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%\DeclareUnicodeCharacter{0301}{~}
%Tapuscrit : François Kriegk et Denis Vergès
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\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\hypersetup{%
	pdfauthor = {APMEP},
	pdfsubject = {Corrigé du brevet},
	pdftitle = {Métropole Antilles-Guyane 26 juin 2023},
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\begin{document}
	\setlength\parindent{0mm}
	\lhead{\small L'année 2023}
	\rhead{\small \textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
	\rfoot{\small Métropole  Antilles-Guyane }
	\lfoot{\small 26 juin 2023}
	\pagestyle{fancy}
	\thispagestyle{empty}
	\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du brevet Métropole Antilles--Guyane 26 juin 2023 \decofourright}}
	\end{center}

	\bigskip

%%%%%%%%
{\large \textbf{Exercice 1 \hfill 20 points}}

\medskip

Un opticien vend différents modèles de lunettes de soleil.

Il reporte dans le tableur ci-dessous des informations sur cinq modèles vendus pendant l'année 2022.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|>{\centering \arraybackslash}m{4cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
	 & \textsf{A} & \textsf{B} & \textsf{C} & \textsf{D} & \textsf{E} & \textsf{F} & \textsf{G}\\ \hline
 	\textsf{1} & \textbf{Lunettes de soleil} & \textbf{Modèle 1} & \textbf{Modèle 2} & \textbf{Modèle 3} & \textbf{Modèle 4} & \textbf{Modèle 5} & \textbf{Total}\\ \hline
	\textsf{2} & \textbf{Nombre de paires de lunettes vendues} & \np{1200} & 950 & 875 & 250 & 300 & \\ \hline
	\textsf{3} & \textbf{Prix à l'unité en euro} & 75 & 100 & 110 & 140 & 160 & \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
	\item %Montrer que l'étendue des prix de ces paires de lunettes de soleil est de 85 euros.
On a $160 - 75 = 85$~(\euro).
	\item \begin{enumerate}
		\item %Quelle formule doit-on saisir dans la cellule G2 pour calculer le nombre total de paires de lunettes de soleil vendues en 2022 ?
Il faut écrire  dans la cellule G2 : = SOMME(B2\negthinspace:F2).
		\item %Calculer le nombre total de paires de lunettes de soleil vendues en 2022.
On a $\np{1200} + 950 + 875 + 250 + 300 = \np{3575}$.
	\end{enumerate}
	\item \begin{enumerate}
		\item %Calculer le montant total, en euros, des ventes des paires de lunettes de soleil en 2022.
		La recette totale pour l'année 2022 est :
		
		$\np{1200} \times 75 + 950 \times 100 + 875 \times 110 + 250 \times 140 + 300 \times 160 = \np{364250}$~(\euro).
		\item %Calculer le prix moyen d'une paire de lunettes de soleil vendue en 2022 , arrondi au centime près.
Le prix moyen d'une paire de lunettes de soleil vendue en 2022 est égale à $\dfrac{\np{364250}}{\np{3575}} \approx 101,888$, soit 101,89~\euro{} au centime d'euro près.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{5mm}

%%%%%%%%
{\large \textbf{Exercice 2 \hfill20 points}}

\bigskip

Sur la figure ci-dessous :
\begin{itemize}[label={\textbullet~}]
	\item BCDE est un rectangle, BAE est un triangle rectangle en $A$;
	\item la perpendiculaire à la droite (CD) passant par A coupe cette droite en H;
	\item les droites (AE) et (CD) se coupent en F.
\end{itemize}
\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[x=7mm,y=7mm]
	\draw[line width=1pt] (0,0) node[below left]{C}--
		(12.6,0.) node[below right] {F}--
		(2.52,7.56) node[pos = 0.28, sloped]{|||} node[above]{A}--
		(0.,4.2)node[pos = 0.5, sloped]{||} node[above left]{B} --cycle node[pos = 0.5, sloped]{||}
		(0.,4.2) -- (7.,4.2)node[pos = 0.5, sloped]{|||} node[above right]{E} -- (7.,0.) node[below right]{D}
		(2.52,0.) node[below] {H} -- (2.52,7.56);
		\foreach \x/\y in {0/0 , 2.52/0, 6.6/0, 6.6/3.8, 0/3.8}
			\draw[shift={(\x,\y)}] (0,0) rectangle (0.4,0.4) ;
		\draw[shift={(2.52,7.56)},rotate=143.13] (0,0) rectangle (-0.4,0.4) ;
\end{tikzpicture}
\end{center}

