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%Tapuscrit et corrigé : Sébastien Dibos
%Relecture : François Hache  Denis Vergès
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{\noindent{\textbf{Exercice \arabic{nexo}}\hfill\textbf{#1 points}}}}

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\textbf{\theenumi.}}
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\textbf{\theenumii.}}
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\setlength{\parindent}{0pt}

\title{Mathématiques\\Term Spé Maths}
\author{S. DIBOS}
\date{\today}

\begin{document}
\thispagestyle{empty}
\pagestyle{fancy}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\thispagestyle{empty}
\lhead{Corrigé du baccalauréat spécialité sujet 1}
\chead{}
\rhead{}
\lfoot{Nouvelle-Calédonie}
\cfoot{}
\rfoot{20 novembre 2025}

\begin{center}
\begin{large}
\begin{bf}
Corrigé du baccalauréat spécialité Nouvelle Calédonie Jour 1\\[7pt]
20 novembre 2025

\end{bf}
\end{large}
\end{center}

\begin{exercice}{5}\label{eds2025-s1-cor1}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item On complète l'arbre représentant la situation.

\begin{center}
\medskip
\psset{treemode=R,nodesepB=3pt,nodesepA=0pt,treesep=1cm,levelsep=2.5cm,nrot=:U}
\pstree{\TR{}}{%
	\pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$A$}\naput{$0,25$}}{%
		\TR{$C$}\naput{$0,6$}
		\TR{$\overline{C}$}\nbput{$0,4$}}
	\pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$\overline{A}$}\nbput{$0,75$}}{%
		\TR{$C$}\naput{$0,25$}
		\TR{$\overline{C}$}\nbput{$0,75$}}}
\medskip		
\end{center}

	\item L'évènement \og Le joueur obtient une boule avec la lettre A et un billet de 50 euros \fg{} est $\left\{A \cap C\right\}$.
	\[P\left(A \cap C\right) = P(A) \times P_{A}(C) = 0,25 \times 0,6 = \boxed{0,15}\]

	\item Les évènements $A$ et $\overline{A}$ forment une partition de l'univers, donc, d'après la formule des probabilités totales, on a :
	
\begin{eqnarray*}
P(C)&=& P\left(A \cap C\right) + P\left(\overline{A} \cap C\right) = P(A) \times P_{A}(C) + P\left(\overline{A}\right) \times P_{\overline{A}}(C)\\
	&=& 0,15 + 0,75 \times 0,25 = 0,15 + \np{0,1875}\\
	&=& \boxed{\np{0,3375}}
\end{eqnarray*}

	\item On doit calculer la probabilité $P_{\overline{C}}\left(\overline{A}\right)$ :

	\[P_{\overline{C}}\left(\overline{A}\right) = \dfrac{P\left(\overline{A}\cap \overline{C}\right)}{P\left(\overline{C}\right)} = \dfrac{P\left(\overline{A}\right) \times P_{\overline{A}}\left(\overline{C}\right)}{1 - P(C)} = \dfrac{0,75 \times 0,75}{1 - \np{0,3375}} = \dfrac{\np{0,5625}}{\np{0,6625}} = \dfrac{45}{53} \approx 0,85.\]
La probabilité que le joueur ait pris une boule avec la lettre B sachant qu'il a obtenu un billet de 10 euros est environ 85\,\%. L'affirmation est donc vraie.

	\item La loi de probabilité de $X_{1}$ est donnée par le tableau suivant :

\begin{center}
\begin{tabularx}{.5\textwidth}{|>{$}c<{$}|*{2}{>{\centering\arraybackslash$}X<{$}|}}\hline
k_{i} & 10 & 50 \\ \hline
P\left(X_{1} = k_{i}\right) & \np{0,6625} & \np{0,3375} \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

L'espérance de $X_{1}$ est donc :
\[E\left(X_{1}\right) = 10 \times \np{0,6625} + 50 \times \np{0,3375} = 6,625 + 16,875 = \boxed{23,5}.\]

\smallskip

La variance de $X_{1}$ est donc :

\[\aligned
V\left(X_{1}\right)
& = E\left(X_{1}^{2}\right) - \left[E\left(X_{1}\right)\right]^{2} = \left (100 \times \np{0,6625} + \np{2500}\times \np{0,3375} \right )- 23,5^{2}\\
& = 66,25 + 843,75 - 552,25 = \boxed{357,75}.
\endaligned\]

