% préambule APMEP - Annales
%
%%% Auteurs
% tapuscrit : Denis Vergès
% corrigé : François Hache
% figures TikZ : 
% figures pstricks :
% modifications :
% Remerciements :
%%%
\documentclass[11pt,a4paper,french]{article}

%%% codage et police utilisée
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\RequirePackage{iftex}
\iftutex % moteur utf-8 lualatex, xelatex
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% Alternatives nécéssite (LuaLaTeX, XeLaTeX)
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	\usepackage[utf8]{inputenc}
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%%% chargement des packages utiles
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%%% pour PsTricks
%\usepackage{pst-bezier}%% AVANT les autres PST
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%%% pour TikZ
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%%% Définitions ou redéfinitions
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\def\Ouv{$\left(\textbf{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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%%% Redéfinitions
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	pdfsubject = {1ere générale, Sans spécialité mathématiques},
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\begin{document}

\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Épreuve anticipée sans spécialité - corrigé}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{12 juin 2026}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé de l'épreuve anticipée de Première sans spécialité~\decofourright\\[10pt]Voie générale -- Métropole -- 12 juin 2026 (secours)}}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\end{center}

\section*{\centering PREMIÈRE PARTIE : AUTOMATISMES -- QCM (6 pts)}

%\textbf{Pour cette première partie, aucune justification n'est demandée et une seule réponse est possible par question.}
%
%\textbf{Pour chaque question, reporter son numéro sur la copie et indiquer la réponse.}
%
%\textbf{Une réponse fausse ou l'absence de réponse n'enlève aucun point.}

\subsection*{Question 1}

L'équation $(2x + 6)(7 - x) = 0$ a pour solutions :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~} 3 et 7 &\textbf{b.~} 3 et $- 7$&\textbf{c.~} $-3$ et $-7$ &\textbf{d.~} $-3$ et 7
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{tabular}{@{\hspace{0.05\linewidth}} | p{0.93\linewidth}}
$(2x + 6)(7 - x) = 0 \iff 2x+6=0 \text{ ou } 7-x=0 \iff 2x=-6  \text{ ou }  7=x \iff x=-3  \text{ ou }  x=7$

\hfill \textbf{Réponse d.}
\end{tabular}

\subsection*{Question 2}

La moitié du tiers correspond à la fraction :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~} $\dfrac32$ &\textbf{b.~} $\dfrac15$ &\textbf{c.~} $\dfrac16$  &\textbf{d.~} $\dfrac2 3$
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{tabular}{@{\hspace{0.05\linewidth}} | p{0.93\linewidth}}
$\dfrac{1}{2}\times \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{6}$
\hfill \textbf{Réponse c.}
\end{tabular}

\subsection*{Question 3}

On considère la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ par $f(x) = 3x^2 - 7x + 9$. $f(2)$ vaut :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~}  31 &\textbf{b.~} 7&\textbf{c.~} $- 11$&\textbf{d.~} 13
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{tabular}{@{\hspace{0.05\linewidth}} | p{0.93\linewidth}}
$f(2)= 3\times 2^2 -7\times 2 +9 = 3\times 4 -14 + 9 = 12-14+9=7$
\hfill \textbf{Réponse b.}
\end{tabular}

\subsection*{Question 4}

Quand on développe $(3x - 1)^2$ on obtient:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~} $3x^2 - 6x + 1$ &\textbf{b.~} $9x^2 + 6x -1$ &\textbf{c.~} $9x^2 - 6x + 1$ &\textbf{d.~}$9x^2 - 1$
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{tabular}{@{\hspace{0.05\linewidth}} | p{0.93\linewidth}}
$(3x - 1)^2 = \left (3x\right )^2 - 2\times 3x \times 1 + 1^2
= 9x^2 -6x +1$
\hfill \textbf{Réponse c.}
\end{tabular}

\subsection*{Question 5}

Voici les notes obtenues par un élève lors de contrôles : 8 ; 11 ; 12 ; 9 ; 20.

