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\textbf{\theenumi.}}
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\textbf{\theenumii.}}
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\setlength{\parindent}{0pt}

\title{\textbf{Corrigé EDS 2023 Nouvelle Calédonie Jour 1}}
\author{S. DIBOS}
\date{28 août 2023}

\begin{document}
\pagestyle{fancy}
\lhead{\large{\textbf{Lycée Dick Ukeiwë}}}
\chead{\large{\textbf{Spécialité Mathématiques}}}
\rhead{\large{\textbf{Année 2023}}}
\lfoot{}
\cfoot{\thepage/\pageref{LastPage}}
\rfoot{}

\maketitle

\exercice{5}\
\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item\
	\begin{center}
	\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=2.5pt,treesep = 1cm,levelsep=2.5cm]{\TR{}}
	{\pstree{\TR{$V$~~}\naput{\np{0.6}}}
		{\TR{$L$}\naput{\np{0.2}}
		\TR{$\overline{L}$}\nbput{\np{0.8}}
	}
	\pstree{\TR{$\overline{V}$~~}\nbput{\np{0.4}}}
		{\TR{$L$}\taput{$x$}
		\TR{$\overline{L}$}\nbput{$1-x$}
	}}
	\end{center}
\item La probabilité qu'un client choisisse un bateau à voile et qu'il ne prenne pas l'option PILOTE est $P\left(V \cap \overline{L}\right)$.
	
\[P\left(V \cap \overline{L}\right) = P(V) \times P_{V}\left(\overline{L}\right) = \np{0.6} \times \np{0.8} = \boxed{\np{0.48}}\]
	\item Les évènements $V$ et $\overline{V}$ forment une partition de l'univers, donc, d'après la formule des probabilités totales, on a :
	
\[P(L) = P\left(V \cap L\right) + P\left(\overline{V} \cap L\right)\]

On a $P\left(V \cap L\right) = \np{0.6} \times \np{0.2} = \np{0.12}$.

Posons $P\left(\overline{V}\cap L\right) = p$. On a :

\[P(L) = \np{0.12} + p \iff \np{0.42} = \np{0.12} + p \iff p = \np{0.42}-\np{0.12} = \boxed{\np{0.3}}\]

On a donc bien $P\left(\overline{V} \cap L\right) = \np{0.3}$.
	\item D'après la formule des probabilités conditionnelles :
	\[P_{\overline{V}}(L) = \dfrac{P\left(\overline{V} \cap L\right)}{P\left(\overline{V}\right)} = \dfrac{\np{0.3}}{\np{0.4}} = \boxed{\dfrac{3}{4} = \np{0.75}}\]
	\item La probabilité qu'un client ait choisi un voilier, sachant qu'il a pris l'option PILOTE est, d'après la formule des probabilités conditionnelles :
	\[P_{L}(V) = \dfrac{P\left(V \cap L\right)}{P(L)} = \dfrac{\np{0.12}}{\np{0.42}} = \boxed{\dfrac{2}{7} \approx \np{0.29}}\]
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate}
	\item \[P\left(L \cap A\right) = P(L) \times P_{L}(A) = \np{0.42} \times \np{0.005} = \boxed{\np{0.0021}}\]

\[P\left(\overline{L} \cap A\right) = P\left(\overline{L}\right) \times P_{\overline{V}}(A) = (1-\np{0.42}) \times \np{0.12} = \boxed{\np{0.0696}}\]
	\item Les évènements $L$ et $\overline{L}$ forment une partition de l'univers, donc, d'après la formule des probabilités totales, on a :
	\[P(A) = P\left(L \cap A\right) + P\left(\overline{L} \cap A\right) = \np{0.0021} + \np{0.0696} = \np{0.0717}\]
La probabilité que le bateau loué par un client choisi au hasard subisse une avarie est donc \np{0.0717}.
	
Puisque l'entreprise loue \np{1000} bateaux, elle peut s'attendre à $\np{1000} \times \np{0.0021} \approx 72$ avaries.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie C}

\medskip

\begin{enumerate}
	\item Les paramètres de la loi binomiale suivie par $X$ sont $\boxed{n=40}$ et $\boxed{p=\np{0.42}}$.
	\item À l'aide de la calculatrice, on calcule $P(X \geqslant 15)$ :
	\[\boxed{P(X \geqslant 15) \approx \np{0.768}}\]
\end{enumerate}

\bigskip

\exercice{5}\
\begin{enumerate}
	\item
	\begin{enumerate}
		\item \[u_1 = 5u_0 - 4 \times 0 - 3 = 5 \times 3 - 4 - 3 = 15 - 7 = \boxed{12}\]
		\item \[u_2 = 5u_1 - 4 \times 1 - 3 = 5 \times 12 - 4 - 3 = 60 - 7 = \boxed{53}\]
		\item Il semble que la suite $\left(u_n\right)$ soit croissante et tende vers $+\infty$.
	\end{enumerate}
	\item
	\begin{enumerate}
		\item Soit $P_n$ la proposition $u_n \geqslant n+1$.
		
