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\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du brevet des collèges}
\lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}}
\rfoot{\small{10 décembre 2018}}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
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\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 2 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du  Diplôme national du Brevet
Nouvelle--Calédonie~\decofourright}}\\[5pt]
{\Large \textbf{10 décembre 2018}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 :  \hfill 12 points}

\medskip

%Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chaque question, une seule des trois
%réponses proposées est exacte. 
%
%Sur la copie, écrire le numéro de la question et la réponse choisie.
%
%On ne demande pas de justifier. Aucun point ne sera enlevé en cas de mauvaise réponse.
%
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{5.2cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%&&Réponse A&Réponse B&Réponse C\\ \hline
%1 &La forme développée et réduite de $(2x + 5)(x - 2)$ est :& $2x^2 -10$& $2x^2 + 9x + 10$& $2x^2 +x - 10$\\ \hline
%2&\psset{unit=1cm}
%\begin{pspicture}(0,-0.2)(3,1.6)%\psgrid 
%%\pscircle(1.5,0){1.3}
%\pspolygon(0.2,0)(2.8,0)(2,1.2)
%\uput[l](0.2,0){B}\uput[r](2.8,0){C}\uput[u](2,1.2){A}\rput{-148}(2,1.2){\psframe(0.2,0.2)}
%\uput[u](2.5,0.55){3}\uput[u](1.1,0.65){4}\uput[u](1.5,0){5}
%\end{pspicture}
%
%Le cosinus de l'angle $\widehat{\text{ABC}}$ est égal à :&$\dfrac{3}{5}$&$\dfrac{4}{5}$&$\dfrac{3}{4}$\\ \hline
%3&Lorsque j'ajoute deux multiples de 7, j'obtiens toujours \ldots&un multiple de 49&un multiple de 14&un multiple de 7\\ \hline
%4&\psset{unit=0.8cm}\begin{pspicture}(0,-1.1)(6,3.5)%\psgrid
%\uput[r](0.5,3.3){AB = 125 m}\uput[r](0.5,2.9){AS = 42 m}\uput[r](0.5,2.5){BC = 75m}
%\uput[r](0.5,2.1){(BC) // (ST)}\pspolygon(0,-0.2)(5.8,-0.2)(0,1.8)%CAB
%\psline(3,0.78)(3,-0.2)
%\uput[u](3,0.78){S}\uput[d](3,-0.2){T}
%\uput[r](0.5,-1){ST est égale à}
%\uput[dr](5.8,-0.2){A}\uput[d](0,-0.2){C}\uput[u](0,1.8){B}
%\end{pspicture} &37,5m &25,2 m &33,6m\\ \hline
%\end{tabularx}
%\end{center}
\begin{enumerate}
\item $(2x + 5)(x - 2) = 2x^2 - 4x + 5x - 10 = 2x^2 + x - 10$. Réponse C
\item On a $\cos \widehat{\text{ABC}} = \dfrac{\text{AB}}{\text{BC}} = \dfrac{4}{5}$. Réponse B.
\item $7x + 7y = 7(x + y)$ : réponse C.
\item On a une configuration de Thalès ; donc $\dfrac{\text{ST}}{\text{BC}} = \dfrac{\text{AS}}{\text{AB}}$ d'où on déduit : $\text{ST} = \text{BC} \times \dfrac{\text{AS}}{\text{AB}} = 75 \times \dfrac{42}{125} = 3 \times \dfrac{42}{5} = \dfrac{126}{5} = \dfrac{252}{10} = 25,2$~(m). Réponse B.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 : \hfill 12 points}

