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% Tapuscrit : Denis Vergès 
% Merci à Nicolas Marco pour les sujets
% Corrigé : François Hache
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%%%%   Commandes perso FH
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\renewcommand{\d}{\,\text{d}}%  le d de différentiation
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\psdots(#1,#2)
\uput[#3](#1,#2){#4}
}
% permet de placer un point et de marquer son nom en même temps
% abscisse ordonnée emplacement et nom

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\setlength\parindent{0mm}


\begin{document}

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\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat ES}
\lfoot{\small{Centres étrangers}}
\rfoot{\small{12 juin  2014 - Corrigé}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center} 
{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat ES Centres étrangers~\decofourright\\[10pt]  
12 juin  2014}}
\end{center}

%\vspace{0,25cm}
%\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\subsection*{Exercice 1 \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

%\medskip
%
%Une grande entreprise vient de clôturer sa campagne de recrutement qui s'est déroulée en deux temps :
%
%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item premier temps : étude du dossier présenté par le candidat ; 
%\item deuxième temps: entretien en vue du recrutement.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
%
%\medskip
% 
%Le processus de recrutement mis en œuvre par l'entreprise est le suivant :
%
%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item si le dossier est jugé de bonne qualité, alors le candidat est reçu en entretien par le directeur des ressources humaines ; 
%\item si le dossier n'est pas jugé de bonne qualité, alors le candidat subit des tests puis est reçu en entretien par le directeur de l'entreprise.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
% 
%Dans les deux cas, à l'issue de l'entretien, le candidat est recruté ou ne l'est pas. 
%
%\medskip
%
%À l'issue de cette campagne de recrutement, l'entreprise publie les résultats suivants :
%
%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~~$] 30\,\% des candidats avaient un dossier jugé de bonne qualité ; 
%\item[$\bullet~~$]20\,\% des candidats n'ayant pas un dossier jugé de bonne qualité ont été recrutés ;
%\item[$\bullet~~$]38\,\% des candidats ont été recrutés.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item On prend un candidat au hasard et on note :
 
\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $D$ l'évènement \og  le candidat a un dossier jugé de bonne qualité \fg{} ; 
\item[$\bullet~~$] $R$ l'évènement \og  le candidat est recruté par l'entreprise \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
	\begin{enumerate}

		\item% Représenter cette situation à l'aide d'un arbre pondéré. 

On représente la situation par un arbre pondéré:

\medskip

{
\begin{center}
\pstree[linecolor=blue,treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt,levelsep=4cm,treesep=1cm]{\TR{}}
{
	\pstree[nodesepA=3pt]{\TR{$D$}\taput{0,30}}
	  { 
		  \TR{$R$}\taput{}
		  \TR{$\overline{R}$}\tbput{}	   
	  }
	\pstree[nodesepA=3pt]{\TR{$\overline{D}$}\tbput{$1-0,30=0,70$}}
	  {
		  \TR{$R$}\taput{$1-0,80 = 0,20$}
		  \TR{$\overline{R}$}\tbput{$0,80$}	
	  }
}
\end{center}
}

\medskip

		\item% Calculer la probabilité que le candidat n'ait pas un dossier de bonne qualité et ne soit pas recruté par l'entreprise. 

Le candidat n'a pas un dossier de bonne qualité et n'est pas recruté par l'entreprise correspond à l'événement $\overline D \cap \overline R$.

D'après l'arbre pondéré, on peut dire que $P(\overline D \cap \overline R) = 0,7 \times 0,8 = 0,56$.

		\item% Montrer que la probabilité de l'événement $D \cap R$ est égale à $0,24$.
		
D'après le texte, on sait que $P(R)=0,38$.

En utilisant la formule des probabilités totales:
$P(R) = P(D \cap R) + P(\overline D \cap R)$ 

donc
$0,38 = P(D \cap R) + 0,7 \times 0,2 \iff
0,38 - 0,14 = P(D \cap R)
\iff P(D \cap R) = 0,24$ 		 

		\item% En déduire la probabilité qu'un candidat soit recruté sachant que son dossier est jugé de bonne qualité. Compléter l'arbre pondéré réalisé dans la question a.

Un candidat est recruté sachant que son dossier est jugé de bonne qualité correspond à l'événement $P_D(R)$.

$P_D(R) = \dfrac{P(D \cap R)}{P(D)} = \dfrac{0,24}{0,3}=0,8$

On peut donc compléter l'arbre pondéré:

\medskip

\begin{center}
\pstree[linecolor=blue,treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt,levelsep=4cm,treesep=1cm]{\TR{}}
{
	\pstree[nodesepA=3pt]{\TR{$D$}\taput{0,30}}
	  { 
		  \TR{$R$}\taput{\red $0,8$}
		  \TR{$\overline{R}$}\tbput{\red $1-0,80=0,20$}	   
	  }
	\pstree[nodesepA=3pt]{\TR{$\overline{D}$}\tbput{$0,70$}}
	  {
		  \TR{$R$}\taput{$0,20$}
		  \TR{$\overline{R}$}\tbput{$0,80$}	
	  }
}
\end{center}

\medskip

	\end{enumerate} 
\item Dix personnes postulent pour un emploi dans l'entreprise. Les études de leurs candidatures sont faites indépendamment les unes des autres. On désigne par $X$ la variable aléatoire donnant le nombre de personnes recrutées parmi les 10 personnes. 
	\begin{enumerate}
	
		\item% Justifier que $X$ suit une loi binomiale de paramètres $n = 10$ et $p = 0,38$. 

La probabilité qu'une personne soit recrutée est $p=0,38$.

Dix personnes postulent pour un emploi dans l'entreprise. Les études de leurs candidatures sont faites indépendamment les unes des autres, on est donc dans un cas de répétition de 10 épreuves indépendantes; la variable aléatoire $X$ qui donne le nombre de personnes recrutées par l'entreprise suit donc la loi binomiale de paramètres $n=10$ et $p=0,38$.


