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%Merci pour le sujet à Sébastien Dibos
%Corrigé : François Hache
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\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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pdfsubject = {Baccalauréat spécialité - corrigé},
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat spécialité Jour 2}
\lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie - corrigé}}
\rfoot{\small{29 août 2023}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du Baccalauréat Nouvelle-Calédonie~\decofourright\\[7pt] ÉPREUVE D'ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ -  29 août 2023 Jour 2}}

%\bigskip
%
%Durée de l'épreuve : \textbf{4 heures}
%
%\medskip
%
%L'usage de la calculatrice avec mode examen actif est autorisé
%
%\medskip
%
%Le sujet propose 4 exercices

\end{center}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 1} \quad 5 points\hfill}

\medskip

\begin{minipage}{6.7cm}On considère le cube ABCDEFGH d'arête 1 représenté ci-contre.

On note K le milieu du segment [HG].

On se place dans le repère orthonormé $\left(\text{A}~;~\vect{\text{AD}},~\vect{\text{AB}}, \vect{\text{AE}}\right)$.

%\smallskip

%\begin{enumerate}
%\item Justifier que les points C, F et K définissent un plan.
%\item 
%	\begin{enumerate}
%		\item Donner, sans justifier, les longueurs KG, GF et GC.
%		\item Calculer l'aire du triangle FGC.
%		\item Calculer le volume du tétraèdre FGCK.
%	\end{enumerate}
%\end{enumerate}	
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{5cm}
\scalebox{0.8}{
\psset{unit=0.75cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(-2.8,-2.4)(5,5.3)
\psline[linestyle=dashed](3,0)(0,0)(0,3)
\psline[linestyle=dashed](-1.3,-1.3)
\psline[linewidth=1.25pt](3,0)(5,0)
\psline[linewidth=1.25pt](0,3)(0,5.3)
\psline[linewidth=1.25pt](-1.3,-1.3)(-2.8,-2.8)
\psframe[linewidth=1.25pt](-1.3,-1.3)(1.7,1.7)
\psline[linewidth=1.25pt](1.7,-1.3)(3,0)(3,3)(1.7,1.7)
\psline[linewidth=1.25pt](3,3)(0,3)(-1.3,1.7)
\uput[ur](0,0){A} \uput[dr](3,0){B} \uput[dr](1.7,-1.3){C} \uput[dr](-1.3,-1.3){D}
\uput[ul](0,3){E} \uput[ur](3,3){F} \uput[ul](1.7,1.7){G} \uput[ul](-1.3,1.7){H}
\uput[ul](-2.8,-2.8){$x$} \uput[u](5,0){$y$} \uput[r](0,5.3){$z$}
\psdots(0,0)(3,0)(1.7,-1.3)(-1.3,-1.3)(0,3)(3,3)(1.7,1.7)(-1.3,1.7)(0.2,1.7)
\uput[70](0.2,1.7){K}
\end{pspicture}
}
\end{minipage}

%\smallskip
%	
%On rappelle que le volume $V$ d'un tétraèdre est donné par:
%\[V = \dfrac13\mathcal{B} \times h,\]
%où $\mathcal{B}$ est l'aire d'une base et $h$ la hauteur correspondante.

\bigskip

\begin{enumerate}
\item Les points C, F et K définissent un plan si et seulement si ils ne sont pas alignés. 

%Les points C et K sont dans le plan (CDH) et le point F n'est pas dans le plan (CDH); donc les points C, F et K ne sont pas alignés et ils définissent donc un plan.

\begin{list}{\textbullet}{}
\item $\vectt{AC}=\vectt{AD}+\vectt{AB}$ donc le point C a pour coordonnées
$\begin{pmatrix}
1 \\ 1 \\ 0
\end{pmatrix}$.

\item $\vectt{AF}=\vectt{AB}+\vectt{AE}$ donc le point F a pour coordonnées
$\begin{pmatrix}
0 \\ 1 \\ 1 
\end{pmatrix}$.

\item $\vectt{AH}=\vectt{AD}+\vectt{AE}$ donc le point H a pour coordonnées
$\begin{pmatrix}
1 \\ 0 \\ 1 
\end{pmatrix}$.

$\vectt{AG}=\vectt{AD}+\vectt{AB}+\vectt{AE}$ donc le point G a pour coordonnées
$\begin{pmatrix}
1 \\ 1 \\ 1 
\end{pmatrix}$.

