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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\lhead{\small L'année 2025}
\rhead{\small \textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\rfoot{\small Polynésie - voie professionnelle}
\lfoot{\small 26 juin 2025}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du brevet - Polynésie - Voie professionnelle~\decofourright\\[7pt]
26 juin 2025}}
\end{center}

\textbf{Indication:} Dans tout le sujet, le symbole F représente l'unité franc CFP.

\medskip

\textbf{\large Exercice 1 \hfill 20 points}

\smallskip

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM).
%Pour chaque question, trois réponses sont proposées mais une seule est exacte.
%Une réponse juste rapporte 4 points, une réponse fausse ou l'absence de réponse ne rapporte aucun point.
%Pour chaque question, recopier sur la copie, sans justifier, la réponse choisie :

%\begin{center} Réponse A \quad ou \quad Réponse B \quad ou\quad  Réponse C.
%
%\medskip

%\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{7cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%\multicolumn{2}{|c|}{Questions}&\multicolumn{3}{|c|}{Réponses proposées}\\ \cline{3-5}
%\multicolumn{2}{|c|}{~}&Réponse A &Réponse B& Réponse C\\ \hline
%1&Soit la fonction $f$ définie par :
%\[f(x) = 5x + 3.\]
%
%L'image de 1 par la fonction $f$ est:	&5,3	&8	&54\\ \hline
%2&Le volume V, en cm$^3$, d'un cube de
%4 cm de côté est:						&12		&16	&64\\ \hline
%3&\centering $\dfrac 75 + \dfrac 25 = $&$\dfrac{9}{10}$&$\dfrac 95$&$\dfrac{14}{25}$\rule[-4mm]{0mm}{10mm}\\ \hline
%4&L'équation $8x-5= 19$ a pour solution:&$-1$&0&3\\ \hline
%5&Voici les notes de Vaitiare :
%
%\[12\quad 9\quad 14\quad 15\quad  19\quad  15\]
%
%La moyenne des notes de Vaitiare est:&15&14&9\\ \hline
%\end{tabularx}
%\end{center}
\begin{enumerate}
\item On a $f(1) = 5 \times 1 + 3 = 5 + 3 = 8$ :réponse B.
$V = 12^3 = 12 \times 12 \times 12 = 144 \times 12 = \np{1728}~\left(\text{cm}^3\right)$.

\item $\dfrac 75 + \dfrac 25 = \dfrac{7 + 2}{5} = \dfrac 95 = \dfrac{18}{10} = 1,8$ : réponse B
\item $8x - 5= 19$ peut s'écrire en ajoutant 5 aux deux membres :

$8x = 24$, soit $8 \times x = 8 \times 3$ et en simplifiant par le même facteur 8 : $x = 3$ : réponse C
\item La moyenne des notes est :

\[\dfrac{12 + 9 + 14 + 15 + 19 + 15}{6} = \dfrac{84}{6} = \dfrac{6 \times 14}{6 \times 1}
 = 14.\]

\end{enumerate}

\medskip

\textbf{\large Exercice 2\hfill 20 points}

\smallskip

Pour récolter de l'argent, une association veut acheter à un commerçant des gâteaux et les revendre par la suite pour faire des bénéfices.

Pour cela, le commerçant lui propose la facture suivante dans laquelle certaines données manquent:

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|c|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
	&A				&B						&C			&D\\ \hline
1	&Gâteau			&Prix à l'unité (en F)	&Quantité	&Montant total (en F)\\ \hline
2	&Au beurre		&						&35			&\\ \hline
3	&À la banane	&900 					&22			&\np{19800}\\ \hline
4	&À la vanille	& \np{1100}				&15			&\np{16500}\\ \hline
5	&Au chocolat	&\np{1200}				& 28		&\\ \hline
6	&				&						&			&\\ \hline
7	&				&Montant total HT (hors taxe)		&\np{104900}&\\ \hline
8	&				&Montant de la TVA (5\,\%)&			&\\ \hline 
9	&				&Montant total TTC		&			&\\ \hline
\end{tabularx}

\begin{enumerate}
\item %Justifier par un calcul le montant total pour les gâteaux à la banane.
22 gâteaux à la banane coûtent : $22 \times 900 = \np{19800}$~(F).
\item %Recopier sur la copie la formule à insérer dans la cellule D5, parmi les trois
%propositions suivantes :

%\begin{center}$\fbox{=B5*C5}$\qquad  $\fbox{=B5+C5}\qquad $\fbox{=C5+1 000}\end{center}
$\fbox{=B5*C5}$
\item %Finalisation de la facture correspondant à la commande 
	\begin{enumerate}
		\item \textbf{Compléter} le tableau en ANNEXE 1.
		
