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%Tapuscrit : Denis Vergès
%Corrigé : Fabien Pucci relu par Erwan Hautot, François Hache 
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\begin{document}
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\thispagestyle{empty} 
\rhead{\textbf{F{}. Pucci}}
\lhead{\small Baccalauréat S}
\lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}}
\rfoot{\small{19 novembre 2015}}
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\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}
{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat S -- Nouvelle-Calédonie~\decofourright\\19 novembre 2015}}
\end{center}
\label{Caledonienov}

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 7 points}
 
\textbf{Commun  à tous les candidats}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On regroupe les données de l'énoncé dans un arbre pondéré:

\medskip

\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt,nrot=:U,treesep=1cm, levelsep=3cm]{\Tp}{%
\pstree[nodesepA=3pt]{\TR{$A$}\naput{$0,7$}}{%
\TR{$S$}\naput{$0,17$}
\TR{$\overline S$}
}
\pstree[nodesepA=3pt]{\TR{$B$}\nbput{\red $1-0,7=0,3$}}{%
\TR{$S$}\naput{$0,1$}
\TR{$\overline S$}
}
}
\end{center}

\begin{enumerate}
	\item Il suffit de lire l'énoncé: $P(A\cap S) = P(A)\times P_A(S) = 0,7\times 0,17 = 0,119$.
	\item %On calcule la probabilité de $S$ à travers la partition que forment les événements $A$ et $B$:
D'après la formule des probabilités totales:	
	
	\begin{align*}
	P(S) 	& = P(A\cap S) + P(B\cap S) = 0,117 + P(B)\times P_B(S) \\
			&  = 0,117 + 0,3\times 0,1 = 0,147
	\end{align*}

	\item La probabilité cherchée correspond à $P_S(A) = \dfrac{P(A\cap S)}{P(S)}=\dfrac{0,119}{0,149}\approx 0,799$.
	\item Soit $p$ la proportion sur l'ensemble de la production de la source A de bouteilles contenant de l'eau très peu calcaire. La fréquence observée sur l'échantillon de taille $n = \np{1000}$ est 
	
$f_{\text{obs}}=\dfrac{211}{\np{1000}}=0,211$. 
	
Comme $n = \np{1000} \geqslant 30$, $nf_{\text{obs}} = 211\geqslant 5$ et $n \big (1-f_{\text{obs}}\big) = 789\geqslant 5$, les conditions d'application du théorème de Moivre-Laplace sont vérifiées et on peut proposer un intervalle de confiance au seuil de 95\,\% qui est :

\[\left[f_{\text{obs}}-\dfrac1{\sqrt n}\,;\: f_{\text{obs}}+\dfrac1{\sqrt n}\right] \approx \left[0,179\,;\: 0,243\right].\]

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate}
	\item Comme $\mu = 8$ et $\sigma=1,6$, $P(6,4 \leqslant  X \leqslant 9,6) = P(\mu-\sigma \leqslant X \leqslant  \mu+\sigma) \approx 0,683$.
	\item À la calculatrice, on trouve:
	$P(X \leqslant 6,5) \approx 0,174.$
	\item La question revient à résoudre l'équation en $\sigma$: $P(Y \leqslant 6,5) = 0,1$.
	 
D'après le cours, si la variable aléatoire $Y$ suit la loi normale d'espérance 9 et d'écart type $\sigma$, alors la variable aléatoire $Z=\dfrac{Y-9}{\sigma}$ suit la loi normale centrée réduite.
	
$Y \leqslant 6,5 \iff Y-9 \leqslant -2,5 \iff \dfrac{Y-9}{\sigma} \leqslant -\dfrac{2,5}\sigma \iff Z \leqslant -\dfrac{2,5}\sigma$ donc

$P(Y \leqslant 6,5) = 0,1 \iff P\left ( Z \leqslant -\dfrac{2,5}{\sigma}\right ) \leqslant 0,1$

\smallskip

On cherche, à la calculatrice, le réel $\beta$ tel que $P(Z \leqslant \beta) = 0,1$ sachant que $Z$ suit la loi normale centrée réduite; on trouve $\beta \approx - 1,282$.
	
