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% Tapuscrit Denis Vergès
% Sujet Académie de la Guyane
%Corrigé François Hache
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\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
%%%%   Commandes perso FH
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\newcommand{\pg}{\geqslant}%      plus grand ou égal
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pdfsubject = {Terminale ES},
pdftitle = {Antilles-Guyane septembre 2015},
allbordercolors = white,
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\renewcommand{\d}{\,\text{d}} % le d de différentiation
\newcommand{\e}{\,\text{e}\,}%    le e de l'exponentielle
\renewcommand{\i}{\text{\,i}}%  le i des complexes

\begin{document}

\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat ES}
\lfoot{\small{Antilles--Guyane -- Corrigé}}
\rfoot{\small septembre 2015}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}

%\textbf{Durée : 3 heures}
%
%\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat ES Antilles--Guyane septembre 2015~\decofourright}}
\end{center}

%\vspace{0,5cm}

\subsection*{\textsc{Exercice 1}\hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

%\medskip
%
%\emph{Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n'est demandée. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l'absence de réponse ne rapportent, ni n'enlèvent aucun point.}
%
%\medskip 
%
%\textbf{Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse choisie.}

\medskip 

\begin{enumerate}
\item Soit la fonction $f$ définie sur [1~;~100] par $f(x) = 200 \ln x + 10x$,\: $f’(x)$ désigne la fonction dérivée de $f$. On a :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $f'(x) = 200 + \dfrac{1}{x}$&\textbf{b.~~} \fbox{$f'(x) = \dfrac{200}{x} + 10$}&\textbf{c.~~}  $f'(x) = 200 + 10x$&\textbf{d.~~}$f'(x) = \dfrac{200}{x} + 10x$ \\
\end{tabularx} 

\medskip

La dérivée de la fonction ln est $x\longmapsto \dfrac{1}{x}$.

\medskip

\item On note $L$ une primitive sur $]0~;~+\infty[$ de la fonction ln. Cette fonction $L$ est : 

\textbf{a.~~} croissante puis décroissante 

\textbf{b.~~}  décroissante sur $[0~;~+\infty[$

\textbf{c.~~} croissante sur $[0~;~+\infty[$

\textbf{d.~~} \fbox{décroissante puis croissante}

\medskip

La fonction ln est négative sur $\cg{}0\,;\,1\cd$ puis positive donc n'importe laquelle de ses primitives est décroissante puis croissante.

\medskip

\item La fonction $g$ définie sur $]0~;~+\infty[$ par $g(x) = x - \ln x$ est : 

\textbf{a.~~}  \fbox{convexe sur  $]0~;~+\infty[$}

\textbf{b.~~} concave sur $]0~;~+\infty[$

\textbf{c.~~} ni convexe ni concave sur $]0~;~+\infty[$ 

\textbf{d.~~} change de convexité sur $]0~;~+\infty[$ 

\medskip

$g(x)=x-\ln x$ donc $g'(x)=1-\dfrac{1}{x}$ et donc $g''(x)=\dfrac{1}{x^2}$\\[5pt]
$g''(x)>0$ sur $\cg{}0\,;\,+\infty\cd$, donc $g$ est convexe sur $\cg{}0\,;\,+\infty\cd$.

\medskip

\item  On a représenté ci-dessous la courbe représentative d'une fonction $h$ définie et dérivable sur $[0~;~+\infty[$ ainsi que sa tangente au point A d'abscisse 2. Par lecture graphique, on peut conjecturer que : 

\medskip

\parbox{0.3\linewidth}{
\textbf{a.~~} $h'(2) = 2$ 

\textbf{b.~~} \fbox{$h'(2) = \dfrac{1}{2}\rule[-3pt]{0pt}{15pt}$}

\textbf{c.~~} $h'(2) = 0$ 

\textbf{d.~~} $h'(2) = 1$}\hfill
\parbox{0.65\linewidth}{\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture*}(-1.5,-2.5)(6.1,3.2)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,griddots=8]
\psaxes[linewidth=1.25pt](0,0)(-1.5,-2.5)(6,3.2)
\psaxes[linewidth=1.25pt](0,0)(6,3.2)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.1}{6}{x ln 1 add 2 ln sub}
\psplot{-1}{6}{0.5 x mul }
\uput[ul](2,1){A}
\end{pspicture*}
}

\medskip

$h'(2)$ est le coefficient directeur de la droite tracée soit
$\dfrac{y_A-y_O}{x_A-x_O}=\dfrac{1}{2}$.

