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%Sujet aimablement communiqué par Clotilde Rouchon
%Corrigé : Marie-Chantal Baaj
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\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat ES }
\lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}}
\rfoot{\small 17 novembre 2014}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center} \textbf{\Large\decofourleft~Corrigé du baccalauréat ES Nouvelle-Calédonie~\decofourright\\
17 novembre 2014} \end{center}

\vspace{0,5cm}

%\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 5 points}
%
%\textbf{Commun à  tous les candidats}
%
%\medskip
%
%\emph{Cet exercice est un questionnaire à  choix multiples (QCM). Pour chacune des cinq questions, quatre réponses sont proposées ; une seule de ces réponses convient.\\ 
%Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie sans justifier le choix effectué.\\ 
%Une bonne réponse rapporte $1$ point Une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point} 
%
%\medskip
%
%Pour relier une à®le au continent, les touristes doivent obligatoirement utiliser une des deux compagnies de ferries A ou B qui se partagent l'ensemble des transports vers cette à®le. 
%
%Une enquête de satisfaction réalisée auprès de touristes s'y étant rendus a produit les résultats suivants : 
%
%$\bullet~~$60\,\% des touristes se rendant sur l'à®le utilisent la compagnie A, les autres utilisent la compagnie B ; 
%
%$\bullet~~$parmi les touristes ayant choisi la compagnie A pour se rendre sur l'à®le, 20\,\% sont satisfaits de leur transport ; 
%
%$\bullet~~$48\,\% de l'ensemble des touristes sont satisfaits du transport vers l'à®le. 
%
%On interroge au hasard un touriste s'étant rendu sur l'à®le: 
%
%\medskip
%
%\begin{enumerate}
%\item La probabilité que ce touriste ait choisi la compagnie A et soit satisfait de son transport est : 
%
%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}X}
%\textbf{a.~~} 0,08&\textbf{b.~~} 0,12& \textbf{c.~~}0,24&\textbf{d.~~}0,88 
%\end{tabularx}
%\medskip
%
%\item La probabilité que ce touriste ait choisi la compagnie A sachant qu'il est satisfait de son transport est : 
%
%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}X}
%\textbf{a.~~}  0,34 &\textbf{b.~~} 0,20&\textbf{c.~~}0,25 &\textbf{d.~~}0,83 
%\end{tabularx}
%\medskip
%
%\item On rappelle que 48\,\% de l'ensemble des touristes sont satisfaits par le transport vers l'à®le. Soit $F$ la variable aléatoire qui, à  tout échantillon de $100$~touristes choisis au hasard et de façon indépendante et ayant visité l'à®le, associe la fréquence de touristes satisfaits par le transport vers l'à®le. 
%
%Un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95\,\% de $F$ est : 
%
%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}X}
%\textbf{a.~~}[0,382~;~0,578]&\textbf{b.~~} [0,431~;~0,529]&\textbf{c.~~} [0,470~;~0,490]& \textbf{d.~~} [0,475~;~0,485]
%\end{tabularx}
%\medskip 
%
