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%Tapuscrit : François Hache
%Corrigé : François Hache
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\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Baccalauréat S},
pdftitle = {Concours contrôleur des douanes session 2025},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH}

\renewcommand{\d}{\mathrm{\,d}}%   le d de différentiation
\newcommand{\e}{\mathrm{\,e\,}}%   le e de l'exponentielle
\renewcommand{\i}{\mathrm{\,i\,}}% le i des complexes
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\begin{document}

\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Concours contrôleur des douanes - corrigé}
\lfoot{\small{Branche surveillance}}
\rfoot{\small{session 2025}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du Concours contrôleur des douanes~\decofourright\\[7pt]Branche surveillance - session 2025
}}

\medskip

\textbf{OPTION A : Résolution d'un ou plusieurs problèmes de mathématiques}
\end{center}

%\textbf{Remarque préliminaire :
%\begin{itemize}
%\item \textbf{Sauf précision contraire figurant dans un énoncé, lorsque des calculs sont
%demandés, les résultats seront donnés sous forme décimale au centième près.}
%\item \textbf{Chaque réponse doit être précédée du numéro de la question à laquelle elle se rapporte, sur la copie et les intercalaires destinés à cet effet. Aucune réponse ne doit être inscrite sur le sujet. Le sujet et les feuilles de brouillon ne seront ni ramassés ni corrigés.}
%\end{itemize}}

\bigskip

\textbf{\large Exercice 1}

\medskip

Dans une fête foraine, un ticket enfant permet d'effectuer autant de tirs successifs qu'il est nécessaire pour crever un ballon.
À chacun de ses tirs, on considère qu'un enfant a la probabilité $0,2$ de crever le ballon.
Le tireur s'arrête quand le ballon est crevé.

%\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item% Quelle est la probabilité qu'au bout de deux tirs le ballon soit intact ? 
On appelle $C$ l'évènement \og le ballon est crevé \fg{}, et $\overline{C}$ l'évènement contraire.

On représente la situation par un arbre pondéré.

\begin{center}
{%\small
\psset{levelsep=2cm,nodesepB=4pt, treesep=10mm}
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt]% R pour Right
{\TR{}}
	{\pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$C$}\ncput*{$0,2$}}
	     {
	      \TR{$C$}~{\blue$\rightarrow 0,2\times 0,2=0,04$}\ncput*{$0,2$}
		  \TR{$\overline{C}$}~{\blue$\rightarrow 0,2\times 0,8=0,16$}\ncput*{$0,8$}
	     }
    \pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$\overline{C}$}\ncput*{$0,8$}}
	      {
	\TR{$C$}~{\blue$\rightarrow 0,8\times 0,2=0,16$}\ncput*{$0,2$}
			\TR{$\overline{C}$}~{\blue$\rightarrow 0,8\times 0,8=0,64$}\ncput*{$0,8$}
    }
}
}% fin du \small
\end{center}

Au bout de deux tirs, il y a quatre résultats possibles: $\left ( C\;,\; C\right )$, $\left (C\;,\; \overline{C}\right )$, $\left ( \overline{C}\;,\; C\right )$ et $\left ( \overline{C}\;,\; \overline{C}\right )$, de probabilités respectives: $0,04$, $0,16$, $0,16$ et $0,64$.

La probabilité qu'au bout de deux tirs le ballon soit intact correspond à l'évènement $\left ( \overline{C}\;,\; \overline{C}\right )$ et est donc égale à $0,64$ soit $0,8^2$.

		\item% Quelle est la probabilité que deux tirs suffisent pour crever le ballon ? 
L'évènement \og deux tirs suffisent pour crever le ballon \fg{} est l'évènement contraire de l'évènement \og au bout de deux tirs le ballon est intact \fg{}.

Sa probabilité est donc $1 -  0,64 = 0,36$.
		\item% Quelle est la probabilité $p$ que $n$ tirs suffisent pour crever le ballon ?
L'évènement \og $n$ tirs suffisent pour crever le ballon \fg{} est l'évènement contraire de l'évènement \og au bout de $n$ tirs le ballon est intact \fg{}.