\item
	\begin{enumerate}
		\item On sait que l'espérance d'une somme de variables aléatoires est égale à la somme des espérances; or $X_{1}$ et $X_{2}$ suivent la même loi, donc :

		\[E(Y) = 2 \times E\left(X_{1}\right) = 2 \times 23,5 = \boxed{47}.\]

		\item Puisque la boule et le billet ont été remis, les deux tirages sont indépendants, donc les variables aléatoires $X_{1}$ et $X_{2}$ sont indépendantes. Or on sait que la variance de la somme de deux variables aléatoires indépendantes est égale à la somme de leurs variances (propriété de l'additivité). On a donc :

\[\boxed{V(Y) = V\left(X_{1}\right) + V\left(X_{2}\right)} \text{~~et donc~~} \boxed{V(Y)=2\times 357,75 = 715,5}\]
	\end{enumerate}

\item Le joueur joue de même une troisième, une quatrième,\ldots, une centième partie.

On définit donc de la même façon les variables aléatoires $X_3$, $X_4$,\ldots, $X_{100}$.

On note $Z$ la variable aléatoire définie par $Z = X_1 + X_2 + \ldots + X_{100}$.

\begin{list}{\textbullet}{Pour les mêmes raisons que dans la question précédente, on a:}
\item
$ E\left (Z\right ) 
= E\left (\ds\sum_{k=1}^{100} X_k \right ) 
= \ds\sum_{k=1}^{100} \left (E\left (X_k\right )\right ) 
= 100\times 23,5 = \np{2350}$
\item
$ V\left (Z\right ) 
= V\left (\ds\sum_{k=1}^{100} X_k \right ) 
= \ds\sum_{k=1}^{100} \left (V\left (X_k\right )\right ) 
= 100\times 357,75 = \np{35775}$	
\end{list}

Pour tout réel $t$  strictement positif, on a:
$P\left ( \left | Z-E(Z)\strut \right | \geqslant t\right ) \leqslant \dfrac{V(Z)}{t^2}$.\\
C'est l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev.

On en déduit que: 	$P\left ( \left | Z-E(Z)\strut \right | < t\right ) \geqslant 1- \dfrac{V(Z)}{t^2}$. Donc:
$P\left ( \left | Z- \np{2350}\strut \right | < t\right ) \geqslant 1- \dfrac{\np{35775}}{t^2}$

$\left | Z- \np{2350}\strut \right | < t
\iff \np{2350}-t < Z < \np{2350}+ t$

Or on cherche $P\left ( Z \in\, \left ] \np{1950}\;;\; \np{2750}\strut \right [\right )$ donc on prendra $t=400$.

On aura donc:
$P\left ( Z \in\, \left ] \np{1950}\;;\; \np{2750}\strut \right [\right )
\geqslant 1- \dfrac{\np{35775}}{400^2}$.

$1- \dfrac{\np{35775}}{400^2} \approx 0,776 \geqslant 0,75$.
Donc la probabilité que $Z$ appartienne à l'intervalle $]\np{1950}~;~\np{2750}[$ 
 est supérieure ou égale à $0,75$.
\end{enumerate}
\end{exercice}

\bigskip

\begin{exercice}{4}\label{eds2025-s1-cor2}

\smallskip

Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé \Oijk, on considère les points :
\begin{center}
A$(4~;~-4~;~4)$, \quad B$(5~;~-3~;~2)$, \quad C$(6~;~- 2;~;~3)$, \quad D(5~;~1~;~1)
\end{center}

\begin{enumerate}
	\item On a : $\vect{AB} = \begin{pmatrix}5-1\\-3-(-4)\\2-4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\1\\-2\end{pmatrix}$ et $\vect{CB} = \begin{pmatrix}5-6\\-3-(-2)\\2-3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1\\-1\\-1\end{pmatrix}$.

Donc :
$\vect{AB} \cdot \vect{CB} = 1 \times (-1) + 1 \times (-1) - 2 \times (-1) = -1 -1 + 2 = 0.$

\smallskip

Puisque leur produit scalaire est nul, les vecteurs $\vect{AB}$ et $\vect{CB}$ sont orthogonaux, donc le triangle ABC est rectangle en B.

	\item D'après la question précédente, les points A, B et C étant non alignés, ils définissent bien un plan. Leurs coordonnées vérifient donc toute équation cartésienne du plan ainsi défini.

Or on a :
$4-(-4)-8 = 4 + 4 - 8 = 0,$
donc les coordonnées de A vérifient l'équation $x - y  - 8 = 0$.
	
