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\begin{document}
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\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat S}
\lfoot{\small Centres étrangers}
\rfoot{\small 12 juin 2014}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures }

\vspace{0,25cm}

{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé  du baccalauréat S Centres étrangers
~\decofourright\\[4pt]12 juin 2014}}
\end{center}

%\vspace{0,25cm}
%
%\emph{Dans l'ensemble du sujet, et pour chaque question, toute trace de recherche même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}

\subsection*{Exercice 1 \hfill 4 points}

\textbf{\emph{Commun à tous les candidats}}

\medskip

%\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples comportant quatre questions indépendantes.\\ Pour chaque question, une seule des quatre affirmations proposées est exacte.\\ 
%Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la lettre correspondant à l'affirmation exacte. Aucune justification n'est demandée. Une réponse exacte rapporte un point ; une réponse fausse ou une absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point.}
%
%\medskip
 
\textbf{Question 1}
 
Dans un hypermarché, 75\,\% des clients sont des femmes. Une femme sur cinq achète un article au rayon bricolage, alors que sept hommes sur dix le font.
 
Une personne, choisie au hasard, a fait un achat au rayon bricolage. 
La probabilité que cette personne soit une femme a pour valeur arrondie au millième :

\medskip
\begin{tabularx} {\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} 0,750& \textbf{b.~~} 0,150& \textbf{c.~~} 0,462& \textbf{d.~~} 0,700 
\end{tabularx}
\medskip
Avec des notations évidentes : $p_{B}(F) = \dfrac{p(B \cap F)}{p(B)}$.

Or $p(B) = p(B \cap F) + p(B \cap H) = 0,75 \times \frac{1}{5} + 0,25 \times \frac{7}{10} = 0,15 + 0,175 = 0,325$.

D'o\`u $p_{B}(F) = \dfrac{0,15}{0,325} = \dfrac{150}{325} = \dfrac{6}{13} \approx 0,462$.

\textbf{Question 2}

Dans cet hypermarché, un modèle d'ordinateur est en promotion. Une étude statistique a permis d'établir que, chaque fois qu'un client s'intéresse à ce modèle, la probabilité qu'il l'achète est égale à $0,3$. On considère un échantillon aléatoire de dix clients qui se sont intéressés à ce modèle.

La probabilité qu'exactement trois d'entre eux aient acheté un ordinateur de ce modèle a pour valeur arrondie au millième :

\medskip
\begin{tabularx} {\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} 0,900& 
\textbf{b.~~} 0,092& 
\textbf{c.~~} 0,002& 
\textbf{d.~~} 0,267
\end{tabularx}
\medskip

On a une loi binomiale de paramètres $n = 10$ et $p = 0,3$.

On a donc $p(X = 3) = \binom{10}{3}0,3^3 \times (1 - 0,3)^{10- 3} = 120 \times 0,027 \times \np{0,823543} \approx \np{0,2668} \approx 0,267$.
  
\textbf{Question 3}
 
Cet hypermarché vend des téléviseurs dont la durée de vie, exprimée en année, peut être modélisée par une variable aléatoire réelle qui suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$. La durée de vie moyenne d'un téléviseur est de huit ans, ce qui se traduit par : $\lambda = \dfrac{1}{8}$.
 
La probabilité qu'un téléviseur pris au hasard fonctionne encore au bout de six ans a pour valeur arrondie au millième :

\medskip
\begin{tabularx} {\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} 0,750& 
\textbf{b.~~} 0,250& 
\textbf{c.~~} 0,472& 
\textbf{d.~~} 0,528
\end{tabularx}
\medskip
On a $p(X \geqslant 6) = 1 - \displaystyle\int_{0}^6 \dfrac{1}{8}\text{e}^{- \frac{1}{8}t}\:\text{d}t = 1 - \left[- \text{e}^{- \frac{1}{8}t}  \right]_{0}^6 = \text{e}^{- \frac{1}{8} \times 6} \approx \np{0,4723} \approx 0,472$.
 
\textbf{Question 4}
 
Cet hypermarché vend des baguettes de pain dont la masse, exprimée en gramme, est une variable aléatoire réelle qui suit une loi normale de moyenne $200$~g.

La probabilité que la masse d'une baguette soit comprise entre 184 g et 216 g est égale à $0,954$. 

La probabilité qu'une baguette prise au hasard ait une masse inférieure à 192 g a pour valeur arrondie au centième :

\medskip
\begin{tabularx} {\linewidth}{*{4}{X}} 
\textbf{a.~~} 0,16& \textbf{b.~~} 0,32& \textbf{c.~~} 0,84& \textbf{d.~~} 0,48 
\end{tabularx}

\medskip

On sait que si $X$ suit la loi normale $\mathcal{N}\left(200~;~\sigma^2\right)$, alors 

$p(200-  2\sigma \leqslant X \leqslant 200 + 2\sigma) = 0,954$. On en déduit que $2\sigma = 16 \iff \sigma = 8$.

On a donc $p(X \leqslant 192) = 0,5 - p(192 \leqslant X \leqslant 200) \approx 0,16$.

