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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Concours ENI GEIPI--POLYTECH Série STI2D et STL}
\lfoot{\small{Épreuves communes ENI--GEIPI--POLYTECH,\hspace{1em}correction}}
\rfoot{\small{13 mai 2015}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 1 heure 30}

{\Large \textbf{\decofourleft~ Correction Épreuves communes ENI--GEIPI--POLYTECH ~ \decofourright}}\\
 {\Large Série STI2D et STL \textbf{Mercredi 13 mai 2015}}

\textbf{SUJET DE MATHÉMATIQUES}
 \end{center}

Il faut choisir et réaliser seulement \textbf{trois des quatre exercices} proposés

\bigskip
 
\textbf{EXERCICE 1}
 
\medskip

Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé \Ouv, on considère les points A
et B d'affixes respectives 

\[z_{\text{A}} = 2\sqrt{3} - 2\text{i}\quad  \text{et}\quad  z_{\text{B}} = \text{i} z_{\text{A}}.\]

\begin{enumerate}
\item Déterminons la forme algébrique de $z_{\text{B}}$.

$z_{\B}=\text{i}(2\sqrt{3}-2\text{i})=2+2\text{i}\sqrt{3}$
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminons les modules respectifs  $\left|z_{\text{A}}\right|$ et $\left|z_{\text{B}}\right|$ de $z_{\text{A}}$ et $z_{\text{B}}$. 
		
		$\vert z_{\A}\vert =\sqrt{(2\sqrt{3})^2+(-2)^2}=4$
		
		$\vert z_{\B}\vert =\sqrt{(2)^2+(2\sqrt{3})^2}=4$
		\item  OA =4 et OB =4.
	\end{enumerate}
\item   Le triangle OAB est tracé ci-dessous.

\psset {unit=1cm}
\begin{pspicture}(-3,-3)(7,5.5)
 \psaxes[Ox=0,Oy=0,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-2,-2.5)(6.5,5)
\multido{\n=-2.5+0.5}{16}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](-2,\n)(6.5,\n)}
\multido{\n=-2+0.5}{18}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,-2.5)(\n,5)}
\pstTriangle[PointNameA=A,PointNameB=B,PointNameC=O](3.4641,-2){A}(2,3.4641){B}(0,0){O}
\pstTranslation{C}{B}{A}[C]
\pstMiddleAB{A}{B}{K}
\pstLineAB{B}{C}
\pstLineAB{A}{C}

\end{pspicture}



\item 
	\begin{enumerate}
		\item Soit $\theta_{\A}$ un argument de $z_{\text{A}}$. Nous avons alors $\cos\theta_{\A}=\dfrac{2\sqrt{3}}{4}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ et $\sin \theta_{A}=\dfrac{-2}{4}=\dfrac{-1}{2}$

 Par conséquent arg$\left(z_{\text{A}}\right)=-\dfrac{\pi}{6}$ . 
 
		\item Soit $\theta_{\B}$ un argument de $z_{\B}$. Nous avons alors $\cos\theta_{\B}=\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}$ et $\sin \theta_{B}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.

 Par conséquent arg$\left(z_{\B}\right)=\dfrac{\pi}{3}$ . 

		\item  Une mesure de $\left(\vect{u},~ \vect{\text{OA}}\right)$ est $-\dfrac{\pi}{6}$ et une mesure de $\left(\vect{u},~ \vect{\text{OB}}\right)$ est $\dfrac{\pi}{3}$.
	\end{enumerate}
\item  Le  triangle OAB est un triangle rectangle isocèle. Il est isocèle car OA=OB,  il est rectangle 

car $\left(\vv{\text{OA}}~;\vv{\text{OB}}\right)=\left(\vv{\text{OA}}~;~\vv{u}\right) +\left(\vv{u}~;~\vv{\text{OB}}\right)=-(-\dfrac{\pi}{6})+\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\pi}{2}$.
\item  On considère le milieu K du segment [AB].
	\begin{enumerate}
		\item Déterminons l'affixe $z_{\text{K}}$  de K. 
		
		$z_{\text{K}}=\dfrac{1}{2}\left(z_{\A}+z_{\B}\right)=\dfrac{1}{2}\Bigg(\left(2+2\sqrt{3}\right)+\text{i}\left(2\sqrt{3-2}\right)\Bigg)=\left(1+\sqrt{3}\right)+\text{i}\left(-1+\sqrt{3}\right)$
		\item  Le point K est placé sur la figure de la question 3.
 	\end{enumerate}
\item  On note C le point tel que OACB soit un parallélogramme.
	\begin{enumerate}
		\item Le parallélogramme OACB est tracé sur la figure de la question 3.
		\item Déterminons l'affixe $z_{\text{C}}$ de C. 
		