\[\beta \approx - 1,282 \iff -\dfrac{2,5}\sigma\approx - 1,282 \iff \sigma \approx 1,95.\]

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Comme $a \cos x \geqslant 0$ sur $\left]-\dfrac\pi2\,;\: \dfrac\pi2\right[$ avec $a\in \R_+^*$, l'aire du domaine cherchée correspond, en unités d'aire, à la valeur de l'intégrale 

\[\int_{-\frac\pi2}^{\frac\pi2} a\cos x \,\text{d}x = a\big[\sin x\big]_{-\frac\pi2}^{\frac\pi2}=a\big(1-(-1)\big) = 2a.\]

\item Le problème revient à résoudre l'équation en $a$:

\[2a-\pi\left(\dfrac a2\right)^2=\pi\left(\dfrac a2\right)^2 \iff a-\pi\left(\dfrac a2\right)^2=0 \iff a\left(4-\pi a\right) = 0.\]

Comme $a$ est strictement positif, la seule solution possible est $a=\dfrac4\pi>0$.

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 3 points}
 
\textbf{Commun  à tous les candidats}

\medskip

\begin{enumerate}
	\item $f_a$ est une somme de fonctions dérivables sur $\R$ donc dérivable sur $\R$ et on a:
	
$\forall x \in \R, \: f_a'(x)=\e^{x-a}-2$

$f'_a(x)>0 \iff \e^{x-a}-2 >0 \iff \e^{x-a}>2 \iff x-a > \ln 2 \iff x > a+\ln 2$
	
$f'_a(x)$ s'annule et change de signe pour $x=a+\ln 2$ en étant négatif puis positif donc $f_a$ admet un minimum en $a+\ln 2$ égal à 
	
$f_a(a+\ln 2)=\e^{a + \ln 2 - a} - 2(a+\ln 2) + \e^{a} = 2 - 2a - 2\ln 2+ \e^{a}$.
	
%	\begin{center}
%\begin{tikzpicture}
%\tkzTab[lgt=1.5,espcl=2.5]{ $x$ / .7,$f_a'(x)$ / .7,
%$f_a$ / 2}
%{ $-\infty$ , $a+\ln 2$ ,$+\infty$}
%{ ,-,z,+,}
%{ +/ , -/$f_a(a+\ln 2)$ , +/}%
%\end{tikzpicture}
%\end{center}

\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}  % paramètres
\def\esp{1.5cm}% pour modifier la largeur du tableau
\def\hauteur{0pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur
$\begin{array}{|c| *4{c} c|}
\hline
 x & -\infty & \hspace*{\esp} & a+\ln 2 & \hspace*{\esp} & +\infty \\
 \hline
f_a'(x) &  &  \pmb{-} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{+} & \\  
\hline
  & \Rnode{max1}{~}  &  &  &  & \Rnode{max2}{~}   \\
f_a & &  & & &  \rule{0pt}{\hauteur} \\
 &  & &   \Rnode{min}{f_a(a+\ln 2)} & & \rule{0pt}{\hauteur}
\ncline{->}{max1}{min} \ncline{->}{min}{max2}\\
\hline
\end{array}$
}
\end{center}
	
	\item En $a+\ln 2$, on a $f_a(a+\ln 2) = 2 - 2a - 2\ln 2 + \e^a$. 
	
Afin de minimiser ce minimum, on étudie les variations de la fonction $\varphi$ dérivable sur $\R$ et définie par $\varphi(a) = 2 - 2a - 2\ln 2 + \e^a$.
	
$\varphi'(a) = -2 + \e^a$ ;

$\bullet~~$ $- 2 + \e^a > 0 \iff \e^{a} > 2 \iff a > \ln 2$ ; 

$\bullet~~$ $- 2 + \e^a < 0 \iff \e^{a} < 2 \iff a < \ln 2$ ; 
	
$\varphi'(a)$ s'annule et passe de négatif à positif en $a =\ln 2$.
	
