%!TEX encoding = UTF-8 Unicode
\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{fancybox}
%%% Sujet aimablement fourni par Fabien Pucci
%%% Tapuscrit Denis Vergès
%%% Corrigé Fabien Pucci et François Hache
\usepackage{tabularx}
\usepackage{dcolumn}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{lscape}
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
\usepackage[dvips]{color}
\usepackage{pst-all,pst-eucl}
\usepackage{colortbl}
\usepackage{graphicx}
\usepackage[french]{babel}
\DecimalMathComma
\usepackage[np]{numprint}
\usepackage{multicol}
\usepackage{vmargin}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=4.25cm, bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\newcommand{\barre}[1]{\overline{\,\mathstrut#1\,}}
\setlength\parindent{0mm}
%%%%   Commandes perso FH
\newcommand{\ds}{\displaystyle}	%   displaystyle
\newcommand{\cg}{\texttt{]}}	%   crochet gauche
\newcommand{\cd}{\texttt{[}}	%   crochet droit
\newcommand{\pg}{\geqslant}		%   plus grand ou égal
\newcommand{\pp}{\leqslant}		%   plus petit ou égal
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Corrigé du baccalauréat S},
pdftitle = {Nouvelle-Calédonie 17 novembre 2016 -- },
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH}  
%%% commandes à  placer après hyperref
\renewcommand{\d}{\,\text{d}} % le d de différentiation
\newcommand{\e}{\,\text{e}\,}%    le e de l'exponentielle
\renewcommand{\i}{\text{\,i}}%  le i des complexes
\begin{document}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat S}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie Wallis-et-Futuna}}
\rfoot{\small{17 novembre 2016}}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}

{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat S  Nouvelle-Calédonie~\decofourright\\[10pt]
17 novembre 2016}}
\end{center}

\bigskip

\subsection*{\textsc{Exercice 1}\hfill Commun à  tous les candidats \hfill 4 points}

%\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 4 points}
%
%\textbf{Commun à  tous les candidats}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $\cd  0~;~+\infty\cd$ par
$f(x) = x \e^{- x} - 0,1$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item% Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$.
D'après le cours, on sait que
$\ds\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\e^{x}}{x} = +\infty$;
donc 
$\ds\lim_{x \to +\infty} x \e^{-x} =
\ds\lim_{x \to +\infty} \dfrac{x}{\e^{x}} = 0$
et donc

$\ds\lim_{x \to +\infty} f(x)=-0,1$.

\item% à‰tudier les variations de $f$ sur $[0~;~+ \infty[$ et dresser le tableau de variations.
La fonction $f$ est dérivable sur $\cd  0~;~+ \infty\cd$ et
$f'(x) = 1\times \e^{- x} + x\times (- 1)\e^{- x}-0=(1 - x)\e^{-x}$.

Pour tout $x$, $\e^{-x}>0$ donc $f'(x)$ est du signe de $1-x$ sur $\cd  0~;~ +\infty\cd$.

$f(0)=-0,1$ ; $f(1) = \e^{-1}- 0,1 \approx 0,27>0$

On construit le tableau de variations de $f$:

\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}%  paramètres
\def\esp{2.5cm}% pour modifier la largeur du tableau
\def\hauteur{10pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur
$\begin{array}{|c|*5{c}|}
\hline
x & 0  & \hspace*{\esp} & 1 & \hspace*{\esp} & +\infty \\ 
\hline
1-x &  &   \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{-} & \\ 
\hline
f'(x) &  &   \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{-} & \\ 
\hline
 & &  &   \Rnode{max}{\e^{-1}-0,1}  &  &   \\  
f(x) & &     &  &  &  \rule{0pt}{\hauteur} \\ 
 & \Rnode{min1}{-0,1} &   &  &  &   \Rnode{min2}{-0,1} \rule{0pt}{\hauteur}    
 \ncline{->}{min1}{max} 
 \ncline{->}{max}{min2} 
 \\ 
\hline
\end{array} $
}
\end{center}

\item% Démontrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution notée $\alpha$ sur l'intervalle [0~;~1].
$f(0)=-0,1<0$ et $f(1)\approx 0,27 >0$ ; on complète le tableau de variations

\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}%  paramètres
\def\esp{2.5cm}% pour modifier la largeur du tableau
\def\hauteur{10pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur
$\begin{array}{|c|*5{c}|}
\hline
x & 0  & \hspace*{\esp} & 1 & \hspace*{\esp} & +\infty \\ 
\hline
%1-x &  &   \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{-} & \\ 
%\hline
%f'(x) &  &   \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{-} & \\ 
%\hline
 & &  &   \Rnode{max}{\e^{-1}-0,1}  &  &   \\  
f(x) & &     &  &  &  \rule{0pt}{\hauteur} \\ 
 & \Rnode{min1}{-0,1} &   &  &  &   \Rnode{min2}{-0,1} \rule{0pt}{\hauteur}    
 \ncline{->}{min1}{max} 
 \ncline{->}{max}{min2} 
\rput*(-6.6,0.65){\Rnode{zero}{\blue 0}}
\rput(-6.6,1.7){\Rnode{alpha}{\blue \alpha}}
\ncline[linestyle=dotted, linecolor=blue]{alpha}{zero}
%\rput*(-1.3,0.65){\Rnode{zero2}{\red 0}}
%\rput(-1.3,1.7){\Rnode{beta}{\red \beta}}
%\ncline[linestyle=dotted, linecolor=red]{beta}{zero2} 
 \\ 
\hline
\end{array} $
}
\end{center}

D'après le tableau de variations, l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution sur l'intervalle \cd 0~;~1\cg.