On donne :
\begin{itemize}[label={\textbullet~}]
	\item $\mathrm{AB}=\mathrm{BC}=4,2 \mathrm{~cm}$;
	\item $\mathrm{EB}=\mathrm{EF}=7 \mathrm{~cm}$.
\end{itemize}

\begin{enumerate}
	\item %Montrer que l'aire du rectangle BCDE est égale à \np[cm^2]{29,4}.
On a $\mathcal{A}(\text{BCDE}) = \text{BC} \times \text{EB} = 4,2 \times 7 = 29,4$~(cm$^2$).
	\item \begin{enumerate}
		\item Le théorème de Pythagore appliqué au triangle ABE, rectangle en A s'écrit :
		
$\text{BE}^2 = \text{AB}^2 + \text{AE}^2$, d'où $\text{AE}^2 = \text{BE}^2 - \text{AB}^2 = 7^2 - 4,2^2 = 49 - 17,64 = 31,36$. On a donc AE $= \sqrt{31,36} = 5,6$~(cm).
		
\emph{Rem.} $7^2 - 4,2^2 = (7 + 4,2)(7 - 4,2) = 11,2 \times 2,8 = 4  \times 2,8 \times 2,8 = 2^2 \times 2,8^2 = (2 \times 2,8)^2 = 5,6^2$. Donc AE est égale à \np[cm]{5,6}.
		
%Montrer que la longueur AE est égale à \np[cm]{5,6}.
		\item %Calculer l'aire du triangle rectangle ABE.
On a $\mathcal{A}(\text{ABE}) = \dfrac{\text{AB} \times \text{AE}}{2} = \dfrac{4,2 \times 5,6}{2} = 2,1 \times 5,6 = 11,76$~(cm$^2$).
	\end{enumerate}
	\item \begin{enumerate}
		\item %Montrer que les droites (ED) et (HA) sont parallèles.
Les droites (AH) et (ED) sont perpendiculaires à (FH) selon le codage, or lorsque deux droites sont perpendiculaires à une même droite, elles sont parallèles entre elles, on en conclut que (AH) et (ED) sont parallèles.
		\item %Calculer la longueur AH.
Les droites (AE) et (HD) sont sécantes en F et les droites (HA) et (ED) sont parallèles, donc d'après le théorème de Thalès :

$\dfrac{\text{FE}}{\text{FA}} = \dfrac{\text{FD}}{\text{FH}} = \dfrac{\text{ED}}{\text{AH}}$.

Comme FA = FE + EA $= 7 + 5,6 = 12,6$, on a en particulier :

$\dfrac{7}{12,6} = \dfrac{4,2}{\text{AH}}$ ; on en déduit que $7 \text{AH} = 4,2 \times 12,6$ et enfin 

$\text{AH} = \dfrac{4,2 \times 12,6}{7} = 0,6 \times 12,6 = 7,56$~(cm).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{5mm}
%%%%%%%%

{\large \textbf{Exercice 3 \hfill 20 points}}

\medskip

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM).

%Pour chaque question, trois réponses (A, B ou C) sont proposées.
%
%\textbf{Une seule réponse est exacte.}
%
%\textbf{Recopier sur la copie} le numéro de la question et la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.

