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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat ES}
\lfoot{\small{Centres étrangers}}
\rfoot{\small{juin 2006}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat ES Centres étrangers juin 2006~\decofourright}} 
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 3 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\textbf{Questionnaire à choix multiples}

%\emph{Pour chaque question, une seule des trois réponses est exacte. On demanda d'indiquer la réponse exacte en cochant sans justification la grille réponse jointe en annexe à rendre avec la copie. Une bonne réponse rapporté $0,5$ point ; une mauvaise réponse enlève $0,25$ point ; l'absence de réponse donne $0$ point. Si le total des points est négatif, la note globale attribuée est} $0$.
%
%\medskip
%
%Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur l'intervalle $]-5~;~+\infty[$ dont le tableau de variations est donné ci-dessous :
%
%\begin{center}
%\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(9,3)
%\psframe(9,2.5)
%\psline(0,2)(9,2) \psline(1,0)(1,2.5)
%\uput[u](0.5,2){$x$} \uput[u](1.5,2){$-5$} \uput[u](3,2){$-1$} 
%\uput[u](5,2){$0$} \uput[u](7,2){$2$} \uput[u](8.5,2){$+\infty$} 
%\uput[u](0.5,0.8){$f(x)$} \uput[u](1.5,0){$-\infty$}\uput[d](3,2){$-3$}
%\uput[u](5,0){$-5$}\uput[d](7,2){$4$}\uput[u](8.5,0){$-4,5$}
%\psline{->}(1.4,0.6)(2.7,1.7) \psline{->}(3.3,1.7)(4.7,0.6) 
%\psline{->}(5.3,0.6)(6.7,1.7)  \psline{->}(7.3,1.7)(8.6,0.6)
%\end{pspicture}
%\end{center}
%
%On désigne par $\mathcal{C}$  la courbe représentative de $f$.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item  Sur l'intervalle $]-5~;~+\infty[$, l'équation $f(x) = - 2$
admet une seule solution entre 0 et 2.
%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~$]  admet une seule solution
%\item[$\bullet~$]  admet deux solutions
%\item[$\bullet~$]  admet quatre solutions.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}

\item Sur l'intervalle $]-5~;~+\infty[$ la courbe $\mathcal{C}$ :
exactement deux asymptotes, les droites d'équations $y = -4,5$ et \\$x =  -5$.
%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~$] admet une seule asymptote la droite d'équation $x = -5$
%\item[$\bullet~$] admet exactement deux asymptotes, les droites d'équations $x = -4,5$ et \\$y = -5$
%\item[$\bullet~$] admet exactement deux asymptotes, les droites d'équations $y = -4,5$ et \\$x =  -5$.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}

\item On sait que $f'(2) = 0$. L'équation de la tangente à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $2$ est :

$y - f(2) = f'(2)(x - 2)$, soit $y - 4 = 0(x - 2) \iff y = 4$.
%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~$] $y  = 4$
%\item[$\bullet~$] $y = 4(x -2)$
%\item[$\bullet~$] $x = 4$.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}

\item L'équation de la tangente au point d'abscisse 1 est :

$y - f(1) = f'(1)(x - 1)$ ou $y - 2 = f'(1)(x - 1) \iff y = xf'(1) + 2 - f'(1)$.

Par identification on a donc : 

$f'(1) = 3$.
%On sait que l'équation de la tangente à $\mathcal{C}$ au point de coordonnées (1~;~2) est $y = 3x - 1$. On a :
%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~$] $f(2) =1$
%\item[$\bullet~$] $f'(1) = -1$
%\item[$\bullet~$] $f'(1)=3$.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}

\item %Sur l'intervalle $]2~;~+\infty[$, la fonction $g$ définie par $g(x) =\text{e}^{- f(x)}$
%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~$] est croissante
%\item[$\bullet~$] est décroissante
%\item[$\bullet~$]  n'est pas monotone.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
Sur l'intervalle $[2~;~+ \infty[$ la fonction exponentielle est croissante et la fonction $f$ est décroissante, donc par composition la fonction $g$ est décroissante.

