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%Tapuscrit : Denis Vergès
% Corrigé : François Hache
%%%%   Commandes perso FH
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{A. P{}. M. E. P{}.}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat Hôtellerie}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{septembre 2008}}
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\thispagestyle{empty}
\cfoot{\thepage}
\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat de technicien hôtellerie~\decofourright\\[7pt]  Métropole septembre 2008}}
\end{center}

%\vspace{0,25cm}
%
%\emph{Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée.} 
%
%\emph{La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.}
% 
%\emph{L'usage des instruments de calcul et du formulaire officiel de mathématiques est autorisé. }
%
\vspace{0,25cm}

\subsection*{\textsc{Exercice 1} \hfill  Statistiques à 2 variables  \hfill 8 points}

\medskip

Entre 2002 et 2007, on a mesuré l'effet de la pollution sur le nombre de poissons d'une rivière.
 
Les résultats présentés dans le tableau suivant donnent au jour de l'ouverture de la pêche une estimation du nombre $y_{i}$ de poissons, exprimé en milliers, correspondant à l'année dont le rang est $x_{i}$. 

\medskip

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|m{3cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année &2002 &2003 &2004 &2005 &2006 &2007 \\ \hline
Rang : $x_{i}$& 1 &2 &3 &4 &5 &6 \\ \hline
Nombre de poissons en milliers : $y_{i}$& 141,3& 136,7 &116,5&103,2 &79 &49,4 \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Représenter sur une feuille de papier millimétré le nuage de points correspondant à cette série statistique dans un repère orthogonal (O ; I, J).
 
%On prendra sur l'axe des abscisses 2~cm pour 1~an et sur l'axe des ordonnées 1~cm pour 10~milliers. 

On représente le nuage de points dans un repère orthogonal (voir page 2).

\item% Calculer les coordonnées du point moyen $G_{1}$, correspondant aux 3 années 2002, 2003, 2004, puis celles du moyen point $G_{2}$, correspondant aux 3 années restantes. 
Le point moyen $\text G_1$ correspondant aux trois premières années a pour coordonnées:

$x_{\text G_1}=\dfrac{1+2+3}{3}=2$ et $y_{\text G_1}=\dfrac{141,3+136,7+116,5}{3} = \dfrac{394,5}{3}=131,5$.

Le point moyen $\text G_2$ correspondant aux trois dernières années a pour coordonnées:

$x_{\text G_2}=\dfrac{4+5+6}{3}=5$ et $y_{\text G_2}=\dfrac{103,2+79+49,4}{3} = \dfrac{231,6}{3}=77,2$.


\item On trace la droite $\left(\text G_{1}\text G_{2}\right)$ dans le repère (O ; I, J) (voir page 2). 

\item %Déterminer une équation de cette droite. 
On cherche une équation de la droite $\left(\text G_{1}\text G_{2}\right)$ sous la forme $y=ax+b$.

Le coefficient directeur est $a=\dfrac{y_{\text G_2} - y_{\text G_1}}{x_{\text G_2} - x_{\text G_1}}
= \dfrac{77,2-131,5}{5-2} = -18,1$.

Donc l'équation de la droite s'écrit $y=-18,1x +b$.

Cette droite passe par $\text G_1$ donc $y_{\text G_1}=-18,1x_{\text G_1} +b$, c'est-à-dire
$131,5 = -18,1\times 2 + b$ donc $b = 167,7$.

La droite $\left(\text G_{1}\text G_{2}\right)$ a donc pour équation $y=-18,1 x + 167,7$.

\item On suppose que la droite $\left(\text G_{1}\text G_{2}\right)$ réalise un bon ajustement du nombre de poissons en fonction du rang de l'année jusqu'en 2010.
 
%À l'aide d'une lecture graphique, en laissant apparents les traits de construction, donner une estimation de : 
	\begin{enumerate}
		\item L'année 2008 correspond à $x = 7$;  la population de cette rivière en 2008 est estimée à \np{41000} poissons (tracé en bleu page 2).

		\item L'année à partir de laquelle cette population sera strictement inférieure à \np{30000} correspond à $n=8$ donc c'est 2009 (tracé en pointillés graphique page 2).
		
	\end{enumerate} 
\item % Vérifier le résultat du 5. b. par un calcul. 
Pour déterminer l'année à partir de laquelle la population sera inférieure à \np{30000} (donc 30 milliers), on résout l'inéquation $-18,1x +167,7 < 30$:

$-18,1x +167,7 < 30 \iff 137,7 < 18,1x \iff  \dfrac{137,7}{18,1}>x$

$\dfrac{137,7}{18,1} \approx 7,6$ donc c'est à partir de $n=8$ donc de 2009 que la population sera inférieure à \np{30000}.