De même
$5 - (-3) - 8 = 5 + 3 - 8 = 0 \qquad \text{et} \qquad 6 - (-2) - 8 = 6 + 2 - 8 = 0,$
donc les coordonnées de B et C vérifient également l'équation $x - y - 8 = 0$.

Donc \quad $x - y - 8 = 0$ \quad est bien une équation cartésienne du plan (ABC).

\item
	\begin{enumerate}
		\item On sait que si $\vectt{n} = \begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}$ est un vecteur normal à un plan, alors ce plan a une équation cartésienne de la forme $ax + by + cz + d = 0$. Or on a vu à la question précédente que $x - y - 8 = 0$ est une équation cartésienne du plan (ABC), donc $\vectt{n} = \begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan (ABC).

Puisque $d$ est orthogonale au plan (ABC), le vecteur $\vectt{n} = \begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}$ est un vecteur directeur de $d$. De plus, la droite $d$ passe par le point $\mathrm{D}\,(5~;~1~;~1)$. \\
Donc une représentation paramétrique de $d$ est :

\[\boxed{\left\{
\begin{array}{rcl}
x &=& 5 + t\\
y &=& 1 - t\\
z &=& 1
\end{array}\right. \qquad t \in \R.}\]

		\item Puisque la droite $d$ est orthogonale au plan (ABC) et passe par D, le projeté orthogonal H de D sur (ABC) est le point d'intersection de la droite $D$ et du plan (ABC). Les coordonnées $(x~;~y~;~z)$ du point H vérifient donc à la fois la représentation paramétrique de $d$ et l'équation cartésienne de (ABC). Elles sont donc solution du système :
		\[\begin{array}{l}
\left\{
\begin{array}{rcl}
x &=& 5 + t\\
y &=& 1 - t\\
z &=& 1\\
x - y - 8 &=& 0
\end{array}\right.\\
\\
\Longrightarrow 5 + t - (1 - t) - 8 = 0 \iff 2t - 4 = 0 \iff 2t = 4 \iff t = 2\\
\\
\left\{
\begin{array}{rcl}
x &=& 5 + 2 = 7\\
y &=& 1 - 2 = -1\\
z &=& 1
\end{array}\right.\end{array}\]
Les coordonnées du projeté orthogonal H de D sur (ABC) sont donc :

\[\boxed{\mathrm{H}\,(7~;~-1~;~1)}\]

		\item \quad $\mathrm{DH} = \sqrt{(7-5)^2 + (-1-1)^2 + (1 - 1)^2} = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 0^2} = \sqrt{4+4} = \sqrt{8} = \boxed{2\sqrt{2}}$
	\end{enumerate}

\item
	\begin{enumerate}
		\item La pyramide ABCD admet pour base le triangle ABC et pour hauteur le segment [DH]. On a donc $V = \dfrac{1}{3} \times \text{aire}\,(\mathrm{ABC}) \times \mathrm{DH}$.

Puisque ABC est rectangle en B, on a :
\begin{eqnarray*}
\text{aire}\,(\text{ABC}) &=& \dfrac{\mathrm{AB}\times\mathrm{CB}}{2} = \dfrac{\|\vect{AB}\| \times \|\vect{CB}\|}{2}\\
&=& \dfrac{\sqrt{1^2 + 1^2 + (-2)^2} \times \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2 + (-1)^2}}{2}\\
&=& \dfrac{\sqrt{1+1+4}\times\sqrt{1+1+1}}{2} = \dfrac{\sqrt{6}\times\sqrt{3}}{2} = \dfrac{\sqrt{18}}{2}\\
&=& \dfrac{3\sqrt{2}}{2}.
\end{eqnarray*}
On a donc :

\[V = \dfrac{1}{\cancel{3}} \times \dfrac{\cancel{3}\sqrt{2}}{\cancel{2}} \times \cancel{2}\sqrt{2} = \boxed{2}\]

Le volume de la pyramide ABCD est $2$.
		\item La distance du point A au plan (BCD) est la longueur de la hauteur issue de A de la pyramide ABCD. Soit $x$ cette distance. On a alors $V = \dfrac{1}{3} \times \text{aire\,(BCD)} \times x$. Donc :

\[\dfrac{1}{3} \times \dfrac{\sqrt{42}}{2} \times x = 2 \iff x\sqrt{42} = 2 \times 3 \times 2 \iff x = \dfrac{12}{\sqrt{42}} = \dfrac{2\times6}{\sqrt{6} \times \sqrt{7}} = \dfrac{2\sqrt{6}}{\sqrt{7}} = \boxed{\dfrac{2\sqrt{42}}{7}}\]
La distance du point A au plan (BCD) est $\dfrac{2\sqrt{42}}{7}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercice}

\bigskip

\begin{exercice}{6}\label{eds2025-s1-cor3}

\smallskip

On considère $n$ un entier naturel non nul.