\medskip

%\parbox{0.55\linewidth}{À un stand d'une kermesse, on fait tourner une roue pour gagner un lot (un jouet, une casquette ou des bonbons). Une flèche permet de désigner le secteur gagnant sur la roue.
%
%On admet que chaque secteur a autant de chance d'être désigné.
%
%\medskip
%
%\begin{enumerate}
%\item 
%	\begin{enumerate}
%		\item Quelle est la probabilité de l'évènement \og on gagne des bonbons \fg{} ?
%		\item Définir par une phrase l'évènement contraire de l'évènement
%\og on gagne des bonbons \fg.
%		\item Quelle est la probabilité de l'évènement défini au 1. b. ?
% 	\end{enumerate}
%\item Soit l'évènement \og on gagne une casquette ou des bonbons \fg.
%	
%Quelle est la probabilité de cet évènement ?
%\end{enumerate}}\hfill
%\parbox{0.42\linewidth}{\psset{unit=1.5cm,arrowsize=1.5pt 2}
%\begin{pspicture}(-2,-2)(2,3)
%\pscircle(0,0){2}
%\multido{\n=15+45,\na=195+45}{6}{\psline(2;\n)(2;\na)}
%\rput(1.5;37.5){Jouet}\rput(1.5;127.5){Jouet}\rput(1.5;162.5){Jouet}\rput(1.5;254.5){Jouet}\rput(1.5;299.5){Jouet}\rput(1.5;82.5){Casquette}\rput(1.5;217.5){Bonbons}\rput(1.5;-7.5){Bonbons}
%\psline[linewidth=5pt]{->}(0,3)(0,2.1)
%\end{pspicture}}
\begin{enumerate}
\item La probabilité de l'évènement \og on gagne des bonbons \fg{} est égale à $\dfrac{2}{8} = \dfrac{1}{4}$.
\item L'évènement contraire est \og on ne gagne pas des bonbons \fg.
\item La probabilité de l'évènement précédent est $1 - \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{4}$.
\item La probabilité de l'évènement \og on gagne une casquette ou des bonbons \fg{} est égale à $\dfrac{3}{8}$.
\end{enumerate}
 
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3 :  \hfill 18 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Décomposer les nombres $162$ et $108$ en produits de facteurs premiers.
$162 = 2 \times 81 = 2 \times 9 \times 9 = 2 \times 3^2 \times 3^2 = 2 \times 3^4$.

$108 = 2 \times 54 = 2 \times 2 \times 27 = 2^2 \times 3^3$.
\item %Déterminer deux diviseurs communs aux nombres $162$ et $108$ plus grands que $10$.
Les diviseurs communs à 162 et 108 sont : 1 ; 2 ; 3 ;  6 ; 9 ; 18 ; 27 et 54.
\item %Un snack vend des barquettes composées de nems et de samossas.

%Le cuisinier a préparé $162$ nems et $108$ samossas.

%Dans chaque barquette :
%
%\setlength\parindent{9mm}
%\begin{itemize}
%\item le nombre de nems doit être le même.
%\item le nombre de samossas doit être le même,
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
%
%Tous les nems et tous les samossas doivent être utilisés.
	\begin{enumerate}
		\item %Le cuisiner peut-il réaliser $36$ barquettes ?
Le cuisiner ne peut pas  réaliser $36$ barquettes car 36 ne divise pas 162.
		\item %Quel nombre maximal de barquettes pourra-t-il réaliser ?
		Le plus grand commun diviseur à 162 et 108 est 54 ; le cuisinier peut donc préparer 54 barquettes. 
		\item %Dans ce cas, combien y aura-t-il de nems et de samossas dans chaque barquette ?
Chaque barquette contiendra alors  3 nems et 2 samoussas.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 4 :  \hfill 16 points}

\medskip

%On étudie les performances de deux nageurs (nageur 1 et nageur 2).
%
%La distance parcourue par le nageur 1 en fonction du temps est donnée par le graphique ci-dessous.
%
%\medskip

\begin{figure}
\begin{center}
\psset{xunit=0.25cm,yunit=0.0035cm,arrowsize=2pt 4}
\begin{pspicture}(-1,-50)(50,2100)
\multido{\n=0+5}{10}{\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.25pt](\n,0)(\n,2100)}
\multido{\n=0+200}{11}{\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.2pt](0,\n)(50,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=5,Dy=200](0,0)(0,0)(50,2100)
\uput[r](0,2100){Distance parcourue (en mètres)}
\uput[u](44,0){Temps (en minutes)}
\psline[linewidth=1.2pt](0,0)(10,400)(30,1600)(45,2000)
\psline[ArrowInside=->]{->}(45,0)(45,2000)(0,2000)
\psline[ArrowInside=->]{->}(0,200)(5,200)(5,0)
\end{pspicture}
\end{center}
\end{figure}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Répondre aux questions suivantes par lecture graphique. Aucune justification n'est demandée.
	\begin{enumerate}
		\item %Quelle est la distance totale parcourue lors de cette course par le nageur 1 ?
Le point d'abscisse 45 a pour ordonnée \np{2000}. Le nageur 1 a parcouru \np{2000}~m.
		\item %En combien de temps le nageur 1 a-t-il parcouru les $200$ premiers mètres ?
Le point d'ordonnée 200 a pour antécédent 5. Le nageur 1 a parcouru les $200$ premiers mètres en 5 minutes.
	\end{enumerate}
%Y a-t-il proportionnalité entre la distance parcourue et le temps sur l'ensemble de la course ? 
	
