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%Tapuscrit : Denis Vergès
% Corrigé : François Hache
%%%%   Commandes perso FH
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\newcommand{\pg}{\geqslant}%      plus grand ou égal
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%%%%
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat de technicien}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{juin 2008}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
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\thispagestyle{empty}
\cfoot{\thepage}
\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat de technicien hôtellerie~\decofourright\\[5pt] Métropole -- juin 2008}}

%\vspace{0,5cm}
%
%Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée.\\
% L'annexe  devra être remise avec la copie.
\end{center}

\subsection*{\textsc{Exercice 1} \hfill 8 points}

\medskip

L'indice de masse corporelle (IMC) permet de définir trois catégories distinctes de personnes :
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$]  les personnes n'ayant pas de surpoids
\item[$\bullet~$]  les personnes présentant un surpoids
\item[$\bullet~$]  les personnes souffrant d'obésité.
\end{itemize}
Un grand groupe hôtelier a organisé une enquête sur l'obésité auprès de ses \nombre{12000}~employés et stagiaires de plus de $15$~ans. Une partie de cette enquête portant sur l'obésité et l'hypertension laissait apparaître les résultats suivants :
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] 12,4\:\% des \nombre{12000}~personnes interrogées souffrent d'obésité dont 486 ont aussi de l'hypertension artérielle.
\item[$\bullet~$] Il y a \nombre{3504}~personnes qui présentent un problème de surpoids dont \nombre{2644} n'ont pas d'hypertension.
\item[$\bullet~$] 84\:\% des personnes interrogées ne souffrent pas d'hypertension artérielle.
\end{itemize}
\begin{enumerate}
\item  Recopier et compléter le tableau suivant. Aucun détail de calcul n'est exigé pour cette question.\\

\medskip

\noindent \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}c|}\hline
&{\small Personnes n'ayant pas de surpoids}&{\small Personnes présentant un surpoids}&	{\small Personnes souffrant	d'obésité}&{\small Total}\\ \hline
Personnes souffrant	d'hypertension\newline artérielle& \textcolor{red}{574} & \textcolor{red}{860} & \textcolor{red}{486}&	\nombre{1920}\\ \hline
Personnes n'ayant pas d'hypertension artérielle& \textcolor{red}{\np{6434}}& \textcolor{red}{\np{2644}}& \textcolor{red}{\np{1002}} & \textcolor{red}{\np{10080}}\\ \hline
Total\rule[-7pt]{0pt}{20pt}& \textcolor{red}{\np{7008}} & \textcolor{red}{\np{3504}} & \nombre{1488}&	\nombre{12000}\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\item On interroge de manière aléatoire une personne parmi les \nombre{12000}~employés et stagiaires. Chaque personne a la même probabilité d'être interrogée. On considère les évènements suivants :
\begin{itemize}
\item[]  $A$ : \og la personne interrogée souffre d'hypertension artérielle \fg 
\item[]  $B$ : \og la personne interrogée souffre d'obésité \fg 
 \end{itemize}
 Les résultats seront donnés sous forme décimale exacte.
	\begin{enumerate}
		\item  $p(A) = \dfrac{\np{1920}}{\np{12000}} = 0,16$ et $p(B)=\dfrac{\np{1488}}{\np{12000}}= 0,124$.
		\item   L'évènement $A \cap B$ est \og la personne interrogée souffre à la fois d'hypertension artérielle et d'obésité. \fg{}:
$p(A \cap B) = \dfrac{486}{\np{12000}} = \np{0,0405}$
		
		\item   L'évènement $\overline{B}$ est \og la personne interrogée ne souffre pas d'obésité. \fg{}

$p(\overline{B}) = 1-p(B) = 1-0,124=0,876$.

	\end{enumerate}

\item %Dans la suite de l'exercice les résultats seront arrondis au centième.
	\begin{enumerate}
		\item  On interroge au hasard une personne dans la catégorie des personnes n'ayant pas de surpoids, donc parmi $\np{7008}$ personnes.
		% Chaque personne a la même probabilité d'être interrogée. Déterminer la probabilité $p_{1}$ qu'elle souffre d'hypertension.
		