		\item% Calculer la probabilité qu'au moins une des dix personnes soit recrutée. On donnera la valeur exacte puis une valeur du résultat arrondie à $10^{- 3}$.

Dans le cas d'une variable aléatoire qui suit une loi binomiale de paramètres $n$ et $p$, on sait que la probabilité d'obtenir $k$ succès est:

\[
P(X=k) = \binom{n}{k} p^k \left (1-p\right )^{n-k}
\]

On demande la probabilité qu'au moins une des dix personnes soit recrutée, c'est-à-dire
$P(X \pg 1)$.

$P(X \pg 1) = 1-P(X<1) = 1-P(X=0) = 1- \ds\binom{10}{0}\times 0,38^0 \times \left (1-0,38\right )^{10-0} = 1 - 0,62^{10}
\approx \np{0,992}$

	\end{enumerate}
	 
\item% Deux amis, Aymeric et Coralie, sont convoqués le même jour pour un entretien avec la direction des ressources humaines. 

Coralie arrive à 8~h~30 alors qu'Aymeric arrive au hasard entre 8~h et 9~h. 

On désigne par $T$ la variable aléatoire donnant l'heure d'arrivée d'Aymeric et on admet que $T$ suit la loi uniforme sur l'intervalle [8~;~9]. 

%Déterminer la probabilité pour que Coralie attende Aymeric plus de dix minutes. 

Pour que Coralie attende Aymeric plus de dix minutes, il faut qu'Aymeric arrive après 8~h~40, c'est-à-dire entre 8~h~40 et 9~h; la période de temps est de 40~minutes. De plus 40~minutes correspondent à $\dfrac{2}{3}$ d'heure; on cherche donc $P\left ( 8+\dfrac{2}{3} < T \pp 9\right )$.

Comme $T$ suit une loi uniforme sur $\cd 8\,;\,9\cg$, 
$P\left ( 8+\dfrac{2}{3} < T \pp 9\right )=\dfrac{9-\left (8 + \dfrac{2}{3}\right )}{9 - 8} = \dfrac{1}{3}$.

La probabilité que Coralie attende Aymeric plus de 10 minutes est donc de $\dfrac{1}{3}$.

\end{enumerate}

%\vspace{0,5cm}
%\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points}

\subsection*{Exercice 2 \hfill 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

%\medskip
%\textbf{Partie A : Étude d'une fonction}
%\medskip

\subsubsection*{Partie A: \'Etude d'une fonction}
 
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par 
$f(x) = x\e^{x^2 - 1}$.
 
%$\mathcal{C}_{f}$ est la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormé du plan. On note $f'$ la fonction dérivée de $f$ et $f''$ la fonction dérivée seconde de $f$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}

		\item% Montrer que pour tout réel $x,\: f'(x) =  \left(2x^2 + 1\right)\text{e}^{x^2 - 1}$. 

$f$ est le produit de deux fonctions dérivables sur $\R$ donc $f$ est dérivable sur $\R$.

D'après la formule de dérivation d'un produit:

$f'(x)= 1\times \e^{x^2-1} + x\times \left (2x \e^{x^2-1}\right ) = \left (2x^2+1\right )\e^{x^2-1}$

		\item% En déduire le sens de variation de $f$ sur $\R$.
Pour tout réel $x$, $2x^2+1>0$ et $\e^{x^2-1}>0$ donc $f'(x)>0$; la fonction $f$ est donc strictement croissante dur $\R$.


	\end{enumerate} 
\item On admet que pour tout réel $x,\: f''(x) = 2x\left(2x^2 + 3\right)\e^{x^2 - 1}$.
 
%Déterminer, en justifiant, l'intervalle sur lequel la fonction $f$ est convexe. 

La fonction $f$ est convexe sur les intervalles de $\R$ sur lesquels sa dérivée $f'$ est croissante, autrement dit quand sa dérivée seconde $f''$ est positive.

$f''(x)>0 \iff  2x\left(2x^2 + 3\right)\e^{x^2 - 1}>0 \iff x>0$ car, pour tout $x$, $2x^2+3>0$ et $\e^{x^2-1}>0$.

La fonction $f$ est donc convexe sur $\cg0\,;\, +\infty\cd$.

\item Soit $h$ la fonction définie sur $\R$ par 
$h(x) = x\left(1 - \text{e}^{x^2 - 1}\right)$.
 
	\begin{enumerate}
	
		\item% Justifier que l'inéquation $1 - \text{e}^{x^2 - 1} \geqslant 0$ a pour ensemble de solutions l'intervalle $[-1~;~1]$. 
On résout l'inéquation $1 - \e^{x^2 - 1} \geqslant 0$:

$\begin{array}{@{} l @{\ \iff\ } l l}
1 - \e^{x^2 - 1} \geqslant 0 & 1 \pg \e^{x^2-1} \\ 
 & \ln 1 \pg x^2-1 & (\text{la fonction ln est strictement croissante sur }\R_+^*)\\
 & 0 \pg (x-1)(x+1)\\
 & -1 \pp x \pp 1
\end{array}$ 

L'ensemble solution de l'inéquation $1 - \e^{x^2 - 1} \geqslant 0$ est donc l'intervalle $\cd -1\,;\, 1\cg$.


		\item% Déterminer le signe de $h(x)$ sur 1'intervalle $[-1~;~1]$. 
Sur l'intervalle $\cd -1\,;\, 1\cg$, $1-\e^{x^2-1}\pg 0$ donc $h(x)=x\left (1-\e^{x^2-1}\right )$ a le signe de $x$ sur $\cd -1\,;\, -1\cg$:

$h(x)< 0 $ sur $\cg -1\,;\, 0\cd$ et
$h(x)> 0 $ sur $\cg 0\,;\, 1\cd$; de plus $h(-1)=h(0)=h(1)=0$.