\end{enumerate}

\newpage

\subsection*{\centering Figure de l'exercice 1}

\vfill{}

\begin{center}
\rotatebox{90}
{
\psset{xunit=2cm, yunit=0.1cm}
\def\xmin {-0.1}   \def\xmax {10}
\def\ymin {-2}   \def\ymax {150}
\begin{pspicture}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psgrid[xunit=2cm,yunit=1cm,subgriddiv=1,gridlabels=0,gridcolor=lightgray] (0,0)(0,0)(\xmax,15)
\multido{\i=10+10}{14}{\uput[l](0,\i){\i}}
\psaxes[ticks=none, labels=x](0,0)(\xmin,\ymin)(9.99,\ymax) 
\psplot[linecolor=red]{1}{9}{-18.1 x mul 167.7 add}
\uput*[dl](0,0){O}
\psdots[dotstyle=x,dotscale=2](1,141.3)(2,136.7)(3,116.5)(4,103.2)(5,79)(6,49,4)
\psdots[linecolor=red](2,131.5)(5,77.2)
\psline[linecolor=blue,ArrowInside=->,ArrowInsideNo=2,arrowscale=2](7,0)(7,41)
\psline[linecolor=blue,ArrowInside=->,ArrowInsideNo=3,arrowscale=2](7,41)(0,41)
\uput*[l](0,41){\blue $41$}
\psline[linestyle=dashed,ArrowInside=->,ArrowInsideNo=3,arrowscale=2](0,30)(7.6,30)
\psline[linestyle=dashed,ArrowInside=->,ArrowInsideNo=2,arrowscale=2](7.6,30)(7.6,0)
\end{pspicture}
}
\end{center}

\vfill{}

\newpage 

 \subsection*{\textsc{Exercice 2} \hfill Étude d'une fonction  \hfill 12 points} 

 \subsubsection*{Partie A}

\def\interA{\cd 0~;~18\cg}

%\medskip
 
Cette partie a pour objet l'étude de la fonction $f$ définie sur l'intervalle $\interA$ par
 $f(x) = 0,5 + \ln (2x + 1)$.
 
On appelle $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthogonal (O~;~I,~J).

%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  On appelle $f'$ la dérivée de $f$:
$f'(x)=\dfrac{2}{2x+1}$

\item % Montrer que $f'(x) > 0$ pour tout $x$ de l'intervalle [0 ~;~ 18]. 
Si $x\in \interA$, alors $x \pg 0$ donc $2x+1>0$ donc $\dfrac{2}{2x+1}>0$.

On peut dire que $f'(x)>0$ sur $\interA$.

\item % Dresser le tableau de variations de $f$ sur [0~;~ 18]. 
$f(0)=0,5+ \ln(1)=0,5$ et $f(18) = 0,5+ \ln(37) \approx 4,11$.

Sur $\interA$, on sait que $f'(x)>0$ donc la fonction $f$ est strictement croissante sur cet intervalle.

On établit le tableau de variations de $f$ sur $\interA$:

\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
     % augmentation de la hauteur de toutes les lignes
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}
     % paramètres
\def\esp{\hspace*{3cm}}
     % pour modifier la largeur du tableau
\def\hauteur{0pt}
     % mettre au moins 12pt pour augmenter la hauteur
$\begin{array}{|c| *3{c}|}
\hline
 x & 1   & \esp & 18 \\
 \hline
f'(x) &   & \pmb{+} & \\  
\hline
  &   &    & \Rnode{max}{0,5+\ln(38)}   \\
f(x) & &  &  \rule{0pt}{\hauteur} \\
 &     \Rnode{min}{0,5} & & \rule{0pt}{\hauteur}
\ncline{->}{min}{max}
\ncline[linestyle=dotted, linecolor=red]{alpha}{zero}\\
\hline
\end{array}$
}
\end{center}

\item  Le coefficient directeur de la tangente (T) à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$ est égal à\\  $f'(0) = \dfrac{2}{2\times0 +1} = 2$.