L'évènement \og au bout de $n$ tirs le ballon est intact \fg{} correspond à l'évènement 
$\underbrace{\left ( \overline{C}\;,\; \overline{C}\;,\; \cdots\;,\; \overline{C}\right )}_{n-\text{uplet}}$ de probabilité 
$\underbrace{0,8 \times 0,8 \times \cdots \times 0,8}_{n \text{ facteurs}} = 0,8^n$.

Donc la probabilité $p$ que $n$ tirs suffisent pour crever le ballon est $p = 1-0,8^n$.
	\end{enumerate}

\item 
\begin{list}{\textbullet}{Un deuxième stand de tir propose la règle suivante:}
\item Le joueur lance un dé tétraédrique régulier dont les faces sont numérotées de 1 à 4 (la face obtenue avec un tel dé est la face cachée).
\item Soit $k$ le numéro de la face obtenue, le joueur peut réaliser au maximum $k$ tirs pour crever le ballon.
\end{list}

D'après la question précédente, la probabilité que $k$ tirs suffisent pour crever le ballon est $p_k=1-0,8^k$.

On appelle $D$ la variable aléatoire qui donne le résultat au lancer du dé. Le dé tétraédrique étant régulier, on aura: $P(D=1)= P(D=2) = P(D=3) = P(D=4)$, et comme il y a quatre résultats possibles, chacune de ces probabilités est égale à   $\dfrac{1}{4}$.

D'après la formule des probabilités totales, la probabilité de crever le ballon est:

$P(D=1)\times p_1 + P(D=2)\times p_2 + P(D=3)\times p_3 + P(D=4)\times p_4
= \dfrac{1}{4}\left (p_1+p_2+p_3+p_4\right )\\
{}\qquad = \dfrac{1}{4}\left ( 0,2 + 0,36 + \left (1-0,8^3\right ) + \left (1-0,8^4\right )\right )
 \approx \dfrac{1}{4} \left ( 0,2+0,36+1-0,512+1-0,41\right )\\[7pt]
{}\qquad \approx \dfrac{1}{4}\times 1,638 \approx 0,41$

%Pour indications $0,8^3 = 0,512$ et $0,8^4 \approx 0,41$.

%\begin{center}
%\bigskip
%{%\small
%\psset{treemode=R,levelsep=3cm,nodesepB=4pt, treesep=7.5mm}
%\pstree[nodesepA=0pt]
%       {\TR{}}
%       {
%       \pstree[nodesepA=4pt,nrot=:U]{\TR{$1$}\ncput*{$\frac{1}{4}$}}
%	                        {
%	                        \TR{$C$}\naput{$0,2$}
%			                \TR{$\overline C$}\nbput{}
%	                        }
%       \pstree[nodesepA=4pt,nrot=:U]{\TR{$2$}\ncput*{$\frac{1}{4}$}}
%	                        {
%	                        \TR{$C$}\naput{$0,36$}
%			                \TR{$\overline C$}\nbput{}
%	                        }
%       \pstree[nodesepA=4pt,nrot=:U]{\TR{$3$}\ncput*{$\frac{1}{4}$}}
%	                        {
%	                        \TR{$C$}\naput{$1-0,8^3$}
%			                \TR{$\overline C$}\nbput{}
%	                        }
%       \pstree[nodesepA=4pt,nrot=:U]{\TR{$4$}\ncput*{$\frac{1}{4}$}}
%	                        {
%	                        \TR{$C$}\naput{$1-0,8^4$}
%			                \TR{$\overline C$}\nbput{}
%	                        }	                        	                        
%      }
%}% fin du \small
%\bigskip
%\end{center}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Exercice 2}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle [0~;~1] par : $f (x) = 2x \e^{- x}$.

%On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle [0~;~1].
%
%Pour l'exercice on considérera que $\ln (2) \approx 0,69$, \quad $\e^{-0,1} \approx 0,90$ \quad et $\e^{-1} \approx 0,37$.

%\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On résout sur l'intervalle [0~;~1] l'équation $f(x)= x$.

