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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat S }
\lfoot{\small{Centres étrangers}}
\crfoot{\small{juin 2005}}
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\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,25cm}
{\Large\textbf{Corrigé du baccalauréat S Centres étrangers juin 2005}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 3 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  \begin{center}
\psset{unit=0.6cm}
\psset{radius=3pt,dotsize=4pt,treefit=loose}
\def\psedge{\nccurve[angleB=180,nodesepB=3pt]}

\pstree[treemode=R,treesep=1.5,levelsep=4.5]{\Toval{}}
{%
\pstree{\Tr{$D_{1}$}\taput{$0,6$}}{
\Tr{$R_{1}$}\taput{$0,3$}
\Tr{$\overline{R_{1}}$} \tbput{$0,7$}}
\pstree{\Tr{$\overline{D_{1}}$}\tbput{$0,4$}}{
\pstree{\Tr{$D_{2}$}\taput{$0,7$}}{\Tr{$R_{2}$}\taput{$0,2$} \Tr{$\overline{R_{2}}$}}\tbput{$0,8$}
\Tr{$\overline{D_{2}}$}\tbput{$0,3$}}
}

\end{center}

\bigskip

En suivant l'arbre de probabilités pondéré ci-dessus, on a $p(R_{1}) = 0,6 \times 0,3 = 0,18$.
\item De même $p(R_{2}) = 0,4 \times 0,7 \times 0,2 = 0,056$.

Donc $p(R) = 0,18 + 0,056 = 0,236$.
\item On sait que $p_{R}(R_{1}) = \dfrac{p(R_{1} \cap R)}{p(R)} = \dfrac{0,18}{0,236} \approx \np{0,7626} \approx 0,763$.
\item On a un schéma de Bernoulli avec $p = 0,236$ et $n = 5$, car
20\:\% de 25 représentent 5 personnes. Donc la probabilité  d'avoir 5 réponses au questionnaire est :

\[\binom{25}{5} \times (0,236)^5 \times (1 - 0,236)^{20} \approx 0,179.\]  
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 3 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

\begin{enumerate}
\item $M = N \iff z = z^2 \iff z(1 - z) = 0 \iff \begin{cases}z&=0\\
z&= 1.\\
\end{cases}$

$M = P \iff z = z^3 \iff z\left(1 - z^2\right) = 0 \iff z(1 + z)(1 - z) = 0 \iff  \begin{cases}z&=0\\
z&= - 1\\
z &= 1\\
\end{cases}$.

Conclusion  si $M \in \mathcal{E}, z,~z^2$ et $z^3$ sont des complexes distincts et par conséquent M, N et P aussi.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  $MNP$ est rectangle en $P$ si et seulement si $MP^2 +  PN^2 = MN^2\iff \\\left|z^3 - z\right|^2 + \left|z^2 - z^3\right|^2 = \left|z^2 - z\right|^2\iff \left|z(1 - z^2)\right|^2 + \left|z^2(1 - z)\right|^2 = |z(z - 1)|^2 \iff |z|^2\left|1 - z^2\right|^2 + |z|^4|1 - z|^2 = |z|^2|1 - z|^2 \iff (\text{car}~z \neq 0)$
		
$ |1 - z^2|^2 + |z|^2|1 - z|^2 = |1 - z|^2 \iff (\text{car}~z \neq 1)\quad |1 + z|^2 + |z|^2 = 1$.
		\item En reprenant l'égalité précédente : $ |1 + z|^2 + |z|^2 = 1 \iff $
		
$(1 + z)(\overline{1 + z}) + z\overline{z} = 1 \iff (1 + z)(1 + \overline{z}) + z\overline{z} = 1 \iff$

$z\overline{z} + z + \overline{z} + 1 + z\overline{z} = 1 \iff 2z\overline{z} + z + \overline{z} = 0 \iff  z\overline{z} + \dfrac{1}{2}z + \dfrac{1}{2}\overline{z} + \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{4} = 0 \iff$

$ \left(z + \dfrac{1}{2}\right)\left(\overline{z} + \dfrac{1}{2}\right) = \dfrac{1}{4} \iff  \left(z + \dfrac{1}{2}\right)\left(\overline{z + \dfrac{1}{2}}\right) = \dfrac{1}{4}.$
		\item Soit C le point d'affixe $- \dfrac{1}{2}$. La condition précédente 
$\left(z + \dfrac{1}{2}\right)\left(\overline{z + \dfrac{1}{2}}\right) = \dfrac{1}{4}$ 
entraîne que  $\left|z + \dfrac{1}{2}\right| = \dfrac{1}{2} \iff \text{C}M = \dfrac{1}{2}$. Géométriquement  $M$ appartient au cercle de centre C et de rayon $\dfrac{1}{2},~M$ étant distinct de O et de A (qui sont sur le cercle et de B.