		Puisque K est le milieu de [AB] c'est-à-dire d'une diagonale et que OACB est un parallélogramme, par conséquent K est aussi le milieu de l'autre diagonale [OC].
		
		IL en résulte $z_{\text{C}}=2z_{\text{K}}$.
 
$z_{\text{C}}=\left(2(1+\sqrt{3})\right)+\text{i}\left(2(-1+\sqrt{3})\right)=\left(2+2\sqrt{3}\right)+\text{i}\left(-2+2\sqrt{3}\right)$
		\item Le parallélogramme OACB est un carré puisque c'est un parallélogramme qui a deux côtés consécutifs de même mesure (OA=OB) et possède un angle droit (nous l'avons montré précédemment).
 	\end{enumerate}
 \end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
 
\textbf{EXERCICE II}
 
\medskip

On considère la fonction $f$ définie par :

\[\text{pour tout réel }\:x,\quad f(x) = \dfrac{1}{\text{e}^{2x} + 1}.\]

On note $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormé \Oij.

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x)=1 $ car $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} \e^{2x}=0$ 

 et $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)=0$ car		
$\displaystyle \lim_{x \to + \infty} \e^{2x}+1=+\infty$ et $\displaystyle\lim_{X \to + \infty} \dfrac{1}{X}=0$.
		\item On en déduit que $\mathcal{C}_f$ admet deux asymptotes, notées $\Delta_1$ et $\Delta_2$.
		
		$\Delta_1$ est asymptote à $\mathcal{C}_f$ au voisinage de $-\infty$ et a pour équation $y=1$ 

$\Delta_2$ est asymptote à  $\mathcal{C}_f$ au voisinage de $+\infty$ et a pour équation $y=0$.
%Donner leurs équations respectives.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item $f'$ désigne la dérivée de $f$.
		
		$f=\dfrac{1}{v}$ par conséquent  $f'=-\dfrac{v'}{v^2}$.		
		En posant $v(x)=\e^{2x}+1$ nous obtenons $v'(x)=2\e^{2x}$

 pour tout réel $x,$ 
		$f'(x) = - \dfrac{2\e^{2x}}{\left(\e^{2x} + 1\right)^2}$.

		\item Pour tout $x\in \R,\quad f'(x)<0$ comme opposé d'un nombre strictement positif étant quotient de deux réels strictement positifs.
		
Si pour tout $x\in I \,f'(x)<0 $ alors la fonction $f$ est strictement décroissante sur $I$. 

Pour tout $x\in \R,\quad f'(x)<0$ par conséquent $f$ est strictement décroissante sur $\R$

Dressons le tableau des variations de $f$.

	 \begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8,3)
\psframe(8,3)
\psline(0,2.5)(8,2.5) \psline(1,0)(1,3) \psline(0,2)(8,2) 
\uput[u](0.5,2.45){$x$}  \uput[u](1.35,2.45){$-\infty$} \uput[ul](7.75,2.45){$+\infty$}
\uput[u](0.5,1.9){$f^{\prime}(t)$}\uput[u](4.5,2){$-$}
 \uput[ul](1.5,1.5){$1$}\uput[dr](7.2,0.55){$0 $}
 \rput(0.5,1.5){\scriptsize Variation}\rput(0.4,1){de $f$}
\psline{->}(1.5,1.6)(7.3,0.5)
\end{pspicture}
\end{center}

 	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item  $f(0)=\dfrac{1}{\e^0+1}=\dfrac{1}{2}\quad f'(0)=-\dfrac{2 \times\e^0}{\left(\e^0+1\right)^2}=-\dfrac{1}{2}$.
		\item Déterminons une équation de la tangente $T_0$ à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $0$.
		
L'équation de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse $a$ est

 $y=f^\prime(a)(x-a)+f(a)$. %$f(2)= \dfra \quad f^\prime (2)=\frac{2}{(2-1)^2}=2$

Une équation de la tangente $T_0$ à $\mathcal{C}_{f}$ au point d'abscisse $0$ est $y=-\dfrac{1}{2}(x)+\dfrac{1}{2}$.  
 		