\medskip

\item La variable aléatoire $X$ suit une loi normale d'espérance $\mu = 0$ et d'écart type $\sigma$ inconnu mais on sait que $P( -10 < X < 10) = 0,8$. On peut en déduire: 

\textbf{a.~~} $P(X < 10) = 0,1$ 

\textbf{b.~~} $P(X < 10) = 0,2$ 

\textbf{c.~~} $P(X < 10) = 0,5$ 

\textbf{d.~~} \fbox{$P(X < 10) = 0,9 $}

\medskip

Un petit dessin peut expliquer la réponse:

\begin{center}
\psset{xunit=0.9cm, yunit=8cm, runit=1cm, arrowsize=3pt 3, algebraic=true}
\def\xmin {-6}   \def\xmax {6}
\def\ymin {-0.1} \def\ymax {0.31}
\begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psgrid[subgriddiv=0, gridlabels=0, gridcolor=white, subgridcolor=gray](0,0)(\xmin,0)(\xmax,\ymax)
\psaxes[labelFontSize=\small, ticksize=-0pt 0pt, Dx=1, Dy=0.1, labels=none]%
{->}(0,0)(\xmin,-0.1)(\xmax,\ymax)

\def\m{0}% moyenne 
\def\s{2}% écart type
\def\f{1/(\s*sqrt(2*PI))*EXP((-((x-\m)/\s)^2)/2)}
\psplot[plotpoints=1000]{\xmin}{\xmax}{\f}

\def\inf{-3} \def\sup{3}
\pscustom[fillstyle=hlines,linestyle=solid,linewidth=0.5pt, hatchcolor=red,hatchangle=-45]
{
\psplot{\inf}{\sup}{\f} % courbe de f sur [inf ; sup]
\lineto(\sup,0)\lineto(\inf,0)
\closepath % indispensable !
}

%\uput[d](\m,0){$\mu$} 
%\psline[linestyle=dashed, dash=1pt 1pt](\m,0)(\m,\ymax)
\uput[d](\inf,0){$-10$}
\uput[d](\sup,0){$10$}

\psline[linestyle=dashed, dash=2pt 2pt,linecolor=red]{->}(2,0.25)(1,0.1)
\uput[70](2,0.25){\red $80\,\%$}

\psline[linestyle=dashed, dash=2pt 2pt]{->}(5,0.2)(3.5,0.03)
\uput[ur](5,0.2){$10\,\%$}

\psline[linestyle=dashed, dash=2pt 2pt]{->}(-5,0.2)(-3.5,0.03)
\uput[ul](-5,0.2){$10\,\%$}

\end{pspicture*}
\end{center}


\medskip

\end{enumerate}

%\vspace{0,5cm}

\subsection*{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points}

\textbf{Candidats ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité et candidats L }

%\medskip 
%
%Un supermarché dispose d'un stock de pommes. On sait que 40\,\% des pommes proviennent d'un fournisseur A et le reste d'un fournisseur B. 
%
%Il a été constaté que 85\,\% des pommes provenant du fournisseur A sont commercialisables. La proportion de pommes commercialisables est de 95\,\% pour le fournisseur B. 
%
%Le responsable des achats prend au hasard une pomme dans le stock. On considère les évènements suivants : 
%
%A : \og La pomme provient du fournisseur A \fg. 
%
%B : \og La pomme provient du fournisseur B \fg. 
%
%C : \og La pomme est commercialisable \fg. 
%
%%\bigskip

 \subsubsection*{PARTIE A}

%\medskip 

\begin{enumerate}


\item% Construire un arbre pondéré traduisant cette situation. 
On construit un arbre pondéré traduisant la situation:

\medskip

\begin{center}
\pstree[linecolor=blue,treemode=R,nrot=:U,levelsep=4cm,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt, treesep=1cm]
{\Tr{}}
{
\pstree[nodesepA=3pt]{\TR{$A$}\naput{$0,4$}}
	  { 
		  \TR{$C$}\naput{$0,85$}
		  \TR{$\overline C$}\nbput{\red $1-0,85=0,15$}
	  }
\pstree[nodesepA=3pt]{\TR{$B$}\nbput{\red $1-0,4=0,6$}}
	  {
		  \TR{$C$}\naput{$0,95$}
		  \TR{$\overline{C}$}\nbput{\red $1-0,95=0,05$}
	  }
}
\end{center}

\bigskip

\item% Montrer que la probabilité que la pomme ne soit pas commercialisable est 0,09. 
L'événement \og la pomme n'est pas commercialisable\fg{} est l'événement $\overline C$.

D'après la formule des probabilités totales:

$P(\overline C)= P( \overline C\cap A) + P( \overline C\cap B) = P(A)\times P_A(\overline C) + P(B)\times P_B(\overline C)
= 0,4\times 0,15 + 0,6\times 0,05 = 0,06+0,03 = 0,09$

\item% La pomme choisie est non commercialisable. Le responsable des achats estime qu'il y a deux fois plus de chance qu'elle provienne du fournisseur A que du fournisseur B. A-t-il raison ? 
Il s'agit, dans cette question, de comparer
$P_{\overline C}(A)$ et $P_{\overline C}(B)$.