La moyenne des notes de l'élève est :
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~}  12 &\textbf{b.~} 10 &\textbf{c.~} 11 &\textbf{d.~} 13
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{tabular}{@{\hspace{0.05\linewidth}} | p{0.93\linewidth}}
$\dfrac{8 + 11 + 12 + 9 + 20}{5} = \dfrac{60}{5}=12$
\hfill \textbf{Réponse a.}
\end{tabular}

\subsection*{Question 6}

Un joueur lance deux fois un dé non truqué à six faces numérotées de 1 à 6.

La probabilité qu'il obtienne deux fois la face numérotée 6 est :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~} $\dfrac12$ &\textbf{b.~} $\dfrac16$ &\textbf{c.~} $\dfrac{1}{12}$ &\textbf{d.~} $\dfrac{1}{36}$
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{tabular}{@{\hspace{0.05\linewidth}} | p{0.93\linewidth}}
Il y a 36 résultats possibles: (1,1), (1,2), $\cdots$, (1,6), (2,1), (2,2), $\cdots$, (2,6), (3,1), $\cdots$, (6,6).

Parmi ces 36 résultats, il n'y en a qu'un favorable: (6,6).

La probabilité cherchée est donc: $\dfrac{1}{36}$.
\hfill \textbf{Réponse d.}
\end{tabular}

\subsection*{Question 7}

Sur l'étiquette d'une plaque de chocolat noir, il est indiqué 30 g de sucre pour 100 g.

Quelle quantité de sucre contient une plaque de 250 g de ce chocolat noir ?

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~} 70 g &\textbf{b.~} 100 g &\textbf{c.~} 75 g &\textbf{d.~} 85 g 
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{tabular}{@{\hspace{0.05\linewidth}} | p{0.93\linewidth}}
$\dfrac{250}{100}=2,5$ et $30\times 2,5=75$
\hfill \textbf{Réponse c.}
\end{tabular}

\subsection*{Question 8}

Un prix est multiplié par 2. Ce prix a augmenté de :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~}100\,\% &\textbf{b.~} 20\,\% &\textbf{c.~} 200\,\% &\textbf{d.~} 2\,\%
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{tabular}{@{\hspace{0.05\linewidth}} | p{0.93\linewidth}}
Augmenter de $t$\,\%, c'est multiplier par $1+\dfrac{t}{100}$.
On cherche donc $t$ tel que $1+\dfrac{t}{100}=2$

$1+\dfrac{t}{100}=2 \iff \dfrac{t}{100}=1 \iff t=100$
\hfill \textbf{Réponse a.}
\end{tabular}

\subsection*{Question 9}

On considère la droite $D$ représentée ci-dessous dans un repère orthonormé.

\begin{center}
\psset{unit=0.9cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(-4,-2)(6,4)
\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=0.6pt,subgriddiv=1,gridcolor=lightgray]
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-4,-2)(6,4)
\uput[d](5.75,0){$x$}\uput[l](0,3.75){$y$}
\psplot[plotpoints=600,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-4}{6}{0.5 x mul 1 add}
\uput[dr](5,3.5){\red $D$}
%%% corrigé
\psline[linecolor=blue](0,1)(2,1)(2,2)
\uput[r](2,1.5){\blue 1} \uput[d](1,1){\blue 2}
\psdots[dotsize=0.2cm, linecolor=blue](0,1) \uput[ul](0,1){\blue A}  
\end{pspicture}
\end{center}

L'équation réduite de la droite $D$ est :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~} $y = 2x + 1$ &\textbf{b.~} $y = 2x - 2$ &\textbf{c.~}$y = \dfrac12 x - 2$ &\textbf{d.~} $y = \dfrac12 x + 1$
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{tabular}{@{\hspace{0.05\linewidth}} | p{0.93\linewidth}}
Le coefficient directeur de la droite $D$ est: $m=\dfrac{1}{2}$.
L'ordonnée à l'origine est $p=x_{\text A}=1$. 

Donc l'équation réduite de $D$ est: $y=\dfrac{1}{2}x+1$.
\hfill \textbf{Réponse d.}
\end{tabular}

\section*{\centering DEUXIÈME PARTIE (14 pts)}

\subsection*{Exercice 1 (3 points)}

Dans un lycée, on a questionné 200 élèves (100 garçons et 100 filles) sur leur principal mode de déplacement pour venir au lycée.