\end{enumerate}

\medskip

On admet l'existence du nombre réel strictement positif $\beta$ tel que $\alpha < \beta$ et $f(\beta) = 0$.

\smallskip

On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ sur l'intervalle $\cd\alpha~;~\beta\cg$ dans un repère orthogonal et $\mathcal{C}'$ la courbe symétrique de $\mathcal{C}$ par rapport à  l'axe des abscisses.

\smallskip

Ces courbes sont utilisées pour délimiter un massif floral en forme de flamme de bougie sur lequel seront plantées des tulipes.

\begin{figure}[!t]
\centering
\psset{xunit=2.5cm,yunit=8cm,comma=true}
\begin{pspicture*}(-0.3,-0.35)(4,0.4)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=10,griddots=10](0,-0.35)(4,0.4)
\psaxes[Dx=0.5,Dy=0.1,linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(0,-0.3)(4,0.4)
\psaxes[Dx=0.5,Dy=0.1,linewidth=1.25pt](0,0)(4,0.4)
\uput[u](3.9,0){$x$}\uput[r](0,0.38){$y$}
\uput[u](1.75,0.2){\blue $\mathcal{C}$} \uput[d](1.75,-0.2){\red $\mathcal{C}'$}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.112}{3.577}{x 2.71828 x exp div 0.1 sub}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0.112}{3.577}{x 2.71828 x exp div 0.1 sub neg}
\end{pspicture*}
\end{figure}

\begin{enumerate}[resume]

\item Soit $F$ la fonction définie sur l'intervalle $\cd\alpha~;~\beta\cg$ par $F(x) = -(x + 1)\e^{- x} - 0,1x$.

La fonction $F$ est dérivable sur $\cd\alpha~;~\beta\cg$ et

$F'(x)= - 1\times \e^{- x} - (x + 1)\times(-1)\e^{- x} - 0,1 
= (- 1 + x + 1)\e^{- x}-0,1 = x \e^{- x} - 0,1 = f(x)$

Donc la fonction $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur $\cd\alpha~;~\beta\cg$. 

\item% Calculer, en unités d'aire, une valeur arrondie à  $0,01$ près de l'aire du domaine compris entre les courbes $\mathcal{C}$ et $\mathcal{C}'$.

%On utilisera les valeurs arrondies à  $0,001$ près suivantes : $\alpha \approx 0,112$ et  $\beta \approx  3,577$.

La fonction $f$ est positive sur $\cd\alpha~;~\beta\cg$ donc l'aire du domaine compris entre la courbe $\mathcal C$, l'axe des abscisses et les deux  droites d'équations $x=\alpha$ et $x=\beta$ est 
$\ds\int_{\alpha}^{\beta} f(x) \d x$.

Pour des raisons de symétrie, l'aire du domaine compris entre les courbes $\mathcal C$ et $\mathcal C'$ est
$\mathcal A = 2\ds\int_{\alpha}^{\beta} f(x) \d x$.

$\mathcal A = 2\times \left[ F(\beta) - F(\alpha)\rule{0pt}{10pt} \right]
\approx 2\times \left[ F(3,577) - F(0,112) \rule{0pt}{10pt}\right]
\approx 1,04$

L'aire du domaine compris entre les deux courbes est approximativement de $1,04$ unité d'aire.

\item 
L'unité sur chaque axe représente 5 mètres, donc une unité d'aire est égale à  25 m$^{2}$.

L'aire du domaine entre les deux courbes est donc approximativement de $1,04 \times 25 = 26$~m$^{2}$.

On peut disposer 36 plants de tulipes par mètre carré donc sur 26~m$^{2}$ on en disposera $26\times 36=936$ plants de tulipes.
\end{enumerate}

\bigskip

\subsection*{\textsc{Exercice 2}\hfill Commun à  tous les candidats \hfill 4 points}

%\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 4 points}
%
%\textbf{Commun à  tous les candidats}

\medskip

La société \og Bonne Mamie \fg{} utilise une machine pour remplir à  la chaà®ne des pots de
confiture. On note $X$ la variable aléatoire qui à  chaque pot de confiture produit associe la
masse de confiture qu'il contient, exprimée en grammes.

Dans le cas où la machine est correctement réglée, on admet que $X$ suit une loi normale de
moyenne $\mu = 125$ et d'écart-type $\sigma$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item La fonction de Gauss est symétrique par rapport à  la droite d'équation $x=\mu$ c'est-à-dire $x=125$. 
		
On a donc, pour tout réel $t$ positif, ${P(X \leqslant 125 - t)} = P(X \geqslant 125 + t)$.
		\item On sait que 2,3\,\% des pots de confiture contiennent moins de 121 grammes de confiture, donc $P(X < 121) = 0,023$.
		
$\begin{aligned}[t]
P(121 \leqslant X \leqslant 129)& = P\left(\overline{(X<121)\cup(X>129)}\right)\\ 
&=1-P(X < 121)-P(X > 129)\\
&=1-P(X \leqslant 121)-P(X \geqslant 129)
\end{aligned}$

les évènements $(X\leqslant 121)$ et $(X\geqslant 129)$ étant incompatibles.

D'après la question précédente, $P(X\leqslant 121) = P(X\leqslant 125-4) = P(X\geqslant 125+4) = P(X\geqslant 129)$; on en déduit :  
$P(121 \leqslant X \leqslant 129)=1-2P(X\leqslant 125-4) = 1 - 2P(X\leqslant 121) = 1 - 0,046 = 0,954$.