%Justifier.
\item La distance parcourue n'est pas une application linéaire du temps. Dans ce cas tous les points devraient être alignés sur une droite contenant l'origine.
\item %Montrer que la vitesse moyenne du nageur 1 sur l'ensemble de la course est d'environ $44$ m/min.
Le nageur a parcouru \np{2000}~m en 45~min ; sa vitesse moyenne est donc égale à $\dfrac{2000}{45}\approx 44,444$, soit à l'unité près environ 44~m/min.
\item %On suppose maintenant que le nageur 2 progresse à vitesse constante.
%La fonction $f$ définie par $f(x) = 50x$ représente la distance qu'il parcourt en fonction du temps $x$.
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer l'image de $10$ par $f$.
On a $f(10) = 50 \times 10 = 500$~(m).
		\item %Calculer $f(30)$.
$f(30) = 50 \times 30 = \np{1500}$~(m).
	\end{enumerate}
\item %Les nageurs 1 et 2 sont partis en même temps,
	\begin{enumerate}
		\item %Lequel est en tête au bout de $10$~min ? Justifier.
Au bout de 10~min, le nageur 1 a parcouru 400~m et le nageur 2, $f(10) = 500~$m : le nageur 2 est en tête.
		\item %Lequel est en tête au bout de $30$min ? Justifier.
Au bout de 30~min, le nageur 1 a parcouru \np{1600}~m et le nageur 2, $f(30) = \np{1500}~$m : le nageur 1 est en tête.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 5 :  \hfill 8 points}

\medskip

%Lors de son déménagement, Allan doit transporter son réfrigérateur dans un camion, Pour l'introduire
%dans le camion, Allan le pose sur le bord comme indiqué sur la figure. Le schéma n'est pas à l'échelle.
%
%\begin{center}
%\includegraphics[width=12cm]{demenagement}
%\end{center}
%
%\smallskip
%
%Allan pourra-t-il redresser le réfrigérateur en position verticale pour le rentrer dans le camion sans
%bouger le point d'appui A ? Justifier.
Dans le triangle ABC rectangle en B, le théorème de Pythagore s'écrit :

$\text{AC}^2 = \text{AB}^2 + \text{BC}^2 = 59^2 + 198^2 = \np{3481} + \np{39204} = \np{42685}$.

Donc $\text{AC} = \sqrt{\np{42685}} \approx 206,6$~cm soit $2,066$~m. Allan ne peut redresser le réfrigérateur en position verticale.

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 6 :  \hfill 17 points}

\medskip

L'annexe 1 (à la fin) donne un tableau concernant les états et territoires de la Mélanésie.
\medskip

\begin{enumerate}
\item %Compléter les colonnes B et C du tableau dans l'annexe 1. Arrondir les fréquences au dixième.
Voir à la fin.
\item %Le tableau a été construit avec un tableur.

%Quelle formule peut-on saisir pour compléter la cellule B7 du tableau ?
On écrit en case B7  : =SOMME(B2 :~B6)

%L'annexe 2 (page 7/7) donne la répartition des superficies des différents territoires et états de la Mélanésie.

\item %Compléter la colonne des angles dans le tableau de l'annexe 2.
Voir l'annexe 2.
\item %Compléter le diagramme semi-circulaire dans l'annexe 2 en utilisant les données du tableau.
Voir l'annexe à la fin.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 7 : \hfill 8 points}

\medskip

%Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est \textbf{VRAIE} ou \textbf{FAUSSE} et justifier la réponse.
%
%\medskip

\textbf{Affirmation 1 :} %l'aire de la partie grise de la figure ci-dessous est $36 - x^2$.
L'aire du grand carré est : $6^2 = 36$ et l'aire du petit carré est $x^2$, donc l'aire de la surface grise est : $36 - x^2$. Affirmation vraie.

%\begin{center}
%\psset{unit=1cm}
%\begin{pspicture}(3.2,3.2)%\psgrid
%\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0.2,0.2)(3,3)
%\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=white](1.2,1.2)(2.2,2.2)
%\psline{<->}(3.2,0.2)(3.2,3)\uput[r](3.2,1.7){6}
%\psline{<->}(1.2,1.4)(2.2,1.4)\uput[u](1.7,1.4){$x$}
%\psframe(0.2,3)(0.4,2.8)\psframe(1.2,2.2)(1.35,2.05)
%\psline(0.1,1.55)(0.3,1.55)\psline(0.1,1.65)(0.3,1.65)
%\psline(2.9,1.55)(3.1,1.55)\psline(2.9,1.65)(3.1,1.65)
%\psline(1.55,2.9)(1.55,3.1)\psline(1.65,2.9)(1.65,3.1)
%\psline(1.55,0.1)(1.55,0.3)\psline(1.65,0.1)(1.65,0.3)
%\psline(1.1,1.7)(1.3,1.7)\psline(2.1,1.7)(2.3,1.7)
%\psline(1.65,2.1)(1.65,2.3)\psline(1.75,1.1)(1.75,1.3)
%\end{pspicture}
%\end{center}