Conclusion  : l'ensemble $\mathcal{C}$ est le cercle de centre C de rayon  $\dfrac{1}{2}$, privé de O et de A.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On a $M(z) \in \mathcal{C}$ et $z = r\text{e}^{\text{i}\alpha}$.
		
Alors $z^3 > 0 \iff r^3\text{e}^{\text{i}3\alpha} > 0 \iff  \text{e}^{\text{i}3\alpha} > 0 \iff \left\{\begin{array}{l c l}
\cos (3\alpha)&>&0\\
\sin (3\alpha)&=&0\\
\end{array}\right. \iff 
\left\{\begin{array}{l c l}
\cos (3\alpha)&>&0\\
3\alpha&=&0\quad [2\pi]\\
\end{array}\right. \iff 
\left\{\begin{array}{l c l}
\cos (3\alpha)&>&0\\
\alpha&=&0\quad [\dfrac{2\pi}{3}]\\
\end{array}\right. \iff\\
\left\{\begin{array}{l c l}
\cos (3\alpha)&>&0\\
\alpha&=&0 ~\text{ou}~\dfrac{2\pi}{3}~\text{ou}~-\dfrac{2\pi}{3}\\
\end{array}\right.
\iff \alpha=0 ~\text{ou}~\alpha = \dfrac{2\pi}{3}~\text{ou}~\alpha = -\dfrac{2\pi}{3}$, car dans ces trois cas  le cosinus est positif (et même égal à 1.)

L'ensemble  $\mathcal{F}$ cherché est donc la réunion des trois demi-droites d'origine O faisant respectivement avec l'axe $\left(\text{O},~\vect{u}\right)$ un angle de $0,~\dfrac{2\pi}{3}$ et $- \dfrac{2\pi}{3}$, privées du points O.
		\item Figure :

\medskip

\psset{unit=3cm}\begin{pspicture}(-1.5,-1.5)(1.5,1.5)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=5,Dy=5](0,0)(-1.5,-1.5)(1.5,1.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\pscircle(-0.5,0){0.5}
\psline[linewidth=2pt,linecolor=blue](0,0)(-0.87,1.5069)
\psline[linewidth=2pt,linecolor=blue](0,0)(-0.87,-1.5069)
\psline[linewidth=2pt,linecolor=blue](0,0)(1.5,0)
\uput[dl](-1,0){A}  \uput[d](-0.5,0){C} \uput[dr](0,0){O} 
\uput[ur](-0.25,0.433){D} \uput[dr](-0.25,-0.433){E} \uput[dr](-0.25,0){$-\frac{1}{4})$} 
\uput[d](0.5,0){$\vect{u}$} \uput[r](0,0.5){$\vect{v}$} \uput[dr](1,0){B} 
\psline(-0.25,-1.5)(-0.25,1.5)
\psdots(-0.5,0)
\end{pspicture}

\medskip

		\item D'après les questions \textbf{2. a.} et \textbf{2. b.} il faut que $M$ appartiennent aux deux ensembles $\mathcal{C}$ et $\mathcal{F}$ : graphiquement on voit qu'il y a deux solutions.\\
 il faut donc que $r > 0,~\alpha \in \left\{-\dfrac{2\pi}{3},~0,~\dfrac{2\pi}{3}\right\}~\text{et que} ~|z+1|^2 + |z|^2 = 1$.
\begin{itemize}\item  Si $\alpha = - \dfrac{2\pi}{3},~z = r\text{e}^{-\frac{2\text{i}\pi}{3}},~z + 1 = -\dfrac{r}{2} + 1 + \dfrac{\text{i}r\sqrt{3}}{2}$.

