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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du brevet des collèges}
\lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}}
\rfoot{\small{décembre 2009}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 2 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du brevet des collèges
 Nouvelle--Calédonie~\decofourright\\décembre 2009}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{I -- ACTIVITÉS NUMÉRIQUES \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 1}}

\medskip
 
%\begin{tabularx}{\linewidth}{X|X|}\cline{2-2}
%On donne le programme de calcul suivant:&\begin{itemize}
%\item[$\bullet~$] Choisir un nombre ; 
%\item[$\bullet~$] Lui ajouter 3 ; 
%\item[$\bullet~$] Multiplier cette somme par 4 ; 
%\item[$\bullet~$] Enlever 12 au résultat obtenu. 
%\end{itemize}\\ \cline{2-2}
%\end{tabularx}
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Montrer que si le nombre choisi au départ est 2, on obtient comme résultat 8. 
$2 \to 2 + 3 = 5 \to 5 \times 4 = 20 \to 20 - 12 = 8$.
\item %Calculer la valeur exacte du résultat obtenu lorsque :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$]  %Le nombre choisi est $\dfrac{1}{3}$ ;
$\dfrac{1}{3} \to \dfrac{1}{3} + 3 = \dfrac{1}{3} + \dfrac{9}{3} = \dfrac{10}{3} \to 4 \times \dfrac{10}{3} = \dfrac{40}{3}\to \dfrac{40}{3} - 12 = \dfrac{40}{3} - \dfrac{36}{3} = \dfrac{4}{3}$. 
\item[$\bullet~$]  %Le nombre choisi est $\sqrt{5}$.
$\sqrt{5} \to \sqrt{5} + 3 \to 4\left(\sqrt{5} + 3\right) = 4\sqrt{5} + 12 \to 4\sqrt{5} + 12 - 12 = 4\sqrt{5}$. 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\item
	\begin{enumerate}
		\item %À votre avis, comment peut-on passer, en une seule étape, du nombre choisi au départ au résultat final ?
Dans les trois calculs précédents on trouve à chaque fois le quadruple du nombre de départ. 
		\item %Démontrer votre réponse.
		 
%\emph{Dans cette question, toute trace de recherche sera prise en compte dans l'évaluation.}
Si le nombre de départ est $x$ on a la suite :

$x \to x + 3 \to 4(x + 3) = 4x + 12 \to 4x + 12 - 12 = 4x$ : on aboutit bien au quadruple du nombre initial.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
	
\bigskip
	 
\textbf{\textsc{Exercice 2}}

\medskip

%La roussette rousse est une espèce de chauve souris, endémique au territoire de la Nouvelle-Calédonie. Elle sera la mascotte officielle des XIV\up{es} Jeux du Pacifique de 2011. 
%
%\medskip
%
%Dans une urne, on a dix boules indiscernables au toucher portant les lettres du mot ROUSSETTES
%
%\begin{center}
%\psset{unit=1cm}
%\begin{pspicture}(0,-0.5)(11,0.5)
%\multirput(0.5,0)(1.1,0){10}{\pscircle(0,0){0.5}}
%\rput(0.5,0){R} \rput(1.6,0){O}\rput(2.7,0){U}\rput(3.8,0){S}
%\rput(4.9,0){S}\rput(6,0){E}\rput(7.1,0){T}\rput(8.2,0){T}
%\rput(9.3,0){E}\rput(10.4,0){S}
%\end{pspicture} 
%\end{center}
%
%\medskip
% 
%On tire au hasard une boule dans cette urne et on regarde la lettre inscrite sur la boule.
 
\begin{enumerate}
\item %Quels sont les six résultats possibles à l'issue d'un tirage ?
On peut tirer E, O, R, S, T, U soit 6 lettres différentes.  
\item %Déterminer les probabilités suivantes :
	\begin{enumerate}
		\item  %la lettre tirée est un R.
Il y a 1 R sur 10 lettres, donc la probabilité est égale à $\dfrac{1}{10} = 0,1$. 
		\item  %la lettre tirée est un S.
Il y a 3 S  sur 10 lettres, donc la probabilité est égale à $\dfrac{3}{10} = 0,3$.
		\item  %la lettre tirée n'est pas un S.
La probabilité est égale à $1 - \dfrac{3}{10} = \dfrac{7}{10}$.		
	\end{enumerate} 
\item %Julie affirme qu'elle a plus de chance d'obtenir une voyelle qu'une consonne à l'issue d'un tirage. A-t-elle raison ? Justifier votre réponse.
Il y a 4 voyelles donc 6 consonnes : elle a donc plus de chance de tirer une consonne qu'une voyelle. Elle a tort. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{II -- ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES \hfill 12 points}

