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\usepackage{eurosym}   % Euros  \EUR{} \euro{} 
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\usepackage{esvect}	   % Vecteurs \vv{}
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% Algorithmes

\usepackage[french,linesnumbered,algoruled]{algorithm2e}
\makeatletter
\renewcommand{\algocf@captiontext}[2]{\AlCapNameSty{\centerline{\AlCapNameFnt{}#2}}}
\makeatother

\SetKwInput{Var}{Variable}
\SetKwInput{Vars}{Variables}

\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref}
% Commandes
\newcommand{\oij}{(O;\vv{\imath};\vv{\jmath})}
\newcommand{\df}[1][f]{#1^{\prime}}
\newcommand\dx[1][x]{\mathrm{d}#1}
\DeclareMathOperator{\E}{e}


\usepackage{fancyhdr}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lfoot{\small Baccalauréat ES}
\cfoot{\small \scshape Polynésie 7 juin 2013}
\rfoot{\thepage / \pageref{LastPage}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}%
\pagestyle{fancy}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%
%%                   Figures en code asymptote
%%
%% Pour compiler le fichier :
%%  1) latex BacES-Polynesie-2013.tex  // crée les fichier .asy
%%  2) asy *.asy  // compile les fichiers .asy et crée les images au format .eps
%%  3) latex BacES-Polynesie-2013.tex  // insère les images crées
%%
%% L'équivalent existe avec pdflatex :
%%  1) pdflatex BacES-Polynesie-2013.tex  // crée les fichier .asy
%%  2) asy -f pdf *.asy  // compile les fichiers .asy et crée les images au format .pdf
%%  3) latex BacES-Polynesie-2013.tex  // insère les images crées
%%
%%
%%   POUR PLUS DE PRECISION, VOIR LE FICHIER asymptote.txt joint au pdf
%%
%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% ==============================
% \usepackage{embedfile} 	% joindre un fichier au pdf
% \embedfile[desc=asymptote memo]{asymptote.txt}
% ==============================
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\newcolumntype{C}{>{\centering\arraybackslash}X}
\thispagestyle{empty}
\setlength{\parindent}{0pt}

\begin{center} 
\Large \bfseries \decofourleft~Corrigé du baccalauréat ES Polynésie~\decofourright\\7 juin 2013
\end{center}

\bigskip

\textbf{Exercice 1} \hfill 5 points

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\begin{enumerate}
\item $f(\ln 2) = \ln 2 \times \E^{-\ln 2}$. Or, $-\ln 2=\ln \frac{1}{2}$ et $\E^{-\ln 2}=\frac{1}{2}$.

Ainsi, $f(\ln 2)=\frac{1}{2}\ln 2$ ; \textsc{Réponse d.}
\item On utilise la formule de dérivation d'un produit et :
$\df(x) = \E^{-x} + x (-\E^{-x}) = (1-x)\E^{-x}$ ; \textsc{Réponse c.}
\item On sait que l'équation de cette tangente est $y=\df(0)(x - 0)+f(0)$ avec $\df(0) = 1$ et $f(0)= 0$. Donc $y=x$ ; \textsc{Réponse c.}
\item $f''(x) = (x-2)\E^{-x}$ et $f''(x) < 0$ sur $]-\infty~;~2]$. Donc $f$ est concave sur $]-~\infty~;~2]$ ; \textsc{Réponse a.}
\item À la calculatrice, on trouve, $\int_0^1 f(x) \dx = \frac{-2}{\E}+1$ ;\textsc{ Réponse c.}
\end{enumerate}

\bigskip 

\textbf{Exercice 2} \hfill 5 points

\textbf{Candidats de ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité et candidats de L}

\medskip

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item D'après l'énoncé, la probabilité de l'évènement : le client interrogé a choisi la formule \og avion + hôtel \fg{} et l'option \og visites guidées \fg{} est égale à $0,12$.
		\item $P_A(V) = \frac{P(A \cap V)}{P(A)} = \frac{0,12}{0,4} = 0,3$.
		\item Arbre pondéré représentant la situation :

