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%Tapuscrit : Denis Vergès
%Corrigé Mme Ducruc 
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\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} 
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat ES }
\lfoot{\small{Pondichéry}}
\rfoot{\small 21 avril 2010} 
\pagestyle{fancy} 
\thispagestyle{empty} 

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat ES Pondichéry 21 avril 2010~\decofourright}} 
\end{center} 

\vspace{0,5cm} 

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}
 
\textbf{Commun à tous les candidats} 

\bigskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item ~
\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{$B$~}\taput{$0,4$}}
		{
\TR{}~[tnpos=r]{$V$}\taput{$0,3$}
\TR{}~[tnpos=r]{$\overline{V}$}\tbput{$0,7$}
 		}
	\pstree{\TR{$\overline{B}$~}\tbput{$0,6$}}
		{
\TR{}~[tnpos=r]{$V$}\taput{$0,6$}
 \TR{}~[tnpos=r]{$\overline{B}$}\tbput{$0,4$}
 		}
}
		\end{center}		

		\item $p\left(\overline{B}\cap \overline{V} \right) = p\left(\overline{B} \right) \times p_{\overline{B}}\left(\overline{V} \right) =  0,6 \times 0,4 =0,24$, on trouve bien le résultat attendu. 

24\:\% des automobilistes n'ont pris aucun itinéraire de délestage.
		\item Formule des probabilités totales :
		
$p\left(\overline{V} \right) = p\left(B \cap \overline{V} \right) + p\left(\overline{B} \cap \overline{V} \right) = p(B) \times p_{B}\left(\overline{V} \right) + 0,24 = 0,4 \times 0,7 + 0,24 = 0,52$.  

La probabilité que l'automobiliste ne choisisse pas le route départementale entre Valence et Marseille est $0,52$.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Paris-Marseille par autoroute : 14 heures ;
		 
Paris- Marseille par la nationale entre Beaune et Marseille : 11 heures ;

Paris-Marseille par autoroute jusqu'à Valence puis nationale : 12 heures ;

Paris-Marseille par nationale entre Beaune et Valence puis autoroute : 13 heures .

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{1.5cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
temps& 11& 12& 13& 14\\ \hline 
probabilité&$0,4 \times 0,3= 0,12$&$0,6 \times 0,6= 0,36 $&$0,4 \times 0,7 = 0,28$&$0,6 \times 0,4= 0,24$\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip 

		\item L'espérance est égale à $0,12 \times 11 + 0,36 \times 12 + 0,28 \times  13 + 0,24 \times 14 = 12,64$.
		
Un automobiliste met en moyenne 12,64 heures pour effectuer le trajet (soit environ 12 h 38 min).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
 
\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\medskip
 
\textbf{PARTIE A }

\medskip

\begin{enumerate}
\item La calculatrice donne : $y =  2,45x +  69,3$. 
\item L'année 1993 correspond à $x = 8$ ; l'équation précédente donne alors $y = 88,9$ soit $88,9$ millions d'habitants ; l'ajustement ne paraît pas adapté. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PARTIE B}

\medskip

\begin{enumerate}
\item ~  

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
année &1958 &1963 &1968 &1973 &1993 &1998 &2003 &2008\\ \hline 
$x_{i}$& 1 &2 &3 &4 &8 &9 &10 &11\\ \hline
\rule[-3mm]{0mm}{8mm}$z_{i} = \text{e}^{\frac{y_{i}}{100}}$&2,04 &2,10 &2,16 &2,20 &2,25 &2,27 &2,28 &2,28\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip 
 
\item On obtient $z =  0,02x +  2,07$. 
\item D'après ce qui précède, on a $\text{e}^{\frac{y}{100}} =  
0,02x +  2,07 \iff \dfrac{y}{100} = \ln (0,02x +  2,07) \iff y = 
100\ln (0,02x +  2,07)$. C. Q. F. D. 
\item L'année 2013 correspond à $x = 12$ alors $y \approx 83,72$,  
soit une population d'environ 83,72~millions d'habitants
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}
 
\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\bigskip

\textbf{PARTIE A}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}  - 0,039x = - \infty$ 
 et $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \text{e}^x =  0$, donc par composée, $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \text{e}^{- 0,039x} = 0$.

Donc $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \left(1 -   \text{e}^{- 0,039x} \right) =  1$  et  $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}  A(X) =  4$. 
 