$P_{\overline C}(A) = \dfrac{P(A \cap \overline C)}{P(\overline C)}
= \dfrac{0,06}{0,09} = \dfrac{2}{3}$;
$P_{\overline C}(B) = \dfrac{P(B \cap \overline C)}{P(\overline C)}
= \dfrac{0,03}{0,09} = \dfrac{1}{3}$

Donc le responsable des achats a raison quand il dit qu'une pomme non commercialisable a deux fois plus de chance de provenir du fournisseur A que du fournisseur B.

\end{enumerate}

%Pour les parties B et C, on admet que la proportion de pommes non commercialisables est 0,09 et, quand nécessaire, on arrondira les résultats au millième. 

%\bigskip

\subsubsection*{PARTIE B}

%\medskip  

On prend au hasard 15 pommes dans le stock. Le stock est suffisamment important pour qu'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage aléatoire avec remise. 

Donc la variable aléatoire $X$ qui donne le nombre de pommes commercialisables suit la loi binomiale de paramètres 
$n=15$ et $p=1-0,09 = 0,91$.

\begin{enumerate}

\item% Quelle est la probabilité que les 15 pommes soient toutes commercialisables ? 
La probabilité que les 15 pommes soient toutes commercialisables est:

$P(X=15)=\ds\binom{15}{15} \,0,91^{15} \,0,09^{0}\approx 0,243$

\item% Quelle est la probabilité qu'au moins 14 pommes soient commercialisables ? 
La probabilité qu'au moins 14 pommes soient commercialisables est:

$P(X \pg 14) = P(X=14) + P(X=15)=\ds\binom{15}{14} \,0,91^{14} \,0,09^{1} + \ds\binom{15}{15} \,0,91^{15} \,0,09^{0}\approx \np{0,3605} + \np{0,2430} \approx 0,604$

\end{enumerate}

%\bigskip

\subsubsection*{PARTIE C}

%\medskip  

Le responsable des achats prélève dans le stock un échantillon de 200 pommes. Il s'aperçoit que 22 pommes sont non commercialisables. 

%Est-ce conforme à ce qu'il pouvait attendre? 

$n=200 \pg 30$; $np=200\times 0,09 = 18 \pg 5$ et $n(1-p)=200(1-0,09) = 182 \pg 5$ 

donc on peut déterminer l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95\,\% de la fréquence de pommes non commercialisables:\\

$I=\left [ p-1,96 \dfrac{\ds\sqrt{p(1-p)}}{\ds\sqrt{n}}\,;\, p+1,96 \dfrac{\ds\sqrt{p(1-p)}}{\ds\sqrt{n}}\right ]$
ce qui donne pour $p=0,09$ et $n=200$:\\

$I=\left [ 0,09-1,96 \dfrac{\ds\sqrt{0,09\times 0,91}}{\ds\sqrt{200}}\,;\, 0,09+1,96 \dfrac{\ds\sqrt{0,09\times 0,91}}{\ds\sqrt{200}}\right ] \approx \cd 0,050 \,;\, 0,130 \cg$

La fréquence de pommes non commercialisables dans l'échantillon est $f=\dfrac{22}{200}=0,11$.

$f \in I$ donc le résultat est conforme à ce qu'on pouvait attendre.

%\vspace{0,5cm}

\subsection*{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} 

\medskip 

\parbox{0.4\linewidth}{Un cycliste désire visiter plusieurs villages notés A, B, C, D, E, F et G reliés entre eux par un réseau de pistes cyclables. 

Le graphe ci-contre schématise son plan ; les arêtes représentent les pistes cyclables et les distances sont en kilomètre. }
\hfill
\parbox{0.55\linewidth}{\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture}(8,6)
%\psgrid
\psdots(0.2,1.5)(0.2,5.5)(2,5.5)(7,5.5)(2,1.5)(7,1.5)(5.5,0.2)%FABCGDE
\uput[ul](0.2,5.5){A}\uput[u](2,5.5){B}\uput[u](7,5.5){C}
\uput[r](7,1.5){D}\uput[u](5.5,0.2){E}\uput[dl](0.2,1.5){F}
\uput[dl](2,1.5){G}
\pspolygon(0.2,1.5)(0.2,5.5)(7,5.5)(7,1.5)(5.5,0.2)(2,1.5)(0.2,1.5)%FACDEGF
\pspolygon(2,1.5)(2,5.5)(7,1.5)%GBD
\uput[u](1.1,5.5){15} \uput[u](4.5,5.5){21} \uput[r](7,3.5){20}
\uput[u](4.5,1.5){17} \uput[u](1.1,1.5){20} \uput[l](0.2,3.5){30}
\uput[ur](4.5,3.5){25} \uput[dl](3.75,0.85){15} \uput[dr](6.25,0.85){10}
\uput[r](2,3.5){10}
\end{pspicture}}

