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%%% Tapuscrit : Denis Vergès
%%% Corrigé : François Hache
%%%%   Commandes perso FH
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%%%%
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\begin{document}

\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat Hôtellerie}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{septembre 2007}}
\cfoot{\thepage}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat de technicien hôtellerie ~\decofourright\\[5pt] Métropole -- septembre 2007}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\subsection*{\textsc{Exercice 1} \hfill 8 points}

%\medskip

\begin{enumerate}
\item En 2002, une enquête sur les habitudes alimentaires a été effectuée auprès de \np{2000}~personnes, réparties selon quatre classes d'âge. 

On complète le tableau, sachant que :
 
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] Les 12-17 ans représentent $\dfrac{1}{5}$ des personnes interrogées. 
\item[$\bullet~$] Les 25-44 ans représentent 25\:\% des personnes interrogées. 
\item[$\bullet~$] 30\:\% d'entre elles mangent du poisson au moins deux fois par semaine. 
\item[$\bullet~$] Parmi les 700~personnes qui ont entre 45 et 64 ans, 392 mangent du poisson au plus une fois par semaine. 
\item[$\bullet~$] Parmi les 622 personnes qui mangent du poisson au moins deux fois par semaine, 80 ont entre 12 et 17 ans. 
\end{itemize}

{\hfill (\emph{Source : Inpes, baromètre santé nutrition} 2002)}

\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{2cm}|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}>{\centering \arraybackslash}p{2cm}|}\cline{2-4}
\multicolumn{1}{c|}{~}&Mange du poisson au moins deux fois par semaine& Mange du poisson au plus une fois par semaine&Total \\ \hline
12-17 ans 	&80						&	\textcolor{red}{320}&400 \\ \hline
18-24 ans	&\textcolor{red}{84}	&\textcolor{red}{316}	& \textcolor{red}{400} \\ \hline
25-44 ans	&\textcolor{red}{150}	&\textcolor{red}{350}	&\textcolor{red}{500}  \\ \hline
45-64 ans	&\textcolor{red}{308}	&\textcolor{red}{392}	&\textcolor{red}{700}  \\ \hline
Total		&622 					&\textcolor{red}{\np{1378}}	& \textcolor{red}{\np{2000}} \\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\item On interroge au hasard une personne parmi les \np{2000} ayant participé à l'enquête. Chaque personne a la même probabilité d'être interrogée. On considère les évènements suivants : 

\begin{itemize}
\item $A$ : \og la personne interrogée mange du poisson au moins deux fois par semaine \fg 
\item $B$ : \og la personne interrogée a entre 12 et 17 ans \fg
\end{itemize} 

	\begin{enumerate}
		\item %Calculer les probabilités $p(A)$ et $p(B)$. Les résultats seront donnés sous forme décimale  exacte.
Il y a 622 personnes sur \np{2000} qui mangent du poisson au moins deux fois par semaine; comme il y a équiprobabilité: $p(A)=\dfrac{622}{\np{2000}} = 0,311$.

Les 12-17 ans représentent $\dfrac{1}{5}$ des personnes interrogées donc $p(B)=\dfrac{1}{5}=0,2$.		
		
		\item %Définir par une phrase l'événement $A \cap B$ ; calculer sa probabilité. 
L'événement $A\cap B$ est \og la personne interrogée mange du poisson au moins deux fois par semaine ET a entre 12 et 17 ans \fg{}. Il y a 80 personnes qui répondent à ces deux critères donc
$p(A\cap B) = \dfrac{80}{\np{2000}} = 0,04$.
 
		\item %Définir par une phrase l'événement $A \cup B$ ; calculer sa probabilité.
L'événement $A\cup B$ est \og la personne interrogée mange du poisson au moins deux fois par semaine OU a entre 12 et 17 ans \fg{}. Il y a $622+320=942$ personnes qui répondent à au moins un de ces deux critères donc
$p(A\cup B) = \dfrac{942}{\np{2000}} = 0,471$.	
		