\item $A$ est de la forme $4 \times \dfrac{1}{u}$  et la dérivée de $\dfrac{1}{u}$ est $- \dfrac{u'}{u^2}$ ; d'autre part, la dérivée de $\text{e}^{u}$ est $u' \text{e}^{u}$ donc :
 
$A'(x) =  4 \times \left[- \dfrac{- \left(-0,039 \text{e}^{- 0,039x} \right)}{\left(1 - \text{e}^{- 0,039x}\right)^2}\right] = - \dfrac{-0,156\text{e}^{- 0,039x}}{\left(1 - \text{e}^{- 0,039x}\right)^2}$ C. Q. F. D. 

\item Le dénominateur est un carré donc  positif ; une exponentielle est aussi  positive, donc la dérivée est du signe de $- 0,156$ soit  négative. 

$A(1) = \dfrac{4}{1 - \text{e}^{- 0,039}} \approx 	 104,577$.

\medskip

\begin{center} \psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(6,3)
\psframe(6,3)\psline(1.5,0)(1.5,3)\psline(0,2)(6,2)
\psline(0,2.5)(6,2.5)
\uput[u](0.75,2.5){$x$} \uput[u](1.7,2){$1$} \uput[u](5.6,2){$+ \infty$}
\uput[u](0.75,2){$A'(x)$} \rput(3.75,2.25){$-$}
\rput(0.75,1){$A(x)$} \uput[d](1.8,2){$A(1)$} \uput[u](5.8,0){$4$}
\psline{->}(2.2,1.7)(5.5,0.4) 
\end{pspicture}
\end{center} 

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PARTIE B}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item $A(1) \approx 104,577 ; \quad  A(10) \approx 12,386 ; \quad  A(20)\approx 7,386$. 

Si on emprunte \np{100 000} \euro{} sur 1 an, il faudra rembourser \np{104 577}\euro.
 
Si on emprunte \np{100 000} \euro{} sur 10 ans, il faudra rembourser \np{12386} \euro{} par an soit un total de \np{123860} \euro.
\item $A(n)$ est le montant en milliers d'\euro{} d'une annuité lorsqu'on emprunte sur $n$ années ; on rembourse donc en tout $A(n) \times n$ milliers d'\euro{} pour un emprunt de 100 milliers d'\euro{}, soit des intérêts d'un montant de $A(n) \times n - 100$. C. Q. F. D. 
\item~
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{7cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Durée de l'emprunt $n$				&10 ans	&15 ans	&20 ans\\ \hline 
Montant d'une annuité $A(n)$		&12,386		&9,032	&7,386 \\ \hline
Montant $S(n)$ des $n$ 
annuités payées à la banque			&123,86		&135,48	&147,72\\ \hline 
Intérêts $I(n)$ versés à la banque	&23,86 		&35,48	&47,72\\ \hline
\end{tabularx} 
 
\item  
	\begin{enumerate}
		\item On retrouve $I(10)$ sur la graphique en prenant la distance entre le point d'abscisse 10 de la courbe $\mathcal{C}_{S}$ et la droite (horizontale) d'équation $y = 100$, 
		\item  Les intérêts correspondent à la distance entre un point de $\mathcal{C}_{S}$ et la droite (horizontale) d'équation $y = 100$. Cette distance augmente lorsque $x$ augmente, 
la fonction est donc croissante.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
 
\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}

\bigskip

\textbf{PARTIE A}

\medskip
 
La courbe $\mathcal{C}_{1}$ correspond à $f$ et la courbe $\mathcal{C}_{2}$ correspond à $f'$ ; en effet, regardons le signe de la fonction représentée par la courbe $\mathcal{C}_{2}$ :

positif sur $]- \infty~;~- 1[$ et sur $]3~;~+ \infty[$ ;

négatif sur $]- 1~;~3[$

Alors la fonction $f$ serait strictement croissante sur $] - \infty~;~-1]$, puis strictement décroissante sur $[-1~;~3]$ et enfin strictement croissante sur $[3~;~+\infty[$ ; ce qui correspond aux variations de la fonction représentée pas la courbe $\mathcal{C}_{1}$.

\bigskip

\textbf{PARTIE B}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item $g'(x) = 0$ admet trois solutions sur $[-3~;~3]$, donc la courbe de la fonction $g$ admet 3 tangentes horizontales  ici en A, B et C. 
\item On connait les variations de $\ln (h)$, composée de la fonction $h$ suivie de la fonction $\ln$. Or, nous savons que : 

- $\ln (u)$ est définie sur l'ensemble des réels $x$ tels que $u(x)$ soit strictement positif ;
 
- $\ln (u)$ et $u$ ont mêmes variations (en effet, $(\ln(u))'= \dfrac{u'}{u}$, et comme $u$ est strictement  positif, $(\ln (u))'$ a le même signe que $u'$).
 