\subsection*{Exercice 2 \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

On définit, pour tout entier naturel $n$, les nombres complexes $z_{n}$ par : 

\[\left\{\begin{array}{l c l}
z_{0}	&=& 16\\ 
z_{n+1}	&=&\dfrac{1 + \text{i}}{2}z_{n},\: \text{pour tout entier naturel} \: n.
\end{array}\right.\]
 
On note $r_{n}$ le module du nombre complexe $z_{n}\: : r_{n} =\left|z_{n}\right|$.
 
Dans le plan muni d'un repère orthonormé direct d'origine O, on considère les points $A_{n}$ d'affixes $z_{n}$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer $z_{1}, z_{2}$ et $z_{3}$.
$z_{1}	=\dfrac{1 + \text{i}}{2}z_{0} =  \dfrac{1 + \text{i}}{2} \times 16 = 8 + 8\text{i}$.

$z_{2}	=\dfrac{1 + \text{i}}{2}z_{1} =  \left(\dfrac{1 + \text{i}}{2}\right) (8 + 8 \text{i})  = 4 + 4\text{i} + 4\text{i} - 4 = 8\text{i}$.

$z_{3}	= \dfrac{1 + \text{i}}{2}z_{2} = 8\text{i}\left(\dfrac{1 + \text{i}}{2}\right) = 4\text{i} - 4 = - 4 + 4\text{i}$.  
		\item %Placer les points $A_{1}$ et $A_{2}$ sur le graphique de l'\textbf{annexe, à rendre avec la copie}.
Voir l'annexe.
		\item %Écrire le nombre complexe $\dfrac{1 + \text{i}}{2}$ sous forme trigonométrique.
Si $z = \dfrac{1 + \text{i}}{2}$ alors $|z|^2 = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4}$, donc $|z| = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Donc $z = \frac{\sqrt{2}}{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2} + \text{i}\frac{\sqrt{2}}{2} \right) = \frac{\sqrt{2}}{2}\left(\cos \frac{\pi}{4} + \text{i}\sin \frac{\pi}{4} \right)$.

Un argument de $\dfrac{1 + \text{i}}{2}$ est donc $\frac{\pi}{4}$.
		\item %Démontrer que le triangle O$A_{0}A_{1}$ est isocèle rectangle en $A_{1}$.

O$A_{0} = |\left|z_{0} \right| = r_{0} = 16$ ; 

O$A_{1} = |\left|z_{1} \right| = r_{1} = \sqrt{8^2 + 8^2} = \sqrt{64 \times 2} = 8\sqrt{2}$ ;

$A_{0}A_{1} = \left|z_{1} - z_{0}  \right| = \left|8 + 8\text{i} - 16 \right| = \left|- 8 + 8\text{i}\right| = 8\sqrt{2}$.

On a donc  O$A_{1} = A_{0}A_{1}$ : le triangle est isocèle en A$_{1}$ ;

D'autre part $\left( 8\sqrt{2}\right)^2 + \left( 8\sqrt{2}\right)^2 = 16 ^2 \iff A_{0}A_{1}^2 + \text{O}A_{1}^2 = \text{O}A_{0}^2$ signifie (réciproque du théorème de Pythagore) que le triangle O$A_{0}A_{1}$ est rectangle en $A_{1}$.
	\end{enumerate}
\item %Démontrer que la suite $\left(r_{n}\right)$ est géométrique, de raison $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.

$r_{n+1} = \left|z_{n+1} \right| =  \left|\dfrac{1 + \text{i}}{2}z_{n} \right| = \left|\dfrac{1 + \text{i}}{2} \right| \times \left|z_{n} \right|$ (le module du produit est égal au produit des modules) = $\dfrac{\sqrt{2}}{2} r_{n}$.

$r_{n+1} = \dfrac{\sqrt{2}}{2} r_{n}$ montre que la suite $\left(r_{n}\right)$ est géométrique, de raison $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.

%La suite $\left(r_{n}\right)$ est-elle convergente ?

On sait que $r_{n} r_{0}\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2} \right)^n = 16\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2} \right)^n$.

Comme $0 < \dfrac{\sqrt{2}}{2} < 1$, on sait que $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \left(\dfrac{\sqrt{2}}{2} \right)^n = 0$, donc $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} r_{n} = 0$.

La suite converge vers $0$.
 
%Interpréter géométriquement le résultat précédent.
Comme $r_{n} = \left|z_{n} \right| = \text{O}A_{n}$, ceci signifie géométriquement que la limite des points $A_{n}$ est le point O.

%On note $L_{n}$ la longueur de la ligne brisée qui relie le point $A_{0}$ au point $A_{n}$ en passant successivement par les points $A_{1}, A_{2},  A_{3}$,  etc. 
 
%Ainsi $L_{n} = \displaystyle\sum_{i=0}^{n-1} A_{i}A_{i+1} =  A_{0}A_{1} + A_{1}A_{2} + \ldots + A_{n-1}A_{n}.$
\item
	\begin{enumerate}
		\item %Démontrer que pour tout entier naturel $n \::\: A_{n}A_{n+1} = r_{n+1}$.
Quel que soit le naturel $n$ :
		
$A_{n}A_{n+1} = \left|z_{n+1} - z_{n}  \right| = \left|\dfrac{1 + \text{i}}{2}z_{n} - z_{n}  \right| = \left|z_{n}\left(\dfrac{1 + \text{i}}{2} - 1\right)  \right| =  \left|z_{n}\left(\dfrac{-1 + \text{i}}{2}\right)  \right| = \left|\dfrac{-1 + \text{i}}{2}  \right| \times \left|z_{n}  \right| = \dfrac{\sqrt{2}}{2}r_{n} = r_{n+1}$.
		\item %Donner une expression de $L_{n}$ en fonction de $n$.
		$L_{n}$ est donc la somme des $n$ (sauf $r_{0}$) premiers termes de la suite géométrique $\left(r_{n}\right)$.
		