\medskip

\subsubsection*{Partie A}

 Pour faire son parcours, le cycliste décide qu'il procèdera selon l'algorithme ci-dessous : 
 
 \begin{center}
\begin{tabularx}{.85\linewidth}{|m{1cm}|X|}\hline
ligne 1&Marquer sur le plan tous les villages comme non \og visités\fg \\ \hline
ligne 2& Choisir un village de départ \\ \hline
ligne 3&Visiter le village et le marquer \og visité\fg\\ \hline
ligne 4&Rouler vers le village le plus proche\\ \hline
ligne 5& Tant que le village où il arrive n'est pas un village déjà visité \\ \hline
ligne 6&\hspace{0.2cm}|visiter le village et le marquer \og visité\fg\\ 
ligne 7 &\hspace{0.2cm}|rouler vers le village le plus proche sans revenir en arrière\\ \hline
ligne 8& Fin Tant que\\ \hline
ligne 9&afficher la liste des villages visités \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item% Quelle propriété du graphe permet à la ligne 4 d'être toujours exécutable?
Le graphe est connexe, donc il y a au moins une arête qui part de n'importe quel sommet, et donc une arête de poids minimum qui part de ce sommet.

 
\item% En partant du village noté G, quelle sera la liste des villages visités? 
En partant du village G que l'on visite, on roule vers le village B (distance 10) que l'on visite, puis vers le village A (distance 14), enfin vers le village F (distance 30). De F, on ne peut se rendre que dans un village déjà visité, G ou A, donc G puisqu'on ne revient pas en arrière; comme le village est déjà visité, on sort de la boucle \og tant que\fg{}.

\hfill{}
$\text{G} \stackrel{10}{\longmapsto}
\text{B} \stackrel{15}{\longmapsto}
\text{A} \stackrel{30}{\longmapsto}
\text{F} \stackrel{20}{\longmapsto}
\text{G} $\hfill{}

\item% Existe-t-il un village de départ qui permette, en suivant cet algorithme, de visiter tous les villages? 
La question posée revient à chercher si, en suivant cet algorithme, on peut visiter les villages C, D et E avant le village G. La réponse est positive, il suffit de partir du village C:

\hfill{}
$
\text{C} \stackrel{20}{\longmapsto}
\text{D} \stackrel{10}{\longmapsto}
\text{E} \stackrel{15}{\longmapsto}
\text{G} \stackrel{10}{\longmapsto}
\text{B} \stackrel{15}{\longmapsto}
\text{A} \stackrel{30}{\longmapsto}
\text{F}$\hfill{}


\item% Le cycliste abandonne l'idée de suivre l'algorithme. Il souhaite maintenant, partant d'un village, y revenir après avoir emprunté toutes les pistes cyclables une et une seule fois. Cela sera-t-il possible? 
Partir d'un village, y revenir après avoir emprunté toutes les pistes cyclables une et une seule fois, c'est chercher un cycle eulérien ou un chemin eulérien dans ce graphe.

D'après le théorème d'Euler, un graphe connexe admet un chemin eulérien si et seulement s'il possède exactement deux sommets de degrés impairs, et il possède des cycles eulériens si tous les sommets sont de degrés pairs.

\begin{center}
\begin{tabular}{|l|*7{c|}}
\hline
sommet & A & B & C & D & E & F & G\\
\hline
degré  & 2 & 4 & 2 & 4 & 2 & 2 & 4\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

Dans ce graphe, tous les sommets sont de degré pair, donc il existe au moins un cycle eulérien partant de chaque sommet.

Par exemple: AB -- BC -- CD -- DB -- BG -- GD -- DE -- EG -- GF -- FA est un parcours partant de A et revenant à A, qui passe par les 10 pistes cyclables une et une seule fois.

\end{enumerate}

\bigskip

\subsubsection*{Partie B}

%\medskip
                 
\begin{enumerate}
\item% Écrire la matrice $M$ de transition de ce graphe (dans l'ordre $A, B, C, \ldots ,G$).   
La matrice $M$ de transition de ce graphe est:
$\bordermatrix{
  & A & B & C & D & E & F & G \cr
A & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \cr
B & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \cr
C & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \cr
D & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \cr
E & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \cr
F & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \cr
G & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 \cr
}$

On met un 1 à l'intersection de la ligne $i$ et de la colonne $j$ s'il y a dans le graphe une arête qui relie le sommet de la ligne $i$ au sommet de la colonne $j$; sinon on met un 0.