Donc, $h$ doit être positive sur $[-3~;~3]$ donc sa courbe se situe au dessus de l'axe des abscisses ; de plus $h$ doit être strictement croissante sur $[-3~;~0]$ puis strictement décroissante sur [0~;~2] et enfin, strictement croissante sur [2~;~3].

Une fonction affine par morceaux convient. 
\item si $k$ est positive sur $[-3~;~3]$, alors, $\displaystyle\int_1^3 k(x)\:\text{d}x$ correspond à l'aire, en unités d'aire, du  domaine limité par la courbe, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x = 1$ et $x= 3$ ; il suffit de construire une courbe pour laquelle ce domaine a une aire comprise entre 4 et 6 unités d'aire. 
Sur la figure ci-dessous, le rectangle hachuré représente l'unité d'aire ; 
la patrie quadrillée est la domaine limité par la courbe, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x = 1$ et $x = 3$ ; 
son aire est bien comprise entre 4 et 6 fois celle du rectangle (unité).

La fonction $k$ est définie sur  $[-3~;~3]$ par $k(x) = \dfrac{x + 3}{2}$.
\end{enumerate}

\textbf{À rendre avec la copie}

\vspace{0,5cm}

\begin{flushleft}\textbf{Partie B 1.}\end{flushleft}

\begin{center}
\psset{xunit=1.5cm,yunit=0.75cm}
\begin{pspicture}(-3.5,-3)(3.5,4)
\multido{\n=-3.50+0.25}{29}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=orange](\n,-3)(\n,4)}
\multido{\n=-3.0+0.5}{15}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=orange](-3.5,\n)(3.5,\n)}
\psaxes[linewidth=1pt,Dx=5,Dy=5](0,0)(-3.5,-3)(3.5,4)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=5,Dy=5]{->}(0,0)(1,1)
\uput[d](3.5,0){$x$} \uput[l](0,4){$y$} \uput[dl](0,0){O}
\uput[d](1,0){1} \uput[l](0,1){1}
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-3}{3}{x 4 exp 4 div x 3 exp 3 div sub x dup mul 2 mul sub 4 x mul add 0.2 mul}
\uput[d](2,0){2}\uput[d](-2,0){-2}
\uput[d](1,0){1} \uput[l](0,1){1}
\uput[d](-2,-1.8){A} \uput[u](1,0.45){B}\uput[u](2,0.25){C}
\end{pspicture}
\end{center}
\bigskip

\begin{flushleft}\textbf{Partie B 2.}\end{flushleft}

\psset{xunit=1.5cm,yunit=0.75cm}
\begin{pspicture}(-3.5,-3)(3.5,4)
\multido{\n=-3.50+0.25}{29}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=orange](\n,-3)(\n,4)}
\multido{\n=-3.0+0.5}{15}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=orange](-3.5,\n)(3.5,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=5,Dy=5]{->}(0,0)(-3.5,-3)(3.5,4)
\uput[d](3.5,0){$x$} \uput[l](0,4){$y$} \uput[dl](0,0){O}
\psline[linecolor=cyan](-3,0.5)(0,2)(2,1)(3,3)
\end{pspicture}

\bigskip

\begin{flushleft}\textbf{Partie B 3.}\end{flushleft}

\begin{center}
\psset{xunit=1.5cm,yunit=0.75cm}
\begin{pspicture}(-3.5,-3)(3.5,4)
\multido{\n=-3.50+0.25}{29}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=orange](\n,-3)(\n,4)}
\multido{\n=-3.0+0.5}{15}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=orange](-3.5,\n)(3.5,\n)}
\psaxes[linewidth=1pt,Dx=5,Dy=5](0,0)(-3.5,-3)(3.5,4)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=5,Dy=5]{->}(0,0)(1,1)
\uput[d](1,0){1} \uput[l](0,1){1}
\uput[d](3.5,0){$x$} \uput[l](0,4){$y$} \uput[dl](0,0){O}
\uput[d](1,0){1} \uput[l](0,1){1}
\psline[linecolor=red](-3,0)(3,3)
\pscustom[fillstyle=hlines]{
\psline(1,0)(1,2)
\psline[linecolor=red](1,2)(3,3)
\psline(3,0)(1,0)
}
\psframe[fillstyle=hlines](-3,1)(-2,2)
\uput[d](3,0){3}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}