\end{enumerate}

\item On cherche une valeur arrondie à  l'unité près de $\sigma$ telle que $P(123 \leqslant X \leqslant 127) = 0,68$.

On se ramène à  la loi normale centrée réduite de $X$ en posant $Z=\dfrac{X-125}\sigma$. 
 
$123 \leqslant X \leqslant 127
\iff
123-125 \leqslant X-125 \leqslant 127-125
\iff
\dfrac{-2}{\sigma} \leqslant \dfrac{X-125}{\sigma} \leqslant \dfrac{2}{\sigma}$
 
On a alors:
$P(123 \leqslant X \leqslant 127) = 0,68 \iff P\left(-\dfrac2\sigma \leqslant Z\leqslant \dfrac2\sigma\right)=0,68$.

à€ la calculatrice, on trouve l'intervalle centré en $0$ correspondant soit $\dfrac2\sigma \approx 0,994$. à€ l'unité près, on prendra donc $\sigma\approx \dfrac2{0,994}\approx 2$ (ce qui est la valeur de $\sigma$ supposée juste après dans l'énoncé!).

\item On estime qu'un pot de confiture est conforme lorsque la masse de confiture qu'il contient est comprise entre $120$ et $130$ grammes.
	\begin{enumerate}
		\item À la calculatrice, la probabilité qu'un pot soit conforme correspond à  $P(120 \leqslant X \leqslant 130) \approx \np{0,9876}$.
		\item La probabilité qu'un pot ne soit pas conforme parmi ceux qui ont une masse de confiture inférieure à  $130$ grammes correspond à  
\begin{align*}
P_{(X\leqslant 130)}\big(\overline{120 \leqslant X \leqslant 130}\big) & =\dfrac{P\big(\overline{(120 \leqslant X \leqslant 130)}\cap (X\leqslant 130)\big)}{P(X\leqslant 130)}\\
& = \dfrac{P(X \leqslant 120)}{P(X\leqslant 130)}\approx \dfrac{0,00621}{0,992379}\\ & \approx 6,1\times 10^{-3}.
\end{align*}
	\end{enumerate}	
\item Comme $900\geqslant 30$, $900\times 0,988\geqslant 5$ et $900\times(1-0,988)\geqslant 5$, les conditions d'application du théorème de Moivre-Laplace sont vérifiées et un intervalle de fluctuation au seuil de $95\,\%$ est: 

\begin{align*}I_{95\%}& =\left[p-1,96\sqrt{\dfrac{p(1-p)}n}\, ; \, p+1,96\sqrt{\dfrac{p(1-p)}n}\right] \\
& =\left[0,988-1,96\sqrt{\dfrac{0,988(1-0,988)}{900}}\, ; \, 0,988+1,96\sqrt{\dfrac{0,988(1 - 0,988)}{900}}\right] \\
& \approx \left[0,980\, ;\, 0,996\right].
\end{align*}

Comme $f_{\text{obs}} = \dfrac{871}{900}\approx 0,968\notin I_{95\%}$, on rejette l'hypothèse \og La machine est bien réglée\fg{} au seuil des $95\%$.
\end{enumerate}

\bigskip

\subsection*{\textsc{Exercice 3}\hfill Commun à  tous les candidats \hfill 4 points}

%\textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 4 points}
%
%\textbf{Commun à  tous les candidats}

\medskip

On se place dans le plan complexe rapporté au repère \Ouv.

Soit $f$ la transformation qui à  tout nombre complexe $z$ non nul associe le nombre complexe $f(z)$ défini par:
$f(z) = z + \dfrac{1}{z}$.

On note $M$ le point d'affixe $z$ et $M'$ le point d'affixe $f(z)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On appelle A le point d'affixe   $a = - \dfrac{\sqrt{2}}{2} + \i\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
	\begin{enumerate}
		\item% Déterminer la forme exponentielle de $a$.
$\left |a\right |^2= \left ( -\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right )^2 + \left ( \dfrac{\sqrt{2}}{2}\right )^2 =\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} = 1$; 
donc $|a|=1$

On cherche le réel $\alpha$ tel que
$\left\lbrace 
\begin{array}{l !{=} r}
\cos\, \alpha & -\dfrac{\sqrt{2}}{2}\\[8pt]
\sin\, \alpha & \dfrac{\sqrt{2}}{2}
\end{array}
\right. $
Donc $\alpha = \dfrac{3\pi}{4} + k2\pi \text{ avec } k \text{ entier relatif}$

La forme exponentielle de $a$ est $\e^{\frac{3\pi}{4}\i}$.
		\item% Déterminer la forme algébrique de $f(a)$.
On sait que, pour tout complexe $z$, $z \overline z = \left | z \right |^2$ donc $a \overline a = \left | a \right |^2 = 1$. 

$f(a)= a+\dfrac{1}{a} = a+ \dfrac{\overline a}{a \overline a}
= a + \overline a = - \dfrac{\sqrt{2}}{2} + \i\dfrac{\sqrt{2}}{2}
+ \left ( - \dfrac{\sqrt{2}}{2} - \i\dfrac{\sqrt{2}}{2} \right )
= - \dfrac{\sqrt{2}}{2} + \i\dfrac{\sqrt{2}}{2}
 - \dfrac{\sqrt{2}}{2} - \i\dfrac{\sqrt{2}}{2}
= -\sqrt{2}$ 

La forme algébrique de $f(a)$ est $-\sqrt{2}$.
	\end{enumerate}
\item On résout, dans l'ensemble des nombres complexes non nuls, l'équation $f(z) = 1$:

$f(z)=1 \iff z+\dfrac{1}{z}=1 
\iff \dfrac{z^2+1}{z} = \dfrac{z}{z}
\iff \dfrac{z^2 -z+1}{z} = 0 \iff z^2 -z+1 = 0$

$\Delta = 1-4 = - 3$ donc l'équation admet deux solutions conjuguées
$z_1 = \dfrac{1}{2} + \i \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ et
$z_2 = \dfrac{1}{2} - \i \dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
\item Soit $M$ un point d'affixe $z$ du cercle $\mathcal C$ de centre O et de rayon 1.
	\begin{enumerate}
		\item% Justifier que l'affixe $z$ peut s'écrire sous la forme $z = \text{e}^{\text{i}\theta}$ avec $\theta$ un nombre réel.
Le nombre complexe $z$ s'écrit sous forme exponentielle: $|z|\e^{\i\theta}$. 