Donc $|z+1|^2 + |z|^2 = 1 \iff \left(-\dfrac{r}{2} + 1\right)^2  + \dfrac{3r^2}{4} + r^2 = 1 \iff $

$ 2r^2 - r + 1 = 1 \iff 2r^2 - r = 0 \iff r = \dfrac{1}{2}.$ Première solution le point  E d'affixe $-\dfrac{1}{2}\text{e}^{-\frac{2\text{i}\pi}{3}} = -\dfrac{1}{4} - \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{4}$.
		\item Si $\alpha = \dfrac{2\pi}{3}$, le calcul de $r$ est le même ; on trouve le point D d'affixe  $- \dfrac{1}{2}\text{e}^{\frac{2\text{i}\pi}{3}} = -\dfrac{1}{4} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{4}$.
		\item Si $\alpha = 0,~z = r,~|z + 1|^2 + |z|^2 = 1 \iff (r + 1)^2 + r^2 = 1 \iff 2r^2 + r = 0 \iff r = - \dfrac{1}{2}$ qui n'a pas de solution. Il y a donc comme prévu deux solutions : les points D et E.
\end{itemize}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 3 points}

\textbf{Candidats ayant  suivi l'enseignement de spécialité}

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Si $a = 2p$ et $b = 2q$, alors $N = a^2 - b^2 = 4p^2 - 4q^2 = 4 \times \ldots$ n'est pas impair ~;\\
Si $a = 2p+1$ et $b = 2q + 1$, alors $N = (2p+1)^2 - (2q+1)^2 = (2p + 2q + 2)(2p - 2q)$ n'est pas impair.\\
Conclusion $a$ et $b$ n'ont pas la même parité.
\item On a par définition de $N,~a> b$. Or $N = (a + b)(a - b)$, donc est le produit de deux naturels. En posant $a + b = p$ et $a - b = q,~N = p \times q$.
D'après la question 1, $a$ et $b$ sont de parités contraires, donc $a + b = p$ et $a - b = q$ sont impairs et leur produit aussi. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Les restes de $X$  sont les naturels de $0$ à $8$. On calcule les restes de $X^2$ :
		 
\[\begin{tabularx}{0.85\linewidth}{|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$X$		&0&1&2&3&4&5&6&7&8\\ \hline
$X^2$	&0&1&4&0&7&7&0&4&1\\ \hline
\end{tabularx}\]

		\item On a $\np{250507} = 9 \times \np{27834} + 1$, donc $\np{250507}\equiv 1 \quad \text{modulo}~9$.
		
D'après la question précédente et puisque $a^2 - \np{250507} = b^2$, les restes modulo 9 de $b^2$ sont  ou 0, ou 1, ou 4 ou 7.

On en déduit que les restes modulo 9 de $a^2 = \np{250507} + b^2$ sont  1, 2, 5 ou 8. Mais ces trois dernières valeurs sont interdites d'après la question 1. a. Donc le reste modulo 9 de $a^2$ est égal à 1.

Toujours d'après la question 1. a., on en déduit que les restes possibles de $a$ sont  1 ou 8. 
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Si $(a~;~b)$ vérifie l'équation $a^2 - \np{250507} = b^2$, alors $a^2 = \np{250507} + b^2 \geqslant \np{250507} \iff a \geqslant \sqrt{\np{250507}}  \iff a \geqslant 501$.
		\item $(501~;~b)$ solution de (E) si $501^2 - \np{250507} = b^2 \iff 494 = b^2$qui n'a pas de solution  dans $\N$, car $22^2 = 484$ et $23^2 = 529$.
		
Il n'y a pas de couple solution de la forme $(501~;~b)$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On a $503 \equiv 8 \quad \text{modulo}~9$ et $505 \equiv 1 \quad \text{modulo}~9$. D'après la question précédente, on peut dire que $a$ est congru ê 503 ou à 505 modulo 9.
		\item $(505 + 9k~;~b)$ solution de (E) si et seulement si  $505^2 + 81k^2 + \np{9090}k - \np{250507} = b^2 \iff \np{255025} + 81k^2 + \np{9090}k - \np{250507} = b^2 \iff $
		
$\np{4518} + 81k^2 + \np{9090}k = b^2$.
		
Pour $k = 0,~\np{4518}$ n'est pas un carré ;

Pour $k = 1,~\np{4518} + 81 + \np{9090} = \np{13689}  = 117^2 = b^2 \iff b = 117$. Donc le couple $(514~;~117)$ est un couple solution.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

\begin{enumerate}
\item D'après la question précédente 
$\np{250507} = 514^2 - 117^2 = (514 + 117)(514 - 117) = 631 \times 397$. (Effectivement $\np{250507}$ n'est pas premier.
\item 631 n'est pas divisible  par 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 : il est premier :

397 n'est pas divisible  par 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 : il est premier.