On considère la fonction $f_n$ définie sur l'intervalle $[0~;~1]$ par :
$f_n(x) = x^n \e^{1 - x}.$

\smallskip

\textbf{Partie A}

\smallskip

\begin{enumerate}
	\item  $f_1(x)=x \e^{1-x}$ donc $f'_{1}(x) = 1 \times \e^{1 - x} + x \times \left(-\e^{1-x}\right) = \boxed{(1-x)\e^{1-x}}$

On sait que pour tout $x \in \R$ on a $\e^{1-x} > 0$, donc $f'_{1}(x)$ est du signe de $1 - x$. Or, $1 - x \geqslant 0 \iff x \leqslant 1$. Donc, pour tout $x \in \intervFO{0}{1}$, $f'_{1}(x)$ est strictement positif.

	\item\
	
\begin{minipage}{.667\textwidth}
	\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
		\tkzTabInit[lgt=2.5,espcl=3]{$x$/0.8,Signe de $f_{1}(x)$/1,Variations de $f_{1}$/2.5}{$0$,$1$}
		\tkzTabLine{,+,}
		\tkzTabVar{-/$0$,+/$1$}
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	\end{minipage}\hfill
	\begin{minipage}[t]{.275\textwidth}
	\[f_{1}(0) = 0 \times \e^{1-0} = 0\]
	\[f_{1}(1) = 1 \times \e^{1-1} = \e^{0} = 1\]
\end{minipage}

\smallskip

	\item La fonction $f_{1}$ est continue (puisque dérivable) et strictement croissante sur \intervFF{0}{1}, avec

$f_{1}(0) = 0 < 0,1$ et $f_{1}(1) = 1 > 0,1$, donc, d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $f_{1}(x) = 0,1$ admet une solution unique dans \intervFF{0}{1}.
\end{enumerate}

\smallskip

\textbf{Partie B}

\smallskip

On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ non nul par 

\begin{center}$u_n = \displaystyle\int_0^1 f_n(x) \:\text{d}x$ \quad  c'est-à-dire \quad $u_n = \displaystyle\int_0^1 x^n \e^{1-x} \: \text{d}x$.\end{center}

On admet que $u_1 = \e - 2$.

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{enumerate}
	\item 	Pour $x \in \, [0~;~1]$, on a: $0\leqslant x \leqslant 1$.

$x\geqslant 0$ donc $x^n\geqslant 0$; on multiplie l'inégalité précédente par $x^n$:

$0\times x^n \leqslant x \times x^n  \leqslant 1 \times x^n 
\iff 0 \leqslant x^{n+1} \leqslant x^n$
	
On a donc démontré que pour tout entier naturel $n$, on a:

\[\boxed{0 \leqslant x^{n+1} \leqslant x^n}\]


		\item On sait que pour tout $x \in \R$, $\e^{1-x} > 0$, donc, d'après la question précédente :

\[0 \leqslant x^{n+1} \leqslant x^{n} \iff 0 \leqslant x^{n+1}\e^{1-x} \leqslant x^{n}\e^{1-x}.\]
		
		Donc, d'après la positivité de l'intégration :

\[0 \leqslant x^{n+1}\e^{1-x} \leqslant x^{n}\e^{1-x} \implies 0 \leqslant \int_{0}^{1}x^{n+1}\e^{1-x}\d x \leqslant \int_{0}^{1}x^{n}\e^{1-x}\d x \iff \boxed{0 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_{n}}\]

		\item D'après la question précédente, puisque $u_{n+1} \leqslant u_{n}$ la suite $\left(u_{n}\right)$ est décroissante.
		
De plus, puisque $0 \leqslant u_{n}$, elle est minorée par $0$. 

