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%Tapuscrit : Denis Vergès
%Corrigé : François Hache
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\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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pdfsubject = {Baccalauréat spécialité},
pdftitle = {Métropole 9 juin 2021},
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat spécialité - Corrigé}
\lfoot{\small{Centres étrangers candidats libres}}
\rfoot{\small{9 juin 2021}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat Centres étrangers 9  juin 2021~\decofourright\\[6pt] Candidats libres  Sujet 1\\[6pt] ÉPREUVE D'ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

%Le candidat traite 4 exercices : les exercices 1, 2 et 3 communs à tous les candidats et un seul des deux exercices A ou B.
%
%\bigskip

\textbf{\large \textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

%\emph{Ceci est un questionnaire à choix multiples (QCM).\\
% Pour chacune des questions, une seule des quatre affirmations est exacte.\\
%  Le candidat recopiera sur sa copie le numéro de la question et la réponse correspondante.\\
%Aucune justification n'est demandée.\\
%Une réponse exacte rapporte un point, une réponse fausse ou une absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point.}
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère la fonction définie sur $\R$ par 
$f(x) = x\e^{-2x}.$

On note $f''$ la dérivée seconde de la fonction $f$.

Quel que soit le réel $x$, \,$f''(x)$ est égal à :
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $(1 - 2x)\e^{-2x}$& \textbf{b.~~} $4(x - 1)\e^{-2x}$&\textbf{c.~~} $4\e^{-2x}$&\textbf{d.~~}
$ (x+2)\e^{-2x}$
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\begin{tabular}{@{\hspace*{0.05\linewidth}}|p{0.92\linewidth}}
$f(x) = x\e^{-2x}$ donc $f'(x)=\e^{-2x}+x\times (-2)\e^{-2x}= \left ( 1-2x\right )\e^{-2x}$
et donc

$f''(x)= -2\e^{-2x}+ (1-2x)\times (-2)\e^{-2x} = \left (-2-2+4x\right )\e^{-2x}
= 4\left (x-1\right )\e^{-2x}$

\smallskip

\textbf{Réponse b.} 
\end{tabular}

\bigskip

\item Un élève de première générale choisit trois spécialités parmi les douze proposées. \\
Le nombre de combinaisons possibles est:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} \np{1728}&\textbf{b.~~} \np{1320}&\textbf{c.~~} \np{220}&\textbf{d.~~} \np{33}
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\begin{tabular}{@{\hspace*{0.05\linewidth}}|p{0.92\linewidth}}
$\ds\binom{12}{3} =\dfrac{12\,!}{3\,! (12-3)\,!}=\dfrac{12\times 11\times 10}{3\times 2 \times 1}=220$

\smallskip

\textbf{Réponse c.}
\end{tabular}

\bigskip

\item On donne ci-dessous la représentation graphique de $f'$ fonction dérivée d'une fonction $f$ définie sur [0~;~7].

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture*}(-1,-4.5)(7.5,1.1)
\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=0.3pt,subgriddiv=5,subgridwidth=0.1pt,gridcolor=gray](-1,-4.5)(7.5,1)
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(-0.95,-4.5)(7.5,1)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{7}{2 x sub x 5 sub mul 0.4 mul 2.71828 x 0.25 mul exp div}
\end{pspicture*}
\end{center}