Le point $M(z)$ est sur le cercle de centre O et de rayon 1 donc O$M = 1$ ce qui veut dire que $|z|=1$.

Donc $z$ peut s'écrire sous la forme $\e^{\i\theta}$.
		\item% Montrer que $f(z)$ est un nombre réel.
$f(z)= z+\dfrac{1}{z} 
= \e^{\i\theta} + \dfrac{1}{\e^{\i\theta}} 
= \e^{\i\theta} + \e^{-\i\theta}$

Les deux nombres complexes $\e^{\i\theta}$ et $\e^{-\i\theta}$ sont deux nombres complexes conjugués donc leur somme est un réel (le double de leur partie réelle).

Donc $f(z)$ est un réel.
\end{enumerate}
\item% Décrire et représenter l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ tels que $f(z)$ soit un nombre réel.
On cherche $M(z)$ tel que $f(z)$ soit réel.

Posons $z=x+\i y$:

$f(z) = z + \dfrac{1}{z} = x + \i y + \dfrac{1}{x + \i y}
= x + \i y + \dfrac{x - \i y}{x^2+y^2}
= \dfrac{x\left (x^2+y^2\right ) + \i y\left (x^2 + y^2\right ) + x - \i y}{x^2 + y^2}\\[8pt]
\phantom{f(z)}
= \dfrac{x\left (x^2+y^2+1\right )}{x^2 + y^2} + \i \dfrac{y\left (x^2+y^2-1\right )}{x^2+y^2}$

\medskip

\begin{minipage}{0.6\linewidth}

$f(z)$ est réel si et seulement si sa partie imaginaire est nulle, autrement dit si $y\left (x^2 + y^2 - 1\right ) = 0$.

Ce qui signifie que soit $y = 0$ soit $x^2+y^2-1 = 0$.

\begin{list}{\textbullet}{}
\item $y=0$ veut dire que la partie réelle de $z$ est nulle donc que le point $M$ se trouve sur l'axe des abscisses.  
Mais il ne faut pas oublier de retirer l'origine O du repère car $z$ doit être non nul.
\item $x^2 + y^2 - 1 = 0 \iff x^2 + y^2 = 1$ est l'équation du cercle de centre O et de rayon 1.
\end{list}

L'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ tels que $f(z)$ soit réel est la réunion de l'axe des abscisses privé du point O, et du cercle de centre O et de rayon 1. 

\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.28\linewidth}
\begin{flushright}
\psset{xunit=1cm, yunit=1cm, algebraic}
\def\xmin {-2}   \def\xmax {2}
\def\ymin {-2}   \def\ymax {3}
\begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psgrid[subgriddiv=1, griddots=10, gridlabels=0, gridcolor=black] 
\psaxes[arrowsize=3pt 3, ticksize=-2pt 2pt, labels=none]{->}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)[$x$,-120][$y$,210] 
\psset{linecolor=red,linewidth=2pt}
\pscircle(0,0){1}
\psline(\xmin,0)(\xmax,0)
\psdot[dotstyle=o](0,0)
\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture*}
\end{flushright}
\end{minipage}

\end{enumerate}

\bigskip

\subsection*{\textsc{Exercice 4}\hfill Commun à  tous les candidats \hfill 3 points}

%\textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 3 points}
%
%\textbf{Commun à  tous les candidats}

\medskip

On considère le cube ABCDEFGH représenté ci-dessous.

On définit les points I et J respectivement par $\vect{\text{HI}} = \dfrac{3}{4} \vect{\text{HG}}$ et $\vect{\text{JG}} = \dfrac{1}{4} \vect{\text{CG}}$.

%\begin{center}
%\psset{unit=1cm}
%\begin{pspicture}(8,8.25)
%\psframe(0.5,0.5)(5,5)
%\psline(5,0.5)(7,2.7)(7,7.2)(2.5,7.2)(0.5,5)
%\psline(5,5)(7,7.2)
%\psline[linestyle=dashed](0.5,0.5)(2.5,2.7)(7,2.7)
%\psline[linestyle=dashed](2.5,2.7)(2.5,7.2)
%\uput[ur](2.5,2.7){A} \uput[r](7,2.7){B} \uput[ul](5,0.5){C} 
%\uput[ul](0.5,0.5){D} \uput[ul](2.5,7.2){E} \uput[ur](7,7.2){F} 
%\uput[r](5,5){G} \uput[ul](0.5,5){H} \uput[u](3.875,5){I}
%\psdots(5,0.5)(7,2.7)(7,7.2)(2.5,7.2)(0.5,5)(5,5)(3.875,5)(5,3.875)(2.5,2.7)(0.5,0.5) 
%\uput[r](5,3.875){J} 
%\end{pspicture}
%\end{center}

\begin{enumerate}
\item On trace la section du cube par le plan (IJK):