K est le milieu de [HG] donc il a pour coordonnées
$\begin{pmatrix}
\frac{x_{\text H}+x_{\text G}}{2} \\[4pt] \frac{y_{\text H}+y_{\text G}}{2} \\[4pt] \frac{z_{\text H}+z_{\text G}}{2} 
\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}
\frac{1+1}{2} \\[4pt] \frac{0+1}{2} \\[4pt] \frac{1+1}{2} 
\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}
1 \\[4pt] \frac{1}{2} \\[4pt] 1 
\end{pmatrix}$.
\end{list}

$\vectt{CF}$ et $\vectt{CK}$ ont pour coordonnées respectives
$\begin{pmatrix}
x_{\text F}-x_{\text C} \\ y_{\text F}-y_{\text C} \\ z_{\text F}-z_{\text C} 
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
-1 \\ 0 \\ 1
\end{pmatrix}$
et
$\begin{pmatrix}
x_{\text K}-x_{\text C} \\ y_{\text K}-y_{\text C} \\ z_{\text K}-z_{\text C} 
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0 \\ -\frac{1}{2} \\ 1
\end{pmatrix}$.

Donc les vecteurs $\vectt{CF}$ et $\vectt{CK}$ ne sont pas colinéaires donc les points C, F et K ne sont pas alignés, et donc ces trois points définissent un plan.

\item 
	\begin{enumerate}
		\item $\text{KG}=\frac{1}{2}$, $\text{GF}=1$ et $\text{GC}=1$.
		\item Le triangle FGC est rectangle en G donc son aire vaut en unités d'aire:\\
		$\mathcal{A}=\dfrac{\text{GF}\times\text{GC}}{2}=\dfrac{1}{2}$.
		\item Le tétraèdre FGCK a pour base le triangle FGC et pour hauteur KG donc son volume vaut, en unité de volume:	
		$\dfrac{1}{3}\times \mathcal{A}\times \text{KG}=\dfrac{1}{3}\times \dfrac{1}{2}\times\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{12}$.
	\end{enumerate}

\item 
	\begin{enumerate}
		\item On note $\vect{n}$ le vecteur de coordonnées $\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}$.
		
%Démontrer que $\vect{n}$ est normal au plan (CFK).

\begin{list}{\textbullet}{}
\item $\vect{n}\cdot\vectt{CF}=1\times (-1) + 2\times 0 + 1\times 1 = 0$ donc $\vect{n}\perp\vectt{CF}$.
\item $\vect{n}\cdot\vectt{CK}=1\times 0 + 2\times (-\frac{1}{2}) + 1\times 1 = 0$ donc $\vect{n}\perp\vectt{CK}$.
\end{list}

Le vecteur $\vect{n}$ est donc orthogonal à deux vecteurs directeurs du plan (CFK) donc c'est un vecteur normal au plan (CFK).

		\item  %En déduire qu'une équation cartésienne du plan (CFK) est: $x + 2y + z - 3 = 0.$
Le plan (CFK) est l'ensemble des points M de coordonnées
$\begin{pmatrix}
x \\ y \\ z
\end{pmatrix}$
tels que $\vectt{CM}$ et $\vect{n}$ soient orthogonaux, c'est-à-dire tels que $\vectt{CM}\cdot\vect{n}=0$.

$\vectt{CM}$ a pour coordonnées 
$\begin{pmatrix}
x-1 \\ y-1 \\ z
\end{pmatrix}$.

$\vectt{CM}\cdot\vect{n}=0
\iff
(x-1)\times 1 + (y-1)\times 2 + z\times 1=0\\
\phantom{\vectt{CM}\cdot\vectt{n}=0}
\iff
x-1+2y-2+z=0
\iff
x+2y+z-3=0$

Le plan (CFK) a donc pour équation cartésienne $x+2y+z-3=0$.

	\end{enumerate}
	
\item On note $\Delta$ la droite passant par le point G et orthogonale au plan (CFK). 

%Démontrer qu'une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ est:
%\[\left\{\begin{array}{l c l}
%x&=&1 + t\\
%y&=&1 + 2t\\
%z&=&1 + t
%\end{array}\right. \quad  (t \in \R))\]

La droite $\Delta$ est orthogonale au plan (CFK) donc elle a $\vect{n}$ pour vecteur directeur.
De plus, elle passe par le point G de coordonnées
$\begin{pmatrix}
1 \\ 1 \\ 1
\end{pmatrix}$.
Donc la droite $\Delta$ est l'ensemble des points M de coordonnées
$\begin{pmatrix}
x \\ y \\ z
\end{pmatrix}$
tels que $\vectt{GM}$ et $\vect{n}$ soient colinéaires, autrement dit tels que $\vectt{GM}=t\cdot\vect{n}$ où $t\in\R$.

