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% Tapuscrit : François Hache
%Relecture Denis Vergès
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\begin{document}

\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur Métropole}
\lfoot{\small{Comptabilité et gestion - corrigé}}
\rfoot{\small{15 mai 2025}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du Brevet de technicien supérieur Métropole~\decofourright\\[7pt]15 mai 2025 - Comptabilité et gestion}}

\bigskip

{\Large \textbf{MATHÉMATIQUES APPLIQUÉES \qquad 2 heures}}
\end{center}

\medskip

%\emph{L'ensemble du sujet fait référence à un écoparc, dédié à la conservation de la biodiversité et des espèces menacées.}

\medskip

\textbf{\large{}Exercice 1 \hfill 9 points}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

La feuille de calcul d'un tableur, dont un extrait est proposé ci-dessous, donne l'évolution du nombre annuel d'entrées dans cet écoparc pour la période 2013--2019, avant la crise sanitaire.

\emph{La ligne $3$ est au format pourcentage, arrondi à $0,01\,\%$}

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{| >{\cellcolor{lightgray}} c|m{3.5cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\rowcolor{lightgray}	&A&B&C&D&E&F&G&H\\ \hline
1	&Année&2013&2014&2015&2016&2017&2018&2019\\ \hline
2	&Nombre d'entrées au parc&\np{35645}&\np{36258}&\np{38630}&\np{42524}&\np{47641}&\np{53392}&\np{60410}\\ \hline
3	&Taux d'évolution annuel arrondi à 0,01\,\%&	\cellcolor{lightgray} &1,72\,\%	&6,54\,\%	&&12,03\,\%&12,07\,\%&13,14\,\%\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item La formule à saisir en \texttt{C3} puis à  recopier vers la droite pour obtenir les différents taux d'évolution annuels du nombre d'entrées au parc est:
		\texttt{= (C2 - B2)/B2}.
		\item $\dfrac{(\np{42524} - \np{38630}}{\np{38630}} \approx \np{0,100802}$

donc le taux d'évolution figurant dans la cellule \texttt{E3} est: $10,08\;\%$.
	\end{enumerate}

\item
	\begin{enumerate}
		\item $\dfrac{\np{60410} - \np{35645}}{\np{35645}} \approx \np{0,69477}$

donc sur la période 2013--2019, le nombre d'entrées dans l'écoparc a augmenté d'environ 69,5\,\%.

		\item %Calculer le taux d'évolution annuel moyen du nombre d'entrées dans l'écoparc sur la  période 2013--2019. Arrondir à 0,01\,\%

Entre 2013 et 2019, il y a 6 ans. 

Si $t$ est le taux d'évolution annuel moyen, on a:
$\np{35645} \times \left (1+t\right )^{6} = \np{60410}$
donc
$\left (1+t\right )^{6} = \dfrac{\np{60410}}{\np{35645}}$
et donc
$t= \left (\dfrac{\np{60410}}{\np{35645}}\right )^{\frac{1}{6}}-1 \approx \np{0,091905}$

Le taux d'évolution annuel moyen du nombre d'entrées dans l'écoparc sur la  période 2013--2019, arrondi au centième, est de $9,19\;\%$.

		\item On suppose que le nombre d'entrées dans l'écoparc augmente d'environ 9,2\,\% par an à partir de 2019.

Donc le coefficient multiplicateur à appliquer annuellement est
		$1+\dfrac{9,2}{100}=1,092$.

Entre 2019 et 2025, il y a 6 ans.