\bigskip
	 
\textbf{\textsc{Exercice 1}}

\medskip

Voir à la fin. 
%Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chacune des quatre questions, une seule des réponses proposées est exacte.
% 
%Vous répondrez sur la feuille donnée en annexe  en entourant distinctement la réponse qui vous paraît la bonne.
% 
%Aucune justification n'est demandée.
% 
%Il ne sera enlevé aucun point en cas de mauvaise réponse. 
%
\bigskip
%	 
\textbf{\textsc{Exercice 2}}
%
\medskip 
%
%Pour trouver la hauteur d'une éolienne, on a les renseignements suivants :
%
%\medskip
%
%\psset{unit=0.95cm}
%\begin{pspicture}(12,6)
%\def\pale{\pscurve(0,0)(0.5,-0.05)(1,-0.035)(1.5,0)(1,0.035)(0.5,0.05)(0,0)}
%\uput[r](0,3.5){Les points O,  A et C sont alignés.}
%\uput[r](0,3){Les points O, B et D sont alignés.}
%\uput[r](0,2.5){Les angles $\widehat{\text{OAB}}$ et $\widehat{\text{ACD}}$ sont droits.}
%\uput[r](0,2){OA = 11 m ;  AC  = 594 m  AB = 1,5 m.}
%\pspolygon(5.5,0)(10.5,0)(10.5,2.5)
%\psline(7,0)(7,0.77)
%\uput[r](6.1,5.5){Le schéma n'est pas représenté en vraie }
%\uput[r](6.1,5){grandeur}
%\uput[r](6.1,4.5){Le segment [CD] représente l'éolienne.}
%\psline(10.3,0)(10.5,2.5)(10.7,0)
%\psframe(10.2,0)(10.4,0.2) \psframe(6.7,0)(6.9,0.2)
%\psline[linestyle=dashed](10.5,2.5)(11.7,2.5)
%\psline[linewidth=0.3pt]{<->}(11.7,2.5)(11.7,0)
%\rput{90}(11.9,1.25){\footnotesize hauteur de l'éolienne}
%\pscircle(10.5,2.5){1mm}
%\rput{-72}(10.5,2.5){\pale}\rput{48}(10.5,2.5){\pale}\rput{168}(10.5,2.5){\pale}
%\psline[linestyle=dashed](10.5,0)(11.7,0)
%\uput[dl](5.5,0){O} \uput[d](10.5,0){C} \uput[ul](10.5,2.5){D} \uput[d](7,0){A} \uput[u](7,0.77){B} 
%\end{pspicture}
%  
%\medskip

\begin{enumerate}
\item  %Expliquer pourquoi les droites (AB) et (CD) sont parallèles.
Les droites (AB) et (CD) sont parallèles car elles sont perpendiculaires à la droite (OC). 
\item  %Calculer la hauteur CD de l'éolienne. Justifier.
On peut grâce à la propriété de Thalès écrire l'égalité :

$\dfrac{\text{OA}}{\text{OC}} = \dfrac{\text{AB}}{\text{CD}}$ soit  $\dfrac{11}{11 + 594} = \dfrac{1,5}{\text{CD}}$ ou $\dfrac{11}{605} = \dfrac{1,5}{\text{CD}}$, d'où $\text{CD} = \dfrac{605 \times 1,5}{11} = \dfrac{55 \times 11 \times 1,5}{11} = 82,5$~(m).
\end{enumerate}
 
\bigskip
	 
\textbf{\textsc{Exercice 3}}

\medskip

%Un parc de jeu à une forme triangulaire. Il est représenté sur la figure ci-dessous où les dimensions ne sont pas respectées.
% 
%Les dimensions réelles de ce terrain sont : 
%
%DE = 12~m, EF = 9~m, DF = 15~m.
%
%\psset{unit=1cm}
%\begin{center}
%\begin{pspicture}(6,3.5)
%\pspolygon(0.5,3)(5.5,3)(5.5,0.5)
%\uput[l](0.5,3){D} \uput[ur](5.5,3){E} \uput[dr](5.5,0.5){F} 
%\end{pspicture}
%\end{center} 

\begin{enumerate}
\item %On veut construire ce triangle à l'échelle $1/200$. 
	\begin{enumerate}
		\item  Voir à la fin.
%Le tableau ci-dessous est reproduit dans l'annexe. Le compléter. 
		
