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%Tapuscrit de Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
%\makeatletter% graduations décimales
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%\ifx#1\@emptyO\else#1\fi
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pdftitle = {Nouvelle Calédonie  novembre 2007},
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat SMS}
\lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}}
\rfoot{\small décembre 2007}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{\Large\decofourleft~Corrigé du baccalauréat SMS Nouvelle-Calédonie~\decofourright\\[4pt]décembre 2007}

%Le formulaire officiel de mathématiques est distribué en même temps que le sujet.
%
%Deux feuilles de papier millimétré seront mises à la disposition des candidats.
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice}\hfill 10 points}

\medskip

%En 1990 a eu lieu la Conférence mondiale sur l'éducation pour tous ;  les participants se sont engagés à dispenser une éducation primaire à tous les enfants.
%
%Afin d'évaluer l'évolution de la situation, l'Institut de statistique de l'Unesco a présenté en mars 2005 les résultats du \og Rapport mondial de suivi de l'éducation pour tous 2005 \fg. Les tableaux ci-dessous sont extraits de ce rapport.
%
%\medskip

\textbf{Première partie}

\medskip

%Le tableau suivant présente le nombre d'enfants non scolarisés, par zone géographique, en 2001, en millions à $10^{-1}$ près.
%
%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-4}
%\multicolumn{1}{c|}{}					
%							&Filles	&	Garçons& Total\\ \hline
%Afrique subsaharienne 					&22 	&18,3	&40,3\\
%États arabes 							&4,5 	&3		&7,5\\ 
%Asie centrale 							&0,2	&0,2	&0,4\\
%Asie  de l'Est et Pacifique				&5,8	&6,2	&12\\
%Asie  du Sud et de l'Ouest				&22,3	&13,5	&35,8\\
%Amérique latine et Caraïbes				&1,2	&1,3 	&2,5\\
%Amérique du Nord et Europe occidentale	&1,1	&1,3	&2,4\\
%Europe centrale et orientale 			&1,4	&1,2	&2,6\\ \hline
%Monde									&58,5	&45		&103,5\\ \hline
%\end{tabularx}
%
%\medskip
%
%\emph{Dans ces questions, arrondir les résultats à $1$\,\% près.}

\begin{enumerate}
\item  %Calculer le pourcentage de filles parmi les enfants non scolarisés dans le monde en 2001.
Le pourcentage de filles est égal à $\dfrac{58,5}{103,5}\times 100 \approx 57$\,\%.
\item  %Calculer le pourcentage d'enfants vivant en Afrique subsaharienne parmi les enfants non scolarisés dans le monde en 2001.
Le pourcentage d'enfants vivant en Afrique subsaharienne parmi les enfants non scolarisés dans le monde en 2001 est égal à $\dfrac{40,3}{103,5}\times 100 \approx 39$\,\%.
\item  %Sachant qu'il y avait dans le monde $106,9$ millions d'enfants non scolarisés en 1998, déterminer le pourcentage de diminution du nombre d'enfants non scolarisés entre 1998 et 2001.
Le pourcentage de diminution du nombre d'enfants non scolarisés entre 1998 et 2001 est égal à $\dfrac{106,9 - 103,5}{106,9}\times 100 = \dfrac{3,4}{103,5}\times 100 \approx 3,3$\,\%.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Deuxième partie}

\medskip

%Le tableau suivant présente le nombre d'enfants non scolarisés par région, en 2001, en millions, à $10^{-1}$ près.
%
%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-4}
%\multicolumn{1}{c|}{}	&Filles	&Garçons	&Total\\ \hline
%Pays en développement 	&56,4	&42,7		&99,1\\
%Pays développés			&1,4	&1,6		&3\\
%Pays en transition		&0,7	&0,7		&1,4\\ \hline
%Monde					&58,5	&45			&103,5\\ \hline
%\end{tabularx}
%
%\medskip
%
%\emph{Dans les questions suivantes, arrondir les résultats à $0,001$ près.}

\begin{enumerate}
\item  %On choisit au hasard dans le monde un enfant non scolarisé en 2001. On considère les évènements suivants :

%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item[] A : \og l'enfant est une fille \fg,
%\item[] B : \og l'enfant vit dans un pays en développement \fg.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}

	\begin{enumerate}
		\item %Calculer la probabilité de chacun des évènements A et B.
Ob a $p(A) = \dfrac{58,5}{103,5} \approx 0,565$.
		\item %Définir par une phrase l'évènement $\overline{\text{B}}$, puis calculer sa probabilité.
$\overline{B}$ désigne l'évènement \og l'enfant ne vit pas dans un pays en voie de développement \fg.