		Les gâteaux au chocolat coûtent $28 \times 1200 = \np{33600}$~(F).
		
Si un gâteau au beurre coûte $b$~(F), alors 25 coûtent : $35b$.

On a donc un montant total à payer de :

$35b + \np{19800} + \np{16500} + \np{33600} = \np{104900}$, soit encore :

$35b + \np{69900} = \np{104900}$, soit en ajoutant à chaque membre $-\np{69900}$ :

$35b = \np{104900} - \np{69900} = \np{35000}$.
On obtient facilement $b = \np{1000}$.
		\item %\textbf{Détailler} le calcul du montant de la TVA sur la copie.
Calcul de la TVA : $\np{104900} \times \dfrac{5}{100} = \np{104900} \times 0,05 = \np{5245}$~(F).

Le montant total TTC est donc égal à : $\np{104900} + \np{5245} = \np{110145}$~(F).
	\end{enumerate}
\item %Calculer la quantité totale de gâteaux achetés au commerçant.
On calcule la somme des nombres de la colonne \og Quantité \fg, soit :

\[35 + 22 + 15 + 28 = (35 + 15) + (22 + 28) = 50 + 50 = 100~(\text{gâteaux})\]
\end{enumerate}

Pour la revente des gâteaux, l'association fixe le prix à \np{1400} F l'unité quel que soit le 
gâteau.

\begin{enumerate}[resume]
\item %En supposant que tous les gâteaux seront vendus, calculer le montant total de la revente. \textbf{Exprimer} le résultat en F.
Si les 100 gâteaux sont vendus \np{1400}~(F) chacun, l'association récupérera :

\[100 \times \np{1400} = \np{140000}~(\text{F}).\]
\item %\textbf{Calculer} le bénéfice réalisé par l'association. Exprimer le résultat en F.

% \textbf{Donnée} : bénéfice = montant total de la revente - montant total TTC de la facture du commerçant.
Le bénéfice est donc la différence entre la somme récupérée ci-dessus soit \np{140000} et le montant payé de la cellule C9, soit \np{110325} :

Bénéfice : $\np{140000} - \np{110145} = \np{29855}$~(F).
\item %L'association souhaite faire un bénéfice de \np{30000} F{}.

%\textbf{Indiquer} si l'objectif est atteint. \textbf{Justifier} la réponse.
Comme $\np{29855} < \np{30000}$, l'objectif n'est pas atteint.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{\large Exercice 3\hfill 16 points}

\smallskip

Heimana a conçu un programme constitué d'un script principal et d'un bloc motif présenté ci-dessous.

%\begin{tabular}[t]{|m{7cm}|m{7cm}|}\hline
\begin{tblr}{vlines,hlines,colspec={Q[7cm,c] Q[7cm,c]},rowspec={Q[h] Q[h]}}
\textbf{Bloc Motif}&\textbf{Script principal}\\
\begin{scratch}[scale=0.8]
\initmoreblocks{définir \namemoreblocks{Motif}}
\blockmove{s'orienter à ~\ovalnum{0}}
\blockmove{avancer de \ovalnum{120} pas}
\blockmove{s'orienter à ~\ovalnum{90}}
\blockmove{avancer de \ovalnum{20} pas}
\blockmove{s'orienter à ~\ovalnum{180}}
\blockmove{avancer de \ovalnum{40} pas}
\blockmove{s'orienter à ~\ovalnum{90}}
\blockrepeat{répéter \ovalnum{2} fois}
{\blockmove{avancer de \ovalnum{30} pas}
\blockmove{s'orienter à ~\ovalnum{180}}
\blockmove{avancer de \ovalnum{20} pas}
\blockmove{s'orienter à ~\ovalnum{-90}}
\blockmove{avancer de \ovalnum{30} pas}
\blockmove{s'orienter à ~\ovalnum{180}}
\blockmove{avancer de \ovalnum{20} pas}
\blockmove{s'orienter à ~\ovalnum{90}}
}
\end{scratch}&
\begin{scratch}[scale=0.8]
\blockinit{quand \greenflag est cliqué}
\blockmove{aller à x: \ovalnum{0} y: \ovalnum{0}}
\blockpen{effacer tout}
\blockpen{stylo en position d'écriture}
\blockmoreblocks{Motif}
\end{scratch}