\begin{center}
\psset{unit=1cm,PointSymbol=none,PointName=default,PtNameMath=false}
\begin{pspicture}(-1,-1)(7,6)
\pstGeonode[PosAngle=85](5.5,5){F}(1.5,5){E}(0,4){H}(4,4){G}
\pstGeonode[PosAngle=-70](0,0){D}(4,0){C}(5.5,1){B}(1.5,1){A}
\pstTranslation[DistCoef=.75,PosAngle=80,PointSymbol=*]{H}{G}{H}[I]
\pstTranslation[DistCoef=.75,PosAngle=10,PointSymbol=*]{C}{G}{C}[J]
\pstTranslation[DistCoef=.3,PosAngle=10,PointSymbol=*]{B}{F}{B}[K]
\psline(G)(H)(E)(F)(G)(C)(B)(F) \psline(C)(D)(H)
\psline[linestyle=dashed](D)(A)(B) \psline[linestyle=dashed](A)(E)
\psset{PointName=none}
\pstInterLL[PointSymbol=x]{J}{K}{F}{G}{M_1}
\pstLineAB[nodesep=-2,linestyle=dotted]{J}{K}
\pstLineAB[nodesep=-2,linestyle=dotted]{G}{F}
\pstInterLL[PointSymbol=x]{I}{M_1}{E}{F}{M_2}
\pstLineAB[nodesep=-2,linestyle=dotted]{I}{M_1}
\psset{linecolor=red,linewidth=1.5pt}
\pspolygon[style=TRed,linestyle=none](K)(J)(I)(M_2)
\psline(K)(J)(I)(M_2)
\psline[linestyle=dashed](M_2)(K)
\end{pspicture}
\end{center}

\item On trace la section du cube par le plan (IJL):

\begin{center}
\psset{unit=.9cm,PointSymbol=none,PointName=default,PtNameMath=false}
\begin{pspicture}(-.5,-1)(6,6)
\pstGeonode[PosAngle=85](1.5,5){E}(0,4){H}
\pstGeonode[PosAngle=-15](4,4){G}
\pstGeonode[PosAngle=40](5.5,5){F}(5.5,1){B}
\pstGeonode[PosAngle=-70](0,0){D}(4,0){C}(1.5,1){A}

\pstTranslation[DistCoef=.75,PosAngle=80,PointSymbol=*]{H}{G}{H}[I]
\pstTranslation[DistCoef=.75,PosAngle=10,PointSymbol=*]{C}{G}{C}[J]
\pstTranslation[DistCoef=.2,PosAngle=10,PointSymbol=*]{B}{F}{F}[L]
\psline(G)(H)(E)(F)(G)(C)(B)(F) \psline(C)(D)(H)
\psline[linestyle=dashed](D)(A)(B) \psline[linestyle=dashed](A)(E)
\pstLineAB[nodesep=-2]{F}{B}

\psset{PointName=none}
\pstInterLL[PointSymbol=x,PointName=M,PosAngle=-30]{J}{L}{G}{F}{M_1}
\pstLineAB[nodesep=-2,linestyle=dotted]{J}{L}
\psset{linecolor=red,linewidth=1.5pt}
\pspolygon[style=TRed,linestyle=none](I)(J)(M_1)
\psline(I)(J)(M_1)(I)
\end{pspicture}
\end{center}

\item On cherche s'il existe un point P de la droite (BF) tel que la section du cube par le plan (IJP) soit un triangle équilatéral.

On regarde la configuration de la question précédente et on se demande s'il n'y a pas une position du point L  sur la droite (BF) telle que les points B, F et L soient dans cet ordre, pour laquelle le triangle IJM serait équilatéral.

Soit K le point de [GF] tel que $\vect{\text{GK}} = \dfrac{1}{4} \vect{\text{GF}}$.

Les trois triangles GIJ, GJK et GIK sont superposables donc 
$\text{IJ} = \text{JK} = \text{KJ}$; le triangle IJK est donc équilatéral.

Soit P le point d'intersection des droites (JK) et (BF).
 
D'après le théorème de Thalès dans les triangles KGJ et KFP, on a
$\dfrac{\text{FP}}{\text{GJ}} = \dfrac{\text{KF}}{\text{KG}}$.

Par construction du point K, on a $\dfrac{\text{KF}}{\text{KG}} = 3$ et on sait que, si on appelle $a$ la longueur d'une arête du cube, $\text{GJ}=\dfrac{a}{4}$; on en déduit que $\text{FP}=\dfrac{3a}{4}$.

Le point P tel que le triangle IJK est équilatéral, est défini par la relation vectorielle 
$\vect{\text{FP}} = \dfrac{3}{4} \vect{\text{BF}}$.