%\begin{center}
%\begin{tikzpicture}
%\tkzTab[lgt=1.5,espcl=2.5]{ $x$ / .7,$\varphi'(x)$ / .7,
%$\varphi$ / 2}
%{ $-\infty$ , $\ln 2$ ,$+\infty$}
%{ ,-,z,+,}
%{ +/ , -/$4-3\ln 2$ , +/}%
%\end{tikzpicture}
%\end{center}

\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}  % paramètres
\def\esp{1.5cm}% pour modifier la largeur du tableau
\def\hauteur{0pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur
$\begin{array}{|c| *4{c} c|}
\hline
 x & -\infty & \hspace*{\esp} & \ln 2 & \hspace*{\esp} & +\infty \\
 \hline
\varphi'(x) &  &  \pmb{-} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{+} & \\  
\hline
  & \Rnode{max1}{~}  &  &  &  & \Rnode{max2}{~}   \\
\varphi & &  & & &  \rule{0pt}{\hauteur} \\
 &  & &   \Rnode{min}{4-4\ln 2} & & \rule{0pt}{\hauteur}
\ncline{->}{max1}{min} \ncline{->}{min}{max2}\\
\hline
\end{array}$
}
\end{center}

Prendre $a=\ln 2$, minimise donc le minimum de $f_a$ qui est égal à \\
$\varphi(\ln 2)= 2-2\ln 2 - 2\ln 2 +\e^{\ln 2} = 4-4\ln 2$.

\end{enumerate}

%\pagebreak

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}
 
\textbf{Commun  à tous les candidats}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Il suffit de prendre un contre-exemple pour montrer que $(P_2)$ est fausse. Par exemple, le triplet $(1; \, 1;\, 1)$ convient: $1^2+1^2+1^2=3\geqslant \dfrac13$ mais $1+1+1=3\neq 1$.

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
	\item Il suffit de vérifier que les trois points non alignés $B$, $D$ et $E$ appartiennent au plan d'équation $x+y+z=1$.
	
Avec $B\big(1\,;\, 0\,;\, 0\big)$, $D\big(0\,;\, 1\,;\, 0\big)$ et $E\big(0\,;\, 0\,;\, 1\big)$, c'est bien le cas: 
	
\[1+ 0+ 0= 0+ 1+ 0= 0+ 0+ 1 = 1.\]
		
	\item\label{QExoIIIBac} Il suffit de montrer que le vecteur $\vect{AG}$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(BDE)$. Prenons $\vect{BD}$ et $\vect{BE}$, par exemple. On a:
	\begin{align*}
	\vect{AG}.\vect{BD}=\begin{pmatrix}1 \\1 \\1 \end{pmatrix}.\begin{pmatrix} -1 \\1 \\0 \end{pmatrix}=-1+1+0=0 & \implies \vect{AG}\perp\vect{BD}\\
		\vect{AG}.\vect{BE}=\begin{pmatrix}1 \\1 \\1 \end{pmatrix}.\begin{pmatrix} -1 \\0 \\1 \end{pmatrix}=-1+0+1=0 & \implies \vect{AG}\perp\vect{BE}
	\end{align*}
	
	Donc la droite $(AG)$ est orthogonale au plan $(BDE)$.
	\item D'après la question précédente, on sait que $(AG)$ et $(BDE)$ sont sécants en un unique point. Il suffit donc de prouver que $K$ appartient à la droite et au plan.
	\begin{itemize}
		\item Comme $\vect{AK}=\dfrac13\vect{AG}$, le point $K$ appartient à $(AG)$.
		\item Comme $\dfrac13+\dfrac13+\dfrac13=1$, le point $K$ appartient à $(BDE)$.
	\end{itemize}
	Donc $K$ est l'intersection de la droite $(AG)$ et du plan $(BDE)$.
\end{enumerate}
\item Les côtés du triangle $BDE$ sont les diagonales des faces du cube qui sont isométriques donc ils sont de même longueur et $BDE$ est un triangle équilatéral.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Si $M$ est un point du plan $(BDE)$ distinct de $K$, d'après la question \eqref{QExoIIIBac}, le triangle $AMK$ est rectangle en $K$. D'après le théorème de Pythagore, on a alors: 
	
\[AM^2 = AK^2 + MK^2.\]

Si $M=K$, la relation est encore vraie donc elle est vraie pour tout point $M$ de $(BDE)$.
		\item\label{QExoIIIBacII} Comme $MK^2\geqslant 0$, la relation $AM^2\geqslant AK^2$ se déduit trivialement de la précédente.
	\item Soient $x$, $y$ et $z$ trois nombres réels vérifiant l'égalité $x+y+z=1$. Le point $M\big(x;\, y;\, z\big)$ appartient donc au plan $(BDE)$.
	