\item  On donne la matrice $M^4$:
$\bordermatrix{
 &A&   B&   C&   D&   E&   F&   G\cr
A&10	&5		&9	&11   &4   	& \boldsymbol{1}   	&16\cr 
B&5 	&30   	&12  & 23 &18   &16  	&16\cr  
C&9 	&12   	&12  &14  &9   	&4   	&18\cr
D&11& 23  	& 14 &28  &14   &11   	&23\cr   
E&4  &18   	&9   &14   &12  	& 9   	&12\cr   
F&1  &16   	&4   &11   &9   	&10  	& 5\cr   
G&16 &16   	&18  &23   &12  & 5   	&30\cr
}$

Le terme en gras, ligne $A$, colonne $F$ (valant 1), donne le nombre de chemins contenant 4 arêtes (la puissance de la matrice $M$) reliant le sommet $A$ au sommet $F$; ce chemin est $AB - BD - DG - GF$.  


\end{enumerate}

%\vspace{0,5cm}

\subsection*{\textsc{Exercice 3}\hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip 

 Un couple fait un placement au taux annuel de 2\,\% dont les intérêts sont capitalisés tous les ans. Son objectif est de constituer un capital de \np{18000}~euros. 

Le couple a placé le montant de \np{1000}~euros à l'ouverture le 1\up{er} janvier 2010 puis, tous les ans à chaque 1\up{er} janvier, verse \np{2400}~euros. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item% Déterminer le capital présent sur le compte le 1\up{er} janvier 2011 après le versement annuel. 
Les \np{1000} euros placés en 2010 à 2\,\% produisent 
$\np{1000}\times \dfrac{2}{100}=20$ euros d'intérêt.

Le capital au 1\ier{} janvier 2011 après le versement annuel est
$\np{1000} + 20 + \np{2400}= \np{3420}$ euros.

\item  On veut déterminer la somme présente sur le compte après un certain nombre d'années. 

On donne ci-dessous trois algorithmes :

%\hspace*{-1.2cm}
{\footnotesize \begin{tabularx}{\linewidth}{|X|m{0.4mm}|X|m{0.4mm}|X|}\cline{1-1}\cline{3-3}\cline{5-5}
\textbf{Variables :}&& \textbf{Variables :} &&\textbf{Variables :} \\
$U$ est un nombre réel&&$U$ est un nombre réel&&$U$ est un nombre réel\\ 
$i$ et $N$ sont des nombres entiers&&$i$ et $N$ sont des nombres entiers&&$i$ et $N$ sont des nombres entiers\\
\textbf{Entrée}&&\textbf{Entrée}&&\textbf{Entrée}\\ 
Saisir une valeur pour $N$&&Saisir une valeur pour $N$&&Saisir une valeur pour $N$\\
\textbf{Début traitement}&&\textbf{Début traitement}&&\textbf{Début traitement}\\
Affecter \np{1000} à $U$&&Pour $i$ de 1 à $N$ faire&&Affecter \np{1000} à $U$\\ 
Pour $i$ de 1 à $N$ faire&&\hspace{0.2cm}\begin{tabular}{|l}Affecter \np{1000} à $U$\\
 Affecter $1,02\times U + \np{2400}$ à $U$
 \end{tabular}&&Pour $i$ de 1 à $N$ faire\\
 | Affecter $1,02 \times U + \np{2400}$ à $U$&&&&\begin{tabular}{|l}
 Affecter $1,02 \times U + \np{2400}$ à $U$\\
 Affecter $N+1$ à $N$\end{tabular}\\
Fin Pour&&Fin Pour&&Fin Pour\\ 
Afficher $U$&&Afficher $U$&&Afficher $U$ \\ 
\textbf{Fin traitement}&&\textbf{Fin traitement}&&\textbf{Fin traitement}\\ \cline{1-1}\cline{3-3}\cline{5-5}
\end{tabularx}}
\begin{tabularx}{1.15\linewidth}{Xm{0.4mm}Xm{0.4mm}X}
\textbf{algorithme 1} &&\textbf{algorithme 2}&&\textbf{algorithme 3}\\
\end{tabularx}

\medskip

	\begin{enumerate}
	
		\item% Pour la valeur 5 de N saisie dans l'algorithme 1, recopier puis compléter, en le prolongeant avec autant de colonnes que nécessaire, le tableau ci-dessous (arrondir les valeurs calculées au centième). 