%\item On choisit de modéliser le nombre de touristes satisfaits par le transport vers l'à®le parmi les $100$~touristes choisis au hasard et de façon indépendante par une variable aléatoire $X$ qui suit une loi normale de moyenne $\mu = 48$ et d'écart-type $\sigma = 5$. 
%
%La probabilité, selon ce modèle, qu'il y ait moins de 40~touristes satisfaits est, à  0,001 près :
%
%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}X}
%\textbf{a.~~}0,055&\textbf{b.~~}0,309&\textbf{c.~~}0,347&\textbf{d.~~}0,374 
%\end{tabularx}
%\medskip 
%
%\item La durée (en minutes) de la traversée entre le continent et l'à®le est modélisée par une variable aléatoire D qui suit une loi uniforme sur l'intervalle [30~;~50]. 
%
%La probabilité que la traversée entre le continent et l'à®le dure au moins 35 minutes est : 
%
%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}X}
%\textbf{a.~~}0,25&\textbf{b.~~}0,35&\textbf{c.~~}0,70 &\textbf{d.~~}0,75 
%\end{tabularx}
%\medskip
%\end{enumerate}
%
%\vspace{0,5cm}
%
%\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points}
%
%\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité et L}
%
%\medskip 
%
%La courbe $(\mathcal{C})$ ci-dessous est la représentation graphique d'une fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $[-1~;2]$. 
%
%\begin{center}
%\psset{unit=3cm,comma=true}
%\begin{pspicture*}(-1.25,-0.25)(2.25,3.5)
%\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=2,gridcolor=cyan,subgridcolor=cyan,griddots=5](-1.25,-0.25)(2.25,3.5)
%\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.5,Dy=0.5]{->}(0,0)(-1.25,-0.25)(2.25,3.5)
%\uput[ul](0,2){G}
%\uput[u](0.693,2.386){S}\uput[ul](1,3){H}
%\uput[ur](1.5,1.5){$(\mathcal{C})$}
%\uput[dl](0,0){O}
%\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-1}{2}{2 x mul 3 add 2.71828 x exp sub}
%\psplot[plotpoints=500,linewidth=1.25pt]{-1.25}{1.5}{x 2 add}
%\pscustom[fillstyle=hlines]{
%\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{1}{2 x mul 3 add 2.71828 x exp sub}
%\psline(1,0)(0,0)}
%\psdots(0,2)(0.693,2.386)(1,3)
%\end{pspicture*}
%\end{center} 
%
%On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$. 
%
%Le point G a pour coordonnées (0~;~2). 
%
%Le point H a pour coordonnées (1~;~3). 
%
%La droite (GH) est la tangente à  la courbe $(\mathcal{C})$ au point G. 
%
%La courbe $(\mathcal{C})$ admet une tangente horizontale au point S d'abscisse $\ln 2$. 
%
%Le domaine hachuré est délimité par l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées, la droite d'équation $x = 1$ et la courbe $(\mathcal{C})$. 
%
%\bigskip 
%
%\textbf{Partie A}
%
%\medskip 
%
%Dans cette partie aucune justification n'est demandée. Par lecture graphique : 
%
%\medskip
%
%\begin{enumerate}
%\item Donner les valeurs de $f(0)$ et $f'(0)$. 
%\item Résoudre sur $[-1~;~2]$ l'inéquation $f'(x) \leqslant 0$. 
%\item Encadrer par deux entiers consécutifs l'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine hachuré sur le graphique. 
%\end{enumerate}
%
%\bigskip 
%
%\textbf{Partie B}
%
%\medskip  
%
%On admet que la fonction $f$ est définie sur $[-1~;~2]$ par 
%
%\[f(x) = ax + b - \text{e}^x\]
%
% oà¹ $a$ et $b$ sont deux réels. 
%
%\medskip
%
%\begin{enumerate}