Le tableau de variation de $f$  sur l'intervalle [0~;~7] est :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{a.~~}&\textbf{b.~~}\\
{%\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}%  paramètres
\def\esp{\hspace*{1cm}}% pour modifier la largeur du tableau
\def\hauteur{0pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur
$\begin{array}{|c|*5{c}|}
\hline
x & 0  & \esp & 3,25 & \esp & 7 \\ 
%\hline
%f'(x) &  &   \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{-} & \\ 
\hline
 & &  &   \Rnode{max}{\phantom{8}}  &  &   \\  
f(x) & &     &  &  &  \rule{0pt}{\hauteur} \\ 
 & \Rnode{min1}{\phantom{8}} &   &  &  &   \Rnode{min2}{\phantom{8}} \rule{0pt}{\hauteur}    
 \ncline{->}{min1}{max} 
 \ncline{->}{max}{min2} 
 \\ 
\hline
\end{array} $
}
&
{%\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}  % paramètres
\def\esp{\hspace*{0.5cm}}% pour modifier la largeur du tableau
\def\hauteur{0pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur
$\begin{array}{|c| *6{c} c|}
\hline
 x & 0 & \esp & 2 & \esp & 5 & \esp & 7 \\
% \hline
%f'(x) &  &  \pmb{-} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{-} & \\  
\hline
  &   \Rnode{max1}{\phantom{8}} & &  & & \Rnode{max2}{\phantom{8}} & & \\
f (x) & &  & & & & & \rule{0pt}{\hauteur} \\
 & & & \Rnode{min1}{\phantom{8}} & & & & \Rnode{min2}{\phantom{8}}  \rule{0pt}{\hauteur}
\ncline{->}{max1}{min1} 
\ncline{->}{min1}{max2}
\ncline{->}{max2}{min2} \\
\hline
\end{array}$
}
\\\\
\textbf{c.~~}&\textbf{d.~~}\\
{%\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}  % paramètres
\def\esp{\hspace*{0.5cm}}% pour modifier la largeur du tableau
\def\hauteur{0pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur
$\begin{array}{|c| *6{c} c|}
\hline
 x & 0 & \esp & 2 & \esp & 5 & \esp & 7 \\
% \hline
%f'(x) &  &  \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{-} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{+} & \\  
\hline
  &  &  & \Rnode{max1}{\phantom{8}} & & & &  \Rnode{max2}{\phantom{8}} \\
f (x) & &  & & & & & \rule{0pt}{\hauteur}\\
 & \Rnode{min1}{\phantom{8}} & & & & \Rnode{min2}{\phantom{8}} & & \rule{0pt}{\hauteur} 
\ncline{->}{min1}{max1} 
\ncline{->}{max1}{min2}
\ncline{->}{min2}{max2} \\
\hline
\end{array}$
}
&
{%\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}%  paramètres
\def\esp{\hspace*{1cm}}% pour modifier la largeur du tableau
\def\hauteur{0pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur
$\begin{array}{|c|*5{c}|}
\hline
x & 0  & \esp & 2 & \esp & 7 \\ 
%\hline
%f'(x) &  &   \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{-} & \\ 
\hline
 & &  &   \Rnode{max}{\phantom{81}}  &  &   \\  
f(x) & & & & & \rule{0pt}{\hauteur} \\ 
 & \Rnode{min1}{\phantom{8}} &   &  &  &   \Rnode{min2}{\phantom{8}} \rule{0pt}{\hauteur}    
 \ncline{->}{min1}{max} 
 \ncline{->}{max}{min2} 
 \\ 
\hline
\end{array} $
}
\\
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\begin{tabular}{@{\hspace*{0.05\linewidth}}|p{0.92\linewidth}}
$f'$ est négative ou nulle sur $[0~,~2]$ donc la fonction $f$ est décroissante sur $[0~,~2]$.

$f'$ est positive  ou nulle sur $[2~,~5]$ donc la fonction $f$ est croissante sur $[2~,~5]$.

$f'$ est négative  ou nulle sur $[5~,~7]$ donc la fonction $f$ est décroissante sur $[5~,~7]$.

\smallskip

\textbf{Réponse b.}
\end{tabular}

\bigskip

\item Une entreprise fabrique des cartes à puces. Chaque puce peut présenter deux défauts notés A et B.
Une étude statistique montre que 2,8\,\% des puces ont le défaut A, 2,2\,\% des puces ont le défaut B et, heureusement, 95,4\,\% des puces n'ont aucun des deux défauts.

La probabilité qu'une puce prélevée au hasard ait les deux défauts est:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} 0,05&\textbf{b.~~} 0,004&\textbf{c.~~} 0,046&\textbf{d.~~} On ne peut pas le savoir
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\begin{tabular}{@{\hspace*{0.05\linewidth}}|p{0.92\linewidth}}
On appelle $A$ l'évènement \og la puce a le défaut A \fg{} et $B$ l'évènement \og la puce a le défaut B \fg{}.

D'après le texte, on a: $P(A)=0,028$ et $P(B)=0,022$. 

On cherche la probabilité qu'une puce ait les deux défauts, c'est-à-dire $P(A\cap B)$.

On sait que  $95,4$\,\% des puces n'ont aucun des deux défauts donc il y a $100-95,4=4,6$\,\% des puces qui ont au moins un des deux défauts, donc $P(A\cup B)=0,046$.

Or $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$ donc 

$P(A\cap B) = P(A)+P(B) - P(A\cup B) = 0,028+0,022-0,046=0,004$

\smallskip

\textbf{Réponse b.}
\end{tabular}

\bigskip

\item On se donne une fonction $f$, supposée dérivable sur $\R$, et on note $f’$ sa fonction dérivée.

On donne ci-dessous le tableau de variation de $f$ :

\begin{center}
{%\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}%  paramètres
\def\esp{\hspace*{0.5cm}}% pour modifier la largeur du tableau
\def\hauteur{0pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur
$\begin{array}{|c|*5{c}|}
\hline
x & -\infty  & \esp & -1 & \esp & +\infty\\ 
\hline
%f'(x) &  &   \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{-} & \\ 
%\hline
 & &  &   \Rnode{max}{0}  &  &   \\  
f(x) & &     &  &  &  \rule{0pt}{\hauteur} \\ 
 & \Rnode{min1}{-\infty} &   &  &  &   \Rnode{min2}{-\infty} \rule{0pt}{\hauteur}    
 \ncline{->}{min1}{max} 
 \ncline{->}{max}{min2} 
 \\ 
\hline
\end{array} $
}
\end{center}

D'après ce tableau de variation :

\textbf{a.~~} $f’$ est positive sur $\R$.
\hfill
\textbf{b.~~} $f’$ est positive sur $] - \infty~;~ - 1]$. 