\textbf{Initialisation} : $u_0 = 3$ et $0+1 = 1$.
		
$3 \geqslant 1$. La proposition est donc vraie au rang $n=0$.\\

\textbf{Hérédité} : on suppose la proposition vraie au rang $n \in \N$,\: $u_n \geqslant n + 1$ (hypothèse de récurrence). On va vérifier qu'alors elle est vraie au rang suivant.
\begin{eqnarray*}
u_n \geqslant n + 1 &\iff& 5u_n \geqslant 5(n+1)\\
&\iff& 5u_n - 4n - 3 \geqslant 5n + 5 - 4n - 3\\
&\iff& u_{n+1} \geqslant n + 2 = (n+1) + 1
\end{eqnarray*}
La proposition est donc héréditaire.\\
		\smallskip
		
\emph{Conclusion} : la proposition $P_n$ est vérifiée au rang $n = 0$ et est héréditaire, donc, d'après le principe de récurrence, elle est vraie pour tout entier naturel $n$ : $u_n \geqslant n + 1$.
		\item On a : $\lim\limits_{n \to +\infty}(n+1) = +\infty$. Puisque $u_n \geqslant n+1$, par comparaison, on a :
		\[\boxed{\lim_{n \to +\infty}u_n = +\infty}\]
	\end{enumerate}
	\item
    \begin{enumerate}
		\item\
		\begin{eqnarray*}
			v_{n+1} &=& u_{n+1}-(n+1) - 1\\
			&=& 5u_n - 4n - 3 - n - 1 - 1\\
			&=& 5u_n - 5n - 5\\
			&=& 5\left(u_n - n - 1\right)\\
			&=& 5v_n
		\end{eqnarray*}
La suite $\left(v_n\right)$ est donc une suite géométrique de raison $q=5$ et de premier terme $v_0 = u_0 - 0 - 1 = 2$.
		\item Puisque $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison $5$ et de premier terme $v_0=2$, on a :
		\[\boxed{v_n = 2 \times 5^n}\]
		\item $v_n = u_n - n - 1 \iff u_n = v_n + n + 1$. Donc :
		\[\boxed{u_n = 2 \times 5^n + n + 1}\]
		\item  Puisque $5 > 1$, la suite de terme général $5^n$ est strictement croissante, donc $5^{n+1} \geqslant 5^n$.
		\begin{eqnarray*}
			5^{n+1} \geqslant 5^n &\iff& 2 \times 5^{n+1} \geqslant 2 \times 5^n\\
			&\iff& 2\times 5^{n+1} + (n+1) + 1 \geqslant 2 \times 5^n + (n + 1) + 1\\
			&\iff& u_{n+1} \geqslant 2 \times 5^n + n + 2\\
			&\iff& u_{n+1} \geqslant 2 \times 5^n + n + 1\\
			&\iff& u_{n+1} \geqslant u_n
		\end{eqnarray*}
		La suite $\left(u_n\right)$ est donc croissante.
	\end{enumerate}
	\item
	\begin{enumerate}
		\item\
		
		\fbox{\parbox{.333\textwidth}{%
		\begin{ttfamily}
		def suite():\par
		\hspace{0.5cm}u=3\par
		\hspace{0.5cm}n=0\par
		\hspace{0.5cm}while \textbf{u<10**7}:\par
		\hspace{1cm}u= \textbf{5*u-4*n-3}\par
		\hspace{1cm}n=n+1\par
		\hspace{0.5cm}return n
		\end{ttfamily}}}
		\item\
		\begin{center}
		\begin{tabularx}{.5\textwidth}{|*{3}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
			\hline
			\tt{u} & \tt{n} & \tt{u < 10\up{7}} \\ \hline
			3 & 0 & VRAI \\ \hline
			12 & 1 & VRAI \\ \hline
			53 & 2 & VRAI \\ \hline
			254 & 3 & VRAI \\ \hline
			\np{1255} & 4 & VRAI \\ \hline
			\np{6256} & 5 & VRAI \\ \hline
			\np{31257} & 6 & VRAI \\ \hline
			\np{156258} & 7 & VRAI \\ \hline
			\np{781259} & 8 & VRAI \\ \hline
			\np{3906260} & 9 & VRAI \\ \hline
			\np{19531261} & 10 & FAUX \\ \hline
		\end{tabularx}
		\end{center}
La valeur renvoyée par cette fonction est $n = 10$. C'est le rang à partir duquel $u_n \geqslant 10^{7}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\exercice{5}

\begin{enumerate}
	\item On a $f(x) = (x+1)\e{x} = x\e{x} + \e{x}$. Donc les primitives de $f$ sont de la forme $F(x) = x\e{x} + c$ avec $c \in \R$. Donc $F(x) = 1 + x\e{x}$ est une primitive de $f$.
	