%\item Calculer $f'(x)$. 
%\item Justifier que $a = 2$ et $b = 3$. 
%\item Déterminer, sur $[-1~;~2]$, une primitive $F$ de la fonction $f$. 
%\item En déduire la valeur exacte, en unités d'aire, de l'aire du domaine hachuré sur le graphique. 
%\end{enumerate}
%
%\vspace{0,5cm}
%
%\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points}
%
%\textbf{Candidats ayant  suivi l'enseignement de spécialité}
%
%\medskip 
%
%Un parc de loisirs propose à  ses visiteurs des parcours d'accrobranches. 
%
%Les différents parcours sont modélisés par le graphe $\Gamma$ ci-dessous oà¹ les sommets correspondent aux cinq arbres marquant leurs extrémités. Chaque parcours est représenté par une arête du graphe et peut être réalisé dans les deux sens.
%
%\begin{center}
%\psset{unit=1cm}
%\begin{pspicture}(8,5)
%\cnodeput(0.5,4.75){A}{1}
%\cnodeput(5.5,4.75){B}{2}
%\cnodeput(7.5,2.75){C}{3}
%\cnodeput(4.5,0.5){D}{4}
%\cnodeput(0.5,1.5){E}{5}
%\ncline{A}{B} \ncline{A}{D} \ncline{A}{E} 
%\ncline{B}{C} \ncline{B}{D} \ncline{B}{E} 
%\ncline{C}{E} 
%\end{pspicture}
%\end{center} 
%
%\begin{enumerate}
%\item L'organisateur du parc de loisirs souhaite que les visiteurs puissent, s'ils le souhaitent, réaliser un itinéraire complet d'accrobranches, c'est-à -dire un itinéraire empruntant une fois et une seule chaque parcours et en commençant cet itinéraire par l'arbre numéro 1. 
%
%Justifier que ce souhait est réalisable et proposer un tel itinéraire. 
%\item On note $M$ la matrice associée au graphe $\Gamma$ en considérant les sommets pris dans l'ordre croissant des numéros d'arbres. 
%	\begin{enumerate}
%		\item à‰crire la matrice $M$. 
%		\item On donne, ci-dessous, les matrices $M^2$ et $M^3$. 
%		
%		\[M^2 = \begin{pmatrix}            
%3&   2&   2&   1&   1\\     
%2&   4&   1&   1 &  2 \\    
%2&   1&   2&   1&   1\\  
%1&   1&   1&   2&   2\\     
%1&   2&   1&   2&   3\\   
%\end{pmatrix} \qquad \qquad M^3 = \begin{pmatrix}
%4&   7&   3 &  5&   7\\ 
%7&   6&   6&   6&   7\\    
%3&   6&   2&   3&   5\\   
%5&   6&   3&   2&   3\\   
%7&   7&   5&   3&   4\\
%\end{pmatrix}\]   
%  
%L'organisateur du parc de loisir souhaite organiser des \og itinéraires express \fg{} qui débuteront à   l'arbre numéro 1, emprunteront trois parcours d'accrobranches et finiront à  l'arbre 4. Ces  itinéraires peuvent éventuellement emprunter plusieurs fois le même parcours. 
% 
%Déterminer, en justifiant votre résultat, le nombre \og d'itinéraires express \fg{} 
%
%réalisables. 
%
%(On ne demande pas de donner ces différents itinéraires)
%	\end{enumerate} 
%\item Pour terminer ces \og itinéraires express \fg, on installe un toboggan géant sur l'arbre 4. 
%
%La forme de ce toboggan est modélisée par une fonction $f$ dont la courbe $\mathcal{C}$ est donnée ci-dessous dans un repère orthonormé. 
%
%\begin{center}
%\psset{unit=0.6cm}
%\begin{pspicture}(-0.25,-0.5)(21,11)
%\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(-0.25,-0.5)(21,11)
%\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{20}{x dup mul 0.025 mul x sub 10 add}
%\psdots(2,8.1)(10,2.5)