		\item% En remarquant que pour tout réel $x$, on a l'égalité $h(x) = x - f(x)$, déduire de la question précédente la position relative de la courbe 		$\mathcal{C}_{f}$ et de la droite $D$ d'équation $y = x$ sur l'intervalle [0~;~ 1].

$h(x)=x-f(x)\pg 0$ sur $\cd 0\,;\,1 \cg$, donc sur cet intervalle la droite $D$ d'équation $y=x$ est située au dessus de la courbe $\mathcal C_f$ représentant la fonction $f$. 

	\end{enumerate} 

\item Soit $H$ la fonction définie sur $\R$ par $H(x) = \dfrac{1}{2} \left( x^2 - \e^{x^2 - 1}\right )$ et soit $I = \displaystyle\int_{0}^1  h(x)\:\text{d}x$. 
 
On admet que $H$ est une primitive de la fonction $h$ sur $\R$. 

%Calculer la valeur exacte de $I$.

Comme $h$ est une primitive de $h$, $I = \displaystyle\int_{0}^1  h(x)\d x = H(1)-H(0) = 0 -\left ( -\dfrac{\e^{-1}}{2}\right ) = \dfrac{1}{2\e}$

\end{enumerate}

%\bigskip
%\textbf{Partie B : Applications}
%\medskip


\subsubsection*{Partie B: Applications}
 
%Sur le graphique suivant, sont tracées sur l'intervalle [0~;~1] :
% 
%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~~$] la courbe $\mathcal{C}_{f}$ représentative de la fonction étudiée en partie A ; 
%\item[$\bullet~~$]la courbe $\mathcal{C}_{g}$ représentative de la fonction définie par $g(x) = x^3$ ; 
%\item[$\bullet~~$] la droite $D$ d'équation $y = x$. 
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
%
%\begin{center}
%\psset{unit=10cm}
%\begin{pspicture}(-0.15,-0.1)(1.1,1.1)
%\psaxes[comma,linewidth=1.25pt,Dx=0.5,Dy=0.5]{->}(0,0)(-0.15,-0.1)(1.1,1.1)[$x$,d][$y$,210]
%\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=20,griddots=5](0,0)(1,1)
%\psline[linewidth=1.5pt,linestyle=dashed](1,1)
%\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{1}{2.71828 x dup mul 1 sub exp x mul}
%\uput[ul](0.7,0.42){\blue $\mathcal C_f$}
%\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0}{1}{x 3 exp}
%\uput[dr](0.7,0.343){\red $\mathcal C_g$}
%\psline[linestyle=dashed](0.5,0)(0.5,0.125)(0,0.125)
%\psdots[dotstyle=+](0.5,0.125)
%\uput[l](0,0.125){$0,125$}
%\uput[u](0.5,0.125){$M$}
%\uput[ul](0.8,0.8){$D$}
%\end{pspicture}
%\end{center}
%
%Les courbes $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{g}$ illustrent ici la répartition des salaires dans deux entreprises F et G :
%
%\medskip
% 
%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~~$] sur l'axe des abscisses, $x$ représente la proportion des employés ayant les salaires les plus faibles par rapport à l'effectif total de l'entreprise ; 
%\item[$\bullet~~$] sur l'axe des ordonnées, $f(x)$ et $g(x)$ représentent pour chaque entreprise la proportion de la  masse salariale (c'est-à-dire la somme de tous les salaires) correspondante.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
%
%\medskip
% 
%\emph{Par exemple :}
% 
%\emph{Le point $M(0,5~;~0,125)$ est un point appartenant à la courbe 
%$\mathcal{C}_{g}$. Pour l'entreprise G cela se traduit de la façon suivante :\\ 
%si on classe les employés par revenu croissant, le total des salaires de la première moitié (c'est-à-dire des 50\,\% aux revenus les plus faibles) représente 12,5\,\% de la masse salariale.}
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item% Calculer le pourcentage de la masse salariale détenue par 80\,\% des employés ayant les salaires les plus faibles dans l'entreprise F. On donnera une valeur du résultat arrondie à l'unité. 

Le pourcentage de la masse salariale détenue par 80\,\% des employés ayant les salaires les plus faibles dans l'entreprise F est donné par $f(0,8)\approx 0,558$; il est donc à peu près de $56\,\%$.


\item On note $\mathcal{A}_{f}$ l'aire du domaine délimité par la droite $D$, la courbe $\mathcal{C}_{f}$ et les droites d'équations $x=0$ et $x = 1$.



On appelle indice de Gini associé à la fonction $f$, le nombre réel noté $I_{f}$ et défini par $I_{f} = 2 \times \mathcal{A}_{f}$.

	\begin{enumerate}

		\item% Montrer que $I_{f} = \dfrac{1}{\text{e}}$. 

D'après le cours et ce qui a été vu dans les questions précédentes:
 
$\mathcal A_f = \ds\int_0^1 \left (x-f(x)\right ) \d x = I = \dfrac{1}{2\e}$;
donc $I_{f} = 2 \times \mathcal{A}_{f} = \dfrac{1}{\e}$.


		\item% On admet que, plus l'indice de Gini est petit, plus la répartition des salaires dans l'entreprise est égalitaire. 
%Déterminer, en justifiant, l'entreprise pour laquelle la distribution des salaires est la plus égalitaire.

\textit{On peut répondre à cette question par des considérations géométriques ou analytiques.}

\begin{list}{\textbullet}{}

\item Sur $\cd 0\,;\, 1\cg$, la courbe $\mathcal C_f$ est entièrement située au-dessus de la courbe $\mathcal C_g$; donc l'aire comprise entre la droite $D$, la courbe $\mathcal C_f$ et les droites d'équations $x=0$ et $x=1$ est plus petite que l'aire comprise entre la droite $D$, la courbe $\mathcal C_g$ et les droites d'équations $x=0$ et $x=1$. Ce qui entraine que $I_f < I_g$ .