\medskip
  
\begin{center}
%      % \includegraphics{BacES-Polynesie-2013-cor-arbre}
%\begin{asy}
%/* Code de G. Marris : http://www.marris.org/asymptote/Arbres/index.html#fig_ba01_100109_arbre */
%unitsize(.75cm);  
%
%pen p=invisible;
%real marge=0.2, EspH=2, EspV=2;
%
%object objet_1=draw("$A$",box,(EspH,EspV),marge,p),
%       objet_2=draw("$T$",box,(EspH,-EspV),marge,p),
%       objet_11=draw("$V$",box,(2*EspH,EspV*5/3),marge,p),
%       objet_12=draw("$\overline V$",box,(2*EspH,EspV*1/3),marge,p),
%       objet_21=draw("$V$",box,(2*EspH,-EspV*1/3),marge,p),
%       objet_22=draw("$\overline V$",box,(2*EspH,-EspV*5/3),marge,p);
%
%add(new void(picture pic, transform t) {
%    draw(pic,Label("$0,4$",UnFill(1)),(0,0)--point(objet_1,W,t),Center);
%    draw(pic,Label("$0,6$",UnFill(1)),(0,0)--point(objet_2,W,t),Center);
%    draw(pic,Label("$0,3$",UnFill(1)),point(objet_1,E,t)--point(objet_11,W,t),Center);
%    draw(pic,Label("$0,7$",UnFill(1)),point(objet_1,E,t)--point(objet_12,W,t),Center);
%    draw(pic,Label("$0,5$",UnFill(1)),point(objet_2,E,t)--point(objet_21,W,t),Center);
%    draw(pic,Label("$0,5$",UnFill(1)),point(objet_2,E,t)--point(objet_22,W,t),Center);
%});
%\end{asy}

\pstree[treemode=R,nodesep=2.5pt]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{$A$}\taput{$0,4$}}
		{
\TR{}~[tnpos=r]{$V$}\taput{$0,3$}
\TR{}~[tnpos=r]{$\overline{V}$}\tbput{$0,7$}
 		}
	\pstree{\TR{$T$}\tbput{$0,6$}}
		{
\TR{}~[tnpos=r]{$V$}\taput{$0,5$}
 \TR{}~[tnpos=r]{$\overline{V}$}\tbput{$0,5$}
 		}
}
    \end{center}
    
\medskip
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item On utilise la formule des probabilités totales :

    $P(V) = P(A \cap V) + P(T \cap V = 0,12 + 0,6 \times 0,5 = 0,42$.
		\item $P_{\overline V}(A) = \frac{P(\overline V \cap A}{\overline V} = \frac{0,4 \times 0,7}{1-0,42} = 0,483$.
	\end{enumerate}
\item Soit $X$ la variable aléatoire donnant le coût d'un week-end à Londres. La loi de probabilité de $X$ est alors :
\begin{center}
\begin{tabularx}{.8\linewidth}{|l|C|C|C|C|}\hline
$x_i$ & 390 & 490 & 510 & 610 \\\hline
$P(X=x_i)$ & 0,28 & 0,12 & 0,3 & 0,3 \\\hline
\end{tabularx}
\end{center}
L'espérance mathématique de $X$ est égale à : 

$E(X) = 0,28\times 390 + 0,12\times 490 + 0,3\times 510 + 0,3\times 610 = 504$.

Cela signifie que chaque personne dépense, \emph{en moyenne}, \EUR{504} par week-end à Londres. Le chiffre d'affaire espéré par l'agence pour 50 clients est donc égal à $50 \times 504 = \np{25200}$~\euro{}.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2} \hfill 5 points

\textbf{Candidats de la série ES ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

\textbf{Partie A}

\begin{enumerate}
\item Graphe probabiliste représentant la situation :

\medskip

  \begin{center}
  
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-2,-0.8)(4,1.1)
\Rnode{A}{A} \hskip 4cm \Rnode{B}{B}% définition des sommets
\psset{nodesep=5pt,arcangle=15,arrowsize=2pt 3}%différents paramètres
\ncarc{->}{A}{B} \Aput{0,15}%       premier vers second
\ncarc{->}{B}{A} \Aput{0,1}%        second vers premier
\nccircle[angleA=90]{->}{A}{4mm}   \Bput{0,85}%   premier sommet
\nccircle[angleA=-90]{->}{B}{.4cm} \Bput{0,9}%  second sommet
\end{pspicture}