%\medskip
%		
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|p{3.5cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%					&DE 	&EF &DF	 \\ \hline	
%Dimensions réelles	&12~m	&9~m&15~m \\ \hline
%Dimensions du dessin&6~cm	&	&  \\ \hline 
%\end{tabularx} 
%\end{center}
		\item ~%Construire le triangle DEF.
\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(7,5.5)
\pspolygon(0.5,5)(6.5,5)(6.5,0.5)
\uput[l](0.5,5){D} \uput[ur](6.5,5){E} \uput[dr](6.5,0.5){F} 
\end{pspicture}
\end{center}
	\end{enumerate} 
\item %Montrer que ce terrain possède un angle droit.
On a d'une part $\text{DF}^2 = 15^2 = 225$ et d'autre part :

$\text{DE}^2 + \text{EF}^2 = 12^2 + 9^2 = 144 + 81 = 225$.

Donc $\text{DF}^2 = \text{DE}^2 + \text{EF}^2$, égalité qui montre par réciproque du théorème de Pythagore que le triangle DEF est rectangle en E.
\item %Calculer l'aire réelle de ce parc.
On a $\mathcal{A}_{\text{DEF}} = \dfrac{\text{DE}\times \text{EF}}{2} = \dfrac{12 \times 9}{2} = 6 \times 9 = 54$~m$^2$. 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{PROBLÈME \hfill 12 points}

\bigskip

%\emph{Ce problème est composé de trois parties indépendantes}
%
%\medskip

\textbf{Première partie}

\medskip
 
%Un chocolatier dispose de \np{1575}~bonbons au chocolat blanc et de \np{4410}~bonbons au chocolat noir.
%
% Afin de préparer les fêtes de fin d'année, il veut répartir ses chocolats dans des boîtes de la manière suivante  :
% 
%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~$] tous les chocolats doivent être utilisés 
%\item[$\bullet~$] toutes les boîtes doivent avoir la même composition.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
% 
%De plus il veut réaliser le plus grand nombre de boîtes possible.
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Combien pourra-t-il faire de boîtes ? Justifier votre réponse.
Le nombre de chocolats blanc et de chocolats noir doivent diviser les deux nombres  \np{1575} et  \np{4410} ; il faut donc trouver un diviseur commun à ces deux nombres et le plus grand nombre de boîtes sera obtenu avec le PGCD à ces deux nombres.

Calcul du PGCD avec l'algorithme d'Euclide :

$\np{4410} = 2 \times \np{1575} + \np{1260}$ ;

$\np{1575} = 1 \times \np{1260} + 315$ ;

$\np{1260} = 4 \times 315 + 0$.

Le PGCD à  \np{1575} et  \np{4410} est donc 315.
\item %Dans chaque boîte, combien y aura-t-il de chocolats blancs et de chocolats noirs ? Justifier.
Comme $\np{1575} = 315 \times 5$ et $\np{4410} = 315 \times 14$, il y aura dans chacune des 315 boîtes 5 bonbons au chocolat blanc et 14 bonbons au chocolat noir.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Deuxième partie}

\medskip
  
%En une semaine, Nicolas le chocolatier, a vendu toutes ses boîtes.
%
%Voici la répartition des ventes pour chaque jour de la semaine. 
%
%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.2cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash\footnotesize}X|}}\hline
%Jours de la semaine& lundi &mardi &mercredi &jeudi &vendredi &samedi &dimanche \\ \hline 
%Nombre de boî\-tes vendues&13 &32 &60 &54 &61 &63 & 32 \\ \hline
%\end{tabularx}
%
%\medskip 

\begin{enumerate}
\item  ~%Représenter la répartition des ventes pour chaque jour de la semaine à l'aide d'un diagramme en bâtons.
\begin{center}
\psset{yunit=0.1cm}
\begin{pspicture}(9,70)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=100,Dy=10](0,0)(9,70)
\psline[linewidth=2.5pt](1,0)(1,13)
\psline[linewidth=2.5pt](2,0)(2,32)
\psline[linewidth=2.5pt](3,0)(3,60)
\psline[linewidth=2.5pt](4,0)(4,54)
\psline[linewidth=2.5pt](5,0)(5,61)
\psline[linewidth=2.5pt](6,0)(6,63)
\psline[linewidth=2.5pt](7,0)(7,32)
\uput[d](1,0){Lu} \uput[d](2,0){Ma} \uput[d](3,0){Me} 
\uput[d](4,0){Je} \uput[d](5,0){Ve} \uput[d](6,0){Sa} 
\uput[d](7,0){Di}
\uput[u](8,0){jour} \uput[r](0,68){ventes} 
\end{pspicture}