$\aligned		
f(x)=x 
& \iff 2x\e^{-x}=x
\iff 2x\e^{-x}-x=0
\iff x \left (2\e^{-x}-1 \right )=0\\
& \iff x=0 \text{ ou } 2\e^{-x}-1=0
\iff x=0 \text{ ou } 2\e^{-x} = 1
\iff x=0 \text{ ou } \e^{-x} = \dfrac{1}{2}\\
& \iff x=0 \text{ ou } -x = \ln\left ( \dfrac{1}{2}\right)
\iff x=0 \text{ ou } x = -\ln\left ( \dfrac{1}{2}\right)
\endaligned$

Or $-\ln\left (\dfrac{1}{2}\right)=\ln(2)$ donc les solutions de l'équation sont $x=0$ et $x= \ln\left(2\right)\approx 0,69$.
	
		\item Pour tout $x$ appartenant à l'intervalle [0\,; 1], on a:
		
$f'(x) = 2\times \e^{-x} + 2x \times (-1) \e^{-x} = 2\e^{- x} - 2x\e^{- x} = 2(1 - x)\e^{- x}$.

		\item %Donner le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~1].
On détermine le signe de $f'(x)$ sur  [0~;~1].

\[\begin{tablvar}[12em]{1}
\hline
 x & 0 &&  1\\
\hline
1-x &   & +  & \barre[0]\\
\hline
\e^{-x} &   & +  & \barre\\
\hline
f'(x) &   & +  & \barre[0]\\
\hline
\end{tablvar}\]

$f(0)=0$ et $f(1)=2\times 1 \times \e^{-1}\approx 2\times 0,37$ donc $f(1)\approx 0,74$

On en déduit les variations de $f$ sur $[0~;~1]$.

\[\begin{tablvar}[12em]{1}
\hline
x & 0 && 1 \\
\hline
f'(x) &   & +  & \barre[0]  \\
\hline
\variations{\mil{f(x)} & \bas{0} &&  \haut{0,74}}
\hline
\end{tablvar}\]

	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par :
$\left\{
\begin{array}{l !{=} l}
u_0&0,1\\
u_{n+1}& f\left(u_n\right)\:\: \text{pour tout entier naturel }\:n,
\end{array}
\right.$

\begin{enumerate}[resume]
\item
	\begin{enumerate}
		\item% Démontrer par récurrence que, pour tout $n$ entier naturel,
Soit $\mathcal{P}_n$ la propriété $0 \leqslant u_n < u_{n+1} \leqslant 1$.

\begin{list}{\textbullet}{On va démontrer par récurrence que cette propriété est vraie pour tout $n$.}
\item \textbf{Initialisation}

$u_0=0,1$ et $u_1=f(u_0) = 2 u_0 \e^{-u_0}= 0,2\e^{-0,1}\approx 0,2\times 0,90 \approx 0,18$

$0\leqslant 0,1 < 0,18 \leqslant 1$ donc $0\leqslant u_0 < u_1 \leqslant 1$

La propriété est donc vraie au rang 0.

\item \textbf{Hérédité}

On suppose que la propriété est vraie au rang $n\geqslant 0$, c'est-à-dire que

$0 \leqslant u_n < u_{n+1} \leqslant 1$.

La fonction $f$ est strictement croissante sur $[0~;~1]$, donc

$f(0) \leqslant f(u_n) < f(u_{n+1}) \leqslant f(1)$.

Or $f(0)=0$, $f(u_n)=u_{n+1}$, $f(u_{n+1})=u_{n+2}$ et $f(1)\approx 0,74$.

On a donc $0 \leqslant u_{n+1} < u_{n+2} \leqslant 0,74$, et donc $0 \leqslant u_{n+1} < u_{n+2} \leqslant 1$.

La propriété est donc vraie au rang $n+1$ donc elle est héréditaire.

\item \textbf{Conclusion}

La propriété est vraie au rang 0 et elle est héréditaire pour tout $n\geqslant 0$ donc, d'après le principe de récurrence, elle est vraie pour tout $n\geqslant 0$.
\end{list}

On a donc démontré que pour tout entier naturel $n$, on a: $0 \leqslant u_n < u_{n+1} \leqslant 1$.
		\item %En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.
\begin{list}{\textbullet}{On a démontré:}
\item que pour tout $n$, on a $u_n<u_{n+1}$, donc la suite $(u_n)$ est croissante;
\item que pour tout $n$, on a $u_n<1$, donc la suite $(u_n)$ est majorée par 1.
\end{list}

La suite $(u_n)$ est croissante majorée donc, d'après le théorème de la convergence monotone,  la suite $(u_n)$ est convergente. On appelle $\ell$ sa limite.