	\end{enumerate}
\item  Les droites $\Delta_1$, $\Delta_2$, $T_0$ puis la courbe $\mathcal{C}_f$ sont tracées ci-dessous.
\end{enumerate}
\scalebox{0.8}{
\psset{xunit=1cm,yunit=10cm,arrowscale=1.5,comma=true}
\begin{pspicture}(-10,-0.1)(10,1.2)
\psaxes[Ox=0,Oy=0,Dx=1,Dy=0.1]{->}(0,0)(-10,-0.1)(8.5,1.2)
 \multido{\n=-10+1}{19}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,-0.1)(\n,1.1)}
  \multido{\n=-0.1+0.1}{13}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](-10,\n)(8,\n)}
% \psdots[dotstyle=SolidSquare,dotscale=1.2,dotangle=45](0,6)(1,4)(2,10)(3,23.838)(4,26)(5,31)(6,39)
 \psplot[linecolor=blue,linewidth=0.7pt,plotpoints=800]{-10}{8}{1 2.71828 x 2  mul  exp 1 add  div}
 \psplot[linecolor=violet,linewidth=0.7pt,plotpoints=800]{-1.19}{1.18}{x neg 2 div 0.5 add}
 \psplot[linecolor=red,linewidth=0.5pt,plotpoints=800]{-10}{8}{1}
 \psplot[linecolor=red,linewidth=0.5pt,plotpoints=800]{-10}{8}{0}
\pscustom[fillstyle=vlines,hatchcolor=cyan]{
\psline[linewidth=0.001pt](-1,0)(-1,0.880797)
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,plotpoints=900]{-1}{1}{1 2.71828 x 2 mul exp 1  add  div }
\psline (1,0.119203)(1,0)
}
 \uput[u] (-9,1){$\Delta_1$}\uput[u] (8,0){$\Delta_2$}\uput[dl] (-1,1.05){$T_0$}
 
\end{pspicture}
}
\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On considère les intégrales $I$ et $J$ définies par

\[I = \displaystyle\int_{-1}^1 \dfrac{1}{\text{e}^{2x} + 1}\:\text{d}x \quad \text{et}\quad 
J = \displaystyle\int_{-1}^1 \dfrac{\text{e}^{2x}}{\text{e}^{2x} + 1}\:\text{d}x.\]

\begin{enumerate}
\item On considère les fonctions $h$ et $H$ définies par :

\[\text{pour tout réel }\:x,\: h(x) = \dfrac{\text{e}^{2x}}{\text{e}^{2x} + 1}\quad \text{et} \quad  H(x) = \dfrac{1}{2}\ln \left(\text{e}^{2x} + 1\right).\]

	\begin{enumerate}
		\item  $\dfrac{\e^{2} + 1}{\e^{-2} + 1} = \dfrac{\e^{2} + 1}{\frac{1}{\e^{2}} + 1}=\dfrac{\e^{2} + 1}{\frac{1+\e^{2}}{\e^2}}=\dfrac{\e^2 \times \left(\psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{\e^2+1}\right)}{\psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{\e^2+1}}=
\e^{2}$. La relation est justifiée.		
		\item  $H$ est une primitive de $h$ lorsque $H'$ =$h$. Calculons $H'(x)$; 
		
$H'(x)=\dfrac{1}{2}\times \dfrac{2\times \e^{2x}}{\e^{2x}+1}=\dfrac{\e^{2x}}{\e^{2x} + 1}= h(x)$. 

$H$ est une primitive de $h$ sur $\R$.
		\item Montrons  que $J = 1$. %Détailler le calcul.
		
		$J=\displaystyle \int_{-1}^1 \dfrac{\e^{2x}}{\e^{2x} + 1}\:\mathrm{d}x=\left[ \dfrac{1}{2}\ln \left(\e^{2x} + 1\right)\right]_{-1}^1= \dfrac{1}{2}\ln \left(\e^{2} + 1\right)-\dfrac{1}{2}\ln \left(\e^{-2} + 1\right)=\dfrac{1}{2}\ln \left(\dfrac{\e^{2} + 1}{\e^{-2}+1}\right)= \dfrac{1}{2}\ln \e^2=\ln \e=1$
		\end{enumerate}
\item Calculons la somme $I + J$. %Détailler le calcul.

$I+J=\displaystyle\int_{-1}^1 \dfrac{1}{\e^{2x} + 1}\:\mathrm{d}x + \int_{-1}^1 \dfrac{\e^{2x}}{\e^{2x} + 1}\:\mathrm{d}x=\int_{-1}^1\left(\dfrac{1+\e^{2x}}{\e^{2x}+1}\right)\:\mathrm{d}x=\int_{-1}^1\:\mathrm{d}x=\Bigg[x\Bigg]_{-1}^1=2$

\item Déterminons la valeur de $I$.