Pour $N=5$, on remplit le tableau avec les valeurs données  par l'algorithme 1:

\begin{center}
\begin{tabular}{|l|*6{c|}}\hline
valeur de $i$&     xxx&   1& 2&3&4&5 \\ \hline  
valeur de   $U$ & \np{1000}& \np{3420}& \np{5888,40} & \np{8406,17} & \np{10974,29} & \np{13593,78}  \\ \hline 
\end{tabular}
\end{center} 
		\item%  Pour la valeur 5 de $N$ saisie, quel affichage obtient-on en sortie%e cet algorithme ? 
%
%Comment s'interprète cet affichage ? 
La valeur affichée par l'algorithme 1 pour $N=5$ est \np{13593,78}; c'est le montant du capital obtenu après versement annuel le 1\ier{} janvier $2010+5$ soit 2015. 


		\item%  En quoi les algorithmes 2 et 3 ne fournissent pas la réponse attendue? 
\begin{list}{\textbullet}{}
\item Dans l'algorithme 2, on affecte \np{1000} à $U$ à l'intérieur de la boucle \og pour\fg{}; l'algorithme donnera donc toujours comme résultat $1,02 \times \np{1000}+2400 = \np{3420}$, quelle que soit la valeur de $N$ entrée.

\item Dans l'algorithme 3, on modifie la valeur de $N$ à chaque tour de boucle; cet algorithme ne s'arrêtera jamais.

\end{list}


	\end{enumerate}
	
\item À partir de la naissance de son premier enfant en 2016, le couple décide de ne pas effectuer le versement du premier janvier 2017 et de cesser les versements annuels tout en laissant le capital sur ce compte rémunéré à 2\,\%. 

%Au premier janvier de quelle année l'objectif de \np{18000}~euros est-il atteint ? 

La somme présente sur le compte au 1\ier{} janvier 2015 est \np{13593,78} euros, donc la somme présente sur le compte au 1\ier{} janvier 2016 est:
$\np{13593,78} \times 1,02 + \np{2400}\approx \np{16265,65}$ euros.

\`A partir de 2016, le compte rapporte 2\,\% et il n'y a plus de versement annuel; donc pour passer d'une année à la suivante, il faut augmenter la somme de 2\,\% donc multiplier par $1,02$.

Si on appelle $S_n$ la somme présente sur le compte le 1\ier{} janvier de l'année $2016+n$, on a donc: $S_{n+1}=1,02\times S_n$. La suite $(S_n)$ est donc une suite géométrique de raison $q=1,02$ et de premier terme $S_0=\np{16265,65}$; on a donc pour tout  entier naturel $n$, $S_n= S_0\times q^n = \np{16265,65} \times 1,02^n$.

On cherche alors une valeur entière de $n$ telle que $\np{16265,65} \times 1,02^n \pg \np{18000}$:

$\begin{array}{@{} l !{\iff} l l}
\np{16265,65} \times 1,02^n \pg \np{18000}
 & 1,02^n \pg \dfrac{\np{18000}}{\np{16265,65}}\\[10pt]
 & \ln\left ( 1,02^n \right ) \pg \ln \dfrac{\np{18000}}{\np{16265,65}}
 & \text{croissance de la fonction }\ln\\[10pt]
 & n \ln(1,02) \pg \ln \dfrac{\np{18000}}{\np{16265,65}}
 & \text{propriété de la fonction }\ln\\[10pt]
 & n \pg \dfrac{\ln\dfrac{\np{18000}}{\np{16265,65}}}{\ln(1,02)}
 & \text{car }\ln(1,02)>0
\end{array}$
 
\medskip 
  
Or $\dfrac{\ln\dfrac{\np{18000}}{\np{16265,65}}}{\ln(1,02)} \approx 5,14$ donc l'objectif sera atteint pour $n=6$ soit au 1\ier{} janvier 2022.

\end{enumerate} 

%\vspace{0,5cm}

\subsection*{\textsc{Exercice 4}\hfill 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip 

L'évolution de la population d'une station balnéaire pour l'été 2015 a été modélisée par une fonction $f$, définie sur l'intervalle [0~;~70], dont la courbe représentative est donnée ci-dessous. 

\medskip
\parbox{0.4\linewidth}{
Lorsque $x$ est le nombre de jours écoulés après le 1\up{er} juillet, $f(x)$ désigne la population en milliers d'habitants. 

Ainsi $x = 30$ correspond au 31 juillet et $f(30)$ représente la population qu'il est prévu d'accueillir le 31 juillet.
 