\item %On pose $h(x) = \ln \left[f(x) + 5\right]$. Alors la fonction $h$ :
%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~$] est décroissante sur $]2~;~+\infty[$ ; 
%\item[$\bullet~$] est positive sur $]2~;~+\infty[$
%\item[$\bullet~$] n'est pas définie sur $]2~;~+\infty[$.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
Sur $]2~;~+\infty[$, \: $- 4,5 \leqslant f(x) \leqslant 5$, donc $0,5 \leqslant f(x) + 5 \leqslant 9$, donc la fonction $h$ est bien définie.

Mais $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = - 4,5$ donc $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} h(x) = \ln 0,5 \approx - 0,69$, donc n'est pas positive.

Enfin sur $]2~;~+\infty[$, \: $h'(x) = \dfrac{f'(x)}{f(x) + 5}$.

Or d'après le tableau de variations sur $]2~;~+\infty[$, \: $f'(x) < 0$ (puisque $f$ décroit) et on a vu que $f(x) + 5 > 0$ ; donc $h'(x) < 0$ : la fonction est décroissante sur $]2~;~+\infty[$.
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Pour les candidats ne suivant pas l'enseignement de spécialité}

\medskip
 
%Les résultats seront arrondis â $10^{-3}$ près.
% 
%\medskip
% 
%Un musée très fréquenté propose à la vente trois sortes de billets :
%
%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item  au prix de 5 \euro{} un billet pour visiter uniquement le fonds permanent des collections ;
%\item au prix de 3 \euro{} un billet pour visiter uniquement une exposition temporaire ;
%\item au prix de 6 \euro{} un billet pour visiter le fonds permanent et l'exposition temporaire.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
%
%On sait que :
%
%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item 85\,\% des visiteurs visitent le fonds permanent
%\item 35\,\% des visiteurs visitent l'exposition temporaire.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
%
%Un visiteur se présente à l'entrée du musée et achète un billet
%On considère les évènements suivants :
%
%$F$ : \og Le visiteur achète un billet à 5 \euro \fg{}
%
%$E$ : \og Le visiteur achète un billet à 3 \euro \fg{}
%
%$M$ : \og Le visiteur achète un billet à 6 \euro \fg.
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Établir que $p(M) = 0,2 ~;~ p(F) = 0,65$ et $p(E) = 0,15$.
		On a le système :
		
$\left\{\begin{array}{l c l}
p(F) + p(M)&=&0,85\\
p(E) + p(M)&=&0,35\\
p(F) + p(E) + p(M)&=&1
\end{array}\right.$

En sommant les deux premières équations on a : 	$p(F) + p(M) + p(E) + p(M) = 1,15 \iff 1 + p(M) = 1,20$, soit $p(M) = 0,20$.

D'où de la première équation : $p(F) = 0,85 - 0,20 = 0,65$ et de la deuxième : $p(E) = 0,35 - 0,20 = 0,15$.
		\item %Calculer le prix de vente moyen d'un billet.
Le prix de vente moyen d'un billet est :

$0,65 \times 5 + 0,15 \times 3 + 0,20 \times 6 = 3,25 + 0,45 + 1,20 = 4,90$~\euro.	
	\end{enumerate}
%Le musée propose à la vente un catalogue sur l'exposition temporaire.