		Donc $L_{n} = 8\sqrt{2}\dfrac{1 - \left(\frac{\sqrt{2}}{2} \right)^n}{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}$.
		\item %Déterminer la limite éventuelle de la suite $\left(L_{n}\right)$.
		
On sait que $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \left(\frac{\sqrt{2}}{2} \right)^n = 0$, donc $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} L_{n} = \dfrac{8\sqrt{2}}{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}} = \dfrac{16\sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}} = \dfrac{16 \sqrt{2}}{\sqrt{2}(\sqrt{2} - 1)} = \dfrac{16}{\sqrt{2} - 1} = \dfrac{16\left(\sqrt{2} + 1\right)}{2 - 1} = 16\left(\sqrt{2} + 1\right)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection*{Exercice 3 \hfill 7 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip 

\textbf{Les parties A et B sont indépendantes}

%\medskip
% 
%Une image numérique en noir et blanc est composée de petits carrés (pixels) dont la couleur va du blanc au noir en passant par toutes les nuances de gris. Chaque nuance est codée par un réel $x$ de la façon suivante : 	
%
%
%\setlength\parindent{8mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~~$] $x = 0$ pour le blanc ; 
%\item[$\bullet~~$] $x = 1$ pour le noir; 
%\item[$\bullet~~$] $x = 0,01 \:;\: x = 0,02$ et ainsi de suite jusqu'à $x = 0,99$ par pas de $0,01$ pour toutes les nuances intermédiaires (du clair au foncé).
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
% 
%L'image A, ci-après, est composée de quatre pixels et donne un échantillon de ces nuances avec leurs codes.
% 
%Un logiciel de retouche d'image utilise des fonctions numériques dites \og fonctions de retouche \fg.
% 
%Une fonction $f$ définie sur l'intervalle [0~;~1] est dite \og fonction de retouche \fg{} si elle possède les quatre propriétés suivantes : 
%
%\setlength\parindent{8mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~~$] $f(0) = 0$ ; 
%\item[$\bullet~~$] $f(1) = 1$ ; 
%\item[$\bullet~~$] $f$ est continue sur l'intervalle [0~;~1] ; 
%\item[$\bullet~~$] $f$ est croissante sur l'intervalle [0~;~1].
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
% 
%Une nuance codée $x$ est dite assombrie par la fonction $f$ si $f(x) > x$, et éclaircie, si $f(x) < x$.
% 
%Ainsi, si $f(x) = x^2$, un pixel de nuance codée $0,2$ prendra la nuance codée
%
% $0,2^2 = 0,04$. L'image A sera transformée en l'image B ci-dessous. 
% 
%Si $f(x) = \sqrt{x}$, la nuance codée $0,2$ prendra la nuance codée $\sqrt{0,2} \approx 0,45$. L'image A sera transformée en l'image C ci-dessous. 
%
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{>{\centering\arraybackslash}X}}
%\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(2,2)
%\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=gray!20](0,1)(1,2)\rput(0.5,1.5){0,20}
%\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=gray!40](1,1)(2,2)\rput(1.5,1.5){0,40}
%\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=gray!60](0,0)(1,1)\rput(0.5,0.5){0,60}
%\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=gray!80](1,0)(2,1)\rput(1.5,0.5){0,80}
%\end{pspicture}&
%\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(2,2)
%\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=gray!4](0,1)(1,2)\rput(0.5,1.5){0,04}
%\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=gray!16](1,1)(2,2)\rput(1.5,1.5){0,16}
%\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=gray!36](0,0)(1,1)\rput(0.5,0.5){0,36}
%\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=gray!64](1,0)(2,1)\rput(1.5,0.5){0,64}
%\end{pspicture}
%&\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(2,2)
%\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=gray!45](0,1)(1,2)\rput(0.5,1.5){0,45}
%\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=gray!63](1,1)(2,2)\rput(1.5,1.5){0,63}
%\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=gray!77](0,0)(1,1)\rput(0.5,0.5){0,77}
%\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=gray!89](1,0)(2,1)\rput(1.5,0.5){0,89}
%\end{pspicture}\\
%Image A& 
%Image B& 
%Image C
%\end{tabularx}
%\end{center}
% 
%\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère la fonction $f_{1}$ définie sur l'intervalle [0~;~1] par : 

\[f_{1}(x) = 4x^3 - 6x^2 + 3x.\]

	\begin{enumerate}
		\item %Démontrer que la fonction $f_{1}$ est une fonction de retouche.
$\bullet~~$ $f_{1}(0) = 0$ : évident ;

$\bullet~~$ $f_{1}(1) = 4 - 6 + 3 = 1$ ;

$\bullet~~$ $f_{1}$ fonction polynôme est dérivable sur [0~;~1] donc continue sur cet intervalle ;

$\bullet~~$ $f'_{1}(x) = 12x^2 - 12x + 3 = 3\left(4x^2 - 4x + 1\right) = 3(2x - 1)^2 \geqslant 0$ sur $\R$ donc sur [0~;~1] et $f_{1}$ est croissante sur cet intervalle.