\item On peut calculer $I_g$:

$I_g = 2 \ds\int_0^1 \left (x-g(x)\right ) \d x = 2 \ds\int_0^1 \left (x- x^3\right ) \d x = 2 \left [\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{x^4}{4} \right ]_0^1 = 2\times \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{2} >\dfrac{1}{\e}$

\end{list}

On peut donc dire que l'entreprise pour laquelle la distribution des salaires est la plus égalitaire est l'entreprise F.

	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

%\vspace{0,5cm}
%\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\subsection*{Exercice 3 \hfill 5 points}

\textbf{Candidats de la série ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité et candidats de la série L}

\medskip 
 
Dans une ville, un nouveau lycée vient d'ouvrir ses portes et accueille pour sa première rentrée $500$~élèves. D'une année sur l'autre, le proviseur du lycée prévoit une perte de 30\,\% de l'effectif et l'arrivée de $300$~nouveaux élèves.
 
On modélise cette situation par une suite numérique $\left(u_{n}\right)$ où $u_{n}$ représente le nombre d'élèves inscrits au lycée pour l'année $2013 + n$, avec $n$ entier naturel. On a donc $u_{0} = 500$. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}

		\item% Calculer le nombre d'élèves qui seront inscrits au lycée en 2014. 		
En 2014, il part 30\,\% d'élèves donc il en reste 70\,\%: $500 \times 0,70 = 350$.

On sait que chaque année, 300 nouveaux élèves arrivent.

En 2015, il y en aura donc $350 + 300 = 650$.

		
		\item% Calculer Je nombre d'élèves qui seront inscrits au lycée en 2015.
		
En 2015, le lycée garde $650 \times 0,70 = 455$ élèves, auxquels il faut ajouter les 300 nouveaux: en 2015 il y aura donc $455+300=755$ élèves.		
		
	\end{enumerate} 

\item% Justifier que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n+1} = 0,7u_{n} + 300$. 
Pour déterminer le nombre d'élèves $u_{n+1}$ du lycée l'année $2013+(n+1)$, on garde $70\,\%$ du nombre d'élèves de l'année $2013+n$, soit $0,7 u_n$, et on ajoute 300.

Donc, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=0,7u_n+300$.


\item On souhaite, pour un entier $n$ donné, afficher tous les termes de la suite $\left(u_{n}\right)$ du rang $0$ au rang $n$; il faut donc choisir un algorithme qui effectuera $n+1$ affichages de la variable $u$ donnant la valeur de $u_n$.

L'algorithme 1 effectue $n$ affichages; l'algorithme 3 effectue un seul affichage en sortie de boucle.

L'algorithme permettant d'obtenir le résultat souhaité est donc l'algorithme 2. 

%Lequel des trois algorithmes suivants permet d'obtenir le résultat souhaité ? Justifier.
%
%\begin{center}
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
% Algorithme 1& Algorithme 2& Algorithme 3\\ \hline 
%\textbf{Variables :}& \textbf{Variables :}& \textbf{Variables :}\\ 
%$n, i$ entiers naturels,& 
%$n, i$ entiers naturels,& 
%$n, i$ entiers naturels,\\ 
%$u$ nombre réel& $u$ nombre réel& $u$ nombre réel\\ 
%\textbf{Début algorithme}&\textbf{Début algorithme}&\textbf{Début algorithme}\\ 
%Lire $n$&Lire $n$&Lire $n$\\ 
%$u$ prend la valeur $500$&$u$ prend la valeur $500$&$u$ prend la valeur $500$\\  
%Pour $i$ allant de 1 à $n$&Pour $i$ allant de 1 à $n$&Pour $i$ allant de 1 à $n$\\ 
%Afficher $u$&Afficher $u$& $u$ prend la valeur $0,7 \times u + 300$\\ 
%$u$ prend la valeur $0,7\times u + 300$&$u$ prend la valeur $0,7\times u + 300$& Fin Pour\\ 
%Fin Pour& Fin Pour& Afficher $u$\\ 
%&Afficher $u$&\\ 
%\textbf{Fin algorithme}&\textbf{Fin algorithme}&\textbf{Fin algorithme}\\
%\end{tabularx}
%\end{center} 

\item On considère la suite $\left(v_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par : $v_{n} = u_{n} - \np{1000}$.

On a donc $u_n=v_n+\np{1000}$. 

	\begin{enumerate}

		\item% Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison $q = 0,7$.

Pour tout $n$:

$v_{n+1} = u_{n+1}-\np{1000}= 0,7u_n+300-1000 = 0,7\left (v_n+\np{1000}\right ) -700 = 0,7v_n +700 -700 = 0,7v_n$

$v_0 = u_0 - \np{1000} = 500 - \np{1000} = -500$

Donc la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique de raison $q=0,7$ et de premier terme $v_0=-500$.

		\item% En déduire que, pour tout entier naturel $n,\: u_{n} = \np{1000} - 500 \times 0,7^n$. 

La suite $\left(v_n\right)$ est géométrique donc, pour tout $n$, $v_n=v_0\times q^n = -500 \times 0,7^n$.

Or $u_n=v_n+\np{1000}$ donc, pour tout entier naturel $n$, $u_n=\np{1000}-500 \times 0,7^n$.

		\item% Déterminer la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$. 
La suite $\left(v_n\right)$ est géométrique de raison $0,7$; or $0 \pp 0,7 < 1$ donc la suite $(v_n)$ est convergente et a pour limite 0.

Pour tout $n$, $u_n=v_n+\np{1000}$ donc la suite $\left(u_n\right)$ est convergente et a pour limite $\np{1000}$.

		\item% Interpréter le résultat précédent.
		
On peut dire que le nombre d'élèves du lycée va tendre vers $\np{1000}$.		

\textit{On peut aussi démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est croissante.}
		
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
	
		\item% Résoudre dans l'ensemble des entiers naturels l'inéquation $u_{n} \geqslant 990$. 