\textbf{Affirmation 2 :} %le chiffre 8 est écrit $20$ fois lorsque j'écris tous les nombres entiers de 1 à 100.
Il y a tous les nombres se terminant par 8 : 8, 18 ; 28 ; etc. : 10 nombres, donc 10 chiffres 8 ;

Il y a tous les nombres commençant par 8,  soit 10 chiffres 8. On a donc utilisé en tout $10 + 10 = 20$ chiffres 8. L'affirmation est vraie.

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 8 :  \hfill 9 points}

\medskip

%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|X m{4cm}|}\hline
%\textbf{Rappel :}&\\
%~&\\
%\textbf{Orientation du lutin :}
%
%S'orienter à 900 : pour se déplacer vers la droite
%
%S'orienter à 00 : pour se déplacer vers le haut
%
%S'orienter à - 900 : pour se déplacer vers la gauche
%
%S'orienter à 1800: pour se déplacer vers le bas&\psset{unit=1cm}
%\begin{pspicture}(-2,-2)(2,2)
%\psline{<->}(-1,0)(1,0)\psline{<->}(0,-1)(0,1)
%\rput(-1.5,0){$- 90\degres$}\rput(1.5,0){$90\degres$}
%\rput(0,-1.5){$180\degres$}\rput(0,1.5){$0\degres$}
%\end{pspicture}\\ \hline
%\end{tabularx}
%
%\smallskip
%
%Le chat \includegraphics[width=0.8cm]{chat} indique la position de départ.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Voir l'annexe.

%\parbox{0.5\linewidth}{On exécute le script 1 ci-contre.
%
%Représenter dans l'annexe 1  le chemin parcouru par le chat.}\hfill
%\parbox{0.48\linewidth}{
%\begin{scratch}
%\blockinit{Quand \greenflag est cliqué}
%\blockpen{stylo en position d’écriture}
%\blockmove{s’orienter à \ovaloperator{90}}
%\blockmove{avancer de \ovaloperator{80}}
%\blockrepeat{répéter \ovalnum{2} fois} 
%	{
%	\blockmove{tourner \turnleft{} de \ovalnum{90} degrés}
%	\blockmove{avancer de \ovaloperator{80}}
%	}
%\end{scratch}
%}
%\item 
%	\begin{enumerate}
%		\item Indiquer sur la copie le numéro du dessin correspondant au script 2 ci-dessous.
%	
%\parbox{0.37\linewidth}{\begin{center}Script 2 \end{center}
%
%\begin{scratch}
%\blockinit{Quand \greenflag est cliqué}
%\blockvariable{mettre \ovalvariable{pas} à \ovaloperator{\ovalvariable{80}}}
%\blockpen{stylo en position d’écriture}
%\blockmove{s’orienter à \ovaloperator{90}}
%\blockmove{avancer de \ovaloperator{pas}}
%\blockrepeat{répéter \ovalnum{2} fois} 
%	{
%	\blockmove{tourner \turnleft{} de \ovalnum{90} degrés}
%	\blockvariable{mettre \ovalvariable{pas} à \ovaloperator{\ovalvariable{pas} - \ovalnum{20}}}
%	\blockmove{avancer de \ovaloperator{pas}}
%	}
%\end{scratch}}\hfill \parbox{0.61\linewidth}{Le côté d'un carreau mesure 20 unités.
%
%\bigskip