Donc, d'après le théorème de convergence monotone, la suite $\left(u_{n}\right)$ est convergente vers une limite positive ou nulle.
	\end{enumerate}
	
	\item
	\begin{enumerate}
		\item On sait que pour $u$ et $v$ dérivables on a : $\displaystyle\int_{a}^{b}u'(x)v(x)\d x = \left[u(x)v(x)\right]_{a}^{b} - \displaystyle\int_{a}^{b}u(x)v'(x)\d x$.

Posons $u'(x) = \e^{1-x}$ et $v(x) = x^{n+1}$. 
Alors $u(x) = -\e^{1-x}$ et $v'(x) = (n+1)x^{n}$. 

On a donc :

\begin{eqnarray*}
	\int_{0}^{1}x^{n+1}\e^{1-x}\d x &=& \left[-x^{n+1}\e^{1-x}\right]_{0}^{1} - \int_{0}^{1}(n+1)x^{n}\left(-\e^{1-x}\right)\d x\\
	&=& -1^{n+1}\e^{1-1} - \left(-0^{n+1}\e^{1-0}\right) - (n+1)\int_{0}^{1}-x^{n}\e^{1-x}\d x\\
	&=& -1 + (n+1)\int_{0}^{1}x^{n}\e^{1-x}\d x
\end{eqnarray*}

On a donc bien :

\[\boxed{u_{n+1} = (n+1)u_{n} - 1}.\]

\item On complète le script Python en bleu ci-dessus pour que la fonction \texttt{suite()} renvoie la valeur de $\displaystyle\int_0^1 x^8 \e^{1-x} \, \text{d}x$.

\begin{center}
\fbox{\parbox{.5\textwidth}{%
\begin{ttfamily}
	from math import exp\\
	\\
	\begin{tabular}{ll}
def	& suite() :\\
	& u = \blue \textbf{exp(1)-2}\\
	& for n in range (1,{\blue\textbf{8}}):\\
	& \qquad u = \blue\textbf{(n+1) * u - 1}\\
	& return \blue u
	\end{tabular}
\end{ttfamily}}}
		\end{center}
	\end{enumerate}
	
\item
	\begin{enumerate}
		\item On se place dans l'intervalle d'intégration : soit $x \in [0~;~1]$, donc 

%\begin{eqnarray*}
%0 \leqslant x \leqslant 1 &\iff & - 1 \leqslant x - 1 \leqslant 0 \:\text{en ajoutant le même terme à chaque membre}\\
%&\iff &0 \leqslant 1 - x\leqslant 1 \:\text{par rangement des opposés}\\
%&\iff &\e^0 \leqslant \e^{1 - x} \leqslant \e^1 \:\text{par croissance de la fonction exponentielle}\\
%&\iff &1\leqslant \e^{1 - x} \leqslant\e \\
%&\iff &x^n\leqslant x^n \e^{1 - x} \leqslant x^n \e\\
%&\iff &\displaystyle\int_0^1 x^n \:\text{d}x \leqslant \displaystyle\int_0^1 x^{n} \e^{1 - x} \:\text{d}x \leqslant \displaystyle\int_0^1 x^n\e\:\text{d}x \:\text{par croissance de l'intégrale}\\
%&\iff &\left[\dfrac{x^{n+1}}{n+1} \right]_0^1\leqslant u_n \leqslant \e\left[\dfrac{x^{n+1}}{n+1} \right]_0^1\\
%&\iff &\dfrac{1}{n+1}\leqslant u_n \leqslant \dfrac{\e}{n+1}\\
%&\iff & 0 \leqslant u_n \leqslant \dfrac{\e}{n+1} \:\:\text{car }\: \dfrac{1}{n+1} > 0\\
%\end{eqnarray*}

$\aligned[t]
0 \leqslant  x \leqslant 1 
 &\implies  1-x  \leqslant 1 
\implies   \e^{1-x} \leqslant \e \text{~~~~(croissance de la fonction exponentielle)}\\
 &\implies   x^n \e^{1-x} \leqslant x^n\times \e ~~~~(x^n\geqslant 0)\\
 &\implies   \ds\int_{0}^{1} x^n \e^{1-x} \d x \leqslant \ds\int_{0}^{1}   x^n\times \e \d x \text{~~~~(craoissance de l'intégration)}\\
 &\implies   \ds\int_{0}^{1} x^n \e^{1-x} \d x \leqslant \e \ds\int_{0}^{1} x^n \d x
\implies   u_n \leqslant \e \left [ \dfrac{x^{n+1}}{n+1} \right ]_{0}^{1}\\
 & \implies   u_n \leqslant \dfrac{\e}{n+1} \\
\endaligned$

\item On sait que pour tout $n$, on a: $0\leqslant u_n$; donc $0\leqslant u_n \leqslant \dfrac{\e}{n+1}$.

