix en \euro}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}