\begin{multicols}{2}

\begin{center}
\psset{unit=.8cm,PointSymbol=none,PointName=default,PtNameMath=false}
\begin{pspicture}(-.5,-1)(4.5,9)
\pstGeonode[PosAngle={-135,-45,0,135}](0,0){C}(4,0){B}(4,4){F}(0,4){G}
\pspolygon(C)(B)(F)(G)
\pstGeonode[PosAngle={180,-60,0}](0,3){J}(1,4){K}(4,7){P}
\pstLineAB[nodesepA=-1]{P}{F}
\pstLineAB[nodesepA=-1,linecolor=red,linewidth=1pt]{P}{J}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{center}
\psset{unit=.8cm,PointSymbol=none,PointName=default,PtNameMath=false}
\begin{pspicture}(-.5,-1)(6,9)
\pstGeonode[PosAngle=85](1.5,5){E}(0,4){H}
\pstGeonode[PosAngle=90](4,4){G}
\pstGeonode[PosAngle=40](5.5,5){F}(5.5,1){B}
\pstGeonode[PosAngle=-70](0,0){D}(4,0){C}(1.5,1){A}
\pstTranslation[DistCoef=.75,PosAngle=135,PointSymbol=*]{H}{G}{H}[I]
\pstTranslation[DistCoef=.75,PosAngle=-135,PointSymbol=*]{C}{G}{C}[J]
\pstTranslation[DistCoef=.75,PosAngle=0,PointSymbol=*]{B}{F}{F}[P]
\psline(G)(H)(E)(F)(G)(C)(B)(F) \psline(C)(D)(H)
\psline[linestyle=dashed](D)(A)(B) \psline[linestyle=dashed](A)(E)
\pstLineAB[nodesepA=-4,nodesepB=-1]{F}{B}
%\psset{PointName=none}
\pstInterLL[PointSymbol=x,PosAngle=-30]{J}{P}{G}{F}{K}
\pstLineAB[nodesep=-2,linestyle=dotted]{J}{L}
\psset{linecolor=red,linewidth=1.5pt}
\pspolygon[style=TRed,linestyle=none](I)(J)(K)
\psline(I)(J)(K)(I)
\psline(J)(P)
\psset{linewidth=1pt,SegmentSymbol=pstslashh}
\pstSegmentMark{I}{J}
\pstSegmentMark{I}{K}
\pstSegmentMark{K}{J}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{multicols}
%
\end{enumerate}

\bigskip

\subsection*{\textsc{Exercice 5}\hfill Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité \hfill 5 points}

%\textbf{\textsc{Exercice 5}\hfill 5 points}
%
%\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Un apiculteur étudie l'évolution de sa population d'abeilles. Au début de son étude, il évalue à  \np{10000} le nombre de ses abeilles.

Chaque année, l'apiculteur observe qu'il perd 20\,\% des abeilles de l'année précédente.

Il achète un nombre identique de nouvelles abeilles chaque année. On notera $c$ ce nombre
exprimé en dizaines de milliers.

On note $u_0$ le nombre d'abeilles, en dizaines de milliers, de cet apiculteur au début de l'étude.

Pour tout entier naturel $n$ non nul, $u_n$ désigne le nombre d'abeilles, en dizaines de milliers, au bout de la $n$-ième année. Ainsi, on a
$u_0 = 1\quad  \text{et, pour tout entier naturel }\:n,\: u_{n+1} = 0,8u_n + c$.

\subsubsection*{Partie A}

\medskip

On suppose dans cette partie seulement que $c = 1$, donc pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = 0,8 u_n +1$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item% Conjecturer la monotonie et la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
On calcule, à  la calculatrice, $u_n$ pour les premières valeurs de $n$ (valeurs de $u_n$ arrondies):

\begin{center}
\newcommand{\ca}{\centering\arraybackslash}
\begin{tabular}{|*{11}{>{\ca}p{0.8cm}|}}
\hline
$n$  &0 &1 	&2 		&3 		&4 		&5 		&6 		&7 		&8 		& \dots\\\hline
$u_n$&1 &1,8&2,44 	&2,95 	&3,36 	&3,69 	&3,95 	&4,16 	&4,33	& \dots \\\hline
\end{tabular}
\end{center}
\begin{center}
\newcommand{\ca}{\centering\arraybackslash}
\begin{tabular}{|*{11}{>{\ca}p{0.8cm}|}}\hline
$n$   &\dots &20 	& 21 	& 22 	& 23 	& 24 	& 25 	& 26 	& 27 	& 28 \\\hline
$u_n$ &\dots &4,95 	&4,96 	&4,97 	&4,976  &4,981  &4,985  &4,988  &4,990  &4,992  \\\hline
\end{tabular}
\end{center}

La suite $\left(u_n\right)$ semble croissante et semble converger vers le nombre 5.

\item% Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n,\: u_n = 5 - 4 \times 0,8^n$.
Soit $\mathcal P_n$ la propriété $u_n = 5 - 4 \times 0,8^n$.

\begin{list}{\textbullet}{}
\item \textbf{Initialisation}

Pour $n = 0$, $u_0 = 1$ et $5 - 4\times 0,8^{0} = 5 - 4 = 1$.
Donc la propriété $\mathcal P_0$ est vérifiée.
\item \textbf{Hérédité}

Soit $n$ un entier naturel quelconque.

On suppose que la propriété est vraie pour le rang $n$ c'est-à -dire $u_n=5-4\times 0,8^n$ (c'est l'hypothèse de récurrence), et on veut démontrer qu'elle est encore vraie pour le rang $n+1$.

$u_{n+1} = 0,8 u_n +1$. Or, d'après l'hypothèse de récurrence $u_n=5-4\times 0,8^{n}$; donc:

$u_{n+1} = 0,8 \left ( 5 - 4\times 0,8^n \right ) +1 
= 0,8\times 5 - 4 \times 0,8^{n+1} +1
= 4 - 4 \times 0,8^{n+1} +1
= 5 - 4 \times 0,8^{n+1}$

Donc la propriété est vraie au rang $n+1$.

On a démontré que, pour tout entier naturel $n$, $\mathcal P_{n} \implies \mathcal P_{n+1}$.

La propriété $\mathcal P_n$ est donc héréditaire pour tout $n$.
\item \textbf{Conclusion}

La propriété est vraie pour $n = 0$. 

Elle est héréditaire à  partir du rang 0. 