Nous savons que $I+J=2$ et que $J=1$. Par conséquent $I=1$.
\item Sur $[-1~;~1]$, $f$ est une fonction positive, l'aire du domaine plan délimité par la courbe, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=-1$ et $x=1$  est  en unités d'aire $\displaystyle\int_{-1}^1 \dfrac{1}{\e^{2x} + 1}\:\mathrm{d}x $ c'est-à-dire $I$.  Par conséquent le domaine dont l'aire, en unités
d'aire, vaut $I$ est la partie hachurée sur  la figure de la question A 4. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
 
\textbf{EXERCICE III}
 
\medskip

La victoire de l'équipe féminine espagnole, le 2 août 2013, aux championnats du monde de
water-polo a été fortement médiatisée en France. Il s'ensuivit une forte augmentation du nombre
de filles licenciées dans tous les clubs français de water-polo à partir de septembre 2013.

Au 1\up{er} septembre 2013, les clubs français de water-polo comptaient \np{4500} filles licenciées.

L'évolution du nombre de filles licenciées est modélisée par une suite $\left(u_n\right)_{n\in \N}$ de la façon suivante :

\medskip

$u_0$ représente le nombre de filles licenciées, exprimé en milliers, au 1\up{er} septembre 2013. Ainsi $u_0 = 4,5$.

Pour tout $n \geqslant 1$,\: $u_n$ représente le nombre de filles licenciées, exprimé en milliers, $n$ mois plus tard.

Ainsi $u_1$ désigne le nombre de filles licenciées au 1\up{er} octobre 2013, $u_2$ désigne le nombre de filles licenciées au 1\up{er} novembre 2013, etc.

\medskip

On constate que la suite $\left(u_n\right)_{n\in \N}$ vérifie : 

\[\text{pour tout entier }\:n,\quad  u_{n+1} = 2 + 0,8 u_n.\]

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculons le nombre de filles licenciées à chacune des dates suivantes :
\begin{itemize}
\item au 1\up{er} octobre 2013, $u_1=2+\np{0.8}\times \np{4.5}=\np{5.6}$. Il y a donc à cette date \np{5600} filles licenciées.
\item au 1\up{er} novembre 2013 $u_2=2+\np{0.8}\times \np{5.6}=\np{6.48}$. Il y a donc à cette date \np{6480} filles licenciées.
\item au 1\up{er} décembre 2013 $u_1=2+\np{0.8}\times \np{6.48}=\np{7.184}$. Il y a donc à cette date \np{7184} filles licenciées.
\end{itemize}

 
		\item $p_1$ désigne le pourcentage d'augmentation du nombre de filles licenciées entre le 1\up{er} septembre et le 1\up{er} octobre 2013.
		
$p_2$ désigne le pourcentage d'augmentation du nombre de filles licenciées entre le 1\up{er} octobre et le 1\up{er} novembre 2013.

$p_3$ désigne le pourcentage d'augmentation du nombre de filles licenciées entre le 1\up{er}
novembre et le 1\up{er} décembre 2013.

Le taux d'évolution $t$ est défini par $t=\dfrac{\text{{\footnotesize valeur finale}}-\text{\footnotesize valeur initiale}}{\text{{\footnotesize valeur initiale}}}$

\begin{itemize}
\item $p_1=\dfrac{\np{5.6}-\np{4.5}}{\np{4.5}}\approx\np{0.2444}$. 

  Le pourcentage d'augmentation du nombre de filles licenciées entre le 1\up{er} septembre et le 1\up{er} octobre 2013 est d'environ \np{24.44}\,\%
\item $p_2=\dfrac{\np{6.48}-\np{5.6}}{\np{5.6}}\approx\np{0.15714}$.  

 Le pourcentage d'augmentation du nombre de filles licenciées entre le 1\up{er} octobre et le 1\up{er} novembre 2013 est d'environ \np{15.71}\,\%
\item $p_3=\dfrac{\np{7.184}-\np{6.48}}{\np{6.48}}\approx\np{0.10864}$.  