\medskip

%\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{6.5cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
%	\centering\textbf{Question}& \textbf{Réponse A}& \textbf{Réponse B}& \textbf{Réponse C}\\ \hline
%	\textbf{1.} Dans une classe de 25 élèves, $60 \%$ des élèves sont des filles.
%
%	Combien y a-t-il de filles dans cette classe ?
%	& 10 & 15 & 20 \\ \hline
%
%	\textbf{2.} Quelle est la décomposition en produit de facteurs premiers de 126 ?
%	& $2 \times 9 \times 7$ & $2^2 \times 5^2 + 2 \times 13$ &$2 \times 3^2 \times 7$ \\ \hline
%
%	\textbf{3.} Dans un sac, il y a 17 jetons rouges, 23 jetons jaunes et 20 jetons bleus, tous indiscernables au toucher. On tire au hasard un jeton du sac.
%
%	Quelle est la probabilité d'obtenir un jeton rouge ou un jeton jaune?
%	&$\dfrac{2}{3}$ & 0,6 & $\dfrac{17}{23}$  \\ \hline
%
%	\textbf{4.} Sur l'octogone régulier ci-dessous, quelle est l'image du segment [DC] par la rotation de centre O qui transforme A en D?
%
%	\hfill~	\begin{tikzpicture}[]
%		\foreach \a/\n in {1/A, 2/B, 3/C, 4/D, 5/E, 6/F, 7/G, 8/H}
%			\draw (0,0)--(-100+45*\a:1.5) node[shift={(-100+45*\a:0.3)}]{\n}--(-55+45*\a:1.5);
%		\node at (-0.1,-0.2){O};
%	\end{tikzpicture}\hfill~
%	& [GE] & [GF] & [AH]\\ \hline
%
%	\textbf{5.} Quel est le volume d'un pavé droit de hauteur \np[m]{1,5} et de base rectangulaire de \np[m]{2} de longueur et \np[m]{1,3} de largeur ?
%
%	{\small \emph{On rappelle que $\np[m^3]{1}=\np[L]{1000}$.}}
%	&\np[m^3]{2,6} & \np[L]{3900}& \np[L]{3000} \\ \hline
%\end{tabularx}
\begin{enumerate}
\item On a $25 \times \dfrac{60}{100} = 25 \times 0,6 = 15$. Réponse B.
\item $126 = 2 \times 63 = 2 \times 9 \times 7 = 2 \times 3^2 \times 7$. Réponse C.
\item Il y a $17 + 23 = 40$ jetons rouges ou jaunes. la probabilité est donc égale à $\dfrac{40}{17 + 23 + 20} = \dfrac{40}{60} = \dfrac46 = \dfrac23$. Réponse A.
\item Chacun des angles au centre de l'octogone a une mesure égale à $\frac{360}{8} = 45$\degres.
La rotation transformant A en D est donc une rotation de $3 \times 45 = 135$\degres dans le sens anti-horaire.

D a pour image G et C a pour image F, donc [DC] a pour image [GF]. Réponse B.
\item Le volume est égal à $2 \times 1,5 \times 1,3 = 3 \times 1,3 = 3,9$~(m$^3$), soit $3,9 \times \np{1000} = \np{3900}~$L. Réponse B.
\end{enumerate}

\vspace{5mm}

{\large \textbf{Exercice 4 \hfill 20 points}}

\bigskip

On veut fabriquer un escalier en bois de hauteur \np[cm]{272}.

La figure ci-dessous représente une vue de profil de cet escalier.

La hauteur d'une marche est de \np[cm]{17}.

La profondeur d'une marche pour poser le pied mesure \np[cm]{27}.