$\vectt{GM}$ a pour coordonnées 
$\begin{pmatrix}
x-1 \\ y-1 \\ z-1
\end{pmatrix}$.

$\vectt{GM}=t\cdot\vect{n}
\iff
\left \{
\begin{array}{l !{=} l}
x-1 & t\times 1\\
y-1 & t\times 2\\
z-1 & t\times 1
\end{array}
\right .
\iff
\left \{
\begin{array}{l !{=} l}
x & 1+t\\
y & 1+2t\\
z & 1+t
\end{array}
\right .$

Donc la droite $\Delta$ a pour représentation paramétrique:
$\left\{\begin{array}{l !{=} l}
x&1 + t\\
y&1 + 2t\\
z&1 + t
\end{array}
\right. \quad  (t \in \R)$.

\item Soit L le point d'intersection entre la droite $\Delta$ et le plan (CFK).
	\begin{enumerate}
		\item Les coordonnées
$\begin{pmatrix}
x \\ y \\ z
\end{pmatrix}$
du point L sont solutions du système
$\left \{
\begin{array}{r !{=} l}
x&1 + t\\
y & 1 + 2t\\
z & 1 + t\\
x+2y+z-3 & 0
\end{array}
\right .$.

On a donc: $(1+t)+2(1+2t) +(1+t)-3=0$ soit $1+t+2+4t+1+t-3=0$, ou encore $6t+1=0$, soit $t=-\frac{1}{6}$.

Le point L a donc pour coordonnées:
$\left \{
\begin{array}{r !{=} l !{=} l !{=} l}
x&1 + t & 1 -\frac{1}{6} & \frac{5}{6}\\[4pt]
y&1 + 2t & 1 - \frac{2}{6} & \frac{2}{3}\\[4pt]
z&1 + t & 1 -\frac{1}{6} & \frac{5}{6}
\end{array}
\right .$

		\item %En déduire que LG $= \dfrac{\sqrt 6}{6}$.
$\text{LG}
= \ds\sqrt{\left (x_{\text G} - x_{\text L}\right )^2 + \left (y_{\text G} - y_{\text L}\right )^2 + \left (z_{\text G} - z_{\text L}\right )^2}
= \ds\sqrt{\left (1 -\frac{5}{6}\right )^2 + \left (1-\frac{2}{3}\right )^2 + \left (1-\frac{5}{6}\right )^2}\\
\phantom{\text{LG}}
=\ds\sqrt{\frac{1}{36} + \frac{1}{9} + \frac{1}{36}}
= \ds\sqrt{\frac{6}{36}}
= \frac{\sqrt{6}}{6}
$

\end{enumerate}	
	
\item %En utilisant la question 2., déterminer la valeur exacte de l'aire du triangle CFK.
Le tétraèdre FGCK a pour base le triangle CFK d'aire $\mathcal{B}$, et pour hauteur LG.

Son volume vaut donc: 
$\dfrac{1}{3}\times \mathcal{B}\times \text{LG}$.
Ce volume vaut $\dfrac{1}{12}$ donc on a:

$\dfrac{1}{12}=\dfrac{1}{3}\times \mathcal{B} \times \dfrac{\sqrt{6}}{6}$
donc
$\dfrac{1}{12} = \dfrac{\sqrt{6}}{18}\times \mathcal{B}$
donc
$\dfrac{18}{12\sqrt{6}}=\mathcal{B}$
donc
$\mathcal{B}= \dfrac{\sqrt{6}}{4}$. 

L'aire du triangle CFK est, en unité d'aire: $\dfrac{\sqrt{6}}{4}$.