\textbf{c.~~} $f’$ est négative sur $\R$.
\hfill
\textbf{d.~~} $f’$ est positive sur $[- 1~;~ +\infty[$.

\medskip

\begin{tabular}{@{\hspace*{0.05\linewidth}}|p{0.92\linewidth}}
La fonction $f$ est croissante sur $] - \infty~;~ - 1]$ donc $f’$ est positive sur $] - \infty~;~ - 1]$. 

\smallskip

\textbf{Réponse b.}
\end{tabular}

\bigskip

\end{enumerate}



\bigskip

\textbf{\large\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Dans tout cet exercice, les probabilités seront arrondies, si nécessaire, à $10^{-3}$.

D'après une étude, les utilisateurs réguliers de transports en commun représentent 17\,\% de la population française. 

Parmi ces utilisateurs réguliers, 32\,\% sont des jeunes âgés de 18 à 24 ans. (Source : TNS-Sofres)

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip
 
On interroge une personne au hasard et on note :

\setlength\parindent{9mm}
\begin{itemize}
\item $R$ l'évènement : \og La personne interrogée utilise régulièrement les transports en commun \fg.
\item $J$ l'évènement : \og La personne interrogée est âgée de 18 à 24 ans \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

%\medskip

\begin{enumerate}
\item On représente la situation à l'aide de cet arbre pondéré:

\begin{center}
\bigskip
\pstree[treemode=R,nodesepB=3pt,nodesepA=0pt,levelsep=3.5cm,nrot=:U]{\TR{}}
{\pstree[nodesepA=3pt]{\TR{$R$}\naput{$0,17$}}
		{\TR{$J$}\naput{$0,32$}
		\TR{$\overline{J}$}\nbput{$\blue 1-0,32=0,68$}
		}
\pstree[nodesepA=3pt]{\TR{$\overline{R}$~~}\nbput{$\blue 1-0,17=0,83$}}
		{\TR{$J$}
		\TR{$\overline{J}$}
		}
}
\end{center}
\item $P(R \cap J)= 0,17 \times 0,32 = \np{0,0544}$

\item D'après cette même étude, les jeunes de 18 à 24 ans représentent 11\,\% de la population française, donc $P(J)=0,11$.

La probabilité que la personne interrogée soit un jeune de 18 à 24 ans n'utilisant pas régulièrement les transports en commun est $P\left (\overline{R} \cap J\right )$.

D'après la formule des probabilités totales:

$P(J)= P(R\cap J) + P\left (\overline{R} \cap J\right )$ donc $P\left (\overline{R} \cap J\right ) = P(J) - P(R\cap J) = 0,11-0,0544 = \np{0,0556}$

soit $0,056$ à $10^{-3}$ près.


\item $P_{\overline{R}}(J)=\dfrac{P\left (\overline{R}\cap J\right )}{P\left (\overline{R}\right )} = \dfrac{0,056}{0,83} \approx \np{0,0675}$

La proportion de jeunes de 18 à 24 ans parmi les utilisateurs non réguliers des transports en commun est donc d'environ $6,75\,\%$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Lors d'un recensement sur la population française, un recenseur interroge au hasard 50 personnes en une journée sur leur pratique des transports en commun. 
La population française est suffisamment importante pour assimiler ce recensement à un tirage avec remise.
Soit $X$ la variable aléatoire dénombrant les personnes utilisant régulièrement les transports en commun parmi les 50 personnes interrogées.

%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Déterminer, en justifiant, la loi de $X$ et préciser ses paramètres.
\begin{list}{\textbullet}{}
\item On interroge une personne au hasard et il n'y a que deux possibilités: elle utilise régulièrement les transports en commun, avec une probabilité $p=0,17$, ou pas, avec une probabilité de $1-p=0,83$.
\item On réalise $n=50$ fois ce questionnement de façon identique.
\end{list}

Donc la variable aléatoire $X$ qui donne le nombre de personnes utilisant régulièrement les transports en commun parmi les 50 personnes interrogées suit la loi binomiale de paramètres $n=50$ et $p=0,17$.

\item $P(X = 5) = \ds\binom{50}{5}\times 0,17^5 \times (1-0,17)^{50-5}\approx 0,069$
% et interpréter le résultat.

Il y a donc une probabilité de $0,069$ que, sur 50 personnes interrogées, exactement 5 prennent régulièrement les transports en commun.