	\textbf{Réponse a.}
	\item $\vect{u_1} \begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}$ est un vecteur directeur de $\left(\text{d}_1\right)$ et $\vect{u_2} \begin{pmatrix}-1\\1\\-1\end{pmatrix}$ est un vecteur directeur de $\left(\text{d}_2\right)$.
	
On a $\dfrac{1}{-1} \neq \dfrac{1}{1}$, donc $\vect{u_1}$ et $\vect{u_2}$ ne sont pas colinéaires. Les droites ne sont donc pas parallèles.
	
Supposons qu'elle soient sécantes en un point A. Alors les coordonnées $(a~;~b~;~c)$ de A vérifient les deux représentations paramétriques :
	
$\left\{\begin{array}{rcl}a &=& 2 + r \\ b &=& 1 + r \\ c &=& -r\end{array}\right.$ et $\left\{\begin{array}{rcl}a &=& 1 - s \\ b &=& -1 + s \\ c &=& 2 - s\end{array}\right.$.
	
On a donc $-r = 2 - s \iff r = s - 2$ et $2 + r = 1 - s \iff 2 + s - 2 = 1 - s \iff 2s = 1 \iff s = \dfrac{1}{2}$.
	
Donc : $b = -1 + \dfrac{1}{2} = -\dfrac{1}{2}$, $a = 1 - \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2}$ et $c = 2 - \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{2}$.
	
Les deux droites sont sécantes en $\text{A}\left(\dfrac{1}{2}~;~-\dfrac{1}{2}~;~\dfrac{3}{2}\right)$.
	
	\textbf{Réponse a.}
	\item Un vecteur normal au plan (P) est $\vect{n} \begin{pmatrix}2\\-1\\2\end{pmatrix}$ et un vecteur directeur de $(\Delta)$ est $\vect{u} = \begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}$.
	
	On a : $\vect{n}\cdot\vec{u} = 2 \times 1 - 1 \times 1 + 1 \times (-1) = 0$, donc $\vect{n}$ et $\vect{u}$ sont orthogonaux. Donc (P) et $(\Delta)$ sont parallèles.
	
	S'il existe un point commun à (P) et $(\Delta)$, alors $(\Delta)$ est incluse dans (P).
	
	$(\Delta)$ passe par le point de coordonnées $(2~;~4~;~1)$. Or $2 \times 2 - 4 + 1 - 1 = 0$, donc ce point est un point du plan (P). La droite $(\Delta)$ est donc incluse dans le plan (P).
	
	\textbf{Réponse b.}
	\item Un vecteur normal à $\left(\text{P}_1\right)$ est $\vect{n_1} = \begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}$ et un vecteur normal à $\left(\text{P}_2\right)$ est $\vect{n_2} = \begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}$.
	
	On a $\dfrac{1}{2} \neq \dfrac{-2}{1}$, donc $\vect{n_1}$ et $\vect{n_2}$ ne sont pas colinéaires. Les plans ne sont donc pas parallèles. Ils sont donc sécants.
	
	De plus $\vect{n_1} \cdot \vect{n_2} = 1 \times 2 - 2 \times 1 + 1 \times 1 = 1$, donc les vecteurs $\vect{n}_1$ et $\vect{n}_2$ ne sont pas orthogonaux. Les plans ne sont donc pas perpendiculaires.
	