%On sait que :
%
%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item 35\,\% des personnes qui ne visitent que l'exposition temporaire achètent le catalogue.
%\item 25\,\% des personnes qui visitent le fonds permanent et l'exposition temporaire achètent le catalogue.
%\item 97\,\% des visiteurs du seul fonds permanent n'achètent pas le catalogue.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
%On considère l'évènement $C$ : \og Le visiteur achète le catalogue \fg{}
\item ~%Démontrer que $p(C) = 0,122$ (on pourra s'aider d'un arbre).
On a l'arbre pondéré suivant :

\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$F$~}\naput{0,65}}
	{
	\TR{$C$} \naput{0,03}
	\TR{$\overline{C}$}\nbput{0,97}
	}
\pstree{\TR{$E$~}\naput{0,15}}
	{
	\TR{$C$} \naput{0,35}
	\TR{$\overline{C}$}
	}
	\pstree{\TR{$M$~}\nbput{0,20}}
	{
	\TR{$C$} \naput{0,25}
	\TR{$\overline{C}$}
	}	
}
\end{center}

D'après la formule des probabilités totales :

$p(C) = p(F \cap C) + p(E \cap C) + p(M \cap C) = 0,65 \times 0,03 + 0,15 \times 0,35 + 0,20\times 0,25 = \np{0,0195} + \np{0,0525} + 0,05 = 0,122$. 
\item %Un visiteur a acheté le catalogue. Quelle est la probabilité qu'il n'ait pas visité l'exposition temporaire ?
Il faut calculer $p_C(F) = \dfrac{p(F \cap C)}{p(C)} = \dfrac{\np{0,0195}}{0,122} \approx 0,160$.
\item %Quelle est la probabilité que, parmi trois visiteurs du musée venus indépendamment les uns des autres, au moins un n'ait pas acheté le catalogue ?
On a trois épreuves de Bernouilli. La loi de probabilité associée au nombre de visiteurs ayant acheté le catalogue est une loi de paramètres $n = 3$ et $p = 0,122$.

La probabilité que trois visiteurs aient acheté le catalogue est égale à $0,122^3$.

Donc la probabilité qu’au moins un visiteur n’ait pas acheté le catalogue est égale à $1 - 0,122^3 \approx 0,998$.
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Pour les candidats suivant l'enseignement de spécialité}

\medskip

%Les questions 1. et 2. peuvent être traitées de façon indépendante.

\begin{enumerate}
\item  %Dans une région, on considère trois types de temps : beau, variable, pluvieux.

%On sait que :
%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item  S'il fait beau un jour donné, la probabilité qu'il fasse beau le lendemain est $\dfrac{1}{3}$
%et la probabilité qu'il pleuve est $\dfrac{1}{6}$
%\item Si le temps est variable, la probabilité qu'il soit variable le lendemain est $\dfrac{1}{4}$ et la probabilité qu'il pleuve est $\dfrac{1}{2}$
%\item S'il pleut, la probabilité qu'il pleuve le lendemain est $\dfrac{1}{4}$ et la probabilité qu'il fasse beau est $\dfrac{1}{2}$
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
%On note
%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item B : \og le temps est beau \fg{} ;
%\item V : \og le temps est variable \fg{} ;
%\item P : \og le temps est pluvieux \fg.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
%
%\medskip

	\begin{enumerate}
		\item %Représenter la situation par un graphe probabiliste.
$\bullet~~$$p_B(B) = v$ ; $_B(P) = \dfrac{1}{6}$ ; $p_B(V) = 1 - \left(\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{6} \right) = \dfrac{1}{2}$.

$\bullet~~$$p_V(V) = \dfrac{1}{4}$ ; $p_V(P) = \dfrac{1}{2}$ ; $p_V(B) = 1 - \left( \dfrac{1}{4} +  \dfrac{1}{2} \right) = \dfrac{1}{4}$.

$\bullet~~$$p_P(P) =  \dfrac{1}{4}$ ; $p_P(B) =  \dfrac{1}{2}$ ; $p_P(V) = 1 - \left( \dfrac{1}{4} +  \dfrac{1}{2} \right) = \dfrac{1}{4}$. D’où le graphe :