	\end{enumerate} 
	
\item On interroge au hasard une personne parmi les 12-17 ans.% Chaque personne a la même probabilité d'être interrogée. Déterminer la probabilité $p_{1}$ que la personne interrogée mange du poisson au moins deux fois par semaine. 

Parmi les 400 personnes de cet âge, il y en a 80 qui mangent du poisson au moins deux fois par semaine donc
$p_1=\dfrac{80}{400} = 0,2$.

\item On interroge au hasard une personne parmi celles qui mangent du poisson au moins deux fois par semaine. %Chaque personne a la même probabilité d'être interrogée. Déterminer la probabilité $p_{2}$ que la personne interrogée ait entre 45 et 64 ans (arrondir à $10^{-2}$ près). 

Parmi les 622 personnes interrogées, il y en a $308$ entre 45 et 64 ans ; donc $p_2 = \dfrac{308}{622} \approx 0,50$.

\end{enumerate}

%\vspace{0,5cm}
\newpage

\subsection*{\textsc{Exercice 2} \hfill 12 points}

%\medskip

\subsubsection*{Partie A : Nuage de points}

%\medskip
 
Dans une étude effectuée entre 1970 et 2004 par l'\emph{International Obesity TaskForce}, à propos du surpoids chez les enfants anglais âgés de 7 à 11~ans, apparaissent les résultats suivants :

%\medskip

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{5,2cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année 			&1974 	&1984 	&1994 	&1998 	&2002\\ \hline 
Rang : $x_{i}$	&4 		&14 	&24 	&28 	&32 \\ \hline
Pourcentage d'enfants souffrant de problème de poids : $y_{i}$&7\:\%&8\:\% &13\:\% &20\:\% &27\:\% \\ \hline
\multicolumn{6}{l}{Le rang $x = 0$ représente l'année 1970}
\end{tabularx}
\end{center}

%\medskip

On représente le nuage de points de coordonnées $\left(x_{i}~ ;~y_{i}\right)$ de cette série statistique sur le graphique page 3. 

%\medskip

\subsubsection*{Partie B : Étude de fonction}

%\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur I $ =  \cd 0 ~;~+ \infty\cd$ par : 
 $f(x) = \e^{0,001x^2 + 0,018x + 1,7}$.

\begin{enumerate}
\item% Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$. 
Le polynôme $0,001x^2 + 0,018x + 1,7$ se comporte à l'infini comme son terme de plus haut degré donc:
$\ds\lim_{x \to +\infty} \left (0,001x^2 + 0,018x + 1,7\right ) = \ds\lim_{x \to +\infty} \left (0,001x^2\right ) =+\infty$.

On pose $X=0,001x^2 + 0,018x + 1,7$; or $\ds\lim_{X \to +\infty} \e^{X} = +\infty$ donc
$\ds\lim_{x \to +\infty} \e^{0,001x^2 + 0,018x + 1,7} = +\infty$, et donc
$\ds\lim_{x \to +\infty} f(x)=+\infty$.

\item% Montrer que la fonction dérivée de $f$ est donnée par  $f'(x) =  (0,002x +0,018)\text{e}^{0,001x^2 + 0,018x + 1,7}$. 
On sait que $\left ( \e^{u(x)}\right )' = u'(x) \e^{u(x)}$ donc\\
$f'(x)= \left ( 2\times 0,001x +0,018 \right ) \e^{0,001x^2 + 0,018x + 1,7} 
= (0,002x +0,018)\text{e}^{0,001x^2 + 0,018x + 1,7}$. 

%Étudier le signe de $f'(x)$ sur I. 
\medskip

Pour tout réel $x$ de I, $\e^{0,001x^2 + 0,018x + 1,7} >0$ donc $f'(x)$ est du signe de $0,002x+0,018$ donc strictement positive sur $\cd 0~;~+\infty\cd$.