On résout l'inéquation $u_{n} \geqslant 990$:

$\begin{array}{@{} l @{\ \iff\ } l  l}
u_{n} \geqslant 990 & \np{1000} - 500 \times 0,7^n \pg 990\\
 & 10 \pg 500 \times 0,7^n\\
 & \dfrac{10}{500} \pg 0,7^n \\[10pt]
 & \ln \dfrac{1}{50} \pg n \times \ln 0,7 & (\text{croissance de la fonction ln})\\[10pt]
 & \dfrac{\ln \dfrac{1}{50\rule[-2pt]{0pt}{0pt}}}{\ln 0,7} \pp n & (\text{car } \ln 0,7 <0) 
\end{array}$

Or $\dfrac{\ln \dfrac{1}{50\rule[-2pt]{0pt}{0pt}}}{\ln 0,7} \approx 10,97$ donc $u_{n} \geqslant 990  \iff n \pg 11$.
		\item% Interpréter le résultat trouvé précédemment. 
D'après la question précédente, $u_n \pg 990$ si $n \pg 11$; donc à partir de l'année $2013 + 11 = 2024$, il y aura plus de 990 élèves dans le lycée.				
	\end{enumerate}
\end{enumerate} 

%\vspace{0,5cm}
%\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\subsection*{Exercice 3 \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité }

%\medskip 
%\textbf{Partie A : Étude d'un graphe}
%\medskip
 
\subsubsection*{Partie A: \'Etude d'un graphe} 
 
On appelle $\mathcal{G}$ le graphe donné dans le texte. 

%\begin{center} 
%\begin{pspicture}(9,6)
%\cnodeput(4,4){A}{A}
%\cnodeput(3.5,2){B}{B}
%\cnodeput(6,0.5){C}{C}
%\cnodeput(2,5){D}{D}
%\cnodeput(1.5,2.5){E}{E}
%\cnodeput(0.5,2){F}{F}
%\cnodeput(8.5,2){G}{G}
%\cnodeput(6,5){H}{H}
%\cnodeput(6.75,2.5){I}{I}
%\ncline{A}{B}
%\ncline{A}{C}
%\ncline{A}{D}
%\ncline{A}{H}
%\ncline{D}{B}
%\ncline{E}{B}
%\ncline{F}{B}
%\ncline{C}{B}
%\ncline{C}{H}
%\ncline{C}{G}
%\ncline{D}{E}
%\ncline{D}{F}
%\ncline{G}{I}
%\ncline{G}{H}
%\ncline{I}{H}
%\end{pspicture}
%\end{center}

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item% Déterminer en justifiant si le graphe $\mathcal{G}$ est complet.		
Dans le graphe $\mathcal G$, il y a des sommets, par exemple A et E, qui ne sont pas reliés par une arête, donc le graphe $\mathcal G$ n'est pas complet.
		\item% Déterminer en justifiant si le graphe $\mathcal{G}$ est connexe.
Deux sommets quelconques du graphe $\mathcal G$ sont reliés par un chemin, donc le graphe $\mathcal G$ est connexe.		
	\end{enumerate} 	
\item 
	\begin{enumerate}
		\item% Donner le degré de chacun des sommets du graphe $\mathcal{G}$. 
Le degré d'un sommet est le nombre d'arêtes arrivant (ou partant) de ce sommet.		

Le tableau ci-dessous donne les degrés de chaque sommet:

\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline 
Sommet & A & B & C & D & E & F & G & H & I \\ 
\hline 
Degré & 4 & 5 & 4 & 4 & 2 & 2 & 3 & 4 & 2 \\ 
\hline 
\end{tabular} 
\end{center}
		\item% Déterminer en justifiant si le graphe $\mathcal{G}$ admet un cycle eulérien ou une chaîne eulérienne.

Un cycle eulérien est un trajet qui part de n'importe quel sommet et qui revient au même sommet en étant passé une fois et une seule par chaque arête. Un graphe admet un cycle eulérien si et seulement si chacun de ses sommets est de degré pair; ce n'est pas le cas du graphe $\mathcal G$, donc le graphe $\mathcal G$ n'admet pas de cycle eulérien.

Une chaîne eulérienne est un trajet qui part d'un sommet et qui passe par toutes les arêtes une fois et une seule. Un graphe admet une chaîne eulérienne si et seulement s'il possède exactement deux sommets de degrés impairs. C'est le cas du graphe $\mathcal G$, donc le graphe $\mathcal G$ admet une chaîne eulérienne.
Cette chaîne part d'un des deux sommets de degré impair et arrive à l'autre.

Exemple de chaîne eulérienne: 
B -- F -- D -- B -- E -- D -- A -- B -- C -- A -- H -- C -- G -- I -- H -- G

	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item% Donner la matrice $M$ associée au graphe $\mathcal{G}$ (les sommets seront rangés dans l'ordre alphabétique).


La matrice d'adjacence $M$ associée au graphe est une matrice carrée d'ordre 9 (le nombre de sommets), ne contenant que des 0 et des 1. Si une arête relie le sommet numéro $i$ (avec $1 \leqslant i \leqslant 9$) au sommet numéro $j$ (avec $1 \leqslant j \leqslant 9$), on mettra un 1 à la ligne $i$ et la colonne $j$ de la matrice; sinon on mettra un 0.

Donc la matrice d'adjacence du graphe $\mathcal G$ est:
$M=
\begin{pmatrix}
0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\
1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\
1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 
\end{pmatrix}$

		\item On donne : 
$M^2 = \begin{pmatrix}  
4& 2& 2& 1& 2& 2& 2& 1& 1\\ 
2& 5& 1& 3& 1& 1& 1& 2& 0\\ 
2& 1& 4& 2& 1& 1& 1& 2& 2\\ 
1& 3& 2& 4& 1& 1& 0& 1& 0\\ 
2& 1& 1& 1& 2& 2& 0& 0& 0\\ 
2& 1& 1& 1& 2& 2& 0& 0& 0\\ 
2& 1& 1& 0& 0& 0& 3& 2& 1\\ 
1& 2& 2& 1& 0& 0& 2& 4& 1\\ 
1& 0& 2& 0& 0& 0& 1& 1& 2\\
\end{pmatrix}.$ 

%Montrer, par le calcul, que le coefficient de la septième ligne et quatrième colonne de la matrice $M^3$ est égal à $3$. 