\end{center} 
\item %Quel est le nombre total de boîtes vendues durant la semaine ? 
Le nombre total de boîtes vendues durant la semaine est égal à $12 + 32 + 60 + \cdots + 32 = 315$.
\item %Calculer le pourcentage de boîtes vendues durant le week-end (samedi et dimanche). Arrondir le résultat à l'unité.
On a vendu samedi et dimanche 95 boîtes sur un total de 315, ce qui représente un pourcentage de $\dfrac{95}{315} \times 100 = 30,158$ soit à l'unité près environ 30\,\% des ventes de la semaine.   
\item %Calculer le nombre moyen de boîtes vendues par jour.
La moyenne journalière est égale à $\dfrac{315}{7} = 45$ boîtes.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Troisième partie}

\medskip 
 
%Le chocolatier a vendu 315 boîtes dans la semaine. Chaque boîte contient 19 chocolats. Une boîte vide coûte 200~F.
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  %En supposant qu'un chocolat coûte 100~F. 
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer le prix d'une boîte de chocolats ?
Le coût d'une boîte est :

$200 + 19 \times 100 = 200 + \np{1900} = \np{2100}$~(F). 
		\item %En déduire combien rapporte la vente des 315 boîtes durant la semaine ?
Si le le prix de vente est de \np{2100}~F, 315 boîtes rapporteront $315 \times \np{2100} = \np{661500}$~(F).
	\end{enumerate} 
\item %Quel devrait être le prix d'un chocolat si le chocolatier voulait vendre sa boîte \np{2290}~F ?
Sans la boîte les chocolats représentent \np{2090}~F ; donc chaque chocolat couterait $\dfrac{\np{2090}}{19} = 110$~(F).  
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center} 
\textbf{ANNEXE à rendre avec votre copie}

\begin{flushleft} \textbf{Activités géométriques : exercice 1} 
\end{flushleft}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3.5cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash }X|}}\hline
&A& B &C  \\ \hline
\textbf{1.} Avec les données de cette figure, l'arrondi au 
mm près de AB est: 

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(3,2.5)
\pspolygon(0.2,0.3)(2.8,2)(0.2,2)
\uput[dl](0.2,0.3){A} \uput[ur](2.8,2){C} \uput[ul](0.2,2){B}
\psframe(0.2,1.8)(0.4,2) \rput(2.3,1.85){23\degres}\uput[u](1.5,2){5,2cm} 
\end{pspicture}&\hspace{2.5cm} 4,8 cm &\hspace{2.5cm}\fbox{2,2 cm} &\hspace{2.5cm}2 cm  \\ \hline
\textbf{2.} Avec les données de cette figure, la longueur 
DE en cm est :

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(3,2.5)
\rput{15}(0.5,0.3){\pspolygon(0.2,0.3)(2.6,0.3)(0.2,1.7)
\psframe(0.4,0.3)(0.2,0.5)}
\uput[dl](0.6,0.6){E} \uput[ur](2.98,1.2){F} \uput[ul](0.25,2){D} \rput(1.8,0.6){6 cm }\uput[u](1.5,1.6){7,5 cm} 
\end{pspicture}&\hspace{2.5cm} 1,5 cm&\hspace{2.5cm} 9,6 cm&\hspace{2.5cm} \fbox{4,5 cm} \\ \hline
\textbf{3.} La section d'un cylindre par un plan parallèle à son axe est un : &\hspace{2.5cm} trapèze &\hspace{2.5cm}rectangle &\hspace{2.5cm}\fbox{cercle} \\ \hline
\textbf{4.} Le point K appartient au cercle de diamètre [IJ] et $\widehat{\text{KIJ}}$ mesure 32\degres alors :

\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(3.2,3.2) 
\pscircle(1.7,1.6){1.5}
\pspolygon(0.25,1.9)(3.1,1.18)(2.2,0.2)
\uput[l](0.25,1.9){I} \uput[r](3.1,1.18){J} \uput[dr](2.2,0.27){K}
\rput(1.1,1.5){32\degres} 
\end{pspicture}&\hspace{2.5cm} $\widehat{\text{IJK}}$ mesure 32\degres &\hspace{2.5cm} On ne peut pas calculer la mesure de $\widehat{\text{IJK}}$ &\hspace{2.5cm} \fbox{$\widehat{\text{IJK}}$ mesure 58\degres} \\ \hline
\end{tabularx}

\vspace{0,5cm}
\begin{flushleft} \textbf{Activités géométriques : exercice 3} 
\end{flushleft}

\medskip

\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|p{3.5cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
					&DE 	&EF 	&DF	 \\ \hline	
Dimensions réelles	&12~m	&9~m	&15~m \\ \hline
Dimensions du dessin&6~cm	&4,5~cm	&7,5~cm  \\ \hline 
\end{tabularx} 
\end{center}
\end{document}