\begin{center}
\begin{pspicture}(8,6)
\psset{arrowsize=2.5pt 3} \psset{arcangle=20}
\cnodeput(0,4){A}{B} \cnodeput(6,4){B}{V} 
\cnodeput(3,1){C}{P} 
\ncarc{A}{B} \ncput*{$\frac{1}{2}$} \ncarc{B}{A} \ncput*{$\frac{1}{4}$} 
\ncarc{A}{C} \ncput*{$\frac{1}{6}$} \ncarc{C}{A} \ncput*{$\frac{1}{2}$} 
\ncarc{B}{C} \ncput*{$\frac{1}{2}$} \ncarc{C}{B} \ncput*{$\frac{1}{4}$} 
\nccircle[angleA=90]{->}{A}{0.4cm}\Aput{$\frac{1}{3}$}\nccircle[angleA=-90]{->}{B}{0.4cm}\Aput{$\frac{1}{4}$}\nccircle[angleA=-180]{->}{C}{0.4cm}\Aput{$\frac{1}{4}$}
\end{pspicture}
\end{center}		
		\item %Donner la matrice de transition de ce graphe. Les sommets B, V, P seront rangés dans cet ordre.
%		$M = \begin{pmatrix}\dfrac{1}{3}&\dfrac{1}{2}&\dfrac{1}{6}\\\dfrac{1}{4}&\dfrac{1}{4}&\dfrac{1}{2}\\\dfrac{1}{2}&\dfrac{1}{4}&\dfrac{1}{4} \end{pmatrix}$.
		\item %Pour tout entier naturel $n$, l'état probabiliste dans $n$ jours est défini par la matrice ligne $P_{n} =  \begin{pmatrix} b_{n}& v_{n} &p_{n}\end{pmatrix}$ où $b_{n}$ désigne la probabilité qu'il fasse beau dans $n$ jours, $v_{n}$ la probabilité que le temps soit variable dans $n$ jours et $p_{n}$ la probabilité qu'il pleuve dans $n$ jours.
		
%Aujourd'hui il fait beau, on a donc $P_{0} \begin{pmatrix}1&0&0\end{pmatrix}$ matrice ligne décrivant l'état initial.

%Déterminer la probabilité de chaque type de temps dans 2 jours.
L’état probabiliste dans deux jours est représenté par la matrice ligne $P_2 = P_0 \times M^2$ soit 

\renewcommand\arraystretch{1.5}
$P_2 = \begin{pmatrix}1&0&0\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{2}&\frac{1}{6}\\\frac{1}{4}&\frac{1}{4}&\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{4}&\frac{1}{4} \end{pmatrix}^2 = 
\begin{pmatrix}1&0&0\end{pmatrix}\times  \begin{pmatrix}\frac{23}{72}&\frac{1}{3}&\frac{25}{72}\\\frac{19}{48}&\frac{5}{16}&\frac{7}{24}\\\frac{17}{48}&\frac{3}{8}&\frac{13}{48}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac{23}{72}&\frac{1}{3}&\frac{25}{72}\end{pmatrix}$.

La probabilité qu'il fasse beau dans deux jours est $\dfrac{23}{72}$.

La probabilité qu'il pleuve dans deux jours est $\dfrac{25}{72}$.

La probabilité que le temps soit variable dans deux jours est $\dfrac{1}{3}$.

		\end{enumerate}
\item Dans une autre région, on note $B$ : \og il fait beau \fg{} 
$\overline{B}$	: \og il ne fait pas beau \fg.

Les variations du temps sont représentées par le graphe suivant :

\begin{center}
\begin{pspicture}(8,3)
\psset{unit=1cm}
\psset{arrowsize=1.5pt 3} \psset{arcangle=70}
\cnodeput(2,1.5){A}{$B$}
\cnodeput(6,1.5){B}{$\overline{B}$} 
\ncarc{->}{A}{B} \ncput*{$\dfrac{2}{3}$}
\ncarc{->}{B}{A} \ncput*{$\dfrac{3}{4}$}
\psset{arcangle=100}
\nccircle[angleA=90]{->}{A}{.5cm}\uput[l](1.,1.5){$\dfrac{1}{3}$}
\nccircle[angleA=270]{->}{B}{.5cm} \uput[r](7,1.5){$\dfrac{1}{4}$}   
\end{pspicture}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item %Donner la matrice de transition $T$ de ce graphe.
La matrice de transition $T$ de ce graphe est $\begin{pmatrix}\dfrac{1}{3}&\dfrac{2}{3} \\\dfrac{3}{4}&\dfrac{1}{4}\end{pmatrix}$.
		\item Soit $Q =(x~ y)$ avec $x+y = 1$.
		