%\uput[ur](2,8.1){I} \uput[ur](10,2.5){J}\uput[dl](0,0){O}
%\end{pspicture}
%\end{center}
%
%Cette courbe passe par les points I, J et K de coordonnées respectives (2~;~8,1), (10~;~2,5) et (20~;~0). 
%
%La fonction $f$ est définie sur [0~;~20] par 
%
%\[f(x) = ax^2 + bx + c\]
%
%oà¹ $a, b$ et $c$ sont trois nombres réels. 
%
% 
%\medskip
%
%	\begin{enumerate}
%		\item Justifier que $a, b$ et $c$ sont solutions du système :$\left\{\begin{array}{l c l}
%400a + 20b + c &=& 0\\
%100a + 10b + c &=& 2,5\\
% 4a + 2b + c   &=& 8,1
% \end{array}\right.$ 
%		\item Déterminer les matrices $X$ et $Y$ pour que le système précédent soit équivalent à  
%
%\[UX = V\quad  \text{oà¹} \quad  U = \begin{pmatrix} 400 &20& 1\\100& 10& 1\\4&2&1
%\end{pmatrix}.\]
% 
%		\item Déterminer $a, b$ et $c$. 
%	\end{enumerate}
%\end{enumerate} 
%
%\vspace{0,5cm}
%
%\textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 5 points}
%
%\textbf{Commun à  tous les candidats}
%
%\medskip 
%
%Le service commercial d'une société possédant plusieurs salles de sport dans une grande ville a constaté que l'évolution du nombre d'abonnés était définie de la manière suivante: 
%
%\setlength\parindent{9mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~~$] chaque année, la société accueille 400 nouveaux abonnés; 
%\item[$\bullet~~$] chaque année 40\,\% des abonnements de l'année précédente ne sont pas renouvelés. 
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
%
%En 2010 cette société comptait \np{1500}~abonnés. 
%
%On considère la suite $\left(a_n\right)$ définie par 
%
%\[a_{n+1} = 0,6 a_n + 400\quad  \text{et}\quad  a_0 = \np{1500}.\] 
%
%\begin{enumerate}
%\item Justifier que la suite $\left(a_n\right)$ modélise le nombre d'abonnés pour l'année $2010 + n$. 
%\item On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie par $v_n = u_n - \np{1000}$. 
%	\begin{enumerate}
%		\item Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme. 
%		\item Déterminer l'expression de $v_n$ en fonction de $n$. 
%		\item En déduire que : $a_n = 500 \times  0,6^n + \np{1000}$. 
%	\end{enumerate}
%\item En 2010 le prix d'un abonnement annuel dans une salle de sport de cette société était de $400$~\euro. 
%	\begin{enumerate}
%		\item Quelle a été la recette de cette société en 2010 ? 
%
%Chaque année le prix de cet abonnement augmente de 5\,\%. 
%
%On note $P_n$ le prix de l'abonnement annuel pour l'année $2010 + n$. 
%		\item Indiquer la nature de la suite $\left(P_n\right)$ en justifiant la réponse. 
%
%En déduire l'expression de $P_n $ en fonction de $n$. 
%		\item Montrer que, pour l'année $2010 + n$, la recette totale annuelle $R_n$ réalisée par la société pour l'ensemble de ses salles de sport est donnée par : 
%
%\[R_n = \left(500 \times 0,6^n + \np{1000}\right) \times  \left(400 \times 1,05^n \right).\]
% 
%		\item Trouver, à  l'aide de votre calculatrice, l'année oà¹, pour la première fois, la recette de cette société dépassera celle obtenue en 2010. 
%	\end{enumerate}
%\end{enumerate}
%	
%\vspace{0,5cm}
%
%\textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 5 points}