% \includegraphics{BacES-Polynesie-2013-cor-graphe}
%\begin{asy}
%size(200);
%real marge=1mm;
%pair z1=(-3,0);
%pair z2=(3,0);
%
%object etat_1=draw("$A$",ellipse,z1,marge,filltype=NoFill,black);
%object etat_2=draw("$B$",ellipse,z2,marge,filltype=NoFill,black);
%
%add(new void(picture pic, transform t) {
%   draw(pic,Label("$0,85$"),point(etat_1,NW,t){NW} ..{NE}point(etat_1,SW,t),Arrow);
%   draw(pic,Label("$0,15$"),point(etat_1,SE,t){SE} ..{NE}point(etat_2,SW,t),Arrow);
%   draw(pic,Label("$0,1$"),point(etat_2,NW,t){NW} ..{SW}point(etat_1,NE,t),Arrow);
%   draw(pic,Label("$0,9$"),point(etat_2,SE,t){SE} ..{SW}point(etat_2,NE,t),Arrow);
%});
%\end{asy}
  \end{center}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Matrice de transition : $M =
\begin{pmatrix}
0,85 & 0,15 \\ 0,1 & 0,9
\end{pmatrix}$
		\item En 2013, $n=3$ et $P_3 = P_0 \times M^3 =
\begin{pmatrix}
0,61 & 0,39
\end{pmatrix}$.
		\item On sait que $P=P\times M$ d'où $
\begin{cases}
a=0,1b+0,85a \\ b=0,9b+0,15a
\end{cases}$. Ces deux égalités amènent à l'équation $0,15a- 0,1b = 0$. On sait de plus que $a+b=1$ donc on a le système
$\begin{cases}
a+b=1 \\ 0,15a-0,1b=0
\end{cases}$ d'où :

$\begin{cases}
a=1-b \\ 0,15-0,15b-0,1b=0
\end{cases} \iff
\begin{cases}
a=1-b \\ b=\frac{0,15}{0,25} = 0,6
\end{cases} \iff
\begin{cases}
a=0,4 \\ b=0,6
\end{cases}$

Ainsi, le système se stabilise autour de l'état stable $P=
\begin{pmatrix}
0,4 & 0,6
\end{pmatrix}$ ce qui signifie qu'à \emph{long terme}, le fournisseur d'accès B possédera 60~\% du marché.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\begin{enumerate}
\item Cela revient à résoudre le système 
$\begin{cases}
s+c=550 \quad \text{(nombre total d'objets)} \\
0,8s+1,2c=540 \quad \text{(coût total)}
\end{cases}$.

\item Soit $R =
\begin{pmatrix}
1 & 1 \\ 0,8 & 1,2
\end{pmatrix}$ la matrice des coefficients, $X =
\begin{pmatrix}
s \\ c
\end{pmatrix}$ la matrice colonne représentant les deux inconnues et $T =
\begin{pmatrix}
550 \\ 540
\end{pmatrix}$ la matrice colonne représentant le second membre.

On a alors $R \times X = T \iff \begin{cases}
s+c=550 \quad \text{nombre total d'objets} \\
0,8s+1,2c=540 \quad \text{coût total}
\end{cases}$.
\item $X = R^{-1}\times T =
\begin{pmatrix}
300 \\ 250
\end{pmatrix}$.

L'entreprise B a distribuée 300 stylos et 250 porte-clés.
\end{enumerate}

\bigskip 

\textbf{Exercice 3} \hfill 5 points

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On note $t$ le taux d'évolution annuel moyen des montants à l'exportation des produits perliers de Polynésie entre 2008 et 2011. On a alors : 

$\np{81295}\times (1 + t)^3 = \np{63182}$ soit $(1 + t)^3 = \frac{\np{63182}}{\np{81295}}$ 

Ainsi, $1 + t = \left( \frac{\np{63182}}{\np{81295}} \right)^{\frac{1}{3}} \approx \np{0,9194}$.