Il y en a 574 qui souffrent d'hypertension donc $p_1 = \dfrac{574}{\np{7008}} \approx 0,08$.		
		
		\item  On interroge au hasard une personne parmi celles qui souffrent d'obésité donc parmi \np{1488} personnes. 
		%Chaque personne a la même probabilité d'être interrogée. Déterminer la probabilité $p_{2}$ qu'elle souffre d'hypertension.

Il y en a 486 qui souffrent d'hypertension donc
$p_2=\dfrac{486}{\np{1488}} \approx 0,33$.

		\item  $\dfrac{p_{2}}{p_{1}} = \dfrac{\frac{486}{\np{1488}}}{\frac{574}{\np{7008}}}
		= \dfrac{486}{\np{1488}} \times \dfrac{\np{7008}}{574} = \dfrac{486\times \np{7008}}{\np{1488} \times 574} \approx 3,99$
		
Il y a donc à peu près 4 fois plus de personnes souffrant d"hypertension chez les personnes souffrant d'obésité que chez les personnes n'ayant pas de surpoids.

 	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\subsection*{\textsc{Exercice 2} \hfill 12 points}
\def\interA{\cd 1~;~12 \cg}
%\medskip
	
%Les parties A, B et C sont indépendantes.
	
%\medskip

\subsubsection*{Partie A :  Nuage de points}

Après de bons résultats obtenus entre 1999 et 2002, le groupe hôtelier a vu le cours de son action chuter les années suivantes. Décidé à retrouver un cours équivalent à l'année 2002, le groupe a lourdement investi pour ouvrir des hôtels en Chine et dans d'autres pays d'Asie. Les résultats du cours boursier de l'action du groupe hôtelier des 9 dernières années sont donnés dans le tableau suivant :

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.9\linewidth}{|m{3,5cm}|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année&1999& 2000 &2001 &2002& 2003& 2004& 2005& 2006& 2007\\ \hline
Rang : $x_{i}$&	1&	2&	3&	4&5&	6&	7&	8 &	9\\ \hline
Prix moyen de l'action en euros : $y_{i}$&15&40&52,5&55&52,5& 	47,5&45&39&40\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item  %Représenter sur une feuille de papier millimétré le nuage de points de coordonnées $\left(x_{i}~;~ y_{i}\right)$ de cette série statistique dans un repère orthogonal (O ; I,  J) :
%\begin{itemize}
%\item[]   sur l'axe des abscisses : 1~cm représente une année,
%\item[]  sur l'axe des ordonnées: 1~cm représente 10~\euro.
%\end{itemize}
Voir graphique page 3.

\item % Expliquer pourquoi un ajustement affine ne semble pas convenir.
Les points ne sont pas du tout alignés donc un ajustement affine ne peut pas convenir.

\end{enumerate}

%\medskip

\subsubsection*{Partie B :  \'Etude de fonction}

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $\interA$ par $f(x) = 0,5x^3 - 9x^2 + 48x - 25$.

%On appelle $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans le repère orthogonal (O ;  I,  J) de la partie A où
%\begin{itemize}
%\item[] sur l'axe des abscisses 1~cm représente 1~unité,
%\item[] sur l'axe des ordonnées 1~cm représente 10~unités.
%\end{itemize}

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item $f'(x) = 0,5\times 3x^2 - 9\times 2x +48 = 1,5 x^2 -18 x +48$ 
		
		\item $1,5 (x - 4) (x - 8) = 1,5 (x^2 - 4x - 8x + 32) = 1,5(x^2-12x+32) = 1,5 x^2 -18x + 48 = f'(x)$