%Déterminer $x$ et $y$ tels que $Q = QT$ et interpréter le résultat.
$Q = QT \iff \begin{pmatrix}x&y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}x&y\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}\dfrac{1}{3}&\dfrac{2}{3} \\\dfrac{3}{4}&\dfrac{1}{4}\end{pmatrix} \iff  \begin{pmatrix}x&y\end{pmatrix}  =$

$  \begin{pmatrix}\dfrac{1}{3}x + \dfrac{3}{4}y &\dfrac{2}{3}x + \dfrac{1}{4}y\end{pmatrix} \iff \left\{\begin{array}{l c l}
x&=&\dfrac{1}{3}x + \dfrac{3}{4}y\\
y&=&\dfrac{2}{3}x + \dfrac{1}{4}y
\end{array}\right.$

Or 
$x + y = 1$, donc $\left\{\begin{array}{l c l}
x&=&\dfrac{1}{3}x + \dfrac{3}{4}y\\
x&=&1 - y
\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l c l}
\dfrac{2}{3}x = \dfrac{3}{4}y\\
x = 1 - y
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l}
x = \dfrac{9}{8}y\\
x = 1 - y
\end{array}\right. \Rightarrow $

$\dfrac{9}{8}y = 1 - y \iff \dfrac{17}{8}y = 1 \iff y = \dfrac{8}{17}$ et par suite $x = \dfrac{9}{17}$.

La matrice $Q =  \begin{pmatrix}\dfrac{9}{17}&\dfrac{8}{17}\end{pmatrix}$ est l'état stable du système.

Donc $p(B) = \dfrac{9}{17}$ et $p\left(\overline{B} \right) = \dfrac{8}{17}$
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

%On désigne par $f$ la fonction définie sur [0~;~5] par

\[f(x) = 1 - x + 2\ln x.\]

%La courbe $\mathcal{C}$ donnée ci-dessous est la représentation graphique de $f$ dans un repère orthogonal (unités : $2$~cm sur l'axe des abscisses et $5$~cm sur l'axe des ordonnées).
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Calculer la limite de $f$ en $0$. 
On a $\displaystyle\lim_{x \to 0}1 - x = 1$ et $\displaystyle\lim_{x \to 0} \ln x = - \infty$, donc pa	r somme de limites $\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x) = - \infty$.
\item %Calculer $f'(x)$ et étudier les variations de $f$.

%Dresser le tableau des variations de $f$.
Sur [0~;~5], $f'(x) = - 1 + \dfrac{2}{x} = \dfrac{- x + 2}{x}$.

Comme $x \geqslant 0$, le signe de $f'(x)$ est celui de $- x + 2$. D'où :

$\bullet~~$si $0\leqslant x \leqslant 2$, \: $f'(x) \geqslant 0$ : la fonction $f$ est croissante sur [0~;~2] ;

$\bullet~~$si $2\leqslant x \leqslant 5$, \: $f'(x) \leqslant 0$ : la fonction $f$ est décroissante sur [2~;~5] ;

$\bullet~~$$f'(2) = 0$ ; $f(2 ) = 1 - 2 + 2\ln 2 = 2\ln 2 - 1$ est le maximum de $f$ sur  [0~;~5].