\item Le recenseur indique qu'il y a plus de 95\,\% de chance pour que, parmi les $50$ personnes interrogées, moins de $13$ d'entre elles utilisent régulièrement les transports en commun.

Autrement dit, le recenseur affirme que $P(X<13) \geqslant 0,95$.

Or $P(X<13)= P(X \leqslant 12) \approx  0,929 < 0,95$ donc cette affirmation est fausse.

\item Le nombre moyen de personnes utilisant régulièrement les transports en commun parmi les $50$ personnes interrogées est
$E(X)=np=50\times 0,17 = 8,5$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large \textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

En mai 2020, une entreprise fait le choix de développer le télétravail afin de s'inscrire dans une démarche écoresponsable.
Elle propose alors à ses \np{5000}~collaborateurs en France de choisir entre le télétravail et le travail au sein des locaux de l'entreprise.

En mai 2020, seuls $200$ d'entre eux ont choisi le télétravail.

Chaque mois, depuis la mise en place de cette mesure, les dirigeants de l'entreprise constatent que $85$\,\% de ceux qui avaient choisi le télétravail le mois précédent choisissent de continuer, et que, chaque mois, $450$ collaborateurs supplémentaires choisissent le télétravail.

On modélise le nombre de collaborateurs de cette entreprise en télétravail par la suite $\left(a_n\right)$.

Le terme $a_n$ désigne ainsi une estimation du nombre de collaborateurs en télétravail le $n$-ième mois après le mois de mai 2020. Ainsi $a_0 = 200$.

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item $a_1 = a_0 \times \dfrac{85}{100}+ 450 = 200 \times \dfrac{85}{100}+ 450 = 620$

\item Prendre les 85\,\% du nombre de collaborateurs en télétravail revient à multiplier par $0,85$; puis on ajoute 450 donc, pour tout entier naturel $n$, on a:
$a_{n+1} = 0,85a_n + 450$.

\item On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel n par: $v_n = a_n - \np{3000}$; on en déduit que $a_n=v_n+\np{3000}$.

	\begin{enumerate}
		\item %Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison $0,85$. 
\begin{list}{\textbullet}{}
\item $v_{n+1} = u_{n+1} - \np{3000} = 0,85 u_n + 450 - \np{3000} = 0,85\left (v_n + \np{3000}\right ) -\np{2550} \\
\phantom{v_{n+1}}
= 0,85 v_n  + \np{2550} - \np{2550} = 0,85 v_n$
\item $v_0=u_0 - \np{3000} = 200 - \np{3000} = -\np{2800}$
\end{list}		
		
Donc la suite $(v_n)$ est géométrique de raison $q=0,85$ et de premier terme $v_0=-\np{2800}$.		
	
		\item On en déduit que, pour tout $n$, on a $v_n=v_0\times q^n = -\np{2800}\times 0,85^n$.
		
		\item Or $u_n=v_n+\np{3000}$ donc, pour tout entier naturel $n$,\,
$a_n = \np{- 2800} \times  0,85^n + \np{3000}$.
	\end{enumerate}
	
\item Le nombre de mois au bout duquel le nombre de télétravailleurs sera strictement supérieur à \np{2500}, après la mise en place de cette mesure dans l'entreprise est le nombre entier $n$ tel que $a_n>\np{2500}$; on résout cette inéquation:

$a_n>\np{2500}
\iff \np{- 2800} \times  0,85^n + \np{3000} > \np{2500}
\iff 500 > \np{2800} \times  0,85^n
\iff \dfrac{500}{\np{2800}} > 0,85^n\\[5pt]
\phantom{a_n>\np{2500}}
\iff \ln\left ( \dfrac{500}{\np{2800}} \right ) > \ln \left (0;85^n\right )
\iff \ln\left ( \dfrac{5}{28} \right ) > n\times \ln \left (0;85\right )
\iff \dfrac{\ln\left ( \frac{5}{28} \right )}{\ln \left (0,85\right )} <n$

Or $\dfrac{\ln\left ( \frac{5}{28} \right )}{\ln \left (0,85\right )}\approx 10,6$, donc le nombre de mois au bout duquel le nombre de télétravailleurs sera strictement supérieur à \np{2500} est 11.

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B }

\medskip

Afin d'évaluer l'impact de cette mesure sur son personnel, les dirigeants de l'entreprise sont parvenus à modéliser le nombre de collaborateurs satisfaits par ce dispositif à l'aide de la suite 
$\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = 1$ et, pour tout entier naturel $n$,

\[u_{n+1}  = \dfrac{5u_n + 4}{u_n + 2}\]

où $u_n$ désigne le nombre de milliers de collaborateurs satisfaits par cette nouvelle mesure au bout de $n$ mois après le mois de mai 2020.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $f$ la fonction  définie pour tout $x \in  [0~;~+\infty[$ par $f(x) = \dfrac{5x+4}{x+2}$.