 Le pourcentage d'augmentation du nombre de filles licenciées entre le 1\up{er} novembre et le 1\up{er} décembre 2013 est d'environ \np{10.86}\,\%
\end{itemize}

%Donner les valeurs approchées à $10^{-2}$ près de $p_1,\: p_2$ et $p_3$.
	\end{enumerate}
\item On considère la suite $\left(v_n\right)_{n\in \N}$ définie par: pour tout entier $n, \:v_n = 10 - u_n$.
	\begin{enumerate}
		\item Donnons la valeur de $v_0$. $v_0=10-u_0\quad v_0=10-\np{4.5}=\np{5.5}$.
		\item Montrons que la suite $\left(v_n\right)_{n\in \N}$ est une suite géométrique de raison $q = 0,8$.
		
		$v_{n+1}=10-u_{n+1}=10-\left(2+\np{0.8}u_n\right)=8-\np{0.8}u_n=\np{0.8}\left(10-u_n\right)=\np{0.8} v_n$.
		
		Quel que soit l'entier naturel $n$, pour déterminer le  terme suivant $v_{n+1}$, nous multiplions le terme $v_n$ toujours par le même nombre \np{0.8}.
		
		Il en résulte que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison \np{0.8} et de premier terme \np{5.5}.
%Détailler le calcul.
		\item Exprimons, pour tout entier $n,\: v_n$ en fonction de $n$. 

Le terme général d'une suite géométrique de premier terme $u_0$ et de raison $q$ est $u_n=u_0q^n$. 

 $v_n=\np{5.5}\times(\np{0.8})^n$
	\end{enumerate}
\item Montrons alors que, pour tout entier $n,\: u_n = 10 - 5,5 \times  0,8^n$.

Puisque pour tout $n$, $v_n=10-u_n$, nous pouvons alors écrire $u_n= 10-v_n$ et en remplaçant $v_n$ par le résultat précédent $u_n=10-\np{5.5}\times \left( \np{0.8}\right)^n$.
\item Déterminons $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_n$.

$\displaystyle \lim_{n\to +\infty}u_n=\lim_{n\to +\infty}10-\lim_{n\to +\infty}5,5 \times  0,8^n= 10$. 

En effet lorsque la raison d'une suite géométrique est telle que $\vert q\vert <1$, la suite tend alors vers 0.
\item
	\begin{enumerate}
		\item Déterminons la plus petite valeur $n_0$ de l'entier $n$ tel que : $5,5 \times  0,8^n \leqslant  1$. 

Pour ce faire, résolvons cette inéquation.
		
		$\begin{aligned}
		5,5 \times  0,8^n &\leqslant  1\\
		\np{0.8}^n & \leqslant \dfrac{1}{\np{5.5}}\\
		\np{0.8}^n & \leqslant \dfrac{2}{11}\\
		n \ln \np{0.8}&\leqslant \ln \left(\dfrac{2}{11}\right)& \text{la fonction }\ln \text{est une fonction strictement croissante sur  }]0~;+\infty[\\
		n \ln \np{0.8}&\leqslant \ln 2 -\ln 11& \ln \frac{a}{b}=\ln a-\ln b \quad a>0 ;\ b>0\\
		n&\geqslant \dfrac{\ln 2-\ln 11}{\ln\np{0.8}}& \text{ car } \ln \np{0.8}<0\\
		n&\geqslant -\dfrac{\ln 11-\ln 2}{\ln\np{0.8}}
				\end{aligned}$
		
		$n\approx \np{7.6367}$ Par conséquent le plus petit entier $n_0$ tel que $5,5 \times  0,8^n \leqslant  1$  est 8.
		
%Justifier soigneusement la réponse.
		\item Déterminons la date à partir de laquelle le nombre de filles licenciées dans les clubs français de water-polo
aura doublé par rapport à celui du 1\up{er} septembre 2013.

Déterminons $n$ tel que $u_n\geqslant 2 u_0$ c'est-à-dire $10-5,5 \times  \np{0,8}^n\geqslant 2\times \np{4.5}$ ou en simplifiant $\np{5.5}\times\np{0.8}^n\leqslant 1$.
Nous avons montré à la question précédente que le plus petit entier vérifiant cette inégalité est 8, par conséquent à partir du 1\up{er} mai 2014, le nombre de filles licenciées dans les clubs français de water-polo aura doublé par rapport à celui du 1\up{er} septembre 2013. 
		
%Justifier soigneusement votre raisonnement.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
 
\textbf{EXERCICE IV}
 
\medskip

\textbf{Dans tout l'exercice, pour chaque probabilité ou chaque pourcentage demandé, on
donnera une valeur approchée à \boldmath $10^{-3}$\unboldmath{} près.}

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Une étude sur tous les nageurs français de haut niveau a montré que leur taille, mesurée en
centimètres, pouvait être représentée par une variable aléatoire $X$ suivant la loi normale de
moyenne $m = 190$ et d'écart-type $\sigma = 7$.