Conclusion 631 et 397 sont premiers entre eux.
\item D'après la question précédente la seule écriture primaire de $\np{250507}$ est $631 \times 397$. Il n'existe pas d'autre écriture de ce nombre  si ce n'est l'écriture triviale $1 \times \np{250507}$. L'écriture précédente est donc unique.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Par définition de A$_{1}$ centre de gravité du triangle BCD, donc isobarycentre des points  B, C et D :   $\vect{\text{A}_{1}\text{B}} + \vect{\text{A}_{1}\text{C}} + \vect{\text{A}_{1}\text{D}} = \vect{0} \iff 3\vect{\text{A}_{1}\text{A}} + \vect{\text{AB}} +  \vect{\text{AC}} +  \vect{\text{AD}} =  \vect{0} \iff \vect{\text{A}\text{A}_{1}} = \dfrac{1}{3}\left(\vect{\text{AB}} +  \vect{\text{AC}} +  \vect{\text{AD}} \right)$.\\
Calculons $\vect{\text{A}\text{A}_{1}} \cdot\: \vect{\text{CD}} = \dfrac{1}{3}\left(\vect{\text{AB}} +  \vect{\text{AC}} +  \vect{\text{AD}} \right) \cdot \left(\vect{\text{CA}} + \vect{\text{AD}}\right) = \dfrac{- \text{AC}^2 + \text{AD}^2}{3} = 0$, car AC = AD.\\
Un calcul analogue montre que  $\vect{\text{A}\text{A}_{1}} \cdot\: \vect{\text{BC}} = 0$.

Conclusion : la droite (AA$_{1}$) orthogonale ê deux droites sécantes du plan (BCD) est orthogonale à ce plan. 
\item La droite (AB) est perpendiculaire à (AC) et à (AD), dont est perpendiculaire au plan (ACD). Le volume du tétraèdre est donc égal à

V = AB $\times~S$(ACD) $= a \times \dfrac{a^2}{2} = \dfrac{a^3}{2}$.

D'après la question précédente on peut également utiliser la hauteur AA$_{1}$ et la base (BCD) :

V =  AA$_{1}~\times S$(BCD) = AA$_{1} \times \dfrac{1}{2}\dfrac{a\sqrt{2}\times \sqrt{3}}{2}\times a\sqrt{2} = \text{AA}_{1}\times \dfrac{a^2\sqrt{3}}{2}$.

On a donc $a \times \dfrac{a^2}{2} = \dfrac{a^3}{2} = \text{AA}_{1} \times \dfrac{a^2\sqrt{3}}{2} \iff \text{AA}_{1} = \dfrac{a\sqrt{3}}{3}$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item	 Le point G vérifie : $\vect{\text{GA}} +  \vect{\text{GB}} +  \vect{\text{GC}} +  \vect{\text{GD}} = \vect{0} \iff 4 \vect{\text{GA}} + \vect{\text{AB}} +  \vect{\text{AC}} +  \vect{\text{AD}} = \vect{0} \iff \vect{\text{AG}} = \dfrac{1}{4}\left(\vect{\text{AB}} +  \vect{\text{AC}} +  \vect{\text{AD}} \right)$.
	
Or on a vu que $\vect{\text{A}\text{A}_{1}}  = \dfrac{1}{3}\left(\vect{\text{AB}} +  \vect{\text{AC}} +  \vect{\text{AD}} \right)$, donc $\vect{\text{AG}} = \dfrac{3}{4}\vect{\text{A}\text{A}_{1}}$ qui signifie que G appartient ê la droite (AA$_{1}$) (et même que  G a pour abscisse $\dfrac{3}{4}$ si  le repère est (A,~A$_{1}$).)

On en déduit en prenant les normes que AG $= \dfrac{3}{4}\times \dfrac{a\sqrt{3}}{3} = \dfrac{a\sqrt{3}}{4}.$
		\item I est le milieu de [BC] donc $\vect{M\text{B}} + \vect{M\text{C}} = 2\vect{M\text{I}}$.
		
D'autre part  $\vect{M\text{A}} + \vect{M\text{B}} + \vect{M\text{C}} + \vect{M\text{D}} = 4\vect{M\text{G}}$.

Donc $\|\vect{M\text{A}} + \vect{M\text{B}} + \vect{M\text{C}} + \vect{M\text{D}}\| = 2\|\vect{M\text{B}} + \vect{M\text{C}}\| \iff 4M\text{G} = 4M\text{I} \iff M\text{G} = M\text{I}$.