Ob a $p(B) = \dfrac{99,1}{103,5}$, donc $p\left(\overline{B} \right) = 1 - \dfrac{99,1}{103,5} = \dfrac{103,5 - 99,1}{103,5} = \dfrac{4,4}{103,5} \approx 0,043$.
		\item %Définir par une phrase l'évènement $A \cap B$, puis calculer sa probabilité.
$A \cap B$ désigne l'évènement \og l'enfant est une fille qui vit dans un pays en voie de développement\fg.

Donc $p(A \cap B) = \dfrac{56,4}{103,5} \approx 0,545$.
	\end{enumerate}
\item %On choisit au hasard une fille non scolarisée en 2001. Calculer la probabilité pour qu'elle vive dans un pays développé.
Parmi les 58,1 millions de filles, 1,4 million vit dans un pays développé ; la probabilité est donc égale à $\dfrac{1,4}{58,1} \approx 0,024$.
\end{enumerate}
		
\vspace{0,5cm}
		
\textbf{Problème \hfill  10 points}

\medskip

\textbf{Partie A :  étude d'une fonction}

\medskip

%On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle [0~;~7] par :

\[ f(t) = 0,01t\text{e}^{5 - 0,6t}.\]

\begin{enumerate}
\item  %Montrer que la dérivée $f'$ de la fonction $f$ est définie par l'égalité :
On dérive le produit :

$f'(t) = 0,01\text{e}^{5 - 0,6t} + 0,01t \times (- 0,6)\text{e}^{5 - 0,6t} = \text{e}^{5 - 0,6t}(0,01 - 0,006t) =  (0,01 - 0,006t)\text{e}^{5 - 0,6t}$.

\item  %Étudier le signe de $f'(t)$.
On sait que, quel que soit le réel $t$, \: $\text{e}^{5 - 0,6t} > 0$, donc le signe de $f'(t)$ est celui de $0,01 - 0,006t$.

$\bullet$$0,01 - 0,006t > 0$ ou $10 - 6t > 0$ ou $10 > 6t$  ou $t < \dfrac{5}{3}$ ;

$\bullet$$0,01 - 0,006t < 0$ ou $10 - 6t < 0$ ou $10 < 6t$  ou $t > \dfrac{5}{3}$ ;

$\bullet$$0,01 - 0,006t = 0$ ou $10 - 6t = 0$ ou $10 = 6t$  ou $t = \dfrac{5}{3}$.

La dérivée est donc positive sur $\left[0~;~\dfrac{5}{3}\right]$, négative sur 
$\left[\dfrac{5}{3}~;7\right]$.
\item  %Dresser le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~7].
La fonction $f$ est donc croissante sur $\left[0~;~\dfrac{5}{3}\right]$, puis décroissante sur $\left[\dfrac{5}{3}~;7\right]$. D'où le tableau de variations suivant avec :

$f(0) = 0$ \:;\: $\left(\frac{5}{3}\right) = 0,01 \times \frac{5}{3}\text{e}^{5 - 0,6\times \frac{5}{3}} = \frac{5}{300}\text{e}^{5 - 1} = \frac{5}{300}\text{e}^{4} \approx 0,91$.


$f(7) = 0,01 \times 7 \text{e}^{5 - 0,6\times 7} = 0,07\text{e}^{0,8} \approx 0,156$.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(7,3)
\psframe(7,3)\psline(0,2)(7,2)\psline(0,2.5)(7,2.5)\psline(1,0)(1,3)
\uput[u](0.5,2.4){$t$} \uput[u](1.15,2.4){0} \uput[u](4,2.4){$\frac{5}{3}$} \uput[u](6.8,2.4){7}
\rput(0.5,2.25){$f'(t)$} \rput(0.5,1){$f(t)$}
\rput(2.5,2.25){$+$}\rput(5.5,2.25){$-$}\rput(4,2.25){$0$}
\psline{->}(1.5,0.5)(3.5,1.5)\psline{->}(4.5,1.5)(6.5,0.5)
\uput[u](1.15,0){$0$}\uput[d](4,2){$\approx 0,91$}\uput[u](6.5,0){$\approx 0,156$}
\end{pspicture}
\end{center}

\item  Reproduire et compléter le tableau de valeurs suivant (les résultats seront arrondis à $10^{-2}$ près).