Voici les résultats obtenus :
 
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
&Garçon &Fille&Total\\ \hline
Marche &16 &20 &36\\ \hline
Transport en commun &41 &45 &86\\ \hline
Automobile &21 &25 &46\\ \hline
Vélo &18 &8 &26\\ \hline
Autres &4 &2 &6 \\ \hline
Total &100 &100 &200\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

On choisit un élève au hasard parmi les élèves concernés par cette enquête.

On considère les évènements suivants :

\smallskip

\begin{tabular}{l l}
$M$ : \og l'élève vient en marchant \fg				&$V$ : \og l'élève vient à vélo \fg\\
$T$ : \og l'élève vient en transport en commun \fg	&$F$ : \og l'élève est une fille \fg\\
$A$ : \og l'élève arrive en automobile \fg			&$G$ : \og l'élève est un garçon \fg
\end{tabular}

%Les résultats demandés seront exprimés sous forme fractionnaire.
%
%La forme \textbf{irréductible} n'est pas attendue.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item La probabilité que l'élève soit une fille et vienne à vélo est: $P\left( F \cap V \right )$.
		
L'élève est choisi au hasard parmi les 200 élèves (nombre total de cas), donc il y a équiprobabilité.		

Dans le tableau,  le nombre 8 se trouve à l'intersection de la colonne \og Fille \fg{} et de la ligne \og Vélo \fg{}; c'est le nombre de cas favorables.

Donc $P\left( F \cap V \right ) = \dfrac{8}{200}$.
		
		\item La probabilité que l'élève vienne en transport en commun est: $P\left ( T \right )$.
		
Sur 200 élèves, il y en a 86 qui prennent un transport en commun;\\
donc  $P\left ( T \right ) = \dfrac{86}{200}$.
		
		\item La probabilité que l'élève vienne en transport en commun sachant que c'est un garçon est: $P_{G}\left (T \right )$.
		
Parmi 100 garçons, il y en a 41 qui prennent un transport en commun;\\
donc  $P_{G}\left (T \right )= \dfrac{41}{100}$.
		
		\item La probabilité que l'élève soit un garçon et n'arrive pas en automobile est: $P\left (G \cap \overline{T} \right )$. 
		
Il y a 21 garçons qui arrivent en automobile, donc $100-21=79$ garçons qui n'arrivent pas en automobile.

Donc $P\left (G \cap \overline{T} \right )= \dfrac{79}{200}$.
		
	\end{enumerate}
	
\item % Les deux événements \og l'élève vient en transport en commun \fg et \og l'élève est un garçon \fg{} sont-ils indépendants ?
$P\left (T\right )= \dfrac{86}{200}$ et $P_{G}\left (T\right )= \dfrac{41}{100}=\dfrac{82}{200}$

$P\left (T\right ) \neq P_{G}\left (T\right )$ donc les deux événements \og l'élève vient en transport en commun \fg{} et \og l'élève est un garçon \fg{} ne sont pas indépendants.
\end{enumerate}

\newpage

\subsection*{Exercice 2 (6 points)}

Une entreprise produit et vend de l'eau florale. Elle veut faire une étude sur une production comprise entre 0 et 50 litres de cette eau florale.
Chaque litre d'eau florale est vendu 70 €.
Le coût de production, en euros, de $x$ litres d'eau florale est modélisé par la fonction $C$ dont l'expression est $C(x) = x^2 + 20x + 400$ où $x$ appartient à l'intervalle [0~;~50].

\medskip

\begin{enumerate}
\item $C(10)= 10^2+20\times 10+400=100+200+400=700$

Donc le coût de production de 10 litres d'eau florale est de 700~\euro.
\item On note $R(x)$ la recette, en euros, correspondant au prix de vente de $x$ litres d'eau florale.% Exprimer $R(x)$ en fonction de $x$.

Chaque litre d'eau florale est vendu 70~\euro, donc $R(x)=70x$.
\end{enumerate}

Le bénéfice, en euros, est $B(x) = R(x) - C(x)$ où $x$ appartient à l'intervalle [0~;~50].

\begin{enumerate}[resume]
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Si  $x$ appartient à l'intervalle [0~;~50], on a:
		
$B(x)=R(x)-C(x)=70x-\left (x^2+20x+400\right )= 70x -x^2-20x-400 = -x^2+50x-400$.		
		