$\np{60410}\times 1,092^6\approx \np{102434,1}$

Selon ce modèle, on peut estimer à \np{102430} le nombre d'entrées dans l'écoparc pour 2025, en arrondissant à la dizaine d'entrées.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Un hôtelier souhaite reprendre la gérance d'un hôtel \og quatre étoiles \fg{} à proximité de l'écoparc. Une enquête sur un échantillon représentatif d'agences de voyage travaillant avec des établissements \og quatre étoiles \fg{} lui a permis de connaître l'évolution de la demande de nuitées en fonction du prix proposé :

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.9\linewidth}{|m{3.5cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Prix TTC en \euro{} : $x_i$&80&100&120&140&160&180\\ \hline
Demande mensuelle\newline en nuitées : $y_i$&540&452&335&188&120&88\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item À l'aide de la calculatrice, on détermine une équation  de la droite d'ajustement de $y$ en $x$, selon la méthode des moindres carrés, sous la forme $y = ax +  b$, en arrondissant $a$ et $b$ au centième: $y=-4,86x+919,15$.

\item On décide d'ajuster le nuage de points de cette série statistique $(x_i~;~y_i)$ par la droite d'équation $y = - 4,9x + 919$.

%Selon ce modèle:

	\begin{enumerate}
		\item $-4,9\times 110 +919=380$
		
Le nombre de nuitées que le gérant peut espérer réaliser par mois, s'il propose un tarif de 110~\euro{} la nuitée est donc de 380.

		\item $110\times 380 = \np{41800}$

Le chiffre d'affaires correspondant est donc de \np{41800}\;\euro.

		\item Pour que la demande mensuelle soit d'au moins 300 nuitées, il faut déterminer $x$ pour que $y\geqslant 300$; on résout donc l'inéquation $y\geqslant 300$:

		$-4,9x+919\geqslant 300
		\iff
		919-300 \geqslant 4,9x
		\iff
		619 \geqslant 4,9x
		\iff
		\dfrac{619}{4,9}\geqslant x$

Or $\dfrac{619}{4,9} \approx 126,33$.

En arrondissant à l'unité, on trouve qu'il faut un prix maximum de 126\;\euro{} pour que la demande mensuelle soit d'au moins 300 nuitées.
	\end{enumerate}
	
\item Le chiffre d'affaire mensuel en euro que le gérant peut espérer réaliser, est
modélisé par la fonction $R$ définie sur [80~;~180] par : 
$R(x) = -4,9x^2 + 919x$, où $x$ désigne le prix en euros d'une nuitée dans cet hôtel.

	\begin{enumerate}
		\item La fonction $R$ est dérivable sur [80~;~180] et on note $R'$ sa dérivée. 

%Donner l'expression de $R'(x)$.
$R(x) = -4,9x^2 + 919x$ donc $R'(x)=-4,9\times 2x +919=-9,8x + 919$.

		\item $R'(x)=0 \iff -9,8x+919=0 \iff 919=9,8x \iff \dfrac{919}{9,8}=x$

Or $\dfrac{919}{9,8}\approx 93,8$ donc on prendra $x=94$ comme valeur entière qui annule $R'(x)$.
	
On établit le tableau de variations de le fonction $R$.	
	
	\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}%  paramètres
\def\esp{\hspace*{2.5cm}}% pour modifier la largeur du tableau
\def\hauteur{0pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur
$\begin{array}{|c|*5{c}|}
\hline
x & 80&\esp & 94 & \esp & 180 \\ 
\hline
R'(x) & & \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{-} & \\ 
\hline
 & &  &\Rnode{max}{R(94)}  &  &   \\  
R(x) & &&  &  &  \rule{0pt}{\hauteur} \\ 
 & \Rnode{min1}{~} &   &  &  &   \Rnode{min2}{~} \rule{0pt}{\hauteur}    
 \ncline{->}{min1}{max} 
 \ncline{->}{max}{min2} 
 \\
\hline
\end{array}$
}
\end{center}
	
En arrondissant à l'euro, la valeur $x_0$ du prix d'une nuitée qui permettrait au gérant de rendre maximal le chiffre d'affaires mensuel de son hôtel \og quatre étoiles \fg{} est 94\;\euro.