$f_{1}$ est donc bien une fonction de retouche.
		\item %Résoudre graphiquement l'inéquation $f_{1}(x) \leqslant x$, à l'aide du graphique donné en annexe, à rendre avec la copie, en faisant apparaître les pointillés utiles.
Il semble que la courbe coupe la droite d'équation $y = x$ pour $x = 0$ et $x = 0,5$.

On peut vérifier que $f_{1}(0,5) = 0,5$.

On a donc $f_{1}(x) \leqslant x \iff x \geqslant 0,5$ o u $x = 0$.
%Interpréter ce résultat en termes d'éclaircissement ou d'assombrissement.

Ce résultat signifie que $f_{1}$ éclaircit les nuances codées par un nombre supérieur à 0,5 et inversement pour celles codées par un réel entre 0 (exclu) et 0,5.
	\end{enumerate}
\item %On considère la fonction $f_{2}$ définie sur l'intervalle [0~;~1] par : 

%\[f_{2}(x) = \ln [1 + (\text{e} - 1)x].\]
 
%On admet que $f_{2}$ est une fonction de retouche. 

%On définit sur l'intervalle [0~;~1] la fonction $g$ par : $g(x) = f_{2}(x) - x$. 
		
	\begin{enumerate}
		\item %Établir que, pour tout $x$ de l'intervalle [0~;~1] : $g'(x) = \dfrac{(\text{e} - 2) - (\text{e} - 1)x}{1 + (\text{e} - 1)x}$ ;
		$f_{2}$ est une fonction dérivable car composée de fonctions dérivables, donc $g$ l'est aussi et :

$g'(x) = f'_{2}(x) - 1 = \dfrac{\text{e} - 1}{1 + (\text{e} - 1)x} - 1 = \dfrac{\text{e} - 1 - 1 - (\text{e} - 1)x}{1 + (\text{e} - 1)x} = \dfrac{(\text{e} - 2) - (\text{e} - 1)x}{1 + (\text{e} - 1)x}$.
		\item %Déterminer les variations de la fonction $g$ sur l'intervalle [0~;~1]. 

Comme $\text{e} > 1$, le dénominateur est positif comme somme de termes positifs ; le signe de $g'(x)$ est donc celui de son numérateur ; or

$\text{e} - 2 - (\text{e} - 1)x \geqslant 0 \iff \text{e} - 2 \geqslant (\text{e} - 1)x \iff \dfrac{\text{e} - 2}{\text{e} - 1} \geqslant x$

On a $\dfrac{\text{e} - 2}{\text{e} - 1} \approx 0,418$.

On a donc avec $\dfrac{\text{e} - 2}{\text{e} - 1} = a$,

$g'(x) \geqslant 0 \iff  x \leqslant a$ et de même

$g'(x) \leqslant 0 \iff  x \geqslant a$.

La fonction $g$ est donc croissante sur $[0~;a]$, puis décroissante sur $[a~;~1]$.
%Démontrer que la fonction $g$ admet un maximum en $\dfrac{\text{e} - 2}{\text{e}- 1}$, maximum dont une valeur arrondie au centième est $0,12$.

$g$ a donc un maximum $g(a) \approx 0,12$. 
		\item %Établir que l'équation $g(x) = 0,05$ admet sur l'intervalle [0~;~1] deux solutions $\alpha$ et $\beta$, avec $\alpha < \beta$.
 
%On admettra que : $0,08 < \alpha < 0,09$ et que : $0,85 < \beta < 0,86$.

D'après la question précédente sur l'intervalle $[0~;~a]$ la fonction $g$ est continue et croissante de $g(0) = 0$ à $g(a) \approx 0,12$.

Comme $0,05 \in [0~;~a]$, il existe une valeur unique $\alpha$ de $[0~;~a]$ telle que $f(\alpha) = 0,05$.

On démontre de m\^eme (avec $g$ décroissante) que sur $[a~;~1]$ il existe un réel unique $\beta$ tel que $g(\beta) = 0,05$.

On admettra que : $0,08 < \alpha < 0,09$ et que : $0,85 < \beta < 0,86$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
%On remarque qu'une modification de nuance n'est perceptible visuellement que si la valeur absolue de l'écart entre le code de la nuance initiale et le code de la nuance modifiée est supérieure ou égale à $0,05$.
%
%\medskip
% 
\begin{enumerate}
\item %Dans l'algorithme décrit ci-dessous, $f$ désigne une fonction de retouche.
% 
%Quel est le rôle de cet algorithme ?
%
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{0.78\linewidth}{|l X|} \hline
%\textbf{Variables :}& 	$x$ (nuance initiale)\\ 
%&$y$ (nuance retouchée) \\
%&$E$ (écart)\\ 
%&$c$ (compteur)\\
%& $k$\\ 
%\textbf{Initialisation :}& 	$c$ prend la valeur $0$\\ 
%\textbf{Traitement :}& 	Pour $k$ allant de 0 à 100, faire\\
%&\hspace{1cm}\begin{tabular}{l}
%$x$ prend la valeur $\frac{k}{100}$\\ 
%$y$ prend la valeur $f(x)$\\ 
%$E$ prend la valeur $|y - x|$
%\end{tabular}\\
%	&\hspace{2cm}\begin{tabular}{l} 
%	Si $E \geqslant 0,05$, faire\\ 
%\quad $c$ prend la valeur $c + 1$\\
%Fin si
%\end{tabular}\\ 
%&Fin pour\\
%\textbf{Sortie :}& Afficher $c$ \\ \hline
%\end{tabularx}
%\end{center}