%\begin{center}
%\begin{tikzpicture}[line cap = round,>=stealth,x =8mm]
%        \draw[dashed] (0,0)--(-1,0) (0,0.8)--(-1,0.8) ;
%        \draw[<->] (-1,0)--(-1,0.8) node[pos=0.5,left, text width=2cm,align=center]{Hauteur d'une marche} ;
%        \draw[dashed] (0,0.8)--(0,3) (1.6,0.8)--(1.6,3) ;
%\draw[<->] (0,3)--(1.6,3) node[pos=0.5,above, text width=2cm,align=center]{Profondeur d'une marche} ;
%        \draw[dashed] (10.8,0)--(11.8,0) (10.8,5.4)--(11.8,5.4) ;
%        \draw[<->] (11.8,0)--(11.8,5.4) node[pos=0.5,right, text width=2cm,align=center]{Hauteur de l'escalier} ;
%        \draw (4.8,2.4)--(0,0)node[below left]{A}--(10.8,0)node[below right]{B}--(10.8,5.4)node[above right]{C}--(9.2,4.6) ;
%        \draw[dotted] (4.8,2.4)--(9.2,4.6) ;
%        \draw[line width=1pt] (0,0)--(0,0.8)--(1.6,0.8)--
%        (1.6,1.6)--(3.2,1.6)--(3.2,2.4)--(4.8,2.4)
%        (9.2,4.6)--(9.2,5.4)--(10.8,5.4);
%        \draw[dotted, line width=1pt] (4.8,2.4)--(4.8,3.2)--(6.4,3.2)
%        (9.2,4.6)--(7.6,4.6)--(7.6,3.8);
%\end{tikzpicture}
%\end{center}
\medskip

\begin{enumerate}
	\item \begin{enumerate}
		\item %Montrer qu'il faut prévoir 16 marches pour construire cet escalier.
Il faut compter $\dfrac{272}{17} = 16$ (marches).
		\item %Montrer que la longueur AB est égale à \np[cm]{432}.
16 marches d'une profondeur de 27~cm donne une longueur AB $= 16 \times 27 = 432$~(cm).
	\end{enumerate}
	\item %Pour permettre une montée agréable, l'angle $\widehat{\mathrm{BAC}}$ doit être compris entre $25^{\circ}$ et $40^{\circ}$.
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer la mesure de l'angle $\widehat{\mathrm{BAC}}$, arrondie au degré près.
Dans le triangle ABC, rectangle en B, la définition de la tangente  nous permet d’écrire :
$\tan \widehat{\text{BAC}} = \dfrac{\text{BC}}{\text{AB}} = \dfrac{272}{432} \approx \np{0,6296}$.

La calculatrice donne alors $\widehat{\text{BAC}} \approx 32,2$, d’où : $\widehat{\text{BAC}} \approx 32\degres$ au degré près.
		\item %L'escalier permet-il une montée agréable ?
Comme $25 < 32 < 40$, on peut prévoir une montée agréable.
	\end{enumerate}
\item 
%\begin{minipage}[t]{7.5cm}
%On rédige le programme ci-contre avec le logiciel Scratch pour dessiner cet escalier.
%	(\np[cm]{1} dans la réalité est représenté par 1 pas dans le programme.)
%
%	\textbf{Recopier} les lignes $5,6,7$ et 9 \textbf{sur la copie} en les complétant.
%	\end{minipage}\hfill
%	\begin{scratch}[num blocks]
%		\blockinit{Quand \greenflag{} est cliqué}
%		\blockmove{s'orienter à \ovalnum{90}}
%		\blockpen{effacer tout}
%		\blockpen{stylo en position d'écriture}
%		\blockrepeat{répéter \ovalnum{\dots} fois}{
%		\blockmove{tourner \turnleft{} de \ovalnum{\dots} degrés}
%		\blockmove{avancer de \ovalnum{\dots} pas}
%		\blockmove{tourner \turnright{} de \ovalnum{90} degrés}
%		\blockmove{avancer de \ovalnum{\dots} pas}	}
%	\end{scratch}
5 \quad Répéter 16 fois