		\item% Démontrer que la limite de la suite $\left(u_n\right)$ est $\ln (2)$.
Pour tout $n$, on a $u_{n+1}=f(u_n)$, et la suite $(u_n)$ converge vers $\ell$.

On en déduit que $\ell$ vérifie l'égalité $f(\ell) = \ell$.

Autrement dit, $\ell$ est solution de l'équation $f(x)=x$.

On a vu que cette équation admettait deux solutions: 0 et $\ln(2)$.

La suite $(u_n)$ est croissante et $u_0=0,1$; donc la limite $\ell$ est supérieure à $u_0$ donc à $0,1$. On en déduit que $\ell$ ne peut être 0 donc $\ell = \ln(2)$.

	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Exercice 3}

\medskip

L'espace est rapporté à un repère orthonormé \Oijk. On considère le plan $\mathcal{P}$ caractérisé par le point A\,$(4~;~2~;~-1)$ et les vecteurs $\vect{u}(3~;~1~;~5)$ et
$\vect{v}(-2~;~-1~;~0)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Vérifier que les vecteurs $\vect{u}$ et $\vect{v}$ ne sont pas colinéaires.
$y_{\vec{u}}\times (-1)=y_{\vec{v}}$ et $x_{\vec{u}}\times (-1) \neq x_{\vec{v}}$ donc les vecteurs $\vect{u}$ et $\vect{v}$ ne sont pas colinéaires.

\item% Les points P\,(5~;~2~;~4) et Q\,$(0~;~- 1~;~10)$ appartiennent-ils au plan $\mathcal{P}$?
Le point P\,(5~;~2~;~4) appartient au plan $\mathcal{P}$ si et seulement si les vecteurs $\vectt{AP}$, $\vect{u}$ et $\vect{v}$ sont coplanaires, c'est-à-dire s'il existe deux réels $a$ et $b$ tels que $\vectt{AP} = a \vect{u}+ b\vect{v}$.

$\aligned
\vectt{AP} = a \vect{u}+ b\vect{v}
& \iff
\left\{
\begin{array}{r !{=} l}
x_{\text{P}} - x_{\text{A}} &  a\;x_{\vec{u}} + b\; x_{\vec{v}}\\
y_{\text{P}} - y_{\text{A}} &  a\;y_{\vec{u}} + b\; y_{\vec{v}}\\
z_{\text{P}} - z_{\text{A}} &  a\;z_{\vec{u}} + b\; z_{\vec{v}}
\end{array}
\right.
\iff
\left\{
\begin{array}{r !{=} l}
5-4 & 3a-2b\\
2-2 & a-b\\
4-(-1) & 5a
\end{array}
\right.\\
& \iff
\left\{
\begin{array}{r !{=} l}
1 & 3a-2b\\
0 & a-b\\
5 & 5a
\end{array}
\right .
\endaligned$

De la 3\ieme{} équation, on tire $a=1$. De la 2\ieme{} on tire $b=a$ donc $b=1$. Et on vérifie dans la 1\up{re} équation: $3a-2b=3\times 1 - 2\times 1 =1$.

Donc $\vectt{AP} = \vect{u}+ \vect{v}$ et donc le point P appartient au plan $\mathcal{P}$.

\smallskip

Le point Q\,$(0~;~- 1~;~10)$  appartient au plan $\mathcal{P}$ si et seulement si les vecteurs $\vectt{AQ}$, $\vect{u}$ et $\vect{v}$ sont coplanaires, c'est-à-dire s'il existe deux réels $a$ et $b$ tels que $\vectt{AQ} = a \vect{u}+ b\vect{v}$.