Cet algorithme calcule le nombre de nuances par palier de 0,01 pour lesquelles la modification est perceptible visuellement.
\item %Quelle valeur affichera cet algorithme si on l'applique à la fonction $f_{2}$ définie dans la deuxième question de la \textbf{partie A} ?
On applique l'algorithme à la fonction $g = f_{2} - x$. Il calcule toutes valeurs telles que 

$g(x) \geqslant 0,05$.

Ce sont d'après la question précédente toutes les nuances comprises entre 0,09 et 0,85 : l'algorithme doit donc retourner : $c = 85 - 9 + 1 = 77$.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie C}

\medskip
 
\parbox{0.56\linewidth}{Dans cette partie, on s'intéresse à des fonctions de retouche $f$ dont l'effet est d'éclaircir l'image dans sa globalité, c'est-a-dire telles que, 
pour tout réel $x$ de l'intervalle [0~;~1], $f(x) \leqslant  x$.
 
On décide de mesurer l'éclaircissement global de l'image en calculant l'aire $\mathcal{A}_{f}$ de la portion de plan comprise entre l'axe des abscisses, la 
courbe représentative de la fonction $f$, et les droites d'équations  respectives $x = 0$ et $x = 1$.
 
Entre deux fonctions, celle qui aura pour effet d'éclaircir le plus l'image sera celle correspondant à la plus petite aire. 
On désire comparer l'effet des deux fonctions suivantes, dont on admet 
qu'elles sont des fonctions de retouche :} \hfill
\parbox{0.4\linewidth}{\psset{unit=4cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-0.15,-0.15)(1.1,1.1)
\psaxes[linewidth=1pt,Dx=0.5,Dy=0.5](0,0)(-0.15,-0.15)(1.1,1.1)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=0.5,Dy=0.5]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{1}{x dup mul}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]{
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{1}{x dup mul}
\psline(1,0)(0,0)}
\uput[dl](0,0){0}\psline(1,1)(0,1)\uput[ul](0.55,0.38){$\mathcal{C}_f$}
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=0.5,Dy=0.5]{->}(0,0)(1,1)
\end{pspicture}
}

\[f_{3}(x) = x \text{e}^{\left(x^2 - 1 \right)}\qquad  
f_{4}(x) = 4x - 15 + \dfrac{60}{x + 4}.\]

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer $\mathcal{A}_{f_{1}}$.
$f_{3}$ produit de fonctions positives sur [0~;~1] est positive sur cet intervalle. On a donc :

$\mathcal{A}_{f_{3}} = \displaystyle\int_{0}^1 x \text{e}^{\left(x^2 - 1 \right)}\:\text{d}x = \dfrac{1}{2}\left[\text{e}^{\left(x^2 - 1 \right)} \right]_{0}^1 = \dfrac{1}{2}\left(1 - \text{e}^{- 1}\right)$.
		\item %Calculer $\mathcal{A}_{f_{2}}$
		
On a $f_{4}(0) = - 15 + 15 = 0$ et comme il est admis qu'elle est une fonction de retouche elle est croissante sur [0~;~1], donc positive sur cet intervalle. On a donc :

$\mathcal{A}_{f_{4}} = \displaystyle\int_{0}^1 \left(4x - 15 + \dfrac{60}{x + 4}\right)\:\text{d}x = \left[2x^2 - 15x + 60\ln (x + 4)  \right]_{0}^1 = $

$2 - 15 + 60 \ln 5 - 60 \ln 4 = - 13 + 60\ln \frac{5}{4}$.
	\end{enumerate} 
\item %De ces deux fonctions, laquelle a pour effet d'éclaircir le plus l'image ? 

On a $\mathcal{A}_{f_{3}} = \dfrac{1}{2}\left(1 - \text{e}^{- 1}\right) \approx 0,316$ et $\mathcal{A}_{f_{2}} = - 13 + 60\ln \frac{5}{4} \approx 0,389$.

C'est la fonction $f_{4}$ qui éclaircit le plus l'image.
\end{enumerate}

\subsection*{Exercice 4 \hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas choisi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Dans l'espace muni d'un repère orthonormé, on considère les points :
 
\[\text{A}(1~;~2~;~7),\quad \text{B}(2~;~0~;~2),\quad \text{C}(3~;~1~;~3),\quad \text{D}(3~;~ -6~;~1) \:\:\text{et E}(4~;~-8~;~-4).\]
 
\begin{enumerate}
\item %Montrer que les points A, B et C ne sont pas alignés.
On a $\vect{\text{AB}}\begin{pmatrix}1\\- 2\\ - 5\end{pmatrix}, \: \vect{\text{AC}}\begin{pmatrix}2\\- 1\\ - 4\end{pmatrix}$

Ces vecteurs ne sont pas colinéaires, donc les points A, B et C ne sont pas alignés. 
\item %Soit $\vect{u}(1~;~b~;~c)$ un vecteur de l'espace, où $b$ et $c$ désignent deux nombres réels. 
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer les valeurs de $b$ et $c$ telles que $\vect{u}$ soit un vecteur normal au plan (ABC).
$\vect{u}(1~;~b~;~c)$ un vecteur  normal au plan (ABC) s'il est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de ce plan, par exemple $\vect{\text{AB}}$ et $\vect{\text{AC}}$.