	\textbf{Réponse c.}
	\item On sait que $\Vect{EF} \cdot \Vect{EG} = \left\|\Vect{EF}\right\| \times \left\|\Vect{EG}\right\| \times \cos \left(\Vect{EF},~\Vect{EG}\right) \iff \cos \alpha = \dfrac{\Vect{EF} \cdot \Vect{EG}}{\left\|\Vect{EF}\right\| \times \left\|\Vect{EG}\right\|}$
	
On a : $\Vect{EF}\begin{pmatrix}2-1\\4-2\\3-1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}$ et $\Vect{EG}\begin{pmatrix}-2-1\\2-2\\5-1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-3\\0\\4\end{pmatrix}$.
	$\Vect{EF} \cdot \Vect{EG} = 1 \times (-3) + 2 \times 0 + 2 \times 4 = 5$
	
	$\left\|\Vect{EF}\right\| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{9} = 3$
	
	$\left\|\Vect{EG}\right\| = \sqrt{(-3)^2 + 0^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5$
	
	Donc :
	$\cos \alpha = \dfrac{5}{3 \times 5} = \dfrac{1}{3}$, soit $\alpha \approx 71\Degre$ d'après la calculatrice.
	\textbf{Réponse d.}
\end{enumerate}

\bigskip

\exercice{5}

\begin{enumerate}
	\item
	\begin{enumerate}
		\item $\lim\limits_{\substack{x \to 0\\x>0}}f(x) = \lim\limits_{\substack{x \to 0\\x>0}}\left[5x^2 + 2x - 2x^2\ln(x)\right]$
		
		\[\left.
		\begin{array}{r}
			\lim\limits_{x \to 0}\left(5x^2+2x\right) = 0\\
			\text{Par croissance comparée}\: \lim\limits_{\substack{x \to 0\\x>0}}x^2\ln(x) = 0
		\end{array}\right\} \overset{\substack{\text{par} \\ \text{somme}}}{\implies} \lim_{\substack{x \to 0\\x>0}}\left[5x^2 + 2x - 2x^2 \ln (x)\right] = 0\]
		
		\[\boxed{\lim_{\substack{x \to 0\\x>0}}f(x) = 0}\]
		\item $\lim\limits_{x \to +\infty}f(x) = \lim\limits_{x \to +\infty}\left[5x^2+2x-2x^2\ln (x)\right] = \lim\limits_{x \to +\infty}x^2\left[5+\dfrac{2}{x}-2\ln(x)\right]$
		
		\[\renewcommand{\arraystretch}{2}
		\left.
		\begin{array}{r}
			\lim\limits_{x \to +\infty}\dfrac{2}{x} = 0 \implies \lim\limits_{x \to +\infty}\left(5+\dfrac{2}{x}\right) = 5 \\
			\lim\limits_{x \to +\infty}\ln(x) = +\infty \implies \lim\limits_{x \to +\infty}-2\ln(x) = -\infty
		\end{array}\right\} \overset{\substack{\text{par} \\ \text{somme}}}{\implies} \lim_{x \to +\infty}\left[5 + \dfrac{2}{x} - 2\ln (x)\right] = -\infty
		\]
		
		\[\renewcommand{\arraystretch}{2}
		\left.
		\begin{array}{r}
			\lim\limits_{x \to +\infty}x^2 = +\infty \\
			\lim\limits_{x \to +\infty}\left[5 + \dfrac{2}{x} - 2\ln (x)\right] = -\infty
		\end{array}\right\} \overset{\substack{\text{par} \\ \text{produit}}}{\implies} \lim_{x \to +\infty}x^2\left[5+\dfrac{2}{x}-2\ln(x)\right] = -\infty
		\]
		
		\[\boxed{\lim_{x \to +\infty}f(x) = -\infty}\]
	\end{enumerate}
	\item\
	\begin{eqnarray*}
		f'(x) &=& 5 \times 2x + 2 - 2 \left[ 2x \times \ln(x) + x^2 \times \dfrac{1}{x}\right] = 10x + 2 - 2\left[2x\ln(x) + x\right] = 10x + 2 - 4x\ln(x) - 2x\\
		&=& \boxed{8x + 2 - 4x\ln(x)}
	\end{eqnarray*}
	\item
	\begin{enumerate}
		\item
		\[f''(x) = 8 - 4\left[1 \times \ln(x) + x \times \dfrac{1}{x}\right] = 8 - 4\ln (x) - 4 = 4 - 4\ln(x) = \boxed{4\left[1-\ln(x)\right]}\]
		\item La courbe $\mathcal{C}_f$ est au-dessus de ses tangentes si, et seulement si, $f$ est convexe, ce qui équivaut à $f''(x)$ est positif.
		