$M^3=M^2 \times M$ donc le coefficient situé à la 7\ieme{} ligne et 4\ieme{} colonne de la matrice $M^3$ s'obtient en faisant le produit de la 7\ieme{} ligne de la matrice $M^2$ par la 4\ieme{} colonne de la matrice $M$, c'est-à-dire:

{\centering 
$\begin{pmatrix}
2 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 3 & 2 & 1
\end{pmatrix}
\times
\begin{pmatrix}
1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0
\end{pmatrix}
=
2 \times 1 + 1 \times 1 + 1 \times 0 + 0 \times 0 + 0 \times 1 + 0 \times 1 + 3 \times 0 + 2 \times 0 + 1 \times 0 = 3
$ \par}

\textit{Remarque: comme on peut écrire $M^3$ sous la forme $M \times M^2$, on aurait pu aussi calculer le coefficient cherché en faisant le produit de la 7\ieme{} ligne de la matrice $M$ par la 4\ieme{} colonne de la matrice $M^2$.}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

%\bigskip
%\textbf{Partie B : Applications}
%\medskip

\subsubsection*{Partie B: Applications}

%\emph{Dans cette partie, on pourra justifier les réponses en s'aidant de la partie A}

\medskip
 
On donne dans le texte le plan simplifié d'un lycée.

%\psset{unit=1cm}
%\begin{center}
%\begin{pspicture}(12,6.6)
%\psframe(12,6.6)
%\psline(5.7,0)(5.7,1.5)(6.1,1.5)
%\psline(7.2,1.5)(7.5,1.5)(7.5,5.4)
%\psline(6.4,5.4)(8.1,5.4)
%\psline(8.4,5.4)(9.5,5.4)
%\psline(9.5,0)(9.5,1.8)
%\psline(9.5,3.3)(9.5,5.8)
%\psline(9.5,6.1)(9.5,6.6)
%\psline(4.5,5.4)(5.6,5.4)
%\psline(5,5.4)(5,5.8)
%\psline(5,6.1)(5,6.6)
%\psline(3.2,5.4)(4.3,5.4)
%\psline(3.9,5.4)(3.9,4.3)
%\psline(3.9,2.7)(3.9,0)
%\psline(2.8,1.8)(3.2,1.8)
%\psline(3.5,1.8)(3.9,1.8)
%\psline(2.8,2.3)(2.8,1.5)(1.1,1.5)(1.1,4)(1.5,4)
%\psline(1.8,4)(2.8,4)(2.8,2.9)
%\psline(2.1,4)(2.1,4.3)
%\psline(2.1,4.7)(2.1,5.9)
%\psline(2.1,6.1)(2.1,6.6)
%\psline(2.1,5.4)(2.85,5.4)
%\psline(0,2.7)(0.4,2.7)
%\psline(0.7,2.7)(1.1,2.7)
%\rput(3.5,5.9){\footnotesize ADMINISTRATION}
%\rput(7.3,6.1){\footnotesize VIE SCOLAIRE}
%\rput(7.3,5.8){\footnotesize ET INFIRMERIE}
%\rput(1,5.1){\footnotesize SALLE DES}
%\rput(1,4.8){\footnotesize PROFESSEURS}
%\rput(1.8,0.8){\footnotesize CANTINE}
%\rput(2,2.6){\footnotesize C. D. I.}
%\rput(3.3,3.7){\footnotesize HALL 1}
%\rput(5.5,3.4){\footnotesize HALL 2}
%\rput(8.5,2.3){\footnotesize BÂTIMENT 1}
%\rput(10.8,3.2){\footnotesize BÂTIMENT 2}
%\end{pspicture}
%\end{center} 

\begin{enumerate}
\item Le graphe $\mathcal{G}$ donné en partie A modélise cette situation. 

En utilisant les degrés de chaque sommet du graphe $\mathcal G$, on peut établir la correspondance entre ce graphe et le plan; le degré de chaque sommet correspond au nombre de portes de chaque lieu du lycée.

%Recopier et compléter le tableau suivant:

%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
%Sommet du graphe $\mathcal{G}$&A&B&C&D&E&F&G&H&I\\ \hline 
%Lieu correspondant dans le lycée&&&&&&&&&\\ \hline
%\end{tabularx}
%\end{center} 

\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|}
\hline 
Sommet & Lieu correspondant dans le lycée  \\ 
\hline 
A & \textsc{administration}  \\ 
\hline 
B & \textsc{hall 1}  \\ 
\hline 
C & \textsc{hall 2}  \\ 
\hline 
D & \textsc{salle des professeurs}  \\ 
\hline 
E & \textsc{c.d.i.}  \\ 
\hline 
F & \textsc{cantine}  \\ 
\hline 
G & \textsc{bâtiment 1}  \\ 
\hline 
H & \textsc{vie scolaire et infirmerie}  \\ 
\hline 
I & \textsc{bâtiment 2}  \\ 
\hline 
\end{tabular}
 \end{center} 


\item Un élève a cours de mathématiques dans le bâtiment 1. À la fin du cours, il doit rejoindre la salle des professeurs pour un rendez~vous avec ses parents.
 
%Déterminer le nombre de chemins en trois étapes permettant à l'élève de rejoindre ses parents puis indiquer quels sont ces chemins. 