D'où le tableau de variations :

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(5,3)
\psframe(5,3)
\psline(0,2)(5,2) \psline(0,2.5)(5,2.5) \psline(1,0)(1,3)
\uput[u](0.5,2.4){$x$} \uput[u](1.1,2.4){$0$} \uput[u](3,2.4){$2$} \uput[u](4.9,2.4){$5$} 
\uput[u](0.5,1.9){$f'(x)$} \uput[u](2,1.9){$+$} \uput[u](3,1.9){$0$} \uput[u](4,1.9){$-$} 
\uput[u](1.5,0){$- \infty$}\uput[d](3,2){\footnotesize $2\ln 2 - 1$}\uput[u](4.5,0){\footnotesize $2\ln 5 - 4$}
\psline[linewidth=1pt]{->}(1.5,0.5)(2.5,1.5) \psline[linewidth=1pt]{->}(3.5,1.5)(4.5,0.5) 
\rput(0.5,1){$f$}
\end{pspicture}
\end{center}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer $f(1)$.
$f(1) = 1 - 1 + 2\ln 1 = 0$.
		\item %Justifier que l'équation $f(x) = 0$ admet sur [3~;~4] une solution unique $\alpha$ puis donner une valeur approchée à $10^{-2}$ près par défaut de $\alpha$.
Sur l'intervalle [3~;~4], \: $f$ est décroissante de $f(3) =  2\ln 3 - 2 \approx 0,197$ à $f(4) = 2\ln 4  - 3 \approx - 0,227$.

D'après le théorème des valeurs intermédiaires, $f$ s'annule donc une fois sur l'intervalle [3~;~4] en $\alpha \in [3~;~4]$ tel que que $f(\alpha) = 0$.

La calculatrice donne : 

$f(3,5) \approx 0,006$ et $f(3,6) \approx - 0,04$, donc $3,5 < \alpha < 3,6$.

$f(3,51) \approx0,001$ et$f(3,52) \approx - 0,003$, donc  $3,51 < \alpha < 3,52$.

Par défaut : $\alpha \approx 3,51$.
		\item %En déduire le signe de $f(x)$ suivant les valeurs de $x$.
On en déduit que :
		
$\bullet~~$sur [0~;~1[, \: $f(x) < 0$ ;
		
$\bullet~~$sur $[0~;~\alpha[$, \: $f(x) > 0$ ;

$\bullet~~$sur $]\alpha~;~5]$, \: $f(x) < 0$.		
	\end{enumerate}
\item %On appelle $g$ la fonction définie sur ]0~;~5] par 

\[g(x) =  x \left(- \dfrac{1}{2}x + 2\ln x - 1\right).\]

	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que $g$ est une primitive de $f$ sur ]0~;~5].
$g$ est dérivable sur ]0~;~5] et sur cet intervalle :

$g'(x) = - \dfrac{1}{2}x + 2\ln x - 1 + x \left(- \dfrac{1}{2} + \dfrac{2}{x} \right) = - \dfrac{1}{2}x + 2\ln x - 1 - \dfrac{1}{2}x + 2 = 1 - x + 2\ln x = f(x)$.

Donc $g$ est une primitive de $f$ sur ]0~;~5].
		\item %Sur le graphique ci-dessous, on considère le domaine limité par l'axe des abscisses et la partie de la courbe $\mathcal{C}$ située au-dessus de cet axe. Montrer que l'aire de ce domaine est égale en unités d'aire, à $g(\alpha)  - g(1)$.
La fonction étant positive, on sait que l'aire du domaine est égale en unité d'aire  à l'intégrale de la fonction $f$ entre $x = 1$ et $x = \alpha$, valeurs qui annulent $f$.

On a donc : $\displaystyle\int_1^{\alpha} f(x)\:\text{d}x = [g(x)]_1^{\alpha} = g(\alpha) - g(1)$.

		\item %Calculer une valeur approchée de l'aire $\mathcal{A}$ exprimée en cm$^2$. \emph{On utilisera la valeur approchée de $\alpha$ trouvée au} 3. b.
		On a $\mathcal{A} = g(\alpha) - g(1) = \alpha \left(- \dfrac{1}{2}\alpha + 2\ln \alpha - 1\right) - 1 \left(- \dfrac{1}{2} + 2\ln 1 - 1\right) = - \dfrac{1}{2}\alpha^2 + 2\alpha \ln \alpha - \alpha + \dfrac{3}{2}$.
		