		\item $R(94)= \np{43089,60}$ donc le chiffre d'affaires maximal correspondant est de \np{43090}\;\euro.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large{}Exercice 2 \hfill 11 points}

\medskip

%\emph{Les différentes parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.}

\textbf{Partie A}

\medskip

À l'entrée de l'écoparc, il est possible d'acheter des petits sachets de nourriture à proposer
aux animaux.
Le responsable de l'accueil a constaté que :

\begin{itemize}[label= $\bullet~$]
\item 75\,\% des visiteurs adultes viennent accompagnés d'un ou plusieurs enfants.
\item Parmi les visiteurs venant accompagnés d'un ou plusieurs enfants, 80\,\% achètent un
sachet de nourriture pour les animaux.
\item Parmi les visiteurs venant sans enfant. 40\,\% achètent un sachet de nourriture pour
les animaux.
\end{itemize}

On choisît au hasard un visiteur arrivant à l'accueil. On note alors les évènements :

\begin{itemize}[label= $\bullet~$]
\item $F$ : \og le visiteur est venu accompagné d'un ou plusieurs enfants \fg ;
\item $A$ : \og le visiteur achète un sachet de nourriture pour les animaux. \fg
\end{itemize}

%On notera $\overline{E}$ l'évènement contraire d'un évènement $E$.

\begin{enumerate}
\item On complète l'arbre de probabilité suivant :

\begin{center}
{%\bigskip
\psset{levelsep=3.5cm,nodesepB=4pt, treesep=1.5cm,nrot=:U}
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt]% R pour Right
{\TR{}}
{
\pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$F$}\naput{$0,75$}}
	{
	\TR{$A$}\naput{$0,80$}
	\TR{$\overline{A}$}\nbput{$1-0,80=0,20$}
	}
\pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$\overline{F}$}\nbput{$1-0,75=0,25$}}
	{
	\TR{$A$}\naput{$0,40$}
	\TR{$\overline{A}$}\nbput{$1-0,40=0,60$}
	}
}
}
%\bigskip
\end{center}

\item
	\begin{enumerate}
		\item %Définir par une phrase l'évènement $F \cap A$.
$F \cap A$ est l'évènement \og le visiteur est venu accompagné d'un ou plusieurs enfants, et le visiteur a acheté un sachet de nourriture pour les animaux. \fg{}.

		\item %Calculer la probabilité de cet évènement.
$P(F\cap A) = P(F)\times P_F(A)=0,75\times 0,80 = 0,6$

\item %Montrer que $P(A) = 0,7$.
D'après la formule des probabilités totales:

$P\left (A\right ) = P\left (F\cap A\right ) + P \left ( \overline{F}\cap A\right )
= 0,6+ 0,25\times 0,4 = 0,6+0,1=0,7$

\item On croise dans le parc un visiteur ayant acheté un sachet de nourriture pour les animaux.
La probabilité qu'il soit venu sans enfant est:

$P_A\left (\overline{F}\right ) = \dfrac{P\left (\overline{F}\cap A \right )}{P\left (A\right )}
= \dfrac{0,25\times 0,4}{0,7}\approx 0,14$

%Arrondir le résultat au centième.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Pour un visiteur la durée nécessaire pour parcourir l'ensemble de l'écoparc. exprimée en 
minutes. est une variable aléatoire $T$ qui suit la loi normale d'espérance $\mu = 90$ et d'écart type $\sigma = 15$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item D'après la calculatrice:  $P(30 \leqslant T \leqslant 60)\approx \np{0,023}$. 
		
%Arrondir le résultat au millième.
		\item %Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
On peut estimer à $2,3\;\%$ le pourcentage de visiteurs qui restent dans le parc entre 30 minutes et une heure.		
			\end{enumerate}
	
\item La probabilité qu'un visiteur mette au moins 2 heures pour parcourir l'ensemble de l'écoparc est:
$P(T\geqslant 120) = 1-P (T < 120) \approx 1- \np{0,97725} \approx 0,023$.

%Arrondir le résultat au millième.