Donc, d'après le principe de récurrence, la propriété est vraie pour tout entier naturel $n$.
\end{list}

On a donc démontré que, pour tout entier naturel $n$, $u_n=5 - 4\times 0,8^n$.

\item% Vérifier les deux conjectures établies à  la question 1. en justifiant votre réponse.

\begin{list}{\textbullet}{}
\item
$u_{n+1}-u_n=\left ( 5-4\times 0,8^{n+1}\right ) - \left ( 5-4\times 0,8^{n}\right )= 5-4\times 0,8^{n+1} - 5+4\times 0,8^{n}
= 4\times 0,8^n \left (1-0,8\right )\\
\phantom{u_{n+1}-u_n}
= 4\times 0,8^n \times 0,2 >0$

Pour tout $n$, on a démontré que $u_{n+1} > u_n$ donc la suite $(u_n)$ est croissante.

\item $-1<0,8 < 1$ donc la suite géométrique $(0,8^n)$ de raison 0,8 converge vers 0.

$\ds\lim_{n \to +\infty} 0,8^n=0
\implies \ds\lim_{n \to +\infty} 4\times 0,8^n=0
\implies \ds\lim_{n \to +\infty} 5-4\times 0,8^n=5$

Donc la suite $(u_n)$ est convergente vers 5.

\end{list}

On peut donc dire que si l'apiculteur rachète chaque année \np{10000} abeilles, le nombre d'abeilles va augmenter chaque année et va tendre vers \np{50000}.

%Interpréter ces deux résultats.
\end{enumerate}

\bigskip

\subsubsection*{Partie B}

\medskip

L'apiculteur souhaite que le nombre d'abeilles tende vers \np{100000}.

On cherche à  déterminer la valeur de $c$ qui permet d'atteindre cet objectif.

On définit la suite $\left(v_n\right)$ par, pour tout entier naturel $n$, $v_n = u_n - 5c$; donc, pour tout $n$, $u_n=v_n+5c$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item% Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
\begin{list}{\textbullet}{}
\item $v_{n+1} = u_{n+1} - 5c = 0,8u_n +c -5c = 0,8\left (v_n+5c\right )-4c = 0,8v_n +4c-4c = 0,8v_n$
\item $v_0= u_0 - 5c = 1-5c$
\end{list}

La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $q=0,8$ et de premier terme $v_0=1-5c$.

\item% En déduire une expression du terme général de la suite $\left(v_n\right)$en fonction de $n$.
La suite $\left(v_n\right)$ est géométrique de raison $q = 0,8$ et de premier terme $v_0 = 1-5c$ donc, pour tout $n$, 

\hfill{}$v_n=v_0\times q^n = \left (1-5c\right )0,8^n$.\hfill{}

\item% Déterminer la valeur de $c$ pour que l'apiculteur atteigne son objectif.
La suite $(v_n)$ est géométrique de raison 0,8 ; or $-1< 0,8 <1$ donc la suite $(v_n)$ est convergente et a pour limite $0$.

Pour tout $n$, $u_n=v_n+5c$ donc la suite $\left(u_n\right)$ est convergente et a pour limite $5c$.

L'apiculteur veut que le nombre d'abeilles tende vers \np{100000}; il faut donc que $5c=\np{10}$, autrement dit que $c=2$.

Pour que le nombre d'abeilles tende vers \np{100000}, il faut que l'apiculteur rachète chaque année \np{20000} abeilles.
\end{enumerate}

\bigskip

\subsection*{\textsc{Exercice 5}\hfill Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité \hfill 5 points}

%\textbf{\textsc{Exercice 5}\hfill 5 points}
%
%\textbf{Candidats avant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

On observe la taille d'une colonie de fourmis tous les jours.

Pour tout entier naturel $n$ non nul, on note $u_n$ le nombre de fourmis, exprimé en milliers dans cette population au bout du $n$-ième jour.

Au début de l'étude la colonie compte \np{5000} fourmis et au bout d'un jour elle compte \np{5100} fourmis. Ainsi, on a $u_0 = 5$ et $u_1 = 5,1$.

On suppose que l'accroissement de la taille de la colonie d'un jour sur l'autre diminue de 10\,\% chaque jour.

En d'autres termes. pour tout entier naturel $n$,
$u_{n+2} - u_{n+1} = 0,9\left(u_{n+1} - u_n\right)$.

%		
%Pour tout entier naturel $n$, on admet que
%		
%\[A^n = \begin{pmatrix}-10 \times  0,9^{n+1} + 10& 10 \times  0,9^{n+1} - 9\\
%- 10 \times 0,9^n + 10& 10 \times  0,9^n - 9\end{pmatrix}.\]
%		
%		\item En déduire que, pour tout entier naturel $n$,\: $u_n = 6 - 0,9^n$.
%
%	\end{enumerate}
%
%\item Calculer la taille de la colonie au bout du 10\up{e} jour. On arrondira le résultat à  une fourmi près.
%
%\item Calculer la limite de la suite $\left(u_n\right)$. Interpréter ce résultat dans le contexte.
%
%\end{enumerate}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
D'après le texte, $u_2-u_1 = 0,9\left (u_1-u_0\right )$ donc

$u_2 = 0,9\left ( 5,1 - 5\right ) + 5,1 = 0,9\times 0,1 + 5,1 = 0,09+5,1 = 5,19$
\item 
Pour tout entier naturel $n$, on pose 
$V_n = \begin{pmatrix}u_{n+1}\\u_n\end{pmatrix}$ et 
$A = \begin{pmatrix}1,9& -0,9\\1& 0\end{pmatrix}$.
	\begin{enumerate}
		\item 
$u_{n+2} - u_{n+1} = 0,9\left(u_{n+1} - u_n\right)
\iff
u_{n+2} = 0,9\,u_{n+1} - 0,9\,u_n + u_{n+1}
\iff
u_{n+2} = 1,9\,u_{n+1} - 0,9\,u_n$ 		
		