6 \quad Tourner de 90 degrés

7 \quad avancer de 17 pas

8 \quad tourner de 90 degrés

9 \quad avancer de 27 pas.
\end{enumerate}

%%%%%%%%
\textbf{Exercice 5 \hfill 20 points}

\medskip

%Voici deux programmes de calcul.
%
%\begin{center}
%	\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|X|}\hline
%		Programme A &Programme B\\
%		$\bullet~~$ Choisir un nombre&$\bullet~~$ Choisir un nombre\\
%		$\bullet~~$ Multiplier ce nombre par $-2$&$\bullet~~$ Soustraire 5 à ce nombre\\
%		$\bullet~~$Ajouter 5 à ce résultat.&$\bullet~~$ Multiplier le résultat par 3\\
%		&$\bullet~~$ Ajouter 11 au résultat\\ \hline
%	\end{tabularx}
%\end{center}

\begin{enumerate}
	\item
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que, si on choisit $- 3$ comme nombre de départ, le résultat obtenu avec le programme A est 11.
On a successivement $-3 \longmapsto (- 2) \times (- 3) = 6 \longmapsto 6 + 5 = 11$.
		\item %Quel résultat obtient-on avec le programme B si on choisit 5,5 comme nombre de départ ?
On a successivement $5,5 \longmapsto 5,5 - 5 = 0,5  \longmapsto 3 \times 0,5 = 1,5  \longmapsto 1,5 + 11 = 12,5$.
	\end{enumerate}
	\item %En désignant par $x$ le nombre de départ, on obtient $- 2x + 5$ comme résultat avec le programme A.

%Montrer, qu'avec le même nombre de départ, le résultat du programme B est égal à $3x - 4$.
On a successivement $x  \longmapsto x - 5 \longmapsto 3 \times (x - 5) = 3x - 15 \longmapsto 3x - 15 + 11 = 3x - 4$.
\end{enumerate}
\begin{minipage}{0.56\linewidth}
	\begin{enumerate}[resume]
		\item
		\begin{enumerate}
			\item %On a représenté ci-contre les fonctions $f$ et $g$ définies par $f(x) = -2x + 5$ et $g(x) = 3x - 4$.

%Associer, en justifiant, chaque droite à la fonction qui lui correspond.
Ces deux droites sont les représentations graphiques de deux fonctions affines.

Comme $g$ a un coefficient directeur $+3 > 0$, la fonction est croissante : sa représentation est la droite $(D_1)$.

$f$ a un coefficient directeur $- 2 < 0$, la fonction est décroissante : sa représentation est la droite $(D_2)$.
			\item %Par lecture graphique, donner, le plus précisément possible, le nombre dont l'image est la même par la fonction $f$ et la fonction $g$.
Le nombre cherché est l'abscisse du point commun aux deux droites.

Avec la précision du dessin on lit $x \approx 1,8$
		\end{enumerate}
	\end{enumerate}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.42\linewidth}
	\psset{xunit=1cm,yunit=0.7cm,arrowsize=2pt 3}
	\begin{pspicture*}(-1.02,-4)(5,7.02)
		\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.3pt]
		\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-1,-4)(5,7)
		\psplot[plotpoints=500,linewidth=1.25pt]{-1}{5}{x 3 mul 4 sub}\uput[dr](3.4,6){$(D_1)$}
		\psplot[plotpoints=500,linewidth=1.25pt]{-1}{5}{5 x 2 mul sub}\uput[ur](4.3,-4){$(D_2)$}
		\psline[linewidth=1.25pt,linestyle=dashed,ArrowInside=->](0,1.4)(1.8,1.4)(1.8,0)
	\end{pspicture*}
\end{minipage}

\medskip

\begin{enumerate}[start=4]
	\item %Déterminer par le calcul le nombre de départ pour lequel les programmes A et B donnent le même résultat.
	Si $x$ a la même image par $f$ et par $g$, on a donc :
	
$- 2x + 5 = 3x - 4$, d'où $5 = 5x - 4$ et $9 = 5x$ ou $18 = 10x$ et enfin $x = 1,8$.

\emph{Remarque} : $f(1,8) = - 3,6 + 5 = 1,4$ et $g(1,8) = 5,4 - 4 = 1,4$. Même antécédent et mêmes images par $f$ et par $g$.
\end{enumerate}
\end{document}