D'après \eqref{QExoIIIBacII}, on a alors $AM^2\geqslant AK^2$ qui s'écrit, avec les coordonnées :
	
\[x^2+y^2+z^2\geqslant \left(\dfrac13\right)^2+\left(\dfrac13\right)^2+\left(\dfrac13\right)^2=\dfrac13.\]

L'implication $(P_1)$ est donc vraie.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
	
\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}
 
\textbf{Candidat n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

\begin{enumerate}
\item\label{QExoIVBacI} $\begin{cases} d_1 &=\dfrac12d_0+100=250 \\[5pt] a_1 &=\dfrac12d_0+\dfrac12a_0+70=445\end{cases}$
\item \begin{enumerate}
	\item On obtient en sortie $D=250$ et $A=420$. Ces résultats ne sont pas cohérents avec ceux obtenus à la question \eqref{QExoIVBacI}.
	\item $\bullet~~$Le problème de l'algorithme proposé est qu'il réutilise la variable $D$ pour le calcul de $A$ alors qu'elle a été modifiée. On corrige cela en utilisant une variable auxiliaire $E$, déclarée \og nombre réel\fg{} dans l'initialisation:
	\begin{center}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|m{2.2cm}X|}\hline
Variables:& $n$ et $k$ sont des entiers naturels\\
&$D$, $A$ et $\red E$ sont des réels\\
Entrée:& Saisir $n$\\
Initialisation:& $D$ prend la valeur 300 \\
& $A$ prend la valeur $450$ \\
& Saisir la valeur de $n$\\
Traitement:& Pour $k$ variant de 1 à $n$\\
&\hspace{0.4cm}\vline \; {\red $E$ prend la valeur $D$} \\
&\hspace{0.4cm}\vline \; $D$ prend la valeur $\dfrac D2+100$ \\[5pt]
&\hspace{0.4cm}\vline \; $A$ prend la valeur $\dfrac A2+\dfrac{\red E}{2}+70$ \\
&Fin de Pour\\
Sortie:& Afficher $D$\\ 
& Afficher $A$ \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

$\bullet~~$On peut aussi plus simplement inverser les deux instructions d'affectation à $A$ et à $D$ :
	\begin{center}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|m{2.2cm}X|}\hline
Variables:& $n$ et $k$ sont des entiers naturels\\
&$D$, $A$  sont des réels\\
Entrée:& Saisir $n$\\
Initialisation:& $D$ prend la valeur 300 \\
& $A$ prend la valeur $450$ \\
& Saisir la valeur de $n$\\
Traitement:& Pour $k$ variant de 1 à $n$\\
&\hspace{0.4cm}\vline \; $A$ prend la valeur $\dfrac A2+ \dfrac D2 + 70$ \\
&\hspace{0.4cm}\vline \; $D$ prend la valeur $\dfrac D2+100$ \\[5pt]
&Fin de Pour\\
Sortie:& Afficher $D$\\ 
& Afficher $A$ \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\end{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
	\item Par définition, on a :
	
\[e_{n+1}=d_{n+1}-200=\dfrac12d_n-100=\dfrac12\big(d_n-200\big)=\dfrac12e_n\]
	
	La suite $(e_n)_{n\in \N}$ est donc géométrique de raison $\dfrac12$ et de premier terme $e_0 = d_0 - 200 = 100$.
	
	\item D'après la question précédente, on a $e_n=\left(\dfrac12\right)^ne_0=100\left(\dfrac12\right)^n$.
	
\[\text{D'où } \; e_n=d_n-200 \iff d_n=100\left(\dfrac12\right)^n+200.\]
	
Comme $0<\dfrac12<1$, on a $\displaystyle \lim_{n\to +\infty} \left(\dfrac12\right)^n=0$ puis $\displaystyle \lim_{n\to +\infty} d_n=200$.
	