On estime qu'un habitant utilisera chaque jour entre 45 et 55~litres d'eau par jour.}\hfill
\parbox{0.55\linewidth}{\psset{xunit=0.1cm,yunit=0.5cm}
\begin{pspicture}(-4,-1)(75,11)
\multido{\n=0+10}{8}{\psline[linestyle=dashed](\n,0)(\n,11)}
\multido{\n=0+2}{6}{\psline[linestyle=dashed](0,\n)(75,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=2]{->}(0,0)(-4,-1)(75,11)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=2](0,0)(75,11)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{70}{0.2 x mul 2.71828 0.025 x mul 1 sub exp div 2 add}
\uput[u](60,0){nombre de jours}
\uput[r](0,10.5){milliers d’habitants}
\psline[linecolor=red,linewidth=1.5pt](0,8)(70,8)
\psline[linecolor=red,linewidth=1.5pt](16.8,8)(16.8,0)
\uput*[d](16.8,0){\red \bf 17}
\uput*{8pt}[l](0,8){\red \bf 8}
\end{pspicture}
}

%\medskip

\subsubsection*{Partie A }% \emph{Dans cette partie, les réponses sont à fournir par lecture graphique}

%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}

		\item% Estimer le nombre maximal d'habitants présents dans la station balnéaire selon ce modèle durant l'été 2015 et préciser à quelle date ce maximum serait atteint. 
D'après le graphique, le maximum de la fonction $f$ est $f(40)=10$.

Le nombre 40 correspond au 10 août, et 10 correspond à \np{10000} habitants.

Le nombre maximum d'habitants est donc de \np{10000} et est atteint le 10 août.

		\item% La commune est en capacité de fournir \np{600000}~litres d'eau par jour, est-ce suffisant ? 
Chaque habitant consomme entre 45 et 55 litres d'eau; donc \np{10000} habitants consommeront entre \np{450000} et \np{550000} litres au maximum.

Comme la commune peut fournir \np{600000} litres d'eau par jour, c'est suffisant pour la journée la plus chargée, donc pour toutes les autres.


	\end{enumerate}

\item% Estimer le nombre de jours durant lesquels le nombre d'habitants de la station balnéaire devrait rester supérieur à 80\,\% du nombre maximal prévu.  
Le maximum d'habitants prévus est \np{10000} donc 80\,\% du maximum est égal à \np{8000} habitants.

Chercher le nombre de jours durant lesquels le nombre d'habitants est supérieur à 80\,\% du nombre maximal prévu, revient à résoudre sur l'intervalle \cd{}0\,;\,70\cg{} l'inéquation $f(x)\pg \np{8}$ (voir graphique).

$f(x)\pg \np{8}$ sur l'intervalle \cd{}17\,;\,70\cg{}, soit pendant 53 jours.

\end{enumerate}

%\bigskip

\subsubsection*{Partie B}

%\medskip 

On admet que la fonction $f$ est définie sur l'intervalle [0~;~70] par 
$f(x) = 2 + 0,2x\e^{-0,025x+1}$

\begin{enumerate}

\item% Calculer $f(9)$ puis vérifier que la consommation d'eau le 10 juillet serait, selon ce modèle, au plus de \np{324890}~litres. 
$f(9)=2+0,2\times 9\times \e^{-0,025\times 9+1}\approx 5,90706$

$x=9$ correspond au 10 juillet; il y a une estimation de $5,907 \times \np{1000} = \np{5907}$ habitants à cette date. Chaque habitant consomme au maximum 55 litres, donc la consommation d'eau maximale le 10 juillet sera de $5907 \times 55 \approx \np{324885}$ litres que l'on peut majorer par $\np{324890}$ litres. 

\item
	\begin{enumerate}

		\item% Démontrer que $f’(x) = (0,2 - 0,005 x)\text{e}^{-0,025x+1}$ où $f’$ est la fonction dérivée de $f$. 
La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ donc sur $\cd{}0\,;\,70\cg$ et:

$f'(x)= 0,2\times 1\times \e^{-0,025x+1} + 0,2x \times (-0,025)\e^{-0,025x+1} = (0,2-0,005x)\e^{-0,025x+1}$

		\item% Étudier le signe de $f’(x)$ sur l'intervalle [0~;~70]. 
Pour tout $x$ réel, $\e^{-0,025x+1}>0$ donc $f'(x)$ est du signe de $0,2-0,005x$.

$0,2-0,005x>0 \iff 0,2 > 0,005x \iff \dfrac{0,2}{0,005} >x \iff 40>x$

\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}  % paramètres
\def\esp{1.5cm}% pour modifier la largeur du tableau
\def\hauteur{0pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur
$\begin{array}{|c| *4{c} c|}
\hline
 x & 0 & \hspace*{\esp} & 40 & \hspace*{\esp} & 70 \\
 \hline
0,2-0,005\,x &  &  \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{-} & \\  
\hline
f'(x) &  &  \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{-} & \\  
\hline
%  & \Rnode{max1}{A}  &  &  &  & \Rnode{max2}{C}   \\
%f(x) & &  & & &  \rule{0pt}{\hauteur} \\
% &  & &   \Rnode{min}{B} & & \rule{0pt}{\hauteur}
%\ncline{->}{max1}{min} \ncline{->}{min}{max2}\\
%\hline
\end{array}$
}
\end{center}

		\item% En déduire la date de la consommation d'eau maximale. 
D'après le signe de sa dérivée, la fonction $f$ est croissante sur \cd{}0\,;\,40\cg, puis décroissante sur \cd{}40\,;\,70\cg{}; elle atteint donc un maximum pour $x=40$. Cette valeur de $x$ correspond au 10 août et à un maximum de population dans la station, donc à un maximum de consommation d'eau.