$f$ est une fonction rationnelle définie sur $[0~,~+\infty[$ donc elle est dérivable sur $[0~;~+\infty[$.

$f'(x)= \dfrac{5\times (x+2) - (5x+4)\times 1}{(x+2)^2} 
= \dfrac{5x+10 -5x-4)\times 1}{(x+2)^2} 
 = \dfrac{6}{(x+2)^2}$

$f'(x)>0$ sur $[0~,~+\infty[$, donc la fonction $f$ est strictement croissante sur $[0~;~+\infty[$.

\item 
	\begin{enumerate}
		\item Soit $\mathcal P$ la propriété $0 \leqslant u_n \leqslant  u_{n+1}  \leqslant  4$.
		
\begin{list}{\textbullet}{}
\item \textbf{Initialisation}

$u_0 = 1$ et $u_1 = \dfrac{5\times u_0 +4}{u_0+1} = \dfrac{5\times 1+4}{1+2} = \dfrac{9}{3} = 3$

$0\leqslant 1 \leqslant 3 \leqslant 4$, soit $0\leqslant u_0 \leqslant u_1 \leqslant 4$, donc la propriété est vraie pour $n=0$.

\item \textbf{Hérédité}

On suppose la propriété vraie au rang $n\geqslant 0$, c'est-à-dire $0 \leqslant u_n \leqslant  u_{n+1}  \leqslant  4$.

La fonction $f$ est strictement croissante sur $[0~;~+\infty[$ donc sur $[0~;~4[$, donc de la relation $0 \leqslant u_n \leqslant  u_{n+1}  \leqslant  4$, on déduit $f(0) \leqslant f(u_n) \leqslant  f(u_{n+1} ) \leqslant  f(4)$.

$f(0)=\dfrac{4}{2}= 2 \geqslant 0$; $f(u_n)=u_{n+1}$; $f(u_{n+1})=u_{n+2}$ et $f(4)=\dfrac{24}{6}=4$

On a donc: $0\leqslant u_{n+1} \leqslant u_{n+2} \leqslant 4$, donc la propriété est vraie au rang $n+1$.

\item \textbf{Conclusion}

La propriété est vraie au rang 0, et elle est héréditaire pour tout $n\geqslant 0$, donc, d'après le principe de récurrence, la propriété est vraie pour tout $n\geqslant 0$.

\end{list}		

On a donc démontré que pour tout $n$, on a: $0 \leqslant u_n \leqslant  u_{n+1}  \leqslant  4$.
		
		\item %Justifier que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.
\begin{list}{\textbullet}{}
\item Pour tout $n$, on a; $u_n \leqslant u_{n+1}$ donc la suite $(u_n)$ est croissante.
\item Pour tout $n$, on a; $u_n \leqslant 4$ donc la suite $(u_n)$ est majorée.
\end{list}

La suite $(u_n)$ est croissante et majorée donc, d'après le théorème de la convergence monotone, la suite $(u_n)$ est convergente.

	\end{enumerate}
	
\item On admet que pour tout entier naturel $n$,
$0  \leqslant 4 - u_n \leqslant 3 \times \left(\dfrac{1}{2}\right)^n$.

La suite $ \left (3 \times \left(\dfrac{1}{2}\right)^n\right )$ est géométrique de raison $q=\dfrac{1}{2}$; or $-1<\dfrac{1}{2}<1$ donc la suite $ \left (3 \times \left(\dfrac{1}{2}\right)^n\right )$ converge vers 0.

D'après le théorème des gendarmes, on déduit
$\ds\lim_{n \to +\infty} \left (4 - u_n \right )=0$
et donc 

$\ds\lim_{n \to +\infty} \left(u_n \right )=4$.

%En déduire la limite de la suite $\left(u_n\right)$ et l'interpréter dans le contexte de la modélisation.

Cela signifie que le nombre de collaborateurs satisfaits va tendre vers 4 milliers sur les \np{5000} que compte l'entreprise.

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large \textsc{EXERCICE au choix du candidat} \hfill 5 points}

\textbf{Le candidat doit traiter un seul des deux exercices A ou B}

\textbf{Il indique sur sa copie l'exercice choisi: exercice A ou exercice B.}

\bigskip

{\large\textbf{EXERCICE A - Géométrie dans l'espace}}

\medskip

Dans un repère orthonormé de l'espace, on considère les points suivants :

\hfill{}$\text{A}(2~;~-1~;~0)$, $\text{B}(3~;~-1~;~2)$, $\text{C}(0~;~4~;~1)$ et $\text{S} (0~;~1~;~4)$.\hfill{}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item %Montrer que le triangle ABC est rectangle en A.
$\vectt{AB}\,:\,
\begin{pmatrix}
3-2 \\-1-(-1)\\2-0
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
1\\0\\2
\end{pmatrix}$
et
$\vectt{AC}\,:\,
\begin{pmatrix}
0-2 \\4-(-1)\\1-0
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
-2 \\5\\1
\end{pmatrix}
$
donc

$\vectt{AB}\cdot \vectt{AC} = 1\times (-2) + 0\times 5 + 1 \times 2 = 0$
donc
$\vectt{AB}\perp \vectt{AC}$.