%
%\textbf{Commun à  tous les candidats}
%
%\medskip  
%
%On a utilisé un logiciel de calcul formel et on a obtenu les résultats suivants : 
%
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|c| X X|}\hline   
%1&dériver $\left(\frac{\ln (x)}{x} \right)$&\\        
%&&$\frac{1 - \ln (x)}{x^2}$\\ \hline      
%2& dériver $\left(\frac{1}{x^2}\right)$&\\
%&& $- \frac{2}{x^3}$\\ \hline      
%3&   dériver $\left(\frac{\ln (x)}{x^2} \right)$&\\
%&&$\frac{1 - 2\ln (x)}{x^3}$\\ \hline
%\end{tabularx}
%\end{center}       
%
%\emph{On pourra utiliser les résultats obtenus par ce logiciel pour répondre à  certaines questions de l'exercice.} 
%
%On considère la fonction $f$ définie sur [1~;~10] par 
%
%\[f(x) = \dfrac{\ln (x)}{x}\]
%
%et on note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère. 
%
%La fonction $f$ est deux fois dérivable sur [1~;~10], on note $f'$ sa fonction dérivée et $f''$ sa fonction dérivée seconde.
%
%\medskip 
%
%\begin{enumerate}
%\item 
%	\begin{enumerate}
%		\item Déterminer $f'(x)$ sur [1~;~10]. 
%		\item Construire le tableau de variation de la fonction $f$ sur [1~;~10]. 
%	\end{enumerate}
%\item 
%	\begin{enumerate}
%		\item Justifier que $f''(x) = \dfrac{2\ln (x) - 3}{x^3}$ sur [1~;~10]. 
%		\item à‰tudier le signe de $f''$ sur [1~;~10]. 
%		\item En déduire que la courbe $\mathcal{C}$ possède un point d'inflexion dont on précisera l'abscisse. 
%	\end{enumerate}
%\item On considère l'algorithme suivant: 
%
%\begin{center}
%\begin{tabular}{|l l|}\hline
%\textbf{INITIALISATION}&\\
%&$X$ PREND LA VALEUR $2$\\ 
%&$Y$ PREND LA VALEUR $\frac{\ln(2)}{2}$\\ 
%&$Z$ PREND LA VALEUR $\frac{\ln(2,1)}{2,1}$\\
%\textbf{TRAITEMENT}&\\  
%&TANT QUE $(Y < Z)$ FAIRE\\ 
%&\hspace{0,5cm}$X$ PREND LA VALEUR $X+0,1$\\ 
%&\hspace{0,5cm}$Y$ PREND LA VALEUR $\frac{\ln (X)}{X}$\\ 
%&\hspace{0,5cm}$Z$ PREND LA VALEUR $\frac{\ln (X+0,1)}{X+0,1}$\\
%&FIN TANT QUE \\
%\textbf{SORTIE}&\\ 
%&AFFICHER X \\ \hline
%\end{tabular}
%\end{center}
%
%	\begin{enumerate}
%		\item Recopier et compléter le tableau suivant oà¹ les résultats sont arrondis au dix millième : 
%
%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{X|}}\hline
%$X$&   $Y$&   $Z$&   Test : $Y < Z $\\ \hline  
%2&   0,3466&   0,3533&   vrai\\ \hline   
%2,1&   \np{0,3533}&   \np{0,3584}&   vrai\\ \hline   
%2,2&\ldots&&\\ \hline
%&&&\\ \hline
%&&&\\ \hline
%&&&\\ \hline
%&&&\\ \hline
%&&&\\ \hline
%\end{tabularx}
%\medskip
%
%		\item Quelle est la valeur affichée en sortie ? Que représente-t-elle pour la fonction $f$ ? 
%	\end{enumerate}
%\item La durée (en minutes) de la traversée entre le continent et l'à®le est modélisée par une variable aléatoire $D$ qui suit une loi uniforme sur l'intervalle [30~;~50]. 
%
%La probabilité que la traversée entre le continent et l'à®le dure au moins $35$~minutes est: 
%
%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
%\textbf{a.~~}0,25&\textbf{b.~~}0,35&\textbf{c.~~}0,70&\textbf{d.~~}0,75
%\end{tabularx}
%\end{enumerate}
%\newpage
\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 5 points}