$\aligned
\vectt{AQ} = a \vect{u}+ b\vect{v}
& \iff
\left\{
\begin{array}{r !{=} l}
x_{\text{Q}} - x_{\text{A}} &  a\;x_{\vec{u}} + b\; x_{\vec{v}}\\
y_{\text{Q}} - y_{\text{A}} &  a\;y_{\vec{u}} + b\; y_{\vec{v}}\\
z_{\text{Q}} - z_{\text{A}} &  a\;z_{\vec{u}} + b\; z_{\vec{v}}
\end{array}
\right.
\iff
\left\{
\begin{array}{r !{=} l}
0-4 & 3a-2b\\
-1-2 & a-b\\
10-(-1) & 5a
\end{array}
\right.\\
& \iff
\left\{
\begin{array}{r !{=} l}
-4 & 3a-2b\\
-3 & a-b\\
11 & 5a
\end{array}
\right.
\endaligned$

De la 3\ieme{} équation, on tire $a=2,2$. De la 2\ieme{} on tire $b=a+3$ donc $b=5,2$. Et on vérifie dans la 1\up{re} équation: $3a-2b=3\times 2,2 - 2\times 5,2 = 6,6 - 10,4 =-3,8 \neq -4$.

Donc il n'existe pas de couple de réels $(a\;,\;b)$ tel que $\vectt{AQ} = a\; \vect{u}+ b\; \vect{v}$ et donc le point Q n'appartient pas au plan $\mathcal{P}$.

\item % Le point S$\left(7~;~- 2~;~\dfrac{10}{3}\right)$ appartient-il à la droite (PR) où R(2~;~3~;~3) ? 
Soient les deux points  S\,$\left(7~;~- 2~;~\dfrac{10}{3}\right)$ et R\,(2~;~3~;~3).

Le point S appartient à la droite (PR) si et seulement si les vecteurs $\vectt{PR}$ et $\vectt{PS}$ sont colinéaires.

$\vectt{PR}$ a pour coordonnées 
$\begin{pmatrix}
x_{\text{R}}- x_{\text{P}}\\
y_{\text{R}}- y_{\text{P}}\\
z_{\text{R}}- z_{\text{P}}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix} 2-5\\ 3-2\\ 3-4 \end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}  -3\\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}
$

$\vectt{PS}$ a pour coordonnées 
$\begin{pmatrix}
x_{\text{S}}- x_{\text{P}}\\
y_{\text{S}}- y_{\text{P}}\\
z_{\text{S}}-  z_{\text{P}}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix} 7-5\\ -2-2\\ \frac{10}{3}-4 \end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix} 2\\ -4 \\ -\frac{2}{3} \end{pmatrix}
$

$y_{\vectt{PR}}=1$ et $y_{\vectt{PS}}=-4$ donc $-4\times y_{\vectt{PR}}=y_{\vectt{PS}}$

$x_{\vectt{PR}}=-3$ et $x_{\vectt{PS}}=2$; donc $-4\times x_{\vectt{PR}} = 12 \neq x_{\vectt{PS}}$

Donc  les vecteurs $\vectt{PR}$ et $\vectt{PS}$ ne sont pas colinéaires et donc le point S n'appartient pas à la droite (PR).

\item %Calculer les distances PQ et PR.
\begin{list}{\textbullet}{On calcule les distances PQ et PR.}
\item 
$\aligned[t]
\text{PQ}^2
& = \left (x_{\text{Q}}-  x_{\text{P}}\right )^2 + \left( y_{\text{Q}}- y_{\text{P}}\right )^2 + \left (z_{\text{Q}}- z_{\text{P}}\right)^2 
 = \left ( 0-5 \right )^2 + \left(-1-2 \right)^2 + \left(10-4\right)^2 \\
& = \left ( -5 \right )^2 + \left ( -3 \right )^2  + 6^2 
= 25 +9 +36 = 70
\endaligned$

Donc $\text{PQ} = \ds\sqrt{70}$.
\item
$\text{PR}^2
= \left(-3 \right)^2 + 1^2  + \left(-1\right )^2 
= 9+1+1 = 11$

Donc $\text{PR} = \ds\sqrt{11}$.
\end{list}

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Exercice 4}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur $]0~;~+\infty[$ par $f(x)= \displaystyle\int_1^x \ln (t)\,\text{d}t$.