Le triangle ABC est donc rectangle en A.

\item  
	\begin{enumerate}
		\item Soit le vecteur $\vect{n}\begin{pmatrix}2\\1\\- 1\end{pmatrix}$.

Les vecteurs $\vectt{AB}$ et $\vectt{AC}$ ne sont pas colinéaires donc ce sont deux vecteurs directeurs du plan (ABC).
		
\begin{list}{\textbullet}{}
\item $\vect{n}\cdot \vectt{AB} = 2\times 1 + 1\times 0 + (-1)\times 2 = 0$ donc $\vect{n}\perp \vectt{AB}$ ;
\item $\vect{n}\cdot \vectt{AC} = 2\times (-2) + 1\times 5 + (-1)\times 1 = -4+5-1 = 0$ donc $\vect{n}\perp \vectt{AC}$.
\end{list}		
		
Le vecteur $\vect{n}$ est orthogonal aux deux vecteurs $\vectt{AB}$ et $\vectt{AC}$, donc il est orthogonal au plan (ABC).
				
		\item %En déduire une équation cartésienne du plan (ABC).
Le vecteur $\vect n$ est un vecteur normal au plan (ABC) donc le plan (ABC) a une équation cartésienne de la forme: $2x + 1y + (-1)z + d=0$ soit $2x+y-z=d=0$ où $d\in\R$.

$\text A \in \text{(ABC)}$ donc 	$2x_{\text A}+y_{\text A}-z_{\text A}+d=0$, c'est-à-dire $4 -1 +0 +d=0$, donc $d=-3$.
		
Le plan (ABC) a pour équation: $2x+y-z-3=0$.
		
		\item %Montrer que les points A, B, C et S ne sont pas coplanaires.
$2x_{\text S}+y_{\text S}-z_{\text S} - 3 = 0 + 1 -4 -3 = -6 \neq 0$ donc $\text S \not\in \text{(ABC)}$ 	donc  les points A, B, C et S ne sont pas coplanaires.	
		
	\end{enumerate}
	
\item  Soit $(d)$ la droite orthogonale au plan (ABC) passant par S. Elle coupe le plan (ABC) en H.
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(d)$.
La droite $(d)$ est orthogonale au plan (ABC) donc elle a pour vecteur directeur le vecteur $\vect n$. De plus elle contient le point S\,$(0~;~1~;~4)$. \\
Donc elle a pour représentation paramétrique:

$\left \lbrace
\begin{array}{l !{=} l !{+} l l}
x & 0 & 2\times t\\
y & 1& 1\times t & t\in\R\\
z & 4 &(-1)\times t
\end{array}
\right .$
soit 
$\left \lbrace
\begin{array}{l !{=} r l}
x & 2t\\
y & 1+t & t\in\R\\
z & 4 - t
\end{array}
\right .$		
		
		\item %Montrer que les coordonnées du point H sont H(2~;~2~;~3).
Le point H est l'intersection de la droite $(d)$ et du plan (ABC), donc ses coordonnées vérifient le système:

$\left \lbrace
\begin{array}{l !{=} r}
x & 2t\\
y & 1+t \\
z & 4 - t\\
2x+y-z-3 & 0
\end{array}
\right .$			
		
Donc: $2\left (2t\right ) + \left (1+t\right ) -\left (4-t\right )-3=0$, c'est-à-dire
$4t +1+t - 4 +t-3 =0$ soit $t=1$.

Pour $t=1$, on aura $x=2\times 1 = 2$,	$y=1+1=2$ et $z=4-1=3$.

Les coordonnées du point H sont donc $(2~;~2~;~3)$.
		
	\end{enumerate}
\item  On rappelle que le volume $\mathcal V$ d'un tétraèdre est $\mathcal V = \dfrac{\small \text{aire de la base} \times \text{hauteur}}{3}$.

\begin{list}{\textbullet}{}
\item La base est le triangle ABC rectangle en A dont l'aire vaut 
$\mathcal{A} = \dfrac{\text{AB}\times \text{AC}}{2}$.

$\text{AB}^2 = 1^2+ 0^2 + 2^2 = 5$ donc $\text{AB} = \sqrt{5}$

$\text{AC}^2 = (-2)^2+ 5^2 + 1^2 = 30$ donc $\text{AC}=\sqrt{30}$

$\mathcal{A} = \dfrac{\sqrt{5}\times \sqrt{30}}{2}=\dfrac{\sqrt{150}}{2}=\dfrac{5\sqrt{6}}{2}$

\item La hauteur est SH.