Donc $t \approx \np{0,9194} - 1 = \np{0,0806}$,  ce qui correspond à une baisse de 
8,06\,\% par an.
\item Si on saisit $P= \np{50000}$ entrée, on obtient $3+2011=2014$  en sortie par cet algorithme. Cela signifie que les montants réalisés à l'exportation des produits perliers passera sous les \EUR{\np{50000}} en 2014 si la baisse de 8~\% se poursuit. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On passe d'un terme au suivant en multipliant par $1-\frac{8}{100} = 0,92$. Ainsi, $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique de 1\ier{} terme $u_0 = \np{63182}$ et de raison $q = 0,92$.
		\item $u_n = u_0 \times 0,92^n$
		\item En 2016, $n=5$ et $u_5 = \np{63182}\times 0,92^5 = \np{41642}$.
	\end{enumerate}
\item Cela revient à calculer la somme $S_9 = u_0 + u_1 + \cdots + u_9$.

$S_9 = u_0 \dfrac{1-0,92^{10}}{1-0,92} = \np{446706}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 4} \hfill  5 points

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\textbf{A. Étude de la zone 1}

\medskip

\begin{enumerate}
\item La courbe de densité de probabilité est symétrique par rapport à la droite d'équation $x = \mu$. Par lecture graphique, $\mu = 150$.
\item À la calculatrice, on trouve $P(150 \leqslant X \leqslant 210) = 0,48$.
\item $P(X \geqslant 120) = 1- P(X \leqslant 120) = 0,84$.
\item Non ; en effet, la courbe étant symétrique par rapport à la droite d'équation $x=\mu$, $P(X \leqslant \mu)=0,5$.

%\psset{unit=.5cm}
%\begin{pspicture}(-3,-2)(9,7)
%\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
%\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
%\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
%\uput[dl](8,7){\textbf{\footnotesize{\emph{Courbe}  2}}}
%\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-3,-2)(9,7)
%\psset{xunit=.2mm, yunit=156.25cm}
%\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dx=50, Ox=100, Dy=0.0064,comma]{->}(0,0)(-75,-.0063)(225,0,0224)
%\uput[dl](0,0){\footnotesize{$100$}} \uput[dl](225,0){\footnotesize{$x$}} \uput[dl](0,0.0224){\footnotesize{$y$}}
%\psGauss[sigma=20, mue=105,linewidth=1.25pt,plotpoints=600, linecolor=bleu]{-175}{225}
%\psline[linecolor=cyan]{->}(100,0.022)(225,0.022)
%\psline[linecolor=cyan]{->}(70,0)(70,0.011)(225,0.011)
%\uput[u](142.5,0.011){\footnotesize $P(X \geqslant 120)$}
%\uput[u](162.5,0.022){\footnotesize 0,5}
%\end{pspicture}

Ainsi, si $k>\mu$, $P(X < k) = P(X \leqslant \mu) + P(\mu < X < k)$ avec $P(\mu < X < k) >0$.

Finalement, si $k>\mu$, $P(X<k)>0,5$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{B. Étude de la zone 2}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item $f = \dfrac{15}{50} = \frac{3}{10} = 0,3$.
		\item $I=\left[ f-\dfrac{1}{\sqrt{50}}~;~f+\dfrac{1}{\sqrt{50}} \right] = \left[ 0,159~;~0,441 \right]$.
	\end{enumerate}
\item La courbe de la fonction de densité est symétrique par rapport à la droite d'équation $x = 205$, ce qui exclut la courbe 3.

De plus $\df[\sigma] > \sigma$, ce qui signifie que les valeurs sont plus dispersées. La courbe représentant la densité de probabilité de la variable aléatoire $Y$ est donc la courbe 1.
\end{enumerate}
%%% Local Variables:
%%% mode:latex
%%% LaTeX-command: "latex -shell-escape"
%%% TeX-parse-self: t
%%% TeX-auto-save: t
%%% eval: (TeX-PDF-mode 1)
%%% End:   
\end{document}