Or  $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \dfrac{\e}{n+1} = 0$, donc d'après le théorème des gendarmes, on peut dire que  

\[\boxed{\displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_n = 0}\]
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercice}

\bigskip

\begin{exercice}{4}\label{eds2025-s1-cor4}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Puisque $x > 0$, on peut écrire $f(x) = x^2\left(\dfrac{\ln (x)}{x^2}  - 1\right)$.

On sait (croissances comparées) que $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} \dfrac{\ln (x)}{x^2} = 0$, donc que $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} \dfrac{\ln (x)}{x^2} - 1 = - 1$.

Comme $\displaystyle\lim_{x \to - \infty}x^2 = + \infty$, on obtient finalement par produit de limites 

$\displaystyle\lim_{x \to - \infty} x^2 \left(\dfrac{\ln (x)}{x^2}  - 1\right) = - \infty$.

\hfill\textbf{L'affirmation 1 est vraie.}

\item $f(x)=2\,\cos\left (x\right )- \sin\left (x\right )$, donc:
$f'(x)= -2\,\sin\left (x\right ) - \cos\left (x\right )$. Donc:

$\aligned[t]
- 2f'(x) + 3f(x) 
& = -2\left ( -2\,\sin\left (x\right ) - \cos\left (x\right )\right ) +3 \left (2\,\cos\left (x\right )- \sin\left (x\right ) \right )\\
& = 4\,\sin\left (x\right ) +2\,\cos\left (x\right ) +6\,\cos\left (x\right ) -3\,\sin\left (x\right )\\
 & = \sin\left (x\right ) +8\,\cos\left (x\right )
\endaligned$

Donc la fonction $f$ est solution de l'équation différentielle $-2y' +3y =  \sin\left (x\right ) +8\,\cos\left (x\right )$.

\hfill\textbf{L'affirmation 2 est vraie.}

\item On a $u_0 = 25$ et donc $u_1 = \ln (3 \times 25 + 1) = \ln 76 \approx 4,3 < 25$.

On peut donc supposer que la suite est décroissante ce que l'on démontre par récurrence : soit $(P_n) : u_{n+1} < u_n$

\textit{Initialisation} : on a vu que $u_1 < u_0$ donc $P_0$ est vraie.

\textit{Hérédité} : soit $n \in \N$ et supposons que $u_{n+1} < u_n$ : on a succesivement :
\begin{eqnarray*}
u_{n+1} < u_n &\iff & 3u_{n+1} < 3u_n\\
&\iff &3u_{n+1} + 1 < 3u_n + 1\\
&\iff &\ln \left(3u_{n+1} + 1\right) < \ln \left(3u_n + 1\right)\:\text{par croissance de la fonction ln}\\
&\iff &u_{n+2} < u_{n+1}
\end{eqnarray*}
La relation est vraie au rang $n+1$.

\textit{Conclusion} : La relation est vraie au rang 0 et si elle est vraie au rang $n \in \N$, elle l'est aussi au rang $n + 1$ : d'après le principe de récurrence quel que soit $n \in \N, \\\: u_{n+1} < u_n$ : ceci montre que la suite $(u_n)$ est décroissante.

\hfill\textbf{L'affirmation 3 est vraie.}

\item Une application affine est de la forme $h(x) = ax + b$, avec $a \in \R$ et $b \in \R$.

Donc $k(x) = x^4 + x^2 + ax + b$ ; $k$ est une fonction polynôme dérivable sur $\R$ et sur cet intervalle on a successivement :

$k'(x) = 4x^3 + 2x + a$, puis

$k''(x) = 12x^2 + 2$, comme un carré est supérieur ou égal à zéro, il en résulte que $k''(x) \geqslant 2 > 0$.

Sur $\R$, la dérivée seconde est supérieure à zéro : la fonction $k$ est convexe sur $\R$.

\hfill\textbf{L'affirmation 4 est vraie.}

\item Avec 5 lettres différentes le nombre d'anagrammes est égal à $5! = 120$.

Comme EULER possède deux lettres identiques le nombre d'anagrammes est égal à 

$\dfrac{5!}{2!} = \dfrac{120}{2} = 60$.

\hfill\textbf{L'affirmation 5 est fausse.}
\end{enumerate}
\end{exercice}
\end{document}