		
Avec $\alpha \approx 3,51$, on obtient $\mathcal{A} \approx 0,644$~unité d'aire.

Or une unité d'aire est égale à $2 \times 5 = 10$~cm$^2$.

Finalement $\mathcal{A} \approx 6,44$~cm$^2$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{xunit=1.8cm,yunit=4.5cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-1.25)(5.5,0.4)
\multido{\r=-1.2+0.2}{9}{\psline[linestyle=dashed,linecolor=orange,linewidth=0.3pt](-0.5,\r)(5.5,\r)}
\multido{\r=-0.5+0.5}{13}{\psline[linestyle=dashed,linecolor=orange,linewidth=0.3pt](\r,-1.2)(\r,0.4)}
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(0,-1.2)(5.5,0.4)
\psplot[plotpoints=8000,linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{0.4085}{5}{x ln 2 mul 1 add x sub}
\uput[ur](5.25,0){$x$} \uput[r](0,0.4){$y$} \uput[l](0.5,-0.9){\blue $\mathcal{C}$}
\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture}
\end{center}
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

%Les résultats seront arrondis à $10^{-2}$ près
%
%Le tableau ci-dessous donne le PIB de la Chine. en milliards de dollars, entre 1982 et 2002.
%
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
%Année 					& 1982	&1986	&1990	&1994	&1998	&2002  \\ \hline
%Rang $x_{i}$ de l'année &0		&4		&8		&12		&16		&20 \\ \hline
%PIB $y_{i}$ 			&280	&300	&384	&546	&945	&\np{1232} \\\hline
%\multicolumn{7}{r}{(\emph{Le Monde du} 26/01/2004} \\ 
%\end{tabularx}
%\end{center}

\begin{enumerate}
\item ~Représenter le nuage de points associé à la série statistique $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ dans un repère orthogonal du plan. Les unités graphiques seront de 1 cm pour deux années sur l'axe des abscisses et de 1 cm pour 100 milliards de dollars sur l'axe des ordonnées.

\begin{center}
\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.01cm,arrowsize=2pt 4}
\begin{pspicture}(26,1400)
\multido{\n=0+2}{14}{\psline[linewidth=0.3pt](\n,0)(\n,1400)}
\multido{\n=0+100}{15}{\psline[linewidth=0.3pt](0,\n)(26,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=4,Dy=100,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(26,1400)
\psdots[linecolor=blue](0,280)(4,300)(8,384)(12,546)(16,945)(18,1232)
\uput[u](25.5,0){$x$}\uput[r](0,1380){$y$}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{25}{48.98 x mul 124.71 add}
\psline[linestyle=dashed,linewidth=1.25pt,ArrowInside=->](22,0)(22,1202.27)(0,1202.27)
\psline[linewidth=1.pt,ArrowInside=->,linecolor=red](22,0)(22,1366.5)(0,1366.5)
\psset{algebraic=true}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0.1}{22.1}{235.1*2.71828^(0.08*x)}
\uput[l](0,1366.5){\red $\approx\np{1365}$}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer l'équation de la droite d'ajustement affine de $y$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés.
La calculatrice livre $y = 48,98x + 124,71$ comme équation de la droite d'ajustement de $y$ en $x$, coefficients arrondis au centième.
		\item %Tracer cette droite sur le graphique.
Voir la figure.
		\item %Avec cet ajustement, estimer graphiquement et par le calcul le PIB de la Chine en 2004. Commenter le résultat obtenu.
Voir le tracé sur le graphique.

Par le calcul, on a $y = 48,98 \times 22 + 24,71 = \np{1202,27}$.
	\end{enumerate}
\item %On envisage dans cette question un ajustement exponentiel.