Le lieu \og{}\textsc{bâtiment 1}\fg{} correspond au sommet G (\no{} 7), et le lieu \og{}salle des professeurs\fg{} correspond au sommet D (\no{} 4); il s'agit donc dans cette question de déterminer le nombre de chemins de longueur 3 reliant le sommet G au sommet D. C'est le nombre que l'on trouvera dans la matrice $M^3$  à la 7\ieme{} ligne et 4\ieme{} colonne. D'après la question A.3.b. ce nombre vaut 3; il y a donc trois chemins de longueur 3 reliant le bâtiment 1 à la salle des professeurs.

Ce sont les chemins:

\begin{center}
\begin{tabular}{@{} l @{\ :\ } l l l l}
G -- H -- A -- D & \textsc{bâtiment 1} & \textsc{vie scolaire} & \textsc{administration} & \textsc{salle des professeurs}\\
G -- C -- A -- D & \textsc{bâtiment 1} & \textsc{hall 2} & \textsc{administration} &  \textsc{salle des professeurs} \\
G -- C -- B -- D & \textsc{bâtiment 1} & \textsc{hall 2} & \textsc{hall 1} & \textsc{salle des professeurs}
\end{tabular}
\end{center}

\item Le lycée organise une journée portes-ouvertes. 

	\begin{enumerate}

		\item% Déterminer, en justifiant, s'il est possible de visiter le lycée en empruntant une seule fois chaque passage entre les différents lieux. 
Visiter le lycée en empruntant une seule fois chaque passage entre les différents lieux, revient à parcourir le graphe $\mathcal G$ en passant par  chaque arête une fois et une seule.

On a vu dans la partie A que c'était possible: il faut simplement partir du \textsc{hall 1} (sommet B) et arriver au \textsc{bâtiment 1} (sommet G) ou le contraire. 

		\item Sur les arêtes du graphe $\mathcal{G}$, on a  indiqué les temps de parcours exprimés en seconde entre deux endroits du lycée.
		 
%\begin{center} 
%\begin{pspicture}(9,6)
%\cnodeput(4,4){A}{A}
%\cnodeput(3.5,2){B}{B}
%\cnodeput(6,0.5){C}{C}
%\cnodeput(2,5){D}{D}
%\cnodeput(1.5,2.5){E}{E}
%\cnodeput(0.5,2){F}{F}
%\cnodeput(8.5,2){G}{G}
%\cnodeput(6,5){H}{H}
%\cnodeput(6.75,2.5){I}{I}
%\ncline{A}{B}\ncput*{\bf \sf 30}
%\ncline{A}{C}\ncput*{\bf \sf 45}
%\ncline{A}{D}\ncput*{\bf \sf 70}
%\ncline{A}{H}\ncput*{\bf \sf 60}
%\ncline{D}{B}\ncput*{\bf \sf 80}
%\ncline{E}{B}\ncput*{\bf \sf 50}
%\ncline{F}{B}\ncput*{\bf \sf 35}
%\ncline{C}{B}\ncput*{\bf \sf 30}
%\ncline{C}{H}\ncput*{\bf \sf 25}
%\ncline{C}{G}\ncput*{\bf \sf 90}
%\ncline{D}{E}\ncput*{\bf \sf 60}
%\ncline{D}{F}\ncput*{\bf \sf 35}
%\ncline{G}{I}\ncput*{\bf \sf 20}
%\ncline{G}{H}\ncput*{\bf \sf 40}
%\ncline{I}{H}\ncput*{\bf \sf 25}
%\end{pspicture}
%\end{center}

L'algorithme de Dijkstra donne tous les chemins minimaux partant du sommet G, donc le chemin minimal allant de G à D:

\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\small
\newcommand{\sur}[1]{\fcolorbox{yellow}{yellow}{#1}}
\begin{tabular}{|*{10}{c|}}
\hline 
\  G\   & A &  B  & C &  D  &  E   &   F   &   H   & I & On garde \\ 
\hline 
\sur{0} & $\infty$ 		& $\infty$ & $\infty$ & $\infty$ & $\infty$ & $\infty$  & $\infty$  & $\infty$  & G \\
\hline
 		& $\infty$ 	& $\infty$ 	& 90 G & $\infty$ & $\infty$ & $\infty$ & 40 G &  \sur{20 G} &  I (G) \\
\hline
 		& $\infty$ 	& $\infty$ 	& 90 G & $\infty$ & $\infty$ & $\infty$ & \sur{40 G} &   &   \\[-3pt]
 		&  	&  	&  &  &  &  & \sout{45 I} &   &  H (G) \\ 		
\hline
 		& 100 H 	& $\infty$ 	& \sout{90 G} & $\infty$ & $\infty$ & $\infty$ &  &   &   \\[-3pt]
 		&  	&  	& \sur{65 H} &  &  &  &  &   &  C (H) \\ 
\hline
 		& 100 H 	& \sur{95 C} 	&  & $\infty$ & $\infty$ & $\infty$ &  &   &   \\[-3pt]
 		&  \sout{110 C} 	&  	&  &  &  &  &  &   &  B (C) \\
\hline
 		& \sur{100 H} 	&  	&  & 175 B & 145 B & 130 B &  &   &   \\[-3pt]
 		&  \sout{125 B} 	&  	&  &  &  &  &  &   &  A (H) \\
\hline
 		&  	&  	&  & \sout{175 B} & 145 B & \sur{130 B} &  &   &   \\[-3pt]
 		&  	&  	&  &  170 A     &       &       &  &   &  F (B) \\
\hline
 		&  	&  	&  & \sout{170 A} & \sur{145 B} &  &  &   &   \\[-3pt]
 		&  	&  	&  &  165 F     &       &       &  &   &  E (B) \\
\hline
 		&  	&  	&  & \sur{165 F} &  &  &  &   &  D (F) \\
\hline
\end{tabular}
}
\end{center} 

\normalsize 

\medskip

Le trajet le plus rapide pour aller de G à D est:
G $\stackrel{40}{\longrightarrow}$
H $\stackrel{25}{\longrightarrow}$
C $\stackrel{30}{\longrightarrow}$ 
B $\stackrel{35}{\longrightarrow}$ 
F $\stackrel{35}{\longrightarrow}$ D 
 
Le temps minimal est de 165 secondes.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

%\vspace{0,5cm}
%\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 4 points}

%\newpage

\subsection*{Exercice 4 \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

%\medskip
% 
%L'entreprise Printfactory fabrique, en grande quantité, des cartouches d'encre noire pour imprimante.
% 
%Pour chacune des quatre affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse \textbf{en justifiant votre réponse}.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item On considère la variable aléatoire $X$ qui, à chaque cartouche produite, associe sa durée de vie exprimée en nombre de pages.
 