$\text{SH}^2 = (2-0)^2+(2-1)^2+3-4)^2=6$ donc $\text{SH}=\sqrt{6}$

\item $\mathcal{V} = \dfrac{1}{3} \times \mathcal{A}\times \text{SH} = \dfrac{1}{3}\times \dfrac{5\sqrt{6}}{2}\times \sqrt{6}=5$
\end{list}
% Calculer le volume du tétraèdre SABC.

\item  
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer la longueur SA.
		
		$\vectt{SA}\,:\,
\begin{pmatrix}
2-0 \\-1-1\\0-4
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
2 \\-2\\- 4
\end{pmatrix}
$
donc
$\text{SA}^2 = 2^2+(-2)^2+(-4)^2 = 24$ donc $\text{SA}=\sqrt{24}= \sqrt{4 \times 6} = 2\sqrt{6}$
		
		\item On indique que SB $= \sqrt{17}$.

%En déduire une mesure de l'angle $\widehat{\text{ASB}}$ approchée au dixième de degré.

$\vectt{SB}\,:\,
\begin{pmatrix}
3-0 \\(-1) - 1\\2 - 4
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
3 \\- 2\- 2
\end{pmatrix}
$
donc
$\vectt{SA}\cdot \vectt{SB} = 2\times 3 + (-2)\times (- 2) + (-4)\times (-2) = 18$.

Or $\vectt{SA}\cdot \vectt{SB} = \text{SA}\times \text{SB}\times \cos \left(\widehat{\text{ASB}}\right)$

Donc $18= 2\sqrt{6} \times \sqrt{17} \times \cos \left(\widehat{\text{ASB}}\right)$
et donc $\cos \left (\widehat{\text{ASB}}\right) = \dfrac{18}{2\sqrt{6} \times \sqrt{17}}
= \dfrac{9}{\sqrt{102}}$

On en déduit que $\widehat{\text{ASB}} \approx 26,98\degres$, soit $27,0\degres$ au dixième de degré près.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

{\large\textbf{EXERCICE B - Équations différentielles}}

\bigskip 

\textbf{Partie A}

\medskip

Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par :
$g(x) = 2\e^{\frac{-1}{3}x} + \dfrac{2}{3}x - 2.$

\smallskip

\begin{enumerate}
\item On admet que la fonction $g$ est dérivable sur $\R$ et on note $g'$ sa fonction dérivée.

%Montrer que, pour tout réel $x$ :
$g’(x) = 2\times \left ( -\dfrac{1}{3}\right ) \e^{\frac{-1}{3}x} + \dfrac{2}{3} = \dfrac{-2}{3}\text{e}^{- \frac{1}{3}x} + \dfrac{2}{3}$

\item %En déduire le sens de variations de la fonction $g$ sur $\R$.
$g'(x)=\dfrac{2}{3}\left ( 1- \e^{\frac{-1}{3}x}\right ) $

$g'(x)>0 
\iff 1- \e^{\frac{-1}{3}x} >0
\iff 1> \e^{\frac{-1}{3}x}
\iff \ln(1) > \dfrac{-1}{3}x
\iff 0 > \dfrac{-1}{3}x
\iff x > 0$

$g(0)=2\e^{0}- 0 - 2 = 0$ 

On en déduit les variations de la fonction $g$:

\begin{center}
%{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
%\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}%  paramètres
%\def\esp{\hspace*{2.5cm}}% pour modifier la largeur du tableau
%\def\hauteur{0pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur
%$\begin{array}{|c|*5{c}|}\hline
%x 		& -\infty 	& \esp 			& 0 				&\esp 	& +\infty \\ \hline
%g'(x) 	& 			& \pmb{+} 		&\vline\hspace{-2.7pt}0 	& \pmb{-} & \\ \hline
%		& 			& 				&\Rnode{min}{0}		&  			&\\
%g(x) 	& 			&				& 					&  		&  \rule{0pt}{\hauteur} \\ 
%		& \Rnode{max1}{\phantom{8}}	&					&		&			&\Rnode{max2}{\phantom{8}} \rule{0pt}{\hauteur}
%\ncline{->}{max}{min1} 
%\ncline{->}{min2}{max} 
%\\
%\hline
%\end{array} $
%}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(7,3)
\psframe(7,3)\psline(0,2)(7,2)\psline(0,2.5)(7,2.5)\psline(1,0)(1,3)
\psline{->}(1.5,1.5)(3.5,0.5)\psline{->}(4.5,0.5)(6.5,1.5)
\uput[u](0.5,2.4){$x$} \uput[u](1.5,2.4){$-\infty$} \uput[u](4,2.4){$0$} \uput[u](6.5,2.4){$+ \infty$} 
\uput[u](0.5,1.9){$g'(x)$} \uput[u](2.5,1.9){$-$} \uput[u](4,1.9){$0$} \uput[u](5.5,1.9){$+$} \uput[u](4,0){$0$}
\rput(0.5,1){$g(x)$}
\end{pspicture}
\end{center}	