\textbf{Commun à  tous les candidats}

%Pour relier une à®le au continent, les touristes doivent obligatoirement utiliser une des deux compagnies de ferries A ou B qui se partagent l'ensemble des transports vers cette à®le. 

%Une enquête de satisfaction réalisée auprès de touristes s'y étant rendus a produit les résultats suivants : 

%$\bullet~~$60\,\% des touristes se rendant sur l'à®le utilisent la compagnie A, les autres utilisent la compagnie B ; 

%$\bullet~~$parmi les touristes ayant choisi la compagnie A pour se rendre sur l'à®le, 20\,\% sont satisfaits de leur transport ; 

%$\bullet~~$48\,\% de l'ensemble des touristes sont satisfaits du transport vers l'à®le. 

%On interroge au hasard un touriste s'étant rendu sur l'à®le: 

\medskip

On note $A$  l'évènement \og   le touriste interrogé  utilise la compagnie A\fg.

On note $B=\overline {A}$  l'évènement \og   le touriste interrogé  utilise la compagnie B\fg.

On note $S$  l'évènement \og   le touriste est satisfait du transport utilisé \fg.

On sait que $p(S) = 0,48$ et $p(A) = 0,6$ \vskip 0.5 cm 
 
\begin{center}
\psset{nodesep=0mm,levelsep=20mm,treesep=10mm}
\pstree[treemode=R]{\Tdot}
{
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$A$}\taput{\small $0,6$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$S$}\taput{\small $0,2$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{S}$ }\tbput{\small $0,8$}
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$B$}\tbput{\small $0,4$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$S$}\taput{\small $x$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{S}$ \euro}\tbput{\small $(1-x)$}
}
}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item
La probabilité que ce touriste ait choisi la compagnie A et soit satisfait de son transport est : $p(A\cap S)=0,6\times 0,2 = 0,12$ .

On trouve alors la réponse \textbf{b.~~}.

{\it{Non demandé mais on peut trouver $x$ car $0,48 = 0,12 + 0,4\times x$ donc $x = 0,9.$}}
\item La probabilité que ce touriste ait choisi la compagnie A sachant qu'il est satisfait de son transport  c'est $p_{S}(A) = \dfrac{p(A\cap S)}{p(S)} = \dfrac{0,12}{0,48} = 0,25$ .

On trouve alors la réponse \textbf{c.~~}.
\item 
%On rappelle que 48\,\% de l'ensemble des touristes sont satisfaits par le transport vers l'à®le. Soit $F$ la variable aléatoire qui, à  tout échantillon de $100$~touristes choisis au hasard et de façon indépendante et ayant visité l'à®le, associe la fréquence de touristes satisfaits par le transport vers l'à®le.
On a $n = 100 \geqslant 30 ; n p = 100 \times 0,48 > 5$ et $n(1 - p) = 100 \times 0,52 = 52 > 5$. Donc  un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95\,\% de $F$ est : 

$\left[p - 1,96\sqrt{\frac{p\times (1 -p)}{n}}~;~p + 1,96\sqrt{\frac{p\times (1 - p)}{n
}}\right].$

Ici $p = 0,48$ et $n = 100$.

On trouve alors la réponse \textbf{a.~~}$[0,382~;~0,578]$.

\item $p(X\leqslant 40)\simeq 0,0548$ selon la calculatrice .

On trouve alors la réponse \textbf{a.~~}0,055.
\item  

La probabilité que la traversée entre le continent et l'à®le dure au moins 35 minutes est :$p(D\geqslant 35)=pD\in[35~;~
50]=\dfrac{15}{20}$.

On trouve alors la réponse \textbf{d.~~}$0,75 $. 
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité et L}

\medskip 

%La courbe $(\mathcal{C})$ ci-dessous est la représentation graphique d'une fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $[-1~;2]$. 

\begin{center}
\psset{unit=3cm,comma=true}
\begin{pspicture*}(-1.25,-0.25)(2.25,3.5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=2,gridcolor=cyan,subgridcolor=cyan,griddots=5](-1.25,-0.25)(2.25,3.5)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.5,Dy=0.5]{->}(0,0)(-1.25,-0.25)(2.25,3.5)
\uput[ul](0,2){G}
\uput[u](0.693,2.386){S}\uput[ul](1,3){H}
\uput[ur](1.5,1.5){$(\mathcal{C})$}
\uput[dl](0,0){O}
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-1}{2}{2 x mul 3 add 2.71828 x exp sub}
\psplot[plotpoints=500,linewidth=1.25pt]{-1.25}{1.5}{x 2 add}
\pscustom[fillstyle=hlines]{
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{1}{2 x mul 3 add 2.71828 x exp sub}
\psline(1,0)(0,0)}
\psdots(0,2)(0.693,2.386)(1,3)
\end{pspicture*}
\end{center} 

%On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$. 

%Le point G a pour coordonnées (0~;~2). 

%Le point H a pour coordonnées (1~;~3). 

%La droite (GH) est la tangente à  la courbe $(\mathcal{C})$ au point G. 

%La courbe $(\mathcal{C})$ admet une tangente horizontale au point S d'abscisse $\ln 2$. 

%Le domaine hachuré est délimité par l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées, la droite d'équation $x = 1$ et la courbe $(\mathcal{C})$. 