	\end{enumerate}
\end{enumerate}

%\bigskip

\subsubsection*{Partie C}

\medskip 

On note $g$ la fonction définie sur l'intervalle [0~;~70] par 
$g(x) = 55 f(x) = 110 + 11x\text{e}^{-0,025x+1}$

Lorsque $x$ est le nombre de jours écoulés après le 1\up{er} juillet, $g(x)$ représente alors la consommation maximale d'eau prévue ce jour là et exprimée en m$^3$. 

Soit la fonction $G$ définie sur l'intervalle [0~;~70] par 
$G(x) = 110x - (440x + \np{17600})\text{e}^{-0,025x+1}$

On admet que la fonction $G$ est une primitive de la fonction $g$. 

La somme $S = g(10) + g(11) + g(12) + \cdots + g(20)$ représente la consommation maximale d'eau du 10\up{e} au 20\up{e} jour exprimée en m$^3$. 

\medskip

\begin{enumerate}

\item% En l'illustrant sur la courbe $\mathcal{C}_g$ de l’\textbf{annexe} à rendre avec la copie, donner une interprétation graphique en termes d'aires de la somme $S$. 
$g(10)=g(10)\times 1$ est l'aire d'un rectangle de largeur 1 et de longueur $g(10)$; donc $S=g(10)+g(11)+ \ldots + g(20)$ est la somme des aires des 11 rectangles représentés sur l'annexe en page \pageref{ES_AntGuy_0915_annexe}.

\item% En déduire une valeur approximative de cette quantité d'eau consommée du 10\up{e} au 20\up{e} jour. 
La fonction $g$ est strictement positive sur $\cd{}0\,;\,70\cg$ donc l'aire du domaine défini par la courbe $\mathcal C_g$, l'axe des abscisses, et les droites d'équations $x=10$ et $x=21$ est $I=\ds\int_{10}^{21} g(x) \d x$.

L'aire $I$ de ce domaine est une valeur approchée de la somme $S$.

La fonction $G$ est une primitive de la fonction $g$ donc:

$I=\ds\int_{10}^{21} g(x) \d x = G(21)-G(10) \approx \np{-40849,10} - (\np{-45474,00}) \approx \np{4624,90}$

La quantité d'eau consommée du 10\ieme{} au 20\ieme{} jour est donc approximativement de \np{4625} m\up{3}. 

\end{enumerate} 

\newpage
\begin{center}
\textbf{ANNEXE}
\end{center}

\bigskip

\subsection*{\hfill{}Annexe à l'exercice 4 à rendre avec la copie\hfill{}}
\label{ES_AntGuy_0915_annexe}

\bigskip

\begin{center} 
\psset{xunit=0.54cm,yunit=0.018cm}
\begin{pspicture}(-1,-25)(24,550) 
\multido{\n=0+1}{25}{\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.2pt](\n,0)(\n,550)}
\multido{\n=0+50}{12}{\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.2pt](0,\n)(24,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=50]{->}(0,0)(-0.5,-12)(24,550)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=50](0,0)(24,550)
\uput[r](0,525){consommation $\left(\text{m}^3\right)$}
\uput[u](21.5,0){nombre de jours}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{24}{0.2 x mul 2.71828 0.025 x mul 1 sub exp div 2 add 55 mul}
\uput[u](8,305){\blue $\mathcal{C}_g$}
\newcommand{\rect}[4]{\psframe[linecolor=red,fillstyle=vlines,hatchangle=#4,hatchcolor=red](#1,#3)(#2,0)}
\rect{10}{11}{342,87}{45}
\rect{11}{12}{359,83}{-45}
\rect{12}{13}{375,82}{45}
\rect{13}{14}{390,86}{-45}
\rect{14}{15}{404.99}{45}
\rect{15}{16}{418.26}{-45}
\rect{16}{17}{430.69}{45}
\rect{17}{18}{442.32}{-45}
\rect{18}{19}{453.18}{45}
\rect{19}{20}{463.31}{-45}
\rect{20}{21}{472.72}{45}

%\psframe[fillstyle = vlines,hatchangle=45](10,342,87)(11,0)
\end{pspicture}
\end{center}

\end{document}