\item Pour déterminer deux nombres $a$ et $b$ tels que que $P(a \leqslant T \leqslant b) \approx 0,95$, il faut se rappeler que, si $T$ suit une loi normale de paramètres $\mu$ et $\sigma$, on a: 

$P(\mu - 2\sigma \leqslant T \leqslant \mu +2\sigma)\approx 0,95$.

$2\sigma=30$ et $\mu=90$, donc $P(60 \leqslant T \leqslant 120)\approx 0,95$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

Pour augmenter l'attractivité de l'écoparc, le directeur souhaite créer un site d'accrobranche en profitant d'une partie boisée de son terrain. Il fait appel à une entreprise spécialisée qui lui livrera l'installation clé en main, moyennant un budget de \np{130 000}~\euro.

Le directeur dispose d'un apport de \np{20000}~\euro{} pour cet investissement.

%\medskip

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item $\np{130000} - \np{20000} = \np{110000}$ donc il doit emprunter \np{110000}\,\euro.
		
		\item Pour cet emprunt la banque lui propose un prêt remboursable sur 4 ans par annuité constante, au taux annuel constant de 3,9\,\%.

$V_0=\np{110000}$, $n=4$ et $t=0,039$ donc le montant de l'annuité est, arrondi au centime:
$\np{110000}\times \dfrac{0,039}{1-(1+0,039)^{-4}}\approx \np{30232,52}$

%Vérifier que le directeur devra rembourser \np{30232,50}~\euro{} par an.
	\end{enumerate}

%\emph{On rappelle que pour calculer une annuité constante $a$, on a la formule :  
%\[a = V_0 \times \dfrac{t}{1 - (1 + t)^{-n}}\]
%où $V_0$~ est le montant emprunté, $t$ le taux annuel et $n$ le nombre d'annuités.}

\item On a construit le tableau d'amortissement du prêt contracté par le directeur:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{| >{\cellcolor{lightgray}} c|c|*{1}{>{\centering \arraybackslash}X|} c|c| *{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
\hline
\rowcolor{lightgray} &A&B&C&D&E&F\\ \hline
1&\small période&\small dette en début de période&intérêts&\small amortissement&\small annuité&\small dette en fin de période\\ \hline
2&1&\np{110000,00}~\euro&\np{4290,00}~\euro&&\np{30232,52}~\euro&\np{84057,48}~\euro\\ \hline
3&2&&&&\np{30232,52}~\euro&\\ \hline
4&3&&&&\np{30232,52}~\euro&\\ \hline
5&4&&&&\np{30232,52}~\euro&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item Dans la cellule \texttt{F5} se trouve la somme restant à payer au bout de 4 ans donc ça doit être 0\;\euro.
		
		\item %Quelles formules doit-on saisir, puis recopier vers le bas, dans les cellules \texttt{C2} et \texttt{F2} pour compléter ce tableau d'amortissement ?
La cellule \texttt{C2} indique le montant des intérêts annuels à payer sur la dette en début de période; donc on entre dans \texttt{C2} la formule:
\texttt{=B2*0,039}

La dette en fin de période est calculée comme différence entre la dette en début de période et l'amortissement, soit \texttt{=B2-D2}.

L'annuité est la somme des intérêts de la période et de la part d'amortissement; donc \texttt{E2=C2+D2}. Donc \texttt{D2=E2-C2}.

La formule qu'il faut rentrer dans \texttt{F2} est \texttt{=B2-D2}, c'est-à-dire \texttt{=B2-(E2-C2)}, soit \texttt{=B2-E2+C2}.

		\item La valeur de la cellule \texttt{D2} est donnée par \texttt{=E2-C2}.

		$\np{30232,52} - \np{4290,00} = \np{25942,52}$ donc la valeur de la cellule \texttt{D2} est \np{25942,52}\;\euro.

		\item $4 \times \np{30232,52} = \np{120930,08}$  et $\np{120930,08}-\np{110000} = \np{10930,08}$, donc le coût total du crédit est de \np{10930,08}\;\euro.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}