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2} \quad 5 points\hfill}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur $[0~;~ +\infty[$ par: $f(x) = x\e^{-x}$.
%
%On note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé du plan.
%
%On admet que $f$ est deux fois dérivable sur $[0~;~ +\infty[$.
%
%On note $f'$ sa dérivée et $f''$ sa dérivée seconde.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item 
%En remarquant que pour tout $x$ dans $[0~;~ +\infty[$, on a 
%\[f(x) = \dfrac{x}{\e^x}.\]
%démontrer que la courbe $\mathcal{C}_f$ possède une asymptote en $+ \infty$ dont on donnera une équation.
$f(x)=x \e^{-x}=\dfrac{x}{\e^{x}}$.
Or $\ds\lim_{x\to +\infty} \dfrac{\e^{x}}{x}=+\infty$; 
donc $\ds\lim_{x\to +\infty} \dfrac{x}{\e^{x}} =0$ et donc  $\ds\lim_{x\to +\infty} f(x)=0$.

On en déduit que la courbe $\mathcal{C}_f$ possède une asymptote en $+ \infty$ d'équation $y=0$; c'est l'axe des abscisses.

\item Pour tout réel $x$ appartenant à $[0~;~ +\infty[$:
$f'(x)=1\times \e^{-x}+x\times (-1)\e^{-x}=(1-x)\e^{-x}$.

\item %Dresser le tableau de variations de $f$ sur $[0~;~ +\infty[$ , sur lequel on fera figurer les valeurs aux bornes ainsi que la valeur exacte de l'extremum.

Pour tout réel $x$, $\e^{-x}>0$ donc $f'(x)$ est du signe de $(1-x)$ sur $[0~;~ +\infty[$.

On étudie le signe de $f'(x)$ sur $[0~;~ +\infty[$.

\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\def\esp{\hspace*{3cm}}
$\begin{array}{|c | *{5}{c} |} 
\hline
x  & 0 & \esp & 1 & \esp  & +\infty \\
\hline
1-x &  & \pmb{+} &  \vline\hspace{-2.7pt}{0} & \pmb{-} &   \\
\hline
\e^{-x} &  & \pmb{+} &  \vline\hspace{-2.7pt}{\phantom 0} & \pmb{+} &   \\
\hline
f'(x) &  & \pmb{+} &  \vline\hspace{-2.7pt}{0} & \pmb{-} &   \\
\hline
\end{array}$
}
\end{center}

$f(0)=0$; $f(1)=\e^{-1}$ et $\ds\lim_{x\to +\infty} f(x)=0$.\\
On dresse le tableau de variations de $f$ sur  $[0~;~ +\infty[$:

\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}%  paramètres
\def\esp{\hspace*{2.5cm}}% pour modifier la largeur du tableau
\def\hauteur{0pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur
$\begin{array}{|c|*5{c}|}
\hline
x & 0  & \esp & 1 & \esp & +\infty \\ 
\hline
f'(x) &  &   \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{-} & \\ 
\hline
 & &  &   \Rnode{max}{\e^{-1}}  &  &   \\  
f(x) & &     &  &  &  \rule{0pt}{\hauteur} \\ 
 & \Rnode{min1}{0} &   &  &  &   \Rnode{min2}{0} \rule{0pt}{\hauteur}    
 \ncline{->}{min1}{max} 
 \ncline{->}{max}{min2} 
 \\ 
\hline
\end{array} $
}
\end{center}	

\item %Déterminer, sur l'intervalle $[0~;~ +\infty[$, le nombre de solutions de l'équation  $f(x) = \dfrac{367}{\np{1000}}$.
$\e^{-1}\approx 0,369>\frac{367}{\np{1000}}$

\begin{list}{\textbullet}{}
\item Sur l'intervalle $[0\;;\;1]$, la fonction $f$ est continue et strictement croissante; elle va de $0$ à $\e^{-1}>0,367$. Donc d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $f(x)=0,367$ admet une solution unique sur cet intervalle.
\item Sur l'intervalle $[1\;;\;+\infty[$, la fonction $f$ est continue et strictement décroissante; elle va de $\e^{-1}>0,367$ à $0$. Donc d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $f(x)=0,367$ admet une solution unique sur cet intervalle.
\end{list}

L'équation $f(x) = \frac{367}{\np{1000}}$ admet donc deux solutions sur l'intervalle $[0~;~ +\infty[$.

\item On admet que pour tout $x$ appartenant à $[0~;~ +\infty[$ : 
$f''(x) = \e^{-x}(x - 2)$.

Pour étudier  la convexité de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~ +\infty[$, on étudie le signe de $f''(x)$.