\vspace{2cm}
Petits rappels

\begin{scratch}[scale=0.8]\blockmove{s'orienter à ~\ovalnum{90}}\end{scratch} s'orienter vers la droite 

\begin{scratch}[scale=0.8]\blockmove{s'orienter à ~\ovalnum{0}}\end{scratch} s'orienter vers le haut 

\begin{scratch}[scale=0.8]\blockmove{s'orienter à ~\ovalnum{-90}}\end{scratch} s'orienter vers la gauche 

\begin{scratch}[scale=0.8]\blockmove{s'orienter à ~\ovalnum{-180}}\end{scratch} s'orienter vers le bas\\ 
%\end{tabular}
\end{tblr}

\begin{enumerate}
\item \textbf{Tracer} sur le quadrillage en ANNEXE 1 la figure 1 correspondant au programme de Heimana.
\item Le camarade de Heimana a la figure 2 ci-dessous en tête mais n'arrive pas à faire le programme.

\begin{center}
\psset{unit=1.8cm}
\begin{pspicture}(6,1)
\def\Motif{\psline(0,0)(0,1)(1,1)(1,0)(2,0)}
\multido{\n=0+2}{3}{\rput(\n,0){\Motif}}
\end{pspicture}
\end{center}

\textbf{Compléter} le programme en ANNEXE 1 pour obtenir la figure 2 ci-dessus sachant que chaque segment fait 40 pas. Voir à la fin.
\item %\textbf{Calculer} la longueur totale de la figure 2 sachant que 1 cm vaut $10$ pas.

%\textbf{Exprimer} le résultat en cm.
On dessine 3 fois un motif de $4 \times 4 = 16$~(cm) soit une longueur $3 \times 16 = 48$~(cm).
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{\large Exercice 4\hfill 33 points}

\smallskip

Les parents de Teiki lui ont légué un terrain divisé en deux parcelles dont on peut assimiler la forme à la figure ci-dessous:

\begin{minipage}{0.4\linewidth}
DC = 10 m 

AC = 25 m 

DE = 22 m 

(AB) // (DE)

La figure n'est pas à l'échelle
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.58\linewidth}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(8.5,5.8)
\pspolygon(1.6,0.4)(8.4,0.4)(1.6,5)%ABC
\psline(1.6,3)(4.6,3)%DE
\psframe(1.6,0.4)(1.85,0.65)
\psframe(1.6,3)(1.85,3.25)
\psline[linewidth=0.8pt]{<->}(1.4,3)(1.4,5)\rput{90}(1.2,4){10 m}
\psline[linewidth=0.8pt]{<->}(1.6,2.8)(4.6,2.8)\uput[d](3.1,2.9){22 m}
\psline[linewidth=0.8pt]{<->}(0.6,0.4)(0.6,5)\rput{90}(0.4,2.7){25 m}
\uput[ur](4.6,3){E}\uput[dl](1.6,0.4){A}\uput[dr](8.4,0.4){B}\uput[u](1.6,5){C}\uput[dl](1.6,3){D}
\uput[r](1.5,3.7){Parcelle 1}\uput[r](1.5,1.1){Parcelle 2}
\end{pspicture}
\end{minipage}

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item L'aire de la parcelle 1 correspond à l'aire du triangle CDE.
	\begin{enumerate}
		\item %Justifier, par un calcul, que l'aire de la parcelle 1 vaut $110$~m$^2$.
Le triangle CDE est rectangle en D ; en prenant [DE] comme base et [DC] comme hauteur, son aire est égale à :

$\dfrac{\text{DE} \times \text{DC}}{2} = \dfrac{22 \times 10}{2} \dfrac{220}{2} = 110~\left(\text{m}^2\right)$.
		\item %Teiki veut planter des arbres sur la parcelle 1, il a besoin de $90$~m$^2$ pour le faire.

%Indiquer s'il pourra planter ces arbres.
Comme $110 > 90$, Teiki a la place pour planter ses arbres.