		\item $B'(x)=-2x+50$
		
		\item $B'(x)>0 \iff -2x+50>0 \iff 50>2x \iff x<25$ 
		
		Le signe de $B'(x)$ sur l'intervalle [0~;~50] est donné par le tableau:
		
\[ \begin{tablvar}[10em]{2}
 \hline
 x & 0 & & 25 & & 50\\
 \hline
B'(x) & & + & \barre[0] & - & \\
 \hline
 \end{tablvar}\]		
		
		\item On dresse le tableau de variation de la fonction $B$ sur l'intervalle [0~;~50].

\[ \begin{tablvar}[10em]{2}
\hline
x & 0 & & 25 & & 50\\
\hline
B'(x) & & + & \barre[0] & - & \\
\hline
\variations{\mil{B} &  \bas{B(0)} & & \haut{B(25)} & & \bas{B(50)~~} }
\hline
\end{tablvar}\]	

%Le calcul de l'image des valeurs particulières du tableau n'est pas attendu.
		\item $B(25) = - 25^2 + 50\times 25 - 400 = - 625 + \np{1250} - 400 = 225$
		
Donc le nombre de litres d'eau florale que l'entreprise doit produire et vendre pour réaliser un bénéfice maximal est 225.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item  
$\aligned[t]
(x - 10)(40 - x)
& = x\times 40 +x\times (-x) -10\times 40 -10\times (-x) 
= 40x -x^2 -400 +10x \\
& = -x^2+50x-400 = B(x)
\endaligned$

		\item On étudie le signe de $(x - 10)(40 - x)$ sur l'intervalle [0~;~50].
		
\[ \begin{tablvar}[intervalwidth=4em,stretch=1.2]{3}
 \hline
 x & 0 &  & 10 & & 40 &  & 50\\
 \hline
x-10 & & - & \barre[0] & + & \barre[] & + & \\
 \hline
40-x & & + & \barre[] &+  & \barre[0] & - & \\
 \hline
B(x)=\left(x-10\right)\left(40-x\right) && - & \barre[0] & + & \barre[0] & - &\\
 \hline
 \end{tablvar}\]
		
		\item Les quantités d'eau florale que l'entreprise doit produire et vendre pour réaliser un bénéfice positif doivent donc appartenir à l'intervalle ]10~;~40[.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

%\begin{center}
%\psset{xunit=0.2cm,yunit=0.01cm, linewidth=1.2pt, arrowsize=3pt 3}
%\begin{pspicture*}(-5,-500)(52,300)
%\psgrid[xunit=1cm, yunit=1cm, gridwidth=0.6pt, subgriddiv=1,gridlabels=0pt, gridcolor=gray](0,-5)(12,5)
%\psaxes[linewidth=0.8pt, Dx=5, Dy=100, showorigin=false, labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-4.9,-499)(52,300)
%%\psplot[linestyle=dashed,]{0}{50}{70 x mul} 
%%\psplot[linestyle=dashed, linecolor=red]{0}{50}{x x 20 add mul 400 add}
%\psplot[linecolor=blue]{0}{50}{x 50 x sub mul 400 sub} 
%\end{pspicture*}
%\end{center}

\subsection*{Exercice 3 (5 points)}

On étudie l'évolution du nombre d'habitants de deux villes A et B à partir du 1\up{er} janvier 2020.

On a modélisé ci-dessous l'évolution de la population de ces deux villes en fonction du nombre d'années écoulées depuis le 1\up{er} janvier 2020.

En abscisse, on lit le nombre d'années écoulées depuis le 1\up{er} janvier 2020 et en ordonnée, le nombre d'habitants en millions.