On admet que $X$ suit la loi normale d'espérance $\mu = 250$ et d'écart-type $\sigma = 10$. 
	\begin{enumerate}
		\item \textbf{Affirmation 1 :} Environ 95\,\% des cartouches produites ont une durée de vie comprise entre $230$ et $270$~pages. 

On cherche $P(230 \pp X \pp 270)$ sachant que la variable aléatoire $X$ suit la loi normale de paramètres $\mu=250$ et $\sigma = 10$.

Or $230 = 250 - 20 = \mu -2\sigma$ et $270 = 250 + 20 = \mu+2\sigma$.

On sait que pour une loi normale de paramètres $\mu$ et $\sigma$, $P(\mu - 2\sigma \pp X \pp \mu + 2\sigma) \approx 95\,\%$.

On peut donc dire qu'il y a 95\,\% de chances que la durée de vie des cartouches soit comprise entre 230 et 270 pages, ce qui n'est pas l'affirmation proposée.

Donc \textbf{l'affirmation 1 est fausse}.
		\item \textbf{Affirmation 2 :} Moins de 50\,\% des cartouches produites ont une durée de vie inférieure à $300$~pages.

La probabilité qu'une cartouche ait une durée de vie inférieure à 300 est  $P(X \pp 300)$. D'après les propriétés de la loi normale, comme l'espérance est $\mu = 250$, on sait que $P(X \pp 250) = 0,5$. De plus, $300>250$ donc $P(X\pp 300) > P(X \pp 250)$ donc $P(X \pp 300) > 0,5$.

\textbf{L'affirmation 2 est fausse.}

	\end{enumerate} 
\item L'entreprise Printfactory a amélioré son procédé industriel et déclare que 80\,\% des cartouches produites ont une durée de vie supérieure à $250$ ~pages.
Un contrôleur désigné par l'entreprise effectue un test en prélevant de façon aléatoire un échantillon de cartouches dans la production.
 
Dans un échantillon de taille \np{1000}, le contrôleur a obtenu $240$~cartouches vides d'encre avant l'impression de $250$~pages. 

\textbf{Affirmation 3 :} Le contrôleur valide la déclaration de l'entreprise. 

On va déterminer un intervalle de fluctuation au seuil de $95\,\%$; comme $80\,\%$ des cartouches doivent avoir une durée de vie supérieure à 250 pages, on prend $p=0,80$.

L'échantillon est de taille $n=\np{1000}$.

On a $n=\np{1000} \pg 30$, $np=800 \np 5$ et $n(1-p)=200 \pg 5$. 

Les conditions d'approximation sont réalisées donc on peut prendre comme intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95\,\%:

\smallskip

$\left[ p-1,96\,\dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}}\,;\, p+1,96\,\dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}}\right ] =
\left [ 0,8-1,96\,\dfrac{\sqrt{0,8\times 0,2}}{\sqrt{\np{1000}}}\,;\, 0,8+1,96\,\dfrac{\sqrt{0,8\times 0,2}}{\sqrt{\np{1000}}}\right ]$

$\hphantom{\left[ p-1,96\,\dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}}\,;\, p+1,96\,\dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}}\right ]} \approx \cd 0,775\,;\, 0,825\cg$ 

\smallskip

Le contrôleur a trouvé 240 cartouches vides sur \np{1000} donc une fréquence de cartouches ayant une durée de vie supérieure à 250 pages de $\dfrac{\np{1000} - 240}{\np{1000}} = 0,76$.

$0,76 \not\in \cd 0,775\,;\, 0,825\cg$ donc il ne faut pas valider la déclaration de l'entreprise.

\textbf{L'affirmation 3 est fausse.}
\item% L'entreprise Printfactory souhaite connaître l'opinion de ses \np{10000} clients quant à la qualité d'impression de ses cartouches.
 
%Pour cela, elle souhaite obtenir, à partir d'un échantillon aléatoire, une estimation de la proportion de clients satisfaits au niveau $0,95$ avec un intervalle de confiance d'amplitude inférieure ou égale à 4\,\%. 

\textbf{Affirmation 4 :} L'entreprise doit interroger au moins un quart de ses clients. 

Un intervalle de confiance au niveau 95\% est donné par 
$\left [ f-\dfrac{1}{\sqrt n}\,;\,f+\dfrac{1}{\sqrt n}\right ]$, où $f$ est la fréquance observée dans l'échantillon et $n$ la taille de l'échantillon.

Pour que cet intervalle ait une amplitude inférieure ou égale à $4\,\%$ soit $0,04$, il faut que la longueur de l'intervalle soit inférieure ou égale à $0,04$, c'est-à-dire $\left(f+\dfrac{1}{\sqrt n}\right ) - \left (f-\dfrac{1}{\sqrt n}\right ) \pp 0,04$ ce qui équivaut à $\dfrac{2}{\sqrt n} \pp 0,04$.

On résout cette inéquation:
$\dfrac{2}{\sqrt n} \pp 0,04 \iff \dfrac{2}{0,04} \pp \sqrt n
\iff 50 \pp \sqrt n
\iff \np{2500} \pp n$

Il faut donc interroger au moins \np{2500} clients, soit au moins un quart des \np{100000} clients.

\textbf{L'affirmation 4 est vraie.}
\end{enumerate} 
\end{document}