\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\def\esp{\hspace*{3cm}}
$\begin{array}{|c | *{5}{c} |} 
\hline
x  & 0 & \esp & 2 & \esp  & +\infty \\
\hline
x-2 &  & \pmb{-} &  \vline\hspace{-2.7pt}{0} & \pmb{+} &   \\
\hline
\e^{-x} &  & \pmb{+} &  \vline\hspace{-2.7pt}{\phantom 0} & \pmb{+} &   \\
\hline
f''(x) &  & \pmb{-} &  \vline\hspace{-2.7pt}{0} & \pmb{+} &   \\
\hline
 &  & f \text{ est concave} &  \vline\hspace{-2.7pt}{\phantom 0} & f \text{ est convexe} &   \\
\hline
\end{array}$
}
\end{center}

On peut même préciser que la courbe admet le point d'abscisse 2 comme point d'inflexion.

\begin{minipage}{6cm}
\item Soit $a$ un réel appartenant à $[0~;~ +\infty[$ et A le
point de la courbe $\mathcal{C}_f$ d'abscisse $a$.

On note $T_a$ la tangente à $\mathcal{C}_f$ en A.

On note H$_a$ le point d'intersection de la droite $T_a$ et de l'axe des ordonnées.

On note $g(a)$ l'ordonnée de H$_a$.

La situation est représentée sur la figure ci-contre.
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{7cm}
\psset{xunit=1cm,yunit=8cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(-1,-0.1)(6,0.5)
\psaxes[linewidth=1.15pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(-1,0)(6,0.5)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0}{6}{x 2.71828 x exp div}
\uput[u](4,0.073){\red $\mathcal{C}_f$}
\psplotTangent{0.75}{1.25}{x 2.71828 x exp div}
\uput[u](0.75,0.354){A}
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1.3pt](0.75,0)(0.75,0.354)
\psline[linewidth=0.8pt]{->}(-0.3,0)(-0.3,0.265)
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1.3pt](0,0.265)(-0.3,0.265)
\uput[l](-0.3,0.1325){$g(a)$}
\uput[ul](0,0.265){H$_a$}
\uput[d](0.75,0){$a$}\uput[u](2,0.4){$T_a$}
\end{pspicture}
\end{minipage}

	\begin{enumerate}
		\item %Démontrer qu'une équation réduite de la tangente $T_a$ est: $y = \left[(1- a)\e^{-a}\right]x + a^2\e^{-a}.$
La tangente $T_a$ a pour équation:

$y=f'(a)(x-a)+f(a)
\iff
y= (1-a)\e^{-a}(x-a)+a\e^{-a}\\
\phantom{y=f'(a)(x-a)+f(a)}
\iff
y= \left [(1-a)\e^{-a}\right ]x- (1-a)\e^{-a}a+a\e^{-a}\\
\phantom{y=f'(a)(x-a)+f(a)}
\iff
y= \left [(1-a)\e^{-a}\right ]x -a\e^{-a}+a^2\e^{-a}+a\e^{-a}\\
\phantom{y=f'(a)(x-a)+f(a)}
\iff
y= \left [(1-a)\e^{-a}\right ]x +a^2\e^{-a}$
		
		\item %En déduire l'expression de $g(a)$.
$g(a)$ est l'ordonnée	du point H$_a$ de la tangente d'abscisse 0;
donc 

$g(a)= \left [(1-a)\e^{-a}\right ]\times 0 +a^2\e^{-a}=a^2\e^{-a}$.
		
		\item %Démontrer que $g(a)$ est maximum lorsque A est un point d'inflexion de la courbe $\mathcal{C}_f$.
Soit $g$ la fonction définie sur $[0~;~ +\infty[$ par $g(x)=x^2\e^{-x}$.

$g'(x)=2x\times \e^{-x}+ x^2\times (-1)\e^{-x}= -x(x-2)\e^{-x}$

\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\def\esp{\hspace*{3cm}}
$\begin{array}{|c | *{5}{c} |} 
\hline
x  & 0 & \esp & 2 & \esp  & +\infty \\
\hline
-x &  0 & \pmb{-} &  \vline\hspace{-2.7pt}{\phantom 0} & \pmb{-} &   \\
\hline
x-2 &  & \pmb{-} &  \vline\hspace{-2.7pt}{0} & \pmb{+} &   \\
\hline
\e^{-x} &  & \pmb{+} &  \vline\hspace{-2.7pt}{\phantom 0} & \pmb{+} &   \\
\hline
g'(x) &  & \pmb{+} &  \vline\hspace{-2.7pt}{0} & \pmb{-} &   \\
\hline
\end{array}$
}
\end{center}

D'après le tableau de signes de $g'(x)$, la fonction $g$ est croissante puis décroissante; elle admet un maximum pour $x=2$, ce qui correspond au point d'inflexion de la courbe $\mathcal{C}_f$.