	\end{enumerate}

\item	On étudie le signe de $f'(x)$ pour $x$ appartenant à $\interA$:

\begin{center}
{
\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\def\esp{\hspace*{1.5cm}}
$\begin{array}{|c | *{7}{c} |} 
\hline
x  & 1 & \esp & 4 & \esp & 8 & \esp & 12 \\
\hline
x-4 &  & \pmb{-} &  \vline\hspace{-2.7pt}{0} & \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}{\phantom 0} & \pmb{+} &\\
\hline
x-8 &  & \pmb{-} &  \vline\hspace{-2.7pt}{\phantom 0} & \pmb{-} & \vline\hspace{-2.7pt}{0} & \pmb{+} &\\
\hline
f'(x)=1,5(x-4)(x-8) &  & \pmb{+} &  \vline\hspace{-2.7pt}{0} & \pmb{-} & \vline\hspace{-2.7pt}{0} & \pmb{+} & \\
\hline
\end{array}$
}
\end{center}

\item	%Dresser le tableau de variations de $f$ sur $\interA$.
$f(1)=14,($, $f(4)=55$, $f(8)=39$ et $f(12)=119$

On établit le tableau de variations de $f$ sur $\interA$:

\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}  % paramètres
\def\esp{\hspace*{1.5cm}}% pour modifier la largeur du tableau
\def\hauteur{20pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur
$\begin{array}{|c| *6{c} c|}
\hline
 x & 1 & \esp & 4 & \esp & 8 & \esp & 12 \\
 \hline
f'(x) &  &  \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{-} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{+} & \\  
\hline
  &  &  & \Rnode{max1}{55} & & & &  \Rnode{max2}{119} \\
f (x) & &  & & & & & \rule{0pt}{\hauteur}\\
 & \Rnode{min1}{14,5} & & & & \Rnode{min2}{39} & & \rule{0pt}{\hauteur} 
\ncline{->}{min1}{max1} 
\ncline{->}{max1}{min2}
\ncline{->}{min2}{max2} \\
\hline
\end{array}$
}
\end{center}


\item	On complète le tableau de valeurs numériques suivant :
		
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\noindent \begin{tabularx}{0.9\linewidth}{|*{13}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12\\ \hline
$f(x)$& \textcolor{red}{$14,5$} &\textcolor{red}{$39$} &\textcolor{red}{$51,5$} &	$55$&\textcolor{red}{$52,5$} &\textcolor{red}{$47$} &\textcolor{red}{$41,5$} &$39$&\textcolor{red}{$42,5$} &\textcolor{red}{$55$} &\textcolor{red}{$79,5$} &\textcolor{red}{$119$} \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item On trace $\mathcal{C}$ (voir graphique page 3).

\end{enumerate}

\subsubsection*{Partie C: Application}

On admet que la courbe $\mathcal{C}$ d'équation $y = 0,5x^3 - 9x^2 + 48x - 25$ constitue un bon ajustement du nuage de points jusqu'en 2010.

\begin{enumerate}
\item L'année 2009 correspond à $x= 11$; le cours moyen de l'action en 2009 est donc $f(11)=79,5$.

\item 	D'après le graphique page 3, c'est pour $x=10$, donc en 2008, que l'action retrouve son cours de 2002.

\end{enumerate}

\newpage

\subsubsection*{\centering Figure de l'exercice 2}

\vspace{2cm}

\begin{center}
\psset{xunit=1cm, yunit=0.1cm}
\def\xmin {0}   \def\xmax {13}
\def\ymin {0}   \def\ymax {130}
\begin{pspicture}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psgrid[xunit=1cm,yunit=1cm,subgriddiv=1,gridlabels=0,gridcolor=lightgray] (0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,13)
\psaxes[ticksize=-3pt 3pt, labels=all,Dy=10](0,0)(\xmin,\ymin)(12.99,\ymax) 
\psplot[linecolor=red]{1}{12}{x x 0.5 x mul 9 sub mul 48 add mul 25 sub}
\psdots[dotstyle=x,dotscale=2](1,15)(2,40)(3,52.5)(4,55)(5,52.5)(6,47.5)(7,45)(8,39)(9,40)
\multido{\n=1999+1,\i=1+1}{12}{\uput[d](\i,-5){\small \n}}
\uput*{8pt}[d](10,0){\red 10}
\psline[linecolor=red,linestyle=dashed,ArrowInside=->,ArrowInsideNo=2,arrowscale=2](4,0)(4,55)(10,55)(10,0)
\end{pspicture}
\end{center}

\end{document}