$\vect{u} \cdot \vect{\text{AB}} = 1 - 2b - 5c = 0$ ; et 

$\vect{u} \cdot \vect{\text{AC}} = 2 - b - 4c = 0$.

Il faut donc résoudre le système : 

$\left\{\begin{array}{l c l}
1 - 2b - 5c &=& 0\\
2 - b - 4c = 0
\end{array}\right. \iff 
\left\{\begin{array}{l c l}
1 - 2b - 5c &=& 0\\
-4 + 2 b + 8c &=& 0
\end{array}\right. \Rightarrow - 3 + 3c = 0 \iff c = 1$ ; en remplaçant dans la deuxième équation on a $b = 2 - 4c = 2 - 4 = - 2$.
		\item %En déduire qu'une équation cartésienne du plan (ABC) est : 
On sait que si $\vect{u}(1~;~- 2~;~1)$ est un vecteur normal au plan (ABC), une équation de ce plan est : $M(x~;~y~;~z) \in (\text{ABC}) \iff x - 2y + z + d = 0$.

Or A$(1~;~2~;~7) \in (\text{ABC}) \iff 1 - 4 + 7 + d = 0 \iff d = - 4$.

Donc $M(x~;~y~;~z) \in (\text{ABC}) \iff x - 2y + z  - 4  = 0$.		
%		$x - 2 y + z - 4 = 0$. 
		\item %Le point D appartient-il au plan (ABC) ?
D$(3~;~- 6~;~1) \in (\text{ABC}) \iff 3 + 12  + 1  - 4  = 0 \iff 12 = 0$ : cette égalité est fausse : le point D n'appartient pas au plan (ABC).		
	\end{enumerate} 
\item %On considère la droite $\mathcal{D}$ de l'espace dont une représentation paramétrique est :
 
%\[\left\{\begin{array}{l c l}
%x& =& \phantom{-}2t+3\\ 
%y& =& - 4t + 5\\  
%z& =&\phantom{-}2t-1
%\end{array}\right. \: \text{où}\: t\: \text{est un nombre réel.}\]

	\begin{enumerate}
		\item %La droite $\mathcal{D}$ est-elle orthogonale au plan (ABC) ?
Cette droite a pour vecteur directeur $\vect{w}(2~;~- 4~;~2)$ et le le vecteur $\vect{u}(1~;~- 2~;~1)$ lui est normal au plan (ABC). Or $\vect{w} = 2\vect{u}$ : le vecteur $\vect{w}$ colinéaire au vecteur $\vect{u}$ est lui aussi normal au plan (ABC). 
		\item %Déterminer les coordonnées du point H, intersection de la droite $\mathcal{D}$ et du plan (ABC).
		Le point commun , s'il existe, a ses coordonnées qui vérifient les équations de la droite et l'équation du plan, soit :
		
		$\left\{\begin{array}{l c l}
x& =& \phantom{-}2t+3\\ 
y& =& - 4t + 5\\  
z& =&\phantom{-}2t-1\\
x - 2y + z  - 4  &=& 0
\end{array}\right.\Rightarrow 2t + 3 - 2(- 4t + 5) + 2t-1 - 4 = 0 \iff$

$2t + 3 + 8t - 10 + 2t - 1 - 4 = 0 \iff 12t - 12 = 0 \iff t = 1$.

En remplaçant dans les équations de la droite, on obtient :

$x = 2 + 3 = 5$, \: $y = - 4 + 5 = 1$, \: $z = 2 - 1 = 1$.

H(5~;~1~;~1). 	
	\end{enumerate} 
\item %Étudier la position de la droite (DE) par rapport au plan (ABC).

On a $\vect{\text{DE}}(1~;~- 2~;~- 5)$. 

$\vect{\text{DE}} = \vect{\text{AB}}$ ; donc la droite (DE) est parallèle à la droite (AB) donc  la droite (DE) est parallèle au plan (ABC), et on a vu que D n’appartientpas au plan (ABC), donc la droite (DE) est strictement parallèle  au plan (ABC).
%Ce vecteur n'est pas colinéaire au vecteur $\vect{u}$, donc n'est pas normal au plan (ABC). On a vu que D n'appartient pas au plan (ABC), donc la droite (DE) est bien sécante au plan (ABC) en un point. 
\end{enumerate}

\subsection*{Exercice 4 \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant choisi l'enseignement de spécialité}

\medskip

\textbf{Partie A : préliminaires}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Soient $n$ et $N$ deux entiers naturels supérieurs ou égaux à 2, tels  que :
		
%\[n^2 \equiv  N -1\quad  \text{modulo}\: N.\]
 
%Montrer que : $n \times  n^3 \equiv 1 \quad  \text{modulo}\:\: N$.