%\emph{Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses, seront valorisées}.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 3} \quad 5 points\hfill}

\medskip

On considère la suite $\left(u_n\right)$ telle que $u_0 = 0$ et pour tout entier naturel $n$  : 
$u_{n+1} = \dfrac{-u_n - 4}{u_n + 3}$.

On admet que $u_n$ est défini pour tout entier naturel $n$.

%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Calculer les valeurs exactes de $u_1$ et $u_2$.
$u_1=\dfrac{-u_0-4}{u_0+3} = \dfrac{0-4}{0+3}=-\dfrac{4}{3}$

$u_2=\dfrac{-u_1-4}{u_1+3} =\dfrac{-\left (-\frac{4}{3}\right )-4}{-\frac{4}{3}+3} 
= \dfrac{\frac{4}{3} - \frac{12}{3}}{-\frac{4}{3}+\frac{9}{3}}
= \dfrac{-\frac{8}{3}}{\frac{5}{3}}
= -\frac{8}{5}$

\item On considère la fonction \texttt{terme} ci-dessous écrite de manière incomplète en langage Python; on la complète de sorte que, pour tout entier naturel $n$, l'instruction \texttt{terme (n)} renvoie la valeur de $u_n$.

\begin{center}
\begin{tabular}{|l|}\hline
\texttt{def terme (n) :}\\
\hspace{0.75cm}\texttt{u = \blue 0}\\
\hspace{0.75cm}\texttt{for i in range(n):}\\
\hspace{1.25cm}\texttt{u = \blue (-u - 4) / (u + 3)}\\
\hspace{0.75cm}\texttt{return(u)}\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}


\item Soit la fonction $f$ définie sur $]- 3~;~+\infty[$ par: $f(x) = \dfrac{- x - 4}{x+ 3}$.

%Ainsi, pour tout entier naturel $n$, on a $u_{n+1} = f\left(u_n\right)$.

$f$ est une fonction rationnelle donc elle est dérivable sur son ensemble de définition donc sur $]- 3~;~+\infty[$.

Sur $]- 3~;~+\infty[$, on a:
$f'(x)=\dfrac{-1(x+3)-(-x-4)\times 1}{(x+3)^2}
= \dfrac{-x-3+x+4}{(x+3)^2}
=\dfrac{1}{(x+3)^2}>0$;
donc  la fonction $f$ est strictement croissante sur $]- 3~;~+\infty[$.

\item Soit $\mathcal{P}_n$ la propriété: $- 2 < u_{n+1} \leqslant u_n$.

\begin{list}{\textbullet}{}
\item \textbf{Initialisation}

Pour $n=0$, on a: $u_n=u_0=0$ et $u_{n+1}=u_1=-\frac{4}{3}$; donc on a;
$-2 < u_1 \leqslant u_0$.

La propriété est vraie au rang $0$.

\item \textbf{Hérédité}

On suppose la propriété vraie au rang $n\geqslant 0$, c'est-à-dire: $-2 < u_{n+1} \leqslant u_{n}$; c'est l'hypothèse de récurrence.

Comme $-3<-2$ et que $-2 < u_{n+1} \leqslant u_{n}$, on se place ans l'intervalle $]- 3~;~+\infty[$. Sur cet intervalle, la fonction $f$ est strictement croissante donc:

$-2 < u_{n+1} \leqslant u_{n} \implies f(-2) < f(u_{n+1}) \leqslant f(u_{n})$

$f(-2)= \dfrac{-(-2)-4}{-2+3}=-2$; $f(u_{n+1})=u_{n+2}$ et $f(u_{n})=u_{n+1}$

Donc $f(-2) < f(u_{n+1}) \leqslant f(u_{n})$ équivaut à $-2 < u_{n+2} \leqslant u_{n+1}$.

On a donc démontré que la propriété était vraie au rang $n+1$.

\item \textbf{Conclusion}

La propriété est vraie au rang 0, et elle est héréditaire pour $n\geqslant 0$. D'après le principe de récurrence, on peut dire qu'elle est vraie pour tout entier naturel $n$.