On choisit au hasard un nageur français de haut niveau.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Donnons la probabilité $P_1$ que ce nageur mesure plus de 195~cm. $p_1=1-p(X\leqslant 195)=1-\np{0.76247}\approx\np{0.238}$.
\item Donnons la probabilité $P_2$ que ce nageur mesure moins de 180~cm. $p_2=p(X\leqslant 180)\approx\np{0.077}$
\item Donnons la probabilité $P_3$ que ce nageur mesure entre 180~cm et 195~cm. $p_3=p(180\leqslant X \leqslant 195)\approx \np{0.686}$.
\end{enumerate}
 
\bigskip
 
\textbf{Partie B}
 
\medskip
 
Le tableau ci-dessous donne la taille, en centimètres, et le poids, en kilogrammes, d'un échantillon de $14$~nageurs français de haut niveau. La taille et le poids de chaque nageur sont arrondis à une unité près.
 {\footnotesize
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{7}{>{\centering\arraybackslash\footnotesize}X|}}\hline
Nom				& Agnel	& Bernard	& Bousquet	& Coelho&Giot		&Horth	&Joly\\ \hline
Poids (en kg)	& 90	& 90		& 86		& 74	& 85		& 80	& 70\\ \hline
Taille (en cm)	& 200	& 196		& 188		& 182	& 198		& 185	& 188\\\hline\hline
Nom				&Lacourt& Lefert	&Leveaux	&Manaudou&Ress		&Sauvage&Steimetz\\ \hline
Poids (en kg)	& 85	& 68		& 92		& 99	& 78		& 82	& 83\\ \hline
Taille (en cm)	& 200	& 185		&202		& 199	& 183		& 184	& 191\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
}
\begin{enumerate}
\item Donnons le poids moyen $m_p$ et la taille moyenne $m_t$ des nageurs de cet échantillon.

$m_p=\dfrac{90+90+86+\dots+78+82+83}{14}=83$

$m_t=\dfrac{200+196+188+\dots+183+184+191}{14}=\np{191.5}$.

\item Donnons le pourcentage $Q_1$ de nageurs de cet échantillon qui mesurent entre $186$~cm
et 190~cm. Il y a 2 nageurs mesurant entre \np[cm]{186} et \np[cm]{190} sur un total de 14 d'où $\dfrac{2}{14}\approx \np{0.1429}$. $Q_1 \approx \np{14.29}\,\%$.
\item Donnons le pourcentage $Q_2$ de nageurs de cet échantillon qui pèsent plus de $91$~kg. Il y a 2 nageurs pesant plus de \np[kg]{91} sur un total de 14 d'où $\dfrac{2}{14}\approx \np{0.1429}$. $Q_2 \approx \np{14.29}\,\%$.
\item Donnons le pourcentage $Q_3$ de nageurs de cet échantillon qui pèsent moins de $91$~kg et mesurent plus de $186$~cm.

 Il y a 7 nageurs pesant moins de \np[kg]{91} et mesurant plus de \np[cm]{186} sur un total de 14 d'où $\dfrac{7}{14}= \np{0.50}$. $Q_3 =50\,\%$.

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

On considère maintenant la population totale des nageurs français ayant une licence de natation.
On suppose que la probabilité qu'un nageur, choisi au hasard dans cette population, pèse plus
de $91$~kg est égale à $0,3$.

Un entraineur doit constituer, pour une compétition amicale, une équipe de $10$~nageurs. Pour
cela, il choisit au hasard $10$~nageurs dans la population décrite ci-dessus. On suppose que cette
population est suffisamment importante pour que les choix des nageurs puissent être supposés
indépendants les uns des autres.

On note $Y$ la variable aléatoire représentant, parmi les 10~nageurs choisis, le nombre de nageurs
pesant plus de $91$~kg.

\medskip

\begin{enumerate}
\item $Y$ suit la loi binomiale de paramètres (10 ;\np{0.3}).
\item Donnons la probabilité $R_1$ que l'équipe ne contienne aucun nageur pesant plus de
91~kg. $R_1=p(Y=0)\approx \np{0.028}$
\item Donnons la probabilité $R_2$ que l'équipe contienne au moins un nageur pesant plus
de 91~kg.

$R_2=p(Y\geqslant 1)=1-p(Y=0)\approx \np{0.972}$.
\end{enumerate}
\end{document}