Conclusion : l'ensemble des points $M$ cherchés est le plan médiateur du segment [BC].
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Par définition de H : $\vect{\text{AG}} = \vect{\text{GH}} = \dfrac{1}{4}\left(\vect{\text{AB}} +  \vect{\text{AC}} +  \vect{\text{AD}} \right)$.
		
Donc $4\vect{\text{AG}} = \vect{\text{AB}} +  \vect{\text{AC}} +  \vect{\text{AD}} \iff \vect{\text{BA}} =  4\vect{\text{GA}} + \vect{\text{AC}} +  \vect{\text{AD}}$.
		\item On a HC$^2 - $~HD$^2 = \left(\vect{\text{HC}} + \vect{\text{HD}} \right)\left(\vect{\text{HC}} - \vect{\text{HD}} \right)$.\\
Or  $\vect{\text{HC}} + \vect{\text{HD}} = 2\vect{\text{HA}} + \vect{\text{AC}} +  \vect{\text{AD}}$, mais par définition du point H,\\ $\vect{\text{HA}} = 2\vect{\text{GA}}$.\\
Donc $\vect{\text{HC}} + \vect{\text{HD}} = 4\vect{\text{GA}} + \vect{\text{AC}} +  \vect{\text{AD}} = \vect{\text{BA}}$ (d'après la question précédente.

D'autre part $\vect{\text{HC}} - \vect{\text{HD}} = \vect{\text{DC}}$.\\
Conclusion : $\text{HC}^2 - \text{HD}^2 = \vect{\text{BA}} \cdot \vect{\text{DC}}$.
		\item On a vu que [BA] est hauteur pour la base (ACD), donc $\vect{\text{BA}} \cdot \vect{\text{DC}} = 0$, donc HC$^2 - $~HD$^2 = 0 \iff $ HC = HD
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 7 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\bigskip

\textbf{I. Première partie}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On a $f'(x) = \dfrac{1}{1 + x} - 1 = \dfrac{-x}{1 + x} \leqslant 0$ car $1 + x > 0$. La fonction $f$ est décroissante à partir de  la valeur  $f(0) = \ln 1 - 0 = 0$. Donc $f$ est  négative et 
 $f(x) \leqslant 0 \iff \ln (1 + x) - x \leqslant 0 \iff \ln (1 + x) \leqslant x$.\\
D'autre part $g'(x) = \dfrac{1}{1 + x} - 1 + x = \dfrac{(x - 1)(x + 1) + 1}{1 + x} = \dfrac{x^2}{1 + x} \geqslant 0$.

La fonction  $g$ est donc croissante ê partir de la valeur $g(0) = \ln 1 - 0 + \dfrac{0}{2} = 0$.

Donc $g$ est positive et  $g(x) \geqslant 0 \iff  \ln (1 + x) - x + \dfrac{x^2}{2} \geqslant 0 \iff$

$ x - \dfrac{x^2}{2} \leqslant  \ln (1 + x)$.
\item Finalement, en regroupant les deux inégalités pour $x \geqslant 0,\\~ x - \dfrac{x^2}{2} \leqslant  \ln (1 + x) \leqslant x$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{II. Deuxième partie}

\medskip

\begin{enumerate}
\item \emph{Initialisation} : $u_{1} = \dfrac{3}{2} > 0$ : la relation est vraie au rang 1.

\emph{Hérédité} : soit $n \in \N, \: n \geqslant 1$ et supposons que $u_{n} > 0$ ; alors 

$u_{n+1} = u_{n}\left(1 + \dfrac{1}{2^{n+1}}\right) > 0$ car les deux facteurs sont supérieurs à zéro.

La relation est vraie au rang $1$ et si elle vraie au rang $n$ au moins égal à 1, elle est vraie au rang $n + 1$. On a donc démontré par récurrence 
que $u_{n} > 0$ si $n > 0$.
\item \emph{Initialisation} : $u_{1} = \ln \left(1 + \dfrac{1}{2^1}\right) = \ln \dfrac{3}{2}$ : la relation est vraie au rang $1$.

\emph{Hérédité} : soit $n \in \N, \: n \geqslant 1$ et supposons que 

$\ln u_{n} = \ln \left(1 + \dfrac{1}{2}\right) +  \ln \left(1 + \dfrac{1}{2^2}\right) + \cdots +  \ln \left(1 + \dfrac{1}{2^n}\right)$ ; alors par définition de la suite : $\ln u_{n+1} = \ln u_{n} + \ln \left(1 + \dfrac{1}{2^{n+1}}\right) =  $

$\ln \left(1 + \dfrac{1}{2}\right) +  \ln \left(1 + \dfrac{1}{2^2}\right) + \cdots +  \ln \left(1 + \dfrac{1}{2^n}\right) +  \ln \left(1 + \dfrac{1}{2^{n+1}}\right)$.