\end{list}

Pour tout entier naturel $n$, on a donc: $- 2 < u_{n+1} \leqslant u_n$.

\item %En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.
\begin{list}{\textbullet}{On a vu que:}
\item pour tout $n$, $u_{n+1} \leqslant u_n$ donc la suite $(u_n)$ est décroissante;
\item pour tout $n$, $-2< u_n$ donc la suite $(u_n)$ est minorée.
\end{list}

D'après le théorème de la convergence monotone, on peut en déduire que la suite $(u_n)$ est convergente.

\item Soit la suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par: $v_n = \dfrac{1}{u_n + 2}$.

On remarque que, pour tout $n$, $u_n>-2$ entraîne $u_n+2>0$ donc $v_n = \dfrac{1}{u_n+2}$ existe pour tout $n$ et est strictement positive (donc non nulle).

	\begin{enumerate}
		\item $v_0 = \dfrac{1}{u_0+2} = \dfrac{1}{0+2} = \dfrac{1}{2}=0,5$
		
		\item %Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est arithmétique de raison 1.
$v_{n+1} = \dfrac{1}{u_{n+1}+2} 
= \dfrac{1}{\frac{-u_n-4}{u_n+3}+2}
= \dfrac{1}{\frac{-u_n-4 +2u_n+6}{u_n+3}}		
= \dfrac{u_n+3}{u_n+2}$

$v_{n+1}-v_n = \dfrac{u_n+3}{u_n+2} - \dfrac{1}{u_n+2}
=\dfrac{u_n+2}{u_n+2}=1$

Donc la suite $(v_n)$ est arithmétique de raison $r=1$ et de premier terme $v_0=0,5$.
			
		\item %En déduire que pour tout entier naturel $n \geqslant 1 :$ $u_n = \dfrac{1}{n + 0,5}  - 2$.
La suite $(v_n)$ est arithmétique de raison $r=1$ et de premier terme $v_0=0,5$ donc, pour tout $n$, $v_n=v_0+n\times r = 0,5 + n$.

$v_n=\dfrac{1}{u_n+2}
\iff
\dfrac{1}{v_n} = u_n+2
\iff
u_n=\dfrac{1}{v_n}-2$ donc $u_n=\dfrac{1}{n+0,5}-2$, pour tout $n$.

		\item %Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
$\ds\lim_{n\to +\infty} (n+0,5)=+\infty$ donc
$\ds\lim_{n\to +\infty} \dfrac{1}{n+0,5}=0$, et donc
$\ds\lim_{n\to +\infty} u_n=-2$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 4} \quad 5 points\hfill}

%\medskip
%
%\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. \\
%Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte.\\ Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie. \\
%Aucune justification n'est demandée. \\
%Une réponse fausse, une absence de réponse, ou une réponse multiple, ne rapporte
%ni n'enlève de point.}

\begin{center}
\textbf{L'énoncé ci-dessous est commun aux questions 1. et 2.}\end{center}

Les $200$ adhérents d'un club sont des filles ou des garçons. Ces adhérents pratiquent l'aviron ou le basket selon la répartition figurant dans le tableau ci-dessous.

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-4}
\multicolumn{1}{c|}{~}&\textbf{Aviron} &\textbf{Basket}&\textbf{Total}\\ \hline
\textbf{Filles} &25& 80 &105\\ \hline
\textbf{Garçons}& 50 &45& 95\\ \hline
\textbf{Total}& 75& 125& 200\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

On choisit un adhérent au hasard et on considère les évènements suivants:

\begin{description}
\item[ ] $F$ : l'adhérent est une fille ;
\item[ ] $A$ : l'adhérent pratique l'aviron.
\end{description}

\medskip

\begin{enumerate}
\item La probabilité de $F$ sachant $A$ est égale à :
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~}$\dfrac{25}{100}$&\textbf{b.~~}$\dfrac{25}{75}$&\textbf{c.~~}$\dfrac{25}{105}$&\textbf{d.~~}$\dfrac{75}{105}$
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\begin{tabular}{@{\hspace*{0.05\linewidth}} || p{0.93\linewidth}}
Il y a 75 adhérents pratiquant l'aviron dont 25 filles ; la probabilité de $F$ sachant A est donc $\dfrac{25}{75} = \dfrac13$ !