%Justifier la réponse.
	\end{enumerate}
\item %Le triangle ABC est constitué des parcelles 1 et 2.
	\begin{enumerate}
		\item %Vérifier, en utilisant le théorème de Thalès, que AB $= 55$~m. Détailler les calculs sur la copie.
		Les, droites (DE) et (AB) sont parallèles, C, D, A sont alignés dans cet ordre et C, E et B le sont aussi dans cet ordre : on peut donc utiliser le théorème de Thalès ; en particulier :
		
$\dfrac{\text{CD}}{\text{CA}} = \dfrac{\text{DE}}{\text{AB}}$, soit $\dfrac{10}{25} = \dfrac{\text{22}}{\text{AB}}$ d'où on déduit $10\text{AB} = 25 \times 22$, puis AB $ = \dfrac{25 \times 22}{10} = 55$~(m).
		\item %Calculer l'aire du triangle ABC. Exprimer le résultat en m$^2$.
		En prenant comme base [AB] de longueur 55~(m) et la hauteur [AC] de longueur 25~(m), l'aire du triangle ABC est égale à $\dfrac{55 \times 25}{2} = 687,5~\left(\text{m}^2\right)$.
		\item %Calculer l'aire de la parcelle 2.

%Détailler le calcul sur la copie. Exprimer le résultat en $^2$.
L'aire de la parcelle 2 est égale à la différence entre l'aire du triangle ABC et celle du triangle CDE, soit

$687,5 - 110 = 577,5~\left(\text{m}^2\right)$.
		\item %Pour construire une maison, il faut au minimum une parcelle de $550$$^2$.

%Indiquer si Teiki pourra construire sa maison sur la parcelle 2.

%Justifier la réponse.
Comme $557,5 > 550$, Teiki pourra construire sa maison sur la parcelle 2.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

%Teiki souhaite clôturer son terrain.

\medskip

\begin{enumerate}
\item %En utilisant le théorème de Pythagore, vérifier que la longueur BC, arrondie à l'unité, est égale à $60$~m.
Dans le triangle ABC rectangle en A, le théorème de Pythagore permet d'écrire :

BC$^2 = \text{BA}^2 + \text{AC}^2 = 55^2 + 25^2 = \np{3025} + 625 = \np{3650}$.

Comme BC $ > 0$, on a donc BC $= \sqrt{\np{3650}} \approx 60,4$, soit 60~(m) à l'unité près.

\item %Calculer le périmètre du terrain ABC. Exprimer le résultat en m. Arrondir à l'unité.
Le périmètre du terrain ABC est égal à AB $ + \text{BC} + \text{CA}$ soit environ $55 + 60 + 25 = 140$~(m) à l'unité près.
\end{enumerate}
\medskip

%Teiki souhaite installer une clôture autour de son terrain ABC.
%
%Il hésite entre deux types de clôture:
%
%\begin{description}
%\item[ ] Type A : Canisses en Osier à \np{2200}~F le mètre avec livraison gratuite;
%\item[ ] Type B : Canisses en roseaux fendus à \np{1920}~F le mètre avec un forfait livraison.
%\end{description}

Le graphique en ANNEXE 2 représente le prix en F pour chacun des deux types de clôture en fonction de la longueur en m.

\begin{enumerate}[resume]
\item %Écrire sur le graphique de l'ANNEXE 2, pour chacune des deux représentations graphiques, celle correspondant au « type A » et celle correspondant au
%« type B ».
Pour le type A le prix est proportionnel à la longueur : la fonction est donc linéaire et sa représentation est une droite qui contient l'origine.

L'autre est donc celle qui correspond à la clôture du type B.

\item %Déterminer, à l'aide de la représentation graphique correspondant au type B, le montant du forfait livraison. Exprimer le résultat en F.
Le forfait à la livraison est à payer même pour $0$~(m) de clôture : on lit pour $x = 0$,

$y = 20$~(milliers de F), soit \np{20000}~(F).
\item %Indiquer, à l'aide du graphique, la clôture de type A ou de type B, qui coûtera le moins cher pour une longueur de $140$~m.

%Justifier la réponse et laisser les traits de lecture apparents sur le graphique.
On trace la droite verticale passant par le point de coordonnées (140~;~0) ; celle-ci coupe en premier  (Le tracé est en tiretés).la droite (bleue) correspondant au type B en un point dont l'ordonnée est égale à environ 290~milliers de F, soit \np{290000}~F.

C'est cette clôture du type B qui coûtera le moins cher.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{\large Exercice 5\hfill 11 points}

\smallskip

Un sondage a été fait sur le port de l'uniforme dans un collège.

Sur 800 élèves, 540 élèves sont d'accord pour le port de l'uniforme, 180 élèves ne sont pas d'accord et le reste des élèves n'a donné aucune réponse.

On interroge un élève du collège au hasard.

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Calculer la probabilité que l'élève interrogé soit d'accord pour porter l'uniforme.