$n^2 \equiv  N -1\quad  \text{modulo}\: N \Rightarrow \left(n^2 \right)^2 \equiv  (N - 1)^2\quad  \text{modulo}\: N$

Or $(N - 1)^2 = N^2 - 2N + 1$ et $N^2 \equiv 0 \quad  \text{modulo}\: N$ et $- 2N \equiv 0 \quad  \text{modulo}\: N$, donc 

$(N - 1)^2 \equiv 1 \quad  \text{modulo}\: N$ et finalement car $n^4 = n \times n^3$, 

$n \times  n^3 \equiv 1 \quad  \text{modulo}\:\: N$.
		\item %Déduire de la question précédente un entier $k_{1}$ tel que: $5k_{1} \equiv 1\quad  \text{modulo}\:\: 26$. 
On a $5^2 = 25 = 26 - 1$, donc $5^2 \equiv - 1 \quad \text{modulo}\: 26$.

La question précédente montre que $5 \times 5^3 \equiv 1 \quad \text{modulo}\: 26$.

Donc $k_{1} = 5^3 = 125$.
%On admettra que l'unique entier $k$ tel que : $ 0 \leqslant k \leqslant   25$ et $5k \equiv 1 \quad  \text{modulo}\:\: 26$ vaut 21.  
	\end{enumerate}
\item %On donne les matrices : $A = \begin{pmatrix}4&1\\3&2\end{pmatrix},\: B = \begin{pmatrix}2&- 1\\- 3&4\end{pmatrix},\: X = \begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}$ et $Y = \begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\end{pmatrix}$.
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer la matrice $6A - A^2$.
$6A = \begin{pmatrix} 24&6\\18&12\end{pmatrix}$ et $A^2 = \begin{pmatrix}19&6\\18&7\end{pmatrix}$, donc $6A - A^2 = \begin{pmatrix}5&0\\0&5\end{pmatrix} = 5I$ ($I$ matrice unité).
		\item %En déduire que $A$ est inversible et que sa matrice inverse, notée $A^{- 1}$, peut s'écrire sous la  forme $A^{-1} = \alpha I + \beta A$, ou $\alpha$ et $\beta$ sont deux réels que l'on  déterminera.
On a $6A - A^2 = A(6I - A) = 5I$ ou encore $A \times \dfrac{1}{5}(6I - A) = I$ : cette égalité montre que la matrice A est inversible et que son inverse est

 $A^{- 1} =  \dfrac{1}{5}(6I - A)  = \dfrac{6}{5}I - \dfrac{1}{5}A$.
		\item %Vérifier que : $B = 5A^{-1}$.
$A^{- 1} = \dfrac{6}{5}I - \dfrac{1}{5}A \iff 5A^{- 1} = 6I - A = \begin{pmatrix}2&- 1\\- 3&4\end{pmatrix} = B$.

Conclusion 	$B = 5A^{-1}$.	 
		\item %Démontrer que si $A X = Y$, alors $5X = B Y$.
En partant de l'égalité précédente :

$B = 5A^{-1} \iff BA = 5A^{- 1}A \iff BA = 5I \iff BAX = 5IX \iff $

$BY = 5X$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}	

\bigskip
	 
\textbf{Partie B : procédure de codage}

\medskip
 
Coder le mot \og ET \fg, en utilisant la procédure de codage décrite ci-dessous.
%
%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~~$] Le mot à coder est remplacé par la matrice $X = \begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}$, où $x_{1}$ est l'entier représentant la première lettre du mot et $x_{2}$ l'entier représentant la deuxième, selon le tableau de correspondance ci-dessous :
%
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{13}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%A&B&C&D&E&F&G&H&I&J&K&L&M\\ \hline
%0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12\\ \hline \hline
%N&O&P&Q&R&S&T&U&V&W&X&Y&Z\\ \hline
%13&14&15&16&17&18&19&20&21&22&23&24&25\\ \hline
%\end{tabularx}
%\end{center} 

%\item[$\bullet~~$] La matrice $X$ est transformée en la matrice $Y = \begin{pmatrix}y_{1}\\ y_{2}
%\end{pmatrix}$  telle que : $Y  = AX$. 
%\item[$\bullet~~$] La matrice $Y$ est transformée en la matrice $R = \begin{pmatrix}r_{1}\\r_{2}\end{pmatrix}$, où $r_{1}$ est le reste de la division euclidienne de $y_{1}$ par 26 et $r_{2}$ le reste de la division euclidienne de $y_{2}$ par  26. 
%\item[$\bullet~~$] Les entiers $r_{1}$ et $r_{2}$ donnent les  lettres du mot codé, selon  le tableau de correspondance ci-dessus. 
%\end{itemize}

\medskip

%\textbf{Exemple :} \og  OU \fg (mot à coder) $\to  X \begin{pmatrix}14\\20\end{pmatrix} \to Y = \begin{pmatrix}76\\82\end{pmatrix} \to R = \begin{pmatrix}24\\4 \end{pmatrix} \to $ \og YE \fg{} (mot codé). 
%
%\bigskip
\og ET \fg{} est codé par la matrice $X = \begin{pmatrix}4\\19\end{pmatrix}$.