%En posant $z = \ln y$ on obtient une droite d'ajustement de $z$ en $x$ d'équation 
%$z =  0,08x + 5,46$.
	\begin{enumerate}
		\item %On se propose de déterminer alors $y$ en fonction de $x$ sous la forme $y = \alpha \text{e}^{\beta x}$ où $\alpha$ et $\beta$ sont deux réels.
		
%Montrer que $y =  235,10 \text{e}^{0,08x}$.
On a $z =  0,08x + 5,46 \ln y \iff y = \text{e}^{0,08x + 5,46} \iff y = \text{e}^{0,08x} \times \text{e}^{5,46}$.

Or $\text{e}^{5,46} \approx 235,097 \approx 235,1$, donc finalement : $y \approx 235,1\text{e}^{0,08x}$. 
		\item %Tracer sur le graphique la courbe d'équation $y = 235,10 \text{e}^{0,08x}$, pour \\$x \in  [0~;~24]$.
Voir le graphique.
		\item %Avec cet ajustement, estimer graphiquement et par le calcul, le PIB de la Chine en 2004.
Voir le tracé sur le graphique.

Par le calcul : avec $x = 22$, on obtient : $y \approx 235,1 \times \text{e}^{0,08 \times 22} \approx \np{1366,5}$.
	\end{enumerate}
\item %Le PIB de la Chine pour 2004 était de \np{1650} milliards de dollars (Source internet).

%Calculer en pourcentage par rapport à la valeur réelle, les erreurs commises en prenant comme PIB les estimations obtenues aux questions 2 et 3.
$\bullet~~$Avec l'ajustement affine l'erreur est égale à $\dfrac{\np{1650} - \np{1202,27}}{\np{1650}} \times 100 \approx 27,1\,\%$.

$\bullet~~$Avec l'ajustement exponentiel l'erreur est égale à $\dfrac{\np{1650} - \np{1366,5}}{\np{1650}} \times 100 \approx 17,2\,\%$.
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{Annexe -- Document réponse à  rendre avec la copie}

\vspace{1cm}

\textbf{Exercice 1 - Commun à tous les candidats}

\vspace{0,5cm}

Ne cocher qu'une seule réponse par question

\vspace{1cm}

\end{center}

\begin{enumerate}
\item  Sur l'intervalle $]-5~;~+\infty[$, l'équation $f(x) = -2$
\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\boxtimes~$]  admet une seule solution
\item[$\Box~$]  admet deux solutions
\item[$\Box~$]  admet quatre solutions.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
\item Sur l'intervalle $]-5~;~+\infty[$ la courbe $\mathcal{C}$ :
\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\Box~$] admet une seule asymptote la droite d'équation $x = -5$
\item[$\boxtimes~$] admet exactement deux asymptotes, les droites d'équations $x = -4,5$ et $y = -5$
\item[$\Box~$] admet exactement deux asymptotes, les droites d'équations $y = -4,5$ et $x =  -5$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
\item On sait que $f'(2) = 0$. L'équation de la tangente à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $2$ est :
\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\boxtimes~$] $y  = 4$
\item[$\Box~$] $y = 4(x -2)$
\item[$\Box~$] $x = 4$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
\item On sait que l'équation de la tangente à $\mathcal{C}$ au point de coordonnées (1 ; 2) est $y = 3x- 1$. On a :
\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\Box~$] $f(2) =1$
\item[$\Box~$] $f'(1) = -1$
\item[$\boxtimes~$] $f'(1)=3$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
\item Sur l'intervalle $]2~;~+\infty[$, la fonction $g$ définie par $g(x) =\text{e}^{- f(x)}$
\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\Box~$] est croissante
\item[$\boxtimes~$] est décroissante
\item[$\Box~$] n'est pas monotone.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
\item On pose $h(x) = \ln [f(x) + 5]$. Alors la fonction $h$ :
\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\boxtimes~$] est décroissante sur $]2~;~+\infty[$ ; 
\item[$\Box~$] est positive sur $]2~;~+\infty[$ ;
\item[$\Box~$] n'est pas définie sur $]2~;~+\infty[$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
\end{enumerate}
\end{document} 