La suite $(d_n)_{n\in \N}$ est donc convergente vers $200$.
\end{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
	\item $2n^2-(n+1)^2=\Big(\big(\sqrt 2-1\big)n-1\Big)\Big(\big(\sqrt 2+1\big)n+1\Big)$.
	
D'après les résultats de première sur les trinômes du second degré, 
	
$2n^2-(n+1)^2$ est donc positif pour $n \leqslant -\dfrac1{\sqrt 2+1}$ ou $n\geqslant \dfrac1{\sqrt 2-1} \simeq 2,4$.
	
	Donc, pour $n$ entier supérieur  à $3$, on a $2n^2-(n+1)^2\geqslant 0$, c'est-à-dire : 
	
\[2n^2\geqslant (n+1)^2.\]

	\item \emph{Initialisation} : pour $n=4$, on a bien $2^4 = 16\geqslant 4^2=16$ donc la propriété est initialisée.
	
\emph{Hérédité} : supposons que pour tout  entier $k > 4$ ,\: $2^k \geqslant k^2$.

En multipliant les deux membres de l'inéquation par $2$ et en utilisant le résultat de la question précédente, on obtient :
	
\[2^{k+1}\geqslant 2k^2\geqslant (k+1)^2.\]

La propriété est donc héréditaire.
	
Initialisée et héréditaire, la propriété $2^n\geqslant n^2$ est donc vraie pour tout entier supérieur ou égal à 4 d'après le principe de récurrence.
	\item D'après la question précédente, si $n$ est un entier supérieur ou égal à 4, on $0<n^2 \leqslant 2^n $. En composant, cette inégalité par la fonction inverse, décroissante sur $\R_+^*$ et en multipliant par $100$, on obtient alors: $$0<\dfrac1{2^n}\leqslant \dfrac1{n^2} \implies 0<100n \left(\dfrac12\right)^n \leqslant \dfrac{100n}{n^{2}}=\dfrac{100}n$$

	\item D'après la question précédente et les théorèmes d'encadrement \linebreak $\displaystyle \lim_{n\to +\infty} 100n\left(\dfrac12\right)^n=\displaystyle \lim_{n\to +\infty} \dfrac{100}{n}=0$ et d'après les résultats sur les limites des suites géométriques de raison strictement inférieure à $1$ en valeur absolue $\displaystyle \lim_{n\to +\infty} \left(\dfrac12\right)^n=0$.
		
	D'après les résultats sur les limites de sommes, on obtient alors :
	
\[\displaystyle \lim_{n\to +\infty} a_n=340.\]

\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}
 
\textbf{Candidat ayant  suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

\begin{enumerate}
	\item 
	\begin{enumerate}
		\item D'après l'énoncé, le nombre d'avancés au début du mois $n+1$ sera composé de la moitié des débutants du mois précédent passant au niveau avancé soit $\dfrac12d_n$, de la moitié du nombre des avancés ne s'étant pas désinscrits soit $\dfrac12a_n$ et des 70 personnes qui se sont inscrites en début du mois. 
		
		On obtient bien: $$a_{n+1}=\dfrac12d_n+\dfrac12a_n+70$$
		\item En posant $U_n=\begin{pmatrix} d_n\\ a_n\end{pmatrix}$, $A=\begin{pmatrix} \frac 12 & 0 \\ \frac 12 & \frac 12\end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix} 100\\ 70\end{pmatrix}$, le système s'écrit sous la forme matricielle: 
		
\[U_{n+1}=Au_n+B\]
	\end{enumerate}		
\item\label{QExoVBacI} \emph{Initialisation} : pour $n=1$, on a bien $A=\begin{pmatrix} \frac 12 & 0 \\ \frac 12 & \frac 12\end{pmatrix}=\dfrac12\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1\end{pmatrix}=\dfrac12\left(I_2+T\right)$.
		
\emph{Hérédité} : supposons que la relation soit vérifiée pour tout  entier $k$ non nul. En multipliant l'expression $A^k=\left(\dfrac12\right)^k\big(I_2+kT\big)$ par $A=\dfrac12\big(I_2+T\big)$ à gauche ou à droite car $I_2$ et $T$ commutent, on obtient:
		
\[A^{k+1}=\left(\dfrac12\right)^k\big(I_2+kT\big)\times \dfrac12\big(I_2+T\big)=\left(\dfrac12\right)^{k+1}\big(I_2+T+kT+kT^2\big).\]
				
Or, $T^2=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0\end{pmatrix}$. On dit qu'elle est nilpotente d'ordre $2$.
				