Puis $Y = AX = \begin{pmatrix}35\\50\end{pmatrix}$, puis $R = \begin{pmatrix}9\\24\end{pmatrix}$ et d'après le tableau  \og ET \fg{} est codé \og JY \fg.

\medskip

\textbf{Partie C : procédure de décodage }

%(on conserve les mêmes notations que pour le codage)
\medskip
 
Lors du codage, la matrice $X$ a été transformée en la matrice  $Y = \begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\end{pmatrix}$  telle que : $Y = A X$.

\medskip
 

\begin{enumerate}
\item %Démontrer que : $\left\{\begin{array}{l c l}
%5x_{1} &=& \phantom{-}2y_{1} - y_{2}\\ 
%5x_{2} &=&- 3y_{1} + 4y_{2}
%\end{array}\right..$
On a $Y = AX \iff A^{-1}Y = X \iff 5A^{- 1}Y = 5X = BY$ soit $Y = AX \iff \left\{\begin{array}{l c l}
5x_{1}&=&2y_{1} - y_{2}\\
5x_{2}&=&-3 y_{1} + 4y_{2}
\end{array}\right.$ 
\item %En utilisant la question 1. b. de la \textbf{partie A}, établir que:
La question 1. b. de la \textbf{partie A} a montré que $5 \times 21 \equiv 1\quad \text{modulo } 26$. Donc en reprenant le système de la question précédente et en multipliant par 21, on obtient :

$\left\{\begin{array}{l c l}
21 \times 5x_{1}&=&21 \times \left(2y_{1} - y_{2}\right)\\
21 \times 5x_{2}&=&21 \times \left(-3 y_{1} + 4y_{2}\right)
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l}
21 \times 5x_{1}&=&42y_{1} - 21y_{2}\\
21 \times 5x_{2}&=&- 63 y_{1} + 84y_{2}
\end{array}\right. \iff$

$ \left\{\begin{array}{l c l}
x_{1}&\equiv &16y_{1} +5 y_{2} \quad \text{modulo }\: 26\\
x_{2}&\equiv &15 y_{1} + 6y_{2}\quad \text{modulo }\: 26
\end{array}\right.$
%\[\left\{\begin{array}{l c l}
%x_{1}&\equiv&16y_{1} + 5y_{2}\\
%x_{2}&\equiv&15y_{1} + 6y_{2}
%\end{array}\right. \quad \text{modulo }\:\: 26\]
 
\item %Décoder le mot \og QP \fg.

\og QP \fg{} est associé à la matrice $\begin{pmatrix}16\\15 \end{pmatrix}$.

En utilisant le résultat précédent :

$\left\{\begin{array}{l c l}
x_{1}&\equiv &16y_{1} +5 y_{2} \quad \text{modulo } 26\\
x_{2}&\equiv &15 y_{1} + 6y_{2}\quad \text{modulo } 26
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l}
x_{1}&\equiv &256 + 75 \quad \text{modulo}\: 26\\
x_{2}&\equiv &240 + 90\quad \text{modulo}\: 26
\end{array}\right. \iff $

$\left\{\begin{array}{l c l}
x_{1}&\equiv &331 \quad \text{modulo}\: 26\\
x_{2}&\equiv &330\quad \text{modulo}\: 26
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l}
x_{1}&=&19\\
x_{2}&=&18
\end{array}\right.$

Le mot décodé est donc \og TS \fg. 
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}
 
\textbf{\large Annexe à rendre avec la copie}

\bigskip
 
\textbf{Annexe relative à l'exercice 2}

\bigskip

\psset{unit=0.5cm}
\begin{pspicture}(-5,-2.5)(18,9) 
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(-5,-2.5)(18,9) 
\multido{\n=-4+2}{11}{\psline[linestyle=dashed](\n,-2.5)(\n,9)}
\multido{\n=-2+2}{6}{\psline[linestyle=dashed](-5,\n)(18,\n)}
\psdots(-4,0)(-4,4)(-2,-2)(0,-2)(16,0)(8,8)(0,8)
\uput[ur](16,0){$A_{0}$}\uput[ur](-4,4){$A_{3}$}\uput[ur](-4,0){$A_{4}$}
\uput[ur](-2,-2){$A_{5}$}\uput[ur](0,-2){$A_{6}$}
\uput[ur](8,8){$A_{1}$}\uput[ur](0,8){$A_{2}$}
\uput[ur](0,0){0}
\end{pspicture}

\vspace{1cm}

\textbf{Annexe relative à l'exercice 3}

\bigskip
 
\textbf{Courbe représentative de la fonction}\:\boldmath $f_{1}$ \unboldmath

\medskip

\psset{unit=6.5cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-0.4,-0.2)(1.25,1.2)
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=20](1,1) 
\psaxes[linewidth=1pt,Dx=0.5,Dy=0.5](0,0)(0,0)(1.25,1.2)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=0.5,Dy=0.5]{->}(0,0)(1,1)
\psframe(1,1)
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{1}{x 3 exp 4 mul x dup mul 6 mul sub 3 x mul add}
\psline(1,1)
\psline[linestyle=dashed](0,0.5)(0.5,0.5)(0.5,0)
\end{pspicture} 
\end{center}
\end{document}