On a :
$\left\{\begin{array}{rcccc} u_{n+2} &=& 1,9u_{n+1}&-&0,9u_n \\ u_{n+1}&=& u_{n+1}&+&0\times u_n\end{array}\right.$, système qui s'écrit sous la forme matricielle: 

$\begin{pmatrix}u_{n+2} \\ u_{n+1}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1,9 & -0.9\\ 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} u_{n+1} \\ u_n \end{pmatrix}\iff V_{n+1}=AV_n,$
avec $A =	\begin{pmatrix} 1,9 & -0.9\\ 1 & 0 \end{pmatrix}$.

On admet alors que, pour tout entier naturel $n,\: V_n = A^nV_0$.
		\item 
On pose $P =  \begin{pmatrix}0,9&1\\1&1\end{pmatrix}$. On admet que la matrice $P$ est inversible.				
Avec la calculatrice, on trouve $P^{-1} = \begin{pmatrix} -10 & 10\\ 10 & -9 \end{pmatrix}$.

$P^{-1}A = 
\begin{pmatrix}-10&10\\10&-9\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}1,9&-0,9\\1&0\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix} -10\times 1,9+10\times 1 & -10\times (-0,9)+10\times 0\\
10\times 1,9 -9\times 1 & 10\times (-0,9) -9\times 0
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
-9 & 9 \\ 10 & -9
\end{pmatrix}
$

$P^{-1}AP =
\begin{pmatrix} -9 & 9 \\ 10 & -9 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix}0,9&1\\1&1\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix} 
-9\times 0,9 + 9\times 1 & -9\times 1 + 9\times 1\\
10\times 0,9 - 9\times 1 & 10\times 1 - 9\times 1
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix} 0,9 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

%Par associativité du produit matriciel, on calcule $P^{-1}A=\begin{pmatrix} -9 & 9\\ 10 & -9 \end{pmatrix}$ puis $\big(P^{-1}A\big)P=\begin{pmatrix} 0,9 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

Donc $D = \begin{pmatrix} 0,9 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

		\item
Soit $\mathcal P_n$ la propriété $A^n = PD^nP^{-1}$.


\begin{list}{\textbullet}{}
\item \textbf{Initialisation}

On appelle $I_2$ la matrice identité d'ordre 2:
$I_2=
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\ 0 & 1
\end{pmatrix}$.

$A^0=I_2$ et
$D^0=I_2$ donc $PD^0P^{-1}=PI_2P^{-1}=PP^{-1}=I_2$

Donc la propriété $\mathcal P_0$ est vérifiée.
\item \textbf{Hérédité}

Soit $n$ un entier naturel quelconque; supposons que la propriété est vraie au rang $n$, c'est-à -dire que $A^n = PD^nP^{-1}$ (hypothèse de récurrence).

On veut démontrer que la propriété est vraie au rang $n+1$.

$A^{n+1} = A\times A^n = \big(PDP^{-1}\big)\big(PD^nP^{-1}\big) = PD\big(P^{-1}P\big)D^nP^{-1} = PD^{n+1}P^{-1}$ 

La propriété est donc vraie au rang $n + 1$.

On a démontré que, pour tout $n$, $P_{n} \implies P_{n+1}$.

La propriété est donc héréditaire à  partir du rang 0.

\item \textbf{Conclusion}

La propriété est vraie au rang 0 ; elle est héréditaire à  partir du rang 0, donc, d'après le principe de récurrence, elle est vraie pour tout entier naturel $n$.

\end{list}		

On a donc démontré que, pour tout entier naturel $n$, $A^n = PD^nP^{-1}$.

\smallskip

Pour tout entier naturel $n$, on admet que
$A^n = 
\begin{pmatrix}-10 \times  0,9^{n+1} + 10& 10 \times  0,9^{n+1} - 9\\
- 10 \times 0,9^n + 10& 10 \times  0,9^n - 9\end{pmatrix}$.		
		\item Pour tout entier $n$, on a $V^n = A^n V_0$ c'est-à -dire $\begin{pmatrix}u_{n+1} \\ u_{n}\end{pmatrix}=A^n\begin{pmatrix}u_{1} \\ u_{0}\end{pmatrix}$. 
		
$\text{D'où : } u_n
= \big(-10\times 0,9^{n}+10\big)\times u_1 + \big(10\times 0,9^{n}-9\big)\times u_0 \\
\phantom{\text{D'où : } u_n}
= \big(-10\times 0,9^{n}+10\big)\times 5,1 + \big(10\times 0,9^{n}-9\big)\times 5\\
\phantom{\text{D'où : } u_n}
= -52\times 0,9^n + 51 + 50\times 0,9^n - 45\\
\phantom{\text{D'où : } u_n}
= 6 - 0,9^n$
	\end{enumerate}
\item La taille de la colonie au bout du 10\ieme{} jour est $u_{10}=6-0,9^{10}\approx 5,651$. 

Au bout du dixième jour, il y aura donc environ \np{5651} fourmis.
\item Comme $0<0,9<1$, $\ds\lim_{n\to+\infty} 0,9^n = 0$. 

D'après les théorèmes sur les sommes de limite de suites, la suite $(u_n)$ converge donc vers $6$.

Le nombre de fourmis dans la colonie tendra $\np{6000}$ individus.
\end{enumerate}
\end{document}