%\begin{center}
%\psset{unit=0.4cm}
%\begin{pspicture}(20,15)
%%\psgrid
%\multido{\n=6+1}{9}{\psline[linewidth=0.5pt](\n,10)(\n,17)}
%\multido{\n=10+1}{8}{\psline[linewidth=0.5pt](6,\n)(14,\n)}
%\rput(8,11){\includegraphics[width=0.3cm]{chat}}
%\rput(13,16){\large 1}
%\psline[linewidth=1.25pt](8,11)(8,15)(11,15)(11,13)
%\multido{\n=0+1}{9}{\psline[linewidth=0.5pt](\n,0)(\n,7)}
%\multido{\n=0+1}{8}{\psline[linewidth=0.5pt](0,\n)(8,\n)}
%\rput(2,1){\includegraphics[width=0.3cm]{chat}}
%\rput(7,6){\large 2}
%\psline[linewidth=1.25pt](2,1)(6,1)(6,4)(4,4)
%\multido{\n=12+1}{9}{\psline[linewidth=0.5pt](\n,0)(\n,7)}
%\multido{\n=0+1}{8}{\psline[linewidth=0.5pt](12,\n)(20,\n)}
%\rput(14,1){\includegraphics[width=0.3cm]{chat}}
%\rput(19,6){\large 3}
%\psline[linewidth=1.25pt](14,1)(18,1)(18,5)(14,5)
%\end{pspicture}
%\end{center}}
On avance à droite de 4 carreaux, on tourne à gauche et on avance de $80 - 20 = 60$ carreaux, on tourne à gauche et on avance de $60 - 20 = 40$ carreaux ; on a obtenu le dessin 2.
		\item Il suffit de répéter un troisième fois la boucle \og répéter \fg.
		%On souhaite modifier le script 2 pour parcourir le chemin suivant:
%\bigskip
%
%\psset{unit=0.4cm}
%\begin{center}
%\begin{pspicture}(8,7)
%\multido{\n=0+1}{9}{\psline[linewidth=0.5pt](\n,0)(\n,7)}
%\multido{\n=0+1}{8}{\psline[linewidth=0.5pt](0,\n)(8,\n)}
%\psline[linewidth=1.25pt](2,1)(6,1)(6,4)(4,4)(4,3)
%\rput(2,1){\includegraphics[width=0.4cm]{chat}}
%\end{pspicture}
%\end{center}
%
%Quelle(s) modification(s) peut-on apporter au script 2 pour parcourir ce chemin ?
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}
\textbf{ANNEXES À RENDRE AVEC LA COPIE}

\bigskip

\textbf{Annexe 1 - Exercice 6 question 1}

\bigskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{3}{>{\centering \arraybackslash \small}X|}}\hline
	&A										&B								&C\\ \hline
1	&États ou territoires de la Mélanésie	&Superficie terrestre (en km$^2$)	& Fréquence (en \%)\\ \hline
2 	&îles Salomon							&\np{28530} 						&5,2\\ \hline
3 	&îles Fidji								&\np{18333}							&3,3\\ \hline
4 	&Nouvelle-Calédonie						&\np{18576}							& 3,4\\ \hline
5 	& Papouasie-Nouvelle-Guinée				&\np{472840}						&85,9\\ \hline
6	&Vanuatu 								&\np{12281}							&2,2\\ \hline
7	& TOTAL									&\np{558560}					&100\\ \hline
\end{tabularx}

\bigskip

\textbf{Annexe 2  Exercice 6 questions 3. et 4.}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash \small}X|}}\hline
États ou territoires de la Mélanésie&Superficie terrestre (en km$^2$)&Angle (arrondi au degré près)\\ \hline
îles Salomon						&\np{28530}						&9\\ \hline
îles Fidji							&\np{18333}						&6\\ \hline
Nouvelle-Calédonie					&\np{18576} 					&6\\ \hline
Papouasie-Nouvelle-Guinée 			&\np{472840}					&155\\ \hline
Vanuatu 							&\np{12281}						&4\\ \hline
TOTAL 								&\np{550560}					&180\\ \hline
\end{tabularx}

\vspace{0,5cm}

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-5,0)(5,5)
\psarc(0,0){5}{0}{180}\psline(-5,0)(5,0)
\multido{\n=0+1}{181}{\psline(4.8;\n)(5;\n)}
\multido{\n=0+5}{37}{\psline(4.6;\n)(5;\n)}
\multido{\n=0+10}{19}{\psline(4.4;\n)(5;\n)}
\multido{\n=0+10,\na=90+-10}{10}{\rput{\na}(4.2;\n){\n}}
\multido{\n=90+10,\na=0+10}{9}{\rput{\na}(4.2;\n){\n}}
\psline(5;9)\psline(5;15)\psline(5;21)\psline(5;176)
\rput{4.5}(4;4.5){îles Salomon}\rput{12}(4;12){îles Fidji}
\rput{18}(3;18){Nouvelle Calédonie} \rput{95}(3;95){Papouasie}\rput{178}(4;178){Vanuatu}
\end{pspicture}

\bigskip

\textbf{Annexe 3  Exercice 8 question 1}

\vspace{0,5cm}

\parbox{0.45\linewidth}{Le côté d'un carreau mesure 20 unités.}\hfill
\parbox{0.52\linewidth}{\psset{unit=0.4cm}
\begin{pspicture}(8,7)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1]
\psline[linecolor=blue,linewidth=1.5pt](2,1)(6,1)(6,5)(2,5)
\rput{-180}(2,5){\includegraphics[width=0.4cm]{chat}}
\end{pspicture}}
\end{center}
\end{document}