\item %Déterminer le signe de $g(x)$, pour tout $x$ réel.
D'après le tableau de variations de $g$, on a : $g(x)\geqslant 0$ pour tout réel $x$.
\end{enumerate}

Un tracé de la courbe représentative sur la calculatrice le confirme.
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-5,-1)(5,4)
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-5,0)(5,4)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-4.5}{5}{2 x mul 3 div 2 sub 2.71828 x 3 div neg exp 2 mul add}
\end{pspicture}
\end{center}
\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère l'équation différentielle
$\qquad (E) :\qquad  3y' + y = 0.$

%Résoudre l'équation différentielle $(E)$.

$(E) \iff y'+\dfrac{1}{3}y=0$ qui a pour solutions d'après le cours, les fonctions $h$ définies par $h(x)=C\times \e^{\frac{-1}{3}x}$, où $C\in\R$.

\item La solution particulière dont la courbe représentative, dans un repère du plan, passe par le point M(0~;~2) vérifie $h(0)=2$, c'est-à-dire $C\e^{0}=2$, donc $C=2$.

La solution particulière cherchée est la fonction $h$ définie par $h(x)=2\e^{\frac{-1}{3}x}$.

\item Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par :
$f(x) = 2\text{e}^{- \frac{1}{3}x}$
 et $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative.
 
	\begin{enumerate}
		\item La tangente $\left(\Delta_0\right)$ à la courbe $\mathcal{C}_f$ en M(0~;~2) a pour équation:
		
$y = f'(0)\left (x-0\right ) + f(0)$.

$f(x)=2\e^{\frac{-1}{3}x}$ donc $f(0)=2$

$f'(x)= 2\times \left ( -\dfrac{1}{3} \right ) \e^{\frac{-1}{3}x} = -\dfrac{2}{3}\e^{\frac{-1}{3}x}$ donc $f'(0)=-\dfrac{2}{3}$
		
$\left(\Delta_0\right)$ a donc pour équation $y= - \dfrac{2}{3}x + 2$.

		\item Pour étudier, sur $\R$, la position de cette courbe  $\mathcal{C}_f$ par rapport à la tangente $\left(\Delta_0\right)$, on étudie le signe de $f(x)-\left ( -\dfrac{2}{3}x +2\right )$.
		
$f(x) -\left ( -\dfrac{2}{3}x +2\right ) = 2\e^{\frac{-1}{3}x} +\dfrac{2}{3}x - 2 = g(x)$; on sait d'après la partie A, que 

$g(x)\geqslant 0$ sur $\R$, donc la courbe $\mathcal{C}_f$ est toujours au dessus de la tangente $\Delta_0$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

\begin{enumerate}

\item Soit A le point de la courbe $\mathcal{C}_f$ d'abscisse $a$,\, $a$ réel quelconque.

La tangente $\left(\Delta_a\right)$ à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point A a pour équation
$y=f'(a) \left (x-a\right )+f(a)$ c'est-à-dire 
$y=-\dfrac{2}{3}\e^{\frac{-1}{3}x}\left (x-a\right )+2\e^{\frac{-1}{3}a}$.

Elle coupe l'axe des abscisses en un point P dont l'abscisse est solution de l'équation \\
$-\dfrac{2}{3}\e^{\frac{-1}{3}a}\left (x-a\right )+2\e^{\frac{-1}{3}a} = 0$.
On résout cette équation:

$-\dfrac{2}{3}\e^{\frac{-1}{3}a}\left (x-a\right )+2\e^{\frac{-1}{3}a} = 0
\iff  2\e^{\frac{-1}{3}a} = \dfrac{2}{3}\e^{\frac{-1}{3}a}\left (x-a\right )
\iff \dfrac{2\e^{\frac{-1}{3}a}}{\frac{2}{3}\e^{\frac{-1}{3}a}}=x-a\\
\phantom{-\dfrac{2}{3}\e^{\frac{-1}{3}a}\left (x-a\right )+2\e^{\frac{-1}{3}a} = 0}
\iff 3 = x-a \iff x=a+3$

Donc $\left(\Delta_a\right)$ coupe l'axe des abscisses en un point P de coordonnées $(a + 3~;~0)$.

\item La tangente $\left(\Delta_{-2}\right)$  à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point B d'abscisse $- 2$ coupe l'axe des abscisses au point P de coordonnées $(-2+3~;~0)$ soit $(1~;~0)$.

La tangente $\left(\Delta_{-2}\right)$ est donc la droite (BP).
\end{enumerate}
\end{document}