Sur 800 élèves 540 sont d'accord pour le port de l'uniforme, la probabilité est donc égale à $\dfrac{540}{…800} = \dfrac{54}{80} = \dfrac{27}{40} = 0,675$ (ou 67,5\,\%).
\item %La probabilité que l'élève donne un avis positif ou négatif sur le port de l'uniforme est de $0,9$. Justifier cette réponse par le calcul.
Ont répondu par oui ou non $540 + 180 = 720$ élèves sur 800.

La probabilité que l'élève donne un avis positif ou négatif sur le port de l'uniforme est donc égale à $\dfrac{720}{800} = \dfrac{72}{80} = \dfrac{8 \times 9}{8 \times 10} = \dfrac{9}{10} = 0,9$.

\item %Calculer la probabilité que l'élève ne donne pas d'avis sur le port de l'uniforme.
La probabilité que l'élève ne donne pas d'avis sur le port de l'uniforme est égale à $1 - 0,9 = 0,1$.
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{\Large ANNEXE 1 - À rendre avec la copie}
\end{center}

\textbf{Exercice 2\quad Question 3.1}

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|c|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
	&A				&B						&C			&D\\ \hline
1	&Gâteau			&Prix à l'unité (en F)	&Quantité	&Montant total (en F)\\ \hline
2	&Au beurre		&{\red \np{1000}}					&35		&{\red \np{35000}}\\ \hline
3	&À la banane	&900 					&22			&\np{19800}\\ \hline
4	&À la vanille	& \np{1100}				&15			&\np{16500}\\ \hline
5	&Au chocolat	&\np{1200}				& 28		&{\red \np{33600}}\\ \hline
6	&				&						&			&\\ \hline
7	&				&\multicolumn{2}{|c|}{Montant total HT (hors taxe)}&\np{104900}\\ \hline
8	&				&\multicolumn{2}{|c|}{Montant de la TVA (5\,\%)}&{\red \np{5245}}\\ \hline 
9	&				&\multicolumn{2}{|c|}{Montant total TTC}&{\red \np{110145}}\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\begin{tblr}{vlines,hlines,colspec={Q[7cm,c] Q[6cm,c]},rowspec={Q[h] Q[h]}}
\textbf{Question 1 : figure 1}&\textbf{Question 2 : programme}\\
\psset{unit=0.6cm,arrowsize=1.5pt 2}
\begin{pspicture}(10,15)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.4pt]
\psdot[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.8](2,2)\uput[d](2,2){Départ}
\psline[linewidth=1.5pt]{<->}(8,1)(9,1)\uput[d](8.5,1){\small 10 pas}
\psline[linewidth=1.5pt](2,2)(2,14)(4,14)(4,10)(7,10)(7,8)(4,8)(4,6)(7,6)(7,4)(4,4)(4,2)
\end{pspicture}&\begin{scratch}[scale=0.9]
\blockinit{quand \greenflag est cliqué}
\blockmove{aller à x: \ovalnum{0} y: \ovalnum{0}}
\blockpen{stylo en position d'écriture}
\blockrepeat{répéter \ovalnum{3} fois}{
\blockmove{s'orienter à ~\ovalnum{0}}
\blockmove{avancer de \ovalnum{40} pas}
\blockmove{s'orienter à ~\ovalnum{90}}
\blockmove{avancer de \ovalnum{40} pas}
\blockmove{s'orienter à ~\ovalnum{180}}
\blockmove{avancer de \ovalnum{40} pas}
\blockmove{s'orienter à ~\ovalnum{90}}
\blockmove{avancer de \ovalnum{40} pas}
}
\end{scratch}\\
\end{tblr}

\newpage
\begin{landscape}
\psset{xunit=0.125cm,yunit=0.035cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(-30,-2)(150,340)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=5,Dy=20,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(0,0)(150,340)
\multido{\n=0+5}{31}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,0)(\n,340)}
\multido{\n=0+20}{18}{\psline[linewidth=0.2pt](0,\n)(150,\n)}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0}{145}{x 2.207 mul}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{145}{x 1.931 mul 20 add}
\uput[r](0,330){Prix en milliers de F $y$}
\uput[u](135,0){Longueur en m $x$}
\rput{90}(-22,170){\textbf{ANNEXE 2 -- À rendre avec la copie}}
\rput{90}(-12,20){\textbf{Exercice 4 : questions 3; 4 et 5}}
\psline[linewidth=1.75pt,linestyle=dashed,ArrowInside=->](140,0)(140,290)(0,290)
\uput[l](0,290){\blue $\approx 290$}
\rput{33}(110,252){\red Type A}\rput{31}(110,222){\blue Type B}
\end{pspicture}
\end{landscape}
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