Donc $A^{k+1}=\left(\dfrac12\right)^{k+1}\big(I_2+(k+1)T\big)$ et la relation est héréditaire.
				
La propriété est donc initialisée et héréditaire, elle est donc vraie pour tout $n \in \N^*$.

\item 
	\begin{enumerate}
		\item Comme $\det (I_2-A)=\begin{vmatrix} \frac12 & 0 \\ -\frac12 & \frac 12 \end{vmatrix}=\dfrac14\neq 0$, la matrice $I_2-A$ est inversible et on a $(I_2-A)^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 2 & 2\end{pmatrix}$.
		
		\begin{align*}
		\text{D'où } C = AC+B \iff (I_2-A)C = B \iff C & = (I_2-A)^{-1}B \\ & = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 2 & 2\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 100 \\ 70\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 200 \\ 340\end{pmatrix}.
		\end{align*}
		\item Il suffit de se servir des question précédentes on remarquant que 
		
		$\begin{pmatrix} 200 \\ 340\end{pmatrix} = C = AC+B$.
		
\[V_{n+1} = U_{n+1}-C \iff V_{n+1} = AU_n+ B-(AC+B) \iff U_{n+1}=A(U_n-C)=AV_n.\]
		
		 \item On a $V_0=U_0-C=\begin{pmatrix} 300 \\ 450\end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 200 \\ 340\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 100 \\ 110\end{pmatrix}$.
		
Par définition de $V_n$, on a aussi: $U_n=A^n\begin{pmatrix} 100 \\ 110\end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 200 \\ 340\end{pmatrix}$. 
		
En utilisant le résultat de la question \eqref{QExoVBacI}, on obtient, par calcul matriciel:
		\begin{align*}
	U_n & =\left(\dfrac12\right)^n\big(I_2+nT\big)\begin{pmatrix} 100 \\ 110\end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 200 \\ 340\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \left(\dfrac12\right)^n & 0 \\ n\left(\dfrac12\right)^n & \left(\dfrac12\right)^n\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 100 \\ 110\end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 200 \\ 340\end{pmatrix} \\
	 & = \begin{pmatrix} 100\left(\dfrac12\right)^n +200 \\ 100n\left(\dfrac12\right)^n + 110\left(\dfrac12\right)^n+340\end{pmatrix}.
	\end{align*}
	\end{enumerate}
	\item 
	\begin{enumerate}
		\item En admettant que pour $n\geqslant 4$, $2^n\geqslant n^2>0$, en composant par la fonction inverse, décroissante sur $\R_+^*$, on obtient $0<\dfrac1{2^n} \leqslant \dfrac1{n^2}$. 
		
En multipliant les membres de l'inégalité par $100n$, on obtient, après simplification: 
		
\[0 \leqslant 100n\left(\dfrac12\right)^n \leqslant \dfrac{100}n.\]

		\item D'après les théorèmes d'encadrement, comme $\displaystyle\lim_{n\to +\infty} \dfrac{100}n = 0$, on obtient $\displaystyle \lim_{n\to +\infty} 100n\left(\dfrac12\right)^n = 0$.
		
D'après les résultats sur les limites de suites géométriques de raison $\dfrac12$, on sait aussi que $\displaystyle \lim_{n\to +\infty} 100\left(\dfrac12\right)^n=0$.
		
Enfin, d'après les théorèmes sur les limites de sommes, on obtient:
		
\[\displaystyle\lim_{n\to +\infty} U_n=\begin{pmatrix} \displaystyle \lim_{n\to +\infty} 100\left(\dfrac12\right)^n +200  \\ \displaystyle \lim_{n\to +\infty} 100n\left(\dfrac12\right)^n + 110\left(\dfrac12\right)^n + 340\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 200 \\ 340\end{pmatrix}.\]		
		
La fréquentation se stabilise, à long terme, autour de \np{200} internautes débutants et $\np{340}$ internautes avancés.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
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\end{document}