\medskip

\renewcommand{\arraystretch}{1.65}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{11}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$t$		&0&0,5	&1		&$\dfrac{5}{3}$	&2	&3		&4		&5		&6		&7\\[3pt] \hline
$f(t)$	&0&0,55	&0,81	&0,91			&0,89&0,74	&0,54 	&0,37	&0,24	&0,16\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\item  ~
%Tracer la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal, en prenant comme unités graphiques :

%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item[] 2 cm pour 1 unité sur l'axe des abscisses,
%\item[] 10 cm pour 1 unité sur l'axe des ordonnées.
%\end{itemize}

\setlength\parindent{0mm}
\begin{center}
\psset{xunit=1.2cm,yunit=8cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-0.5,-0.1)(7.5,1)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=0.1]{->}(0,0)(8.5,1)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=0.1](0,0)(8.5,1.01)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{8}{0.01 x mul 2.71828 5 0.6 x mul sub  exp mul}
\uput[u](8.8,3){$t$}
\uput[r](0,0.95){$f(t)$}
\psset{arrowsize=3pt 4}
\psline[linecolor=red,linewidth=0.2pt,ArrowInside=->](3.5,0)(3.5,0.64)(0,0.64)
\psline[linestyle=dashed,ArrowInside=->](0,0.5)(0.45,0.5)(0.45,0)
\psline[linestyle=dashed,ArrowInside=->](0,0.5)(4.2,0.5)(4.2,0)
\end{pspicture}
\end{center}
\end{enumerate}

\medskip 
 
\textbf{Partie B Application}

\medskip

%Une personne a absorbé de l'alcool au cours d'un repas. On admet que son alcoolémie (teneur en alcool du sang en g.L$^{-1}$) en fonction du temps $t$ (en heures) est donnée par :

\[f(t) = 0,01t\text{e}^{5 - 0,6t} \quad 	\text{lorsque}~ t~ \text{varie de}~ 0~ \text{à}~ 7~\text{heures.}\]

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  %À quel moment son alcoolémie est-elle maximale ? Exprimer le résultat en heures et minutes.
		On a vu à la partie A Ue la maximum de la fonction $f$ est $f\left(\frac{5}{3}\right) =  \frac{5}{300}\text{e}^{4} \approx 0,91$.
		
Le maximum est donc obtenu pour $t = \frac{5}{3} = \frac{50}{30} = \frac{100}{60}$ soit au bout de 1~h 40~min.
		\item %Quelle est alors cette alcoolémie ?
L'alcoolémie est alors à peu près 0,91~g.L$^{-1}$.
	 \end{enumerate}
\item %\emph{Répondre graphiquement aux questions suivantes en laissant apparentes les constructions utiles.}
	\begin{enumerate}
		\item %Quelle est son alcoolémie au bout de 3 h 30 ?
L'alcoolémie au bout de 3 h 30 est égale à $f(3,5) = 0,01 \times 3,5\text{e}^{5 - 0,6 \times 3,5} = 0,035\text{e}^{2,9} \approx 0,64$. (trait rouge) 
		\item %Pendant combien de temps son alcoolémie est-elle supérieure ou égale à $0,5$~g.L$^{-1}$ ?
On part du point de coordonnées (0~;~0,5) ; l'horizontale contenant ce point coupe la courbe en deux points d'abscisses approximatives 0,45~h soit 27~min et 4,2~h soit 4~h 12~min.

L'alcoolémie est supérieure ou égale à $0,5$~g.L$^{-1}$	pendant 4~h 12~min $-$ 	27~min soit 3~h 45~min.
%Exprimer le résultat en heures et minutes.
	  \end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}