%\smallskip

\begin{enumerate}
\item $f(1) = \ds\int_{1}^{1} \ln(t) \d t = 0$
\item On va utiliser la propriété suivante (positivité de l'intégrale): \\
si $a<b$ et si pour  $t \in [a\;; b]$ on a $g(t)\geqslant 0$, alors $\ds\int_{a}^{b} g(t) \d t >0$.

\begin{list}{\textbullet}{On étudie le signe de $f$ sur $]1~;~+\infty[$, puis sur ]0~;~1[.}
\item Si $x \in ]1~;~+\infty[$, on a $1 \leqslant t \leqslant x$ donc $\ln(t)\geqslant 0$ et donc $\ds\int_{1}^{x} \ln(t) \d t > 0$.
\item Si $x \in ]0\;; 1[$, on a $\ds\int_{1}^{x} \ln(t) \d t = -\ds\int_{x}^{1} \ln(t) \d t  = \ds\int_{x}^{1} \left (- \ln(t) \right ) \d t$

$x \leqslant t \leqslant 1$ donc $\ln(t)\leqslant 0$, donc $-\ln(t)\geqslant 0$ et donc $\ds\int_{x}^{1} \left (- \ln(t)\right ) \d t >0$.
\end{list}

Sur les deux intervalles, $f(x)>0$.

\item Pour tout $x > 0$, $f'(x)= \ln(x)-\ln(1) = \ln(x)$.

\item On dresse le tableau de variations de $f$ sur $]0~;~+\infty[$.

\[\begin{tablvar}[6em]{2}
\hline
x & 0 && 1 && +\infty\\
\hline
f'(x)=\ln(x) & \bb & - & \barre[0] & + & \\
\hline
\variations[2]{\mil{f} &\bb \haut{~~} && \bas{0} &&  \haut{~~}} 
\hline
\end{tablvar}\] 

%Vérifier les réponses obtenues à la question 2.
On vérifie bien que si $0<x<1$, on a $f(x>0$, et que si $x>1$, on a aussi $f(x)>0$.

\item Une intégration par partie nous donne: 
$\displaystyle\int \ln(t)\d t = [t \ln (t)] - \displaystyle\int 1 \d t$.

Donc pour tout $x > 0$, 
$\aligned[t]
f(x)
& = \ds\int_{1}^{x} \ln(t) \d t
= \left [t \ln (t)\strut\right ]_{1}^{x} - \displaystyle\int_{1}^{x} 1 \d t
= \left ( x \ln(x) - 1 \ln(1)\right ) - \left [ t\strut \right ]_{1}^{x}\\
& = x \ln(x) - 0 - \left ( x-1 \right )
= x\ln(x)- x +1
\endaligned$

\item %En déduire :
	\begin{enumerate}
		\item $f(\e) = \e \times \ln(\e) -\e +1 = \e \times 1 -\e +1 = 1$
		
		\item %la limite de $f$ en $0$.
On sait que $\ds\lim_{x\to 0 \atop x>0} x\;\ln(x)=0$.

Donc $\ds\lim_{x\to 0 \atop x>0} \left ( x\;\ln(x) -x \right ) =0$		
et $\ds\lim_{x\to 0 \atop x>0} \left (x\;\ln(x) -x +1\right )=1$,
et donc
$\ds\lim_{x\to 0 \atop x>0} f(x)=1$
		
		\item %la limite de $f$ en $+\infty$.
$f(x)=x\ln(x)-x+1 = x\left (\ln(x)-1 \right ) +1$

$\left.
\begin{array}{@{} r}
\ds\lim_{x\to +\infty} \ln(x)=+\infty \text{ donc }  \ds\lim_{x\to +\infty} \ln(x)-1=+\infty\\
\ds\lim_{x\to +\infty} x=+\infty
\end{array}
\right \}
\text{ donc } \ds\lim_{x\to +\infty} x\left (\ln(x)-1\right )=+\infty$

On en déduit que $\ds\lim_{x\to +\infty} x\left (\ln(x)-1\right )+1=+\infty$ et donc que $\ds\lim_{x\to +\infty} f(x) =+\infty$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}