%La fonction $f$ est donc strictement croissante sur l'intervalle I.

\item% Dresser le tableau de variations de $f$ sur I. 
$f(0)=\e^{1,7} \approx 5,5$ et $\ds\lim_{x \to +\infty} f(x)=+\infty$; on dresse la tableau de variations de $f$ sur I:

\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
     % augmentation de la hauteur de toutes les lignes
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}
     % paramètres
\def\esp{\hspace*{3cm}}
     % pour modifier la largeur du tableau
\def\hauteur{0pt}
     % mettre au moins 12pt pour augmenter la hauteur
$\begin{array}{|c| *3{c}|}
\hline
 x & 0   & \esp & +\infty \\
 \hline
f'(x) &   & \pmb{+} & \\  
\hline
  &   &    & \Rnode{max}{+\infty}   \\
f(x) & &  &  \rule{0pt}{\hauteur} \\
 &     \Rnode{min}{\approx 5,5} & & \rule{0pt}{\hauteur}
\ncline{->}{min}{max}
\ncline[linestyle=dotted, linecolor=red]{alpha}{zero}\\
\hline
\end{array}$
}
\end{center}


\item On  complète le tableau de valeurs numériques arrondies à $10^{-1}$ près suivant:

\medskip

\renewcommand{\arraystretch}{1.4}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{13}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$		& 0				& 4 &10	&14	& 20	&24	& 28 	& 32 	& 34 	& 36 	& 38 	& 40 	& 42\\ \hline
\black $f(x)$ 	&\red 5,5	&\black 6	&\red 7,2	&\red 8,6	&\red 11,7		&\black 15	&\red 19,8	&\red 27,1	&\red 32,1	&\red 38,1 	&\red 46 	&\red 55,7	&\black 68\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
 
\item On trace $\mathcal{C}_{f}$ la courbe représentative de la fonction $f$ sur le graphique de la page 3. 
\end{enumerate}

%\medskip

\subsubsection*{Partie C : Application}

%\medskip
 
On admet que $f(x)$ fournit une bonne approximation du pourcentage d'enfants souffrant d'un problème de poids, lorsque le rang de l'année est compris entre 0 et 42. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item L'année 2007 correspond à $x=37$ donc le pourcentage d'enfants souffrant d'un problème de poids en 2007 est $f(37)$ soit environ $41,9\,\%$.
\item D'après le graphique de la page 3, plus de la moitié des enfants souffrirait d'un problème de poids pour $x\approx 39$ donc à partir de l'année $1970+39=2009$.
\end{enumerate}

\newpage

\setlength\parindent{1cm}

{\centering \large \textbf{ANNEXE  Exercice \no 2} \par}
\medskip
\rotatebox{90}
{
\psset{xunit=0.4cm,yunit=0.16cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-2,-4)(44,75)
\psgrid[subgriddiv=5,gridlabels=0,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](0,0)(44,75)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=2,Dy=5]{->}(0,0)(0,0)(44,75)[$x$,-90][$y$,180]
%\rput(25,82.5){\large ANNEXE  Exercice \no 2}
%\uput[d](50,0){$x$}\uput[l](0,80){$y$}
\psset{linecolor=blue}
\psdots[dotstyle=x,dotscale=2](4,7)(14,8)(24,13)(28,20)(32,27)
\def\f{2.7183 x 0.001 x mul 0.018 add mul 1.7 add exp}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt]{0}{43}{\f}
\psset{linecolor=red,linewidth=1.2pt}
\psline[ArrowInside=->,ArrowInsideNo=5,arrowscale=2](0,50)(38.9,50)
\psline[ArrowInside=->,ArrowInsideNo=3,arrowscale=2](38.9,50)(38.9,0)
\uput[d](38.9,0){\red 39}
\end{pspicture}
\end{center}
}
\end{document}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