		$f''(x) \geqslant 0 \iff 4\left[1-\ln(x)\right] \geqslant 0 \iff 1-\ln(x) \geqslant 0 \iff -\ln(x) \geqslant -1 \iff \ln(x) \leqslant 1 \iff x \leqslant \text{e}$ (car la fonction ln est strictement croissante sur \intervOO{0}{+\infty}).\\
		\smallskip
		
		La courbe $\mathcal{C}_f$ est donc au-dessus de ses tangentes sur l'intervalle \intervOF{0}{\text{e}}.
		\item\
		\begin{center}
		\begin{tikzpicture}
		\tkzTabInit[lgt=2.5,espcl=3]{$x$/1,Signe de $f''(x)$/1,Variations de $f'$/2.5}{$0$,e,$+\infty$}
		\tkzTabLine{d,+,z,-,}
		\tkzTabVar{D-/$2$,+/$4\text{e}+2$,-/$-\infty$}
		\end{tikzpicture}
		
		$f'(\text{e}) = 8\text{e} + 2 - 4\text{e} \ln(\text{e}) = 8\text{e} + 2 - 4\text{e} = 4\text{e} + 2$
		\end{center}
	\end{enumerate}
	\item
	\begin{enumerate}
		\item Sur \intervOF{0}{\text{e}}, la fonction $f'$ est strictement croissante avec $\lim\limits_{\substack{x \to 0\\x>0}}f'(x) = 2$, donc pour tout $x \in \intervOF{0}{\text{e}}$,on a $f'(x) > 0$.\\
		\smallskip
		
		Sur \intervFO{\text{e}}{+_infty}, la fonction $f'$ est continue (puisque dérivable) et strictement décroissante. De plus, $f(_text{e}) = 4\text{e} + 2 > 0$ et $\lim\limits_{x \to +\infty}f'(x) = -\infty$. $0 \in \intervOO{-\infty}{4\text{e}+2}$, donc, d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $f'(x) = 0$ admet une solution unique $\alpha$ sur \intervFO{\text{e}}{+\infty}.\\
		\smallskip
		
		Au final, l'équation $f'(x) = 0$ admet une solution unique $\alpha$ sur \intervOO{0}{+\infty}.\\
		\medskip
		
		On a :
		\[\boxed{\np{7.87} < \alpha < \np{7.88}}\]
		\item On sait que sur \intervOF{0}{\text{e}} on a $f'(x) > 0$. Puisque $f'$ est décroissante sur \intervFO{\text{e}}{+\infty} et qu'elle s'annule en $\alpha$, $f'(x) \geqslant 0$ sur \intervFF{\text{e}}{\alpha} et $f'(x) \leqslant 0$ sur \intervFO{\alpha}{+\infty}. Donc $f'(x)$ est positif sur \intervOF{0}{\alpha} et négatif sur \intervFO{\alpha}{+\infty}.
		
		\begin{center}
		\begin{tikzpicture}
		\tkzTabInit[lgt=2.5,espcl=3]{$x$/1,Signe de $f'(x)$/1,Variations de $f$/2.5}{$0$,$\alpha$,$+\infty$}
		\tkzTabLine{d,+,z,-,}
		\tkzTabVar{D-/$0$,+/$f(\alpha)$,-/$-\infty$}
		\end{tikzpicture}
		\end{center}
	\end{enumerate}
	\item On a $f''(\alpha) = 8\alpha + 2 - 4\alpha \ln(\alpha)$, donc :
	\begin{eqnarray*}
		f'(\alpha) = 0 &\iff& 8\alpha + 2 - 4 \alpha \ln(\alpha) = 0\\
		&\iff& 4\alpha\ln(\alpha) = 8\alpha + 2\\
		&\iff& \ln(\alpha) = \dfrac{2(4\alpha+1)}{4\alpha} \qquad (\alpha \neq 0)\\
		&\iff& \boxed{\ln(\alpha) = \dfrac{4\alpha+1}{2\alpha}}
	\end{eqnarray*}
	
	On a donc :
	\begin{eqnarray*}
		f(\alpha) &=& 5\alpha^2 + 2\alpha - 2\alpha^2 \ln(\alpha) \\
		&=& 5\alpha^2 + 2\alpha - 2\alpha^2 \times \dfrac{4\alpha+1}{2\alpha} \\
		&=& 5\alpha^2 + 2\alpha - \alpha(4\alpha + 1) \\
		&=& 5\alpha^2 + 2\alpha - 4\alpha^2 - \alpha \\
		&=& \boxed{\alpha^2  + \alpha}
	\end{eqnarray*}
	\item D'après la question \textbf{4.a.}, on a :
	\begin{eqnarray*}
		\np{7.87} < \alpha < \np{7.88} &\iff& \np{61.9369} < \alpha^2 < \np{62.0944} \\
		&\iff& \np{69.8069} < \alpha^2 + \alpha < \np{69.9744} \\
		&\iff& \boxed{\np{69.8069} < f(\alpha) < \np{69.9744}}
	\end{eqnarray*}
\end{enumerate}

\end{document}