%\newpage

\begin{center} \textbf{Évolution des populations des villes A et B}

\medskip

\psset{xunit=0.65cm,yunit=1cm}
\begin{pspicture}(-2,-2)(20,10)
\psgrid[gridwidth=0.6pt,subgriddiv=1,gridlabels=0pt, gridcolor=gray](0,0)(20,10)
\psaxes[linewidth=0.8pt,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(0,0)(20,10)
\psplot[plotstyle=dots, dotsize=0.2cm, dotstyle=Bo, plotpoints=18]{0}{17}{3 1.07 x exp mul}
\psplot[plotstyle=dots, dotsize=0.2cm, dotstyle=*, plotpoints=21]{0}{20}{6 0.1 x mul add}
\uput[d](13.5,-0.5){nombre d'années écoulées depuis le 1\up{er} janvier 2020}
\rput{90}(-1.5,7){nombre d'habitants en millions}
\psdots[dotsize=0.2cm,dotstyle=Bo](7.5,9.5)\rput*(8.6,9.5){Ville A}
\psdots[dotsize=0.2cm,dotstyle=*](10.8,9.5)\rput*(12,9.5){Ville B}
%%% corrigé
\psset{linestyle=dashed, linewidth=1.4pt}
\psline[linecolor=red](0,6)(20,6) \psline[linecolor=red](11,0)(11,6)
\psline[linecolor=blue](14,0)(14,9)
\end{pspicture}
\end{center}

\textbf{Partie A :} Étude de la population de la ville A

\medskip

On admet que l'évolution du nombre d'habitants de la ville A a été modélisée par la suite géométrique $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par : $u_n = 3 \times 1,07^n$
où $n$ est le nombre d'années écoulées depuis le 1\up{er} janvier 2020 et  $u_n$ est le nombre d'habitants l'année $2020 + n$, exprimé en millions.

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Quel est le nombre d'habitants de la ville A au 1\up{er} janvier 2020 ?
L'année 2020 correspond à $n=0$, et $u_0=3\times 1,07^0=3$.

Donc  le nombre d'habitants de la ville A au 1\up{er} janvier 2020 est de 3 millions.

\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Justifier que la suite $(u_n)$ est croissante.
$u_{n+1}=3\times 1,07^{n+1} = 3\times 1,07^{n}	\times 1,07 =u_n	\times 1,07 >u_n$

Donc la suite $(u_n)$ est croissante.	
		
		\item% Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice et donner le taux d'évolution annuel, exprimé en pourcentage, de la population de la ville A selon ce modèle.
$u_{n+1}= 1,07u_n=\left (1+\dfrac{7}{100}\right )u_n$

Donc, selon ce modèle, la population de la ville A augmente de 7\,\% par an.		
			\end{enumerate}
	
\item Le nombre d'années nécessaires depuis le 1\up{er} janvier 2020 pour que le nombre d'habitants de la ville A double selon ce modèle est le plus petit nombre $n$ tel que $u_n>6$; d'après le graphique, on trouve 11.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B :} Étude de la population de la ville B

On admet que l'évolution du nombre d'habitants de la ville B a été modélisée par la suite arithmétique $(v_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par :
$v_n = 6 + 0,1n$,

où $n$ est le nombre d'années écoulées depuis le 1\up{er} janvier 2020 et $v_n$ est le nombre d'habitants l'année $2020 + n$, exprimé en millions.

\medskip

\begin{enumerate}
\item $v_0 = 6+0,1\times 0 = 6$ et $v_1 = 6+0,1\times 1 = 6,1$

La suite $(v_n)$ est arithmétique de raison $0,1$.

\item L'année 2035 correspond à $n=15$; or $v_{15}=6+0,1\times 15 = 6+1,5=7,5$

Selon ce modèle,  le nombre d'habitants de la ville B au 1\up{er} janvier 2035 est estimé à $7,5$~millions.

\item Pour déterminer le nombre d'années nécessaires pour que la population de la ville B soit égale à $7,3$~millions d'habitants selon ce modèle, il faut chercher $n$ tel que $v_n=7,3$.\\
 On résout cette équation.

$v_n=7,3 \iff 6+0,1\times n = 7,3 \iff 0,1\times n = 1,3 \iff n=13$

Il faut donc 13 ans pour que la population de la ville B soit égale à $7,3$~millions d'habitants.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C :} Comparaison de la population des deux villes

\medskip

À l'aide du graphique,  la population de la ville A dépassera celle de la ville B à partir de $n=14$, soit en 2034.

\end{document}