\item  On complète le tableau suivant en arrondissant les résultats à $10^{-1}$ : 

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.9\linewidth}{|*{11}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$& 0& 1 &2 &3 &4 &5 &6 &9 &12 &18\\ 
\hline 
$f(x)$&\textcolor{red}{$0,5$}& \textcolor{red}{$1,6$} & \textcolor{red}{$2,1$} & \textcolor{red}{$2,4$} & \textcolor{red}{$2,7$} & \textcolor{red}{$2,9$} & \textcolor{red}{$3,1$} & \textcolor{red}{$3,4$}  & \textcolor{red}{$3,7$} & \textcolor{red}{$4,1$} \\ 
\hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item  On trace sur une feuille de papier millimétré, dans le repère orthogonal (O~;~I,~J) la courbe $\mathcal{C}$ et la tangente (T) (voir page 4). 

%On prendra comme unités graphiques :
%
%1 cm sur l'axe des abscisses,
% 
%2 cm sur l'axe des ordonnées. 

\end{enumerate}

 \subsubsection*{Partie B}

%\medskip
 
Pendant une année, une entreprise construit une quantité $x$ de bâtiments pour l'hôtellerie ($0 \leqslant  x \leqslant 18$) dont le coût de production est donné en millions d'euros par
 $f(x) = 0,5 + \ln(2x + 1)$.

Chaque bâtiment est vendu au prix de \np{400 000}~\euro ;  la recette totale en millions d'euros peut donc s'écrire sous la forme $g(x) = 0,4x$.

\begin{enumerate}
\item  Le bénéfice de l'entreprise  est en millions d'euros:
$g(x)-f(x)=0,4x - 0,5-\ln(2x+1)$.
 
\item  On trace la droite $\mathcal{D}$ représentant $g$ dans le repère de la partie A (voir page 4). 
\item  
	\begin{enumerate}
		\item 
\begin{list}{\textbullet}{En examinant le graphique:}
\item on constate que l'entreprise n'est pas bénéficiaire quand elle vend 5 bâtiments car la droite des recettes est en dessous de la courbe des coûts (tracé en pointillés page 4).

\item on constate que l'entreprise est bénéficiaire quand elle vend 15 bâtiments car la droite des recettes est au dessus de la courbe des coûts (tracé en pointillés page 4).
\end{list}		
		
		\item  On vérifie par le calcul les deux résultats précédents:
		
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
\hline
bâtiments vendus & coût & recette & bénéfice \\
\hline
$5$ & $f(5) \approx 2,9$ & $g(5)=0,4\times 5 = 2$ & non\\
\hline
$15$ & $f(15\approx 3,9 $ & $g(15)=0,4\times 15=6$ & oui\\
\hline
\end{tabularx}
\end{center}	
		
	\end{enumerate} 
\item La quantité minimale de bâtiments que l'entreprise doit vendre pour être bénéficiaire est donnée par l'abscisse du point en lequel la droite $\mathcal{D}$ passe au dessus de la courbe $\mathcal{C}$; c'est donc à partir de 9 bâtiments vendus que l'entreprise fera des bénéfices (voir graphique page 4).

\end{enumerate}

\newpage

\subsection*{\centering Figure de l'exercice 2}

\vfill{}

\begin{center}
\rotatebox{90}
%\scalebox{0.8}
{
\psset{xunit=1cm, yunit=2cm}
\def\xmin {-1}   \def\xmax {19}
\def\ymin {-0.5}   \def\ymax {6.5}
\begin{pspicture}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psgrid[unit=1cm,subgriddiv=10,gridlabels=0,gridcolor=orange,subgridcolor=orange] (0,0)(\xmin,-1)(\xmax,13)
\psaxes[ticksize=-3pt 3pt](0,0)(-0.99,\ymin)(18.99,\ymax) 
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.2pt,plotpoints=2000]{0}{18}{0.5 2 x mul 1 add ln add}
\uput[d](13,3.8){\blue $\mathcal{C}$}
\uput[dl](0,0){O}
\psdots[linecolor=blue,dotstyle=x,dotscale=2](0,0.5)(1,1.6)(2,2.1)(3,2.4)(4,2.7)(5,2.9)(6,3.1)(9,3.4)(12,3.7)(18,4.1)
\psplot[linecolor=red]{0}{16}{0.4 x mul} \uput[ul](10.5,4.2){\red $\mathcal{D}$}
\psplot[linecolor=blue]{0}{2.9}{2 x mul 0.5 add} \uput[l](1.5,3.5){\blue (T)}
\psline[linestyle=dashed](5,0)(5,2.9) \psdots(5,2)(5,2.9)
\psline[linestyle=dashed](15,0)(15,6) \psdots(15,6)(15,3.93)
\psline[ArrowInside=->,ArrowInsideNo=3,arrowscale=2](8.47,3.39)(8.47,0)
\end{pspicture}
}
\end{center}

\vfill{}
\end{document}