\hfill\textbf{Réponse b.}
\end{tabular}

\medskip

\item La probabilité de l'évènement $A \cup  F$ est égale à :
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~}$\dfrac{9}{10}$&\textbf{b.~~}$\dfrac{1}{8}$&\textbf{c.~~}$\dfrac{31}{40}$&\textbf{d.~~}$\dfrac{5}{36}$
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\begin{tabular}{@{\hspace*{0.05\linewidth}} || p{0.93\linewidth}}
Sur 200 adhérents, il y en a $80+25+50=155$ qui sont des filles ou qui pratiquent l'aviron. La probabilité de $A\cup F$ est donc $\dfrac{155}{200}=\dfrac{31}{40}$.

\hfill\textbf{Réponse c.}
\end{tabular}

\medskip

\begin{center} \textbf{L'énoncé ci-dessous est commun aux questions 3. et 4.}\end{center}

Pour se rendre à son travail, Albert peut utiliser au choix le bus ou le train.

\begin{center}
\begin{pspicture}(-3,-1)(3,1)
\rput(-3,0){\rnode{A}{\psframebox{Maison}}}
\rput(3,0){\rnode{B}{\psframebox{Travail}}}
\rput(0,1){\rnode{C}{\psframebox{Bus}}}
\rput(0,-1){\rnode{D}{\psframebox{Train}}}
\ncarc[linewidth=2pt,arcangle=20]{->}{A}{C}\ncarc[linewidth=2pt,arcangle=-20]{->}{A}{D}
\ncarc[linewidth=2pt,arcangle=20]{->}{C}{B}\ncarc[linewidth=2pt,arcangle=-20]{->}{D}{B}
\end{pspicture}
\end{center}

La probabilité que le bus soit en panne est égale à $b$.
La probabilité que le train soit en panne est égale à $t$.
Les pannes de bus et de train surviennent de façon indépendante.

\item La probabilité $p_1$ que le bus ou le train soient en panne est égale à :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $p_1 = bt$ &\textbf{b.~~} $p_1 = 1 - bt$ &\textbf{c.~~} $p_1 = b + t$ &\textbf{d.~~} $p_1 = b + t - bt$
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\begin{tabular}{@{\hspace*{0.05\linewidth}} || p{0.93\linewidth}}
On appelle $B$ l'événement: \og le bus est en panne \fg{} et $T$ l'événement \og le train est en panne \fg{} .

Les pannes de bus et de train surviennent de façon indépendante donc \\
$P(B\cap T)=P(B)\times P(T)=bt$.

$p_1=P(B\cup T)= P(B) + P(T) - P(B\cap T) = b+t-bt$.

\hfill\textbf{Réponse d.}
\end{tabular}

\medskip

\item La probabilité $p_2$ que Albert puisse se rendre à son travail est égale à :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~}$p_2 = bt$ &\textbf{b.~~} $p_2 = 1 - bt$ &\textbf{c.~~} $p_2 = b + t $&\textbf{d.~~} $p_2 = b + t - bt$
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\begin{tabular}{@{\hspace*{0.05\linewidth}} || p{0.93\linewidth}}
Pour que Albert puisse se rendre à son travail, il ne faut pas que le bus et le train soient en panne en même temps. Autrement dit, on cherche la probabilité du contraire de $B\cap T$ donc la probabilité de $\overline{B\cap T}$.

$p_2= P\left (\overline{B\cap T} \right ) = 1- P\left (B\cap T \right ) = 1-bt$

\hfill\textbf{Réponse b.}
\end{tabular}

\medskip

\item On considère une pièce de monnaie pour laquelle la probabilité d'obtenir FACE est égale à $x$. On lance la pièce $n$ fois. Les lancers sont indépendants.

La probabilité $p$ d'obtenir au moins une fois FACE sur les $n$ lancers est égale à 

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~}$p = x^n$&\textbf{b.~~} $p = (1 - x)^n$& \textbf{c.~~}$p = 1 - x^n$& \textbf{d.~~}$p = 1 - (1 - x)^n$
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\begin{tabular}{@{\hspace*{0.05\linewidth}} || p{0.93\linewidth}}
La probabilité d'obtenir zéro fois FACE est la probabilité de n'obtenir que des PILE, soit $(1-x)^n$. Donc la probabilité d'obtenir au moins une fois FACE est 

$1-(1-x)^n$.

\hfill\textbf{Réponse d.}
\end{tabular}
\end{enumerate}
\end{document}