La relation est vraie au rang $1$ et si elle vraie au rang $n$ au moins égal à 1, elle est vraie au rang $n + 1$. On a donc démontré par récurrence 
que $n > 0$, $\ln u_{n} = \ln \left(1 + \dfrac{1}{2}\right) +  \ln \left(1 + \dfrac{1}{2^2}\right) + \cdots +  \ln \left(1 + \dfrac{1}{2^n}\right)$.
\item Quel que soit le naturel $n > 0,~ \dfrac{1}{2^n},~ > 0$ ; on peut donc utiliser l'encadrement démontré dans la première partie :
\[\begin{array}{l c l c l}
\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{4}& \leqslant &\ln \left(1 + \dfrac{1}{2}\right)& \leqslant &\dfrac{1}{2}\\
\dfrac{1}{2^2} - \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{4^2}& \leqslant &\ln \left(1 + \dfrac{1}{2^2}\right)& \leqslant &\dfrac{1}{2^2}\\
\dfrac{1}{2^3} - \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{4^3}& \leqslant &\ln \left(1 + \dfrac{1}{2^3}\right)& \leqslant &\dfrac{1}{2^3}\\
\ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\
\dfrac{1}{2^n} - \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{4^n}& \leqslant &\ln \left(1 + \dfrac{1}{2^n}\right)& \leqslant &\dfrac{1}{2^n}\\
\end{array}\]

Tous les termes sont positifs : on peut donc ajouter ces inégalités membres à membres pour obtenir :

\[S_{n} - \dfrac{1}{2}T_{n}\leqslant \ln u_{n} \leqslant S_{n}.\]
\item $S_{n}$ est la somme des $n$ premiers termes d'une suite géométrique de premier terme $\dfrac{1}{2}$ et de raison $\dfrac{1}{2}$.

$S_{n } = 1 - \dfrac{1}{2^n}$.

De même $T_{n}$ est la somme des $n$ premiers termes d'une suite géométrique de premier terme $\dfrac{1}{4}$ et de raison $\dfrac{1}{4}$.

$T_{n} = \dfrac{1}{3}\left(1 - \dfrac{1}{4^n}\right)$.

Comme $\dfrac{1}{2}$ et $\dfrac{1}{4}$ sont compris entre $-1$ et 1, on a $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \dfrac{1}{2^n} = 0$ et $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \dfrac{1}{4^n} = 0$.

On en déduit que $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} S_{n} = 1$ et que $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} T_{n} = \dfrac{1}{3}$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On a démontré que si $n > 0$, alors $u_{n} > 0$. On peut donc écrire que 
		
$\dfrac{u_{n+1}}{u_{n}} = 1 + \dfrac{1}{2^{n+1}} > 1$.
		
On a donc pour tout  $n > 0,~u_{n+1} > u_{n}$ : la suite $\left(u_{n}\right)_{n>0}$ est strictement croissante.
		\item On a démontré que $\ln u_{n} \leqslant S_{n} \iff u_{n} \leqslant \text{e}^{S_{n}}$ (par croissance de la fonction exponentielle.)
		
Mais $S_{n}$ est majorée par 1 ; donc $u_{n} \leqslant \text{e}^1$ ou $u_{n} \leqslant \text{e}$.

Conclusion : la suite $\left(u_{n}\right)_{n>0}$ est croissante et majorée : elle est donc convergente vers une limite $\ell$.
		\item Cette limite est positive comme tous les termes de la suite ; d'autre part par continuité de la fonction  $\ln,~\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \ln u_{n} = \ln \ell$.
		
À partir de l'encadrement de $\ln u_{n}$ démontré ê la question 3, on déduit que
 
\[\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \left(S_{n} - \dfrac{1}{2}T_{n}\right) \leqslant \displaystyle\lim_{n \to + \infty}  \ln u_{n}\leqslant \displaystyle\lim_{n \to + \infty} S_{n}\]
c'est-à-dire : $1 - \dfrac{1}{6} \leqslant \ln \ell \leqslant 1 \iff \dfrac{5}{6} \leqslant \ln \ell \leqslant 1$.

Finalement, on obtient l'encadrement :

\[ \text{e}^{\frac{5}{6}} \leqslant \ell \leqslant \text{e}.\]

	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document} 