%\bigskip 

\textbf{Partie A}

\medskip 

Dans cette partie aucune justification n'est demandée. Par lecture graphique : 

\medskip

\begin{enumerate}
\item  $f(0)=y_G$ car $G$ est sur $(\mathcal{C})$ et son abscisse vaut $0$ , doc $f(0)=2$.

$f'(0)$ est le coefficient directeur de la tangente au point $G$ c'est

 $f'(0) = \dfrac{y_H-y_G}{x_H-x_G}=\dfrac{3-2}{1-0}=1$; $f'(0)=1$. 
\item Sur $[-1~;~2]$ les solutions de $f'(x) \leqslant 0$ sont les $x$ de l'intervalle sur lequel $f$ est décroissante c'est $[\ln(2)~;2]$. 
\item Il faut  quatre carreaux du graphique pour faire une unité d'aire, or il y a entre $8$ et $10$ carreaux hachurés , donc l'aire hachurée mesure entre $2$ et $3$ unité d'aire. 
\end{enumerate}

\bigskip 

\textbf{Partie B}

\medskip  

On admet que la fonction $f$ est définie sur $[-1~;~2]$ par 

\[f(x) = ax + b - \text{e}^x\]

 oà¹ $a$ et $b$ sont deux réels. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $f'(x) =a-\text{e}^x$. 
\item On sait  que $f'(0)=1$ donc $a-1=1$, donc $a=2$ et que $f(0)=2$  donc $b-1=2$, donc $b=3$

\[f(x) = 2x + 3 - \text{e}^x.\]
 
\item Sur $[-1~;~2]$, une primitive $F$ de la fonction $f$ est la fonction;

\[F(x)=x^2+3x- \text{e}^x.\]
 
\item La valeur exacte, en unités d'aire, de l'aire du domaine hachuré sur le graphique est donné par $F(1)-F(0)=5-\text{e}$ .

Cette valeur est environ $2,3$, ce qui convient avec A)3) 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant  suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip 

%Un parc de loisirs propose à  ses visiteurs des parcours d'accrobranches. 

%Les différents parcours sont modélisés par le graphe $\Gamma$ ci-dessous oà¹ les sommets correspondent aux cinq arbres marquant leurs extrémités. Chaque parcours est représenté par une arête du graphe et peut être réalisé dans les deux sens.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8,5)
\cnodeput(0.5,4.75){A}{1}
\cnodeput(5.5,4.75){B}{2}
\cnodeput(7.5,2.75){C}{3}
\cnodeput(4.5,0.5){D}{4}
\cnodeput(0.5,1.5){E}{5}
\ncline{A}{B} \ncline{A}{D} \ncline{A}{E} 
\ncline{B}{C} \ncline{B}{D} \ncline{B}{E} 
\ncline{C}{E} 
\end{pspicture}
\end{center} 

\begin{enumerate}
\item \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|}\hline 
sommets & 1	&2	&3	&4	&5\\\hline 
degré	&$3$&$4$&$2$&$2$&$3$\\\hline
\end{tabular}\vskip 0.5 cm

 Comme il y a exactement deux sommets de degré impair 1 et 5, il y a une chaine eulérienne qui commence et finit par chacun de ces deux sommets, et comme la somme des degrés est $14$,  il y a $7$ arêtes.\\$1,2,4,1,5,3,2,5$ est un tel  itinéraire complet d'accrobranches,  empruntant une fois et une seule chaque parcours et  commençant par l'arbre numéro 1. 
\item 
%On note $M$ la matrice associée au graphe $\Gamma$ en considérant les sommets pris dans l'ordre croissant des numéros d'arbres. 
	\begin{enumerate}
		\item La matrice $M$ :
		\[M = \begin{pmatrix}            
0&   1&   0&   1&   1\\     
1&   0&   1&   1 &  1 \\    
0&   1&   0&   0&   1\\  
1&   1&   0&   0&   0\\     
1&   1&   1&   0&   0\\   
\end{pmatrix}\]. 
		\item On utilise la matrice  $M^3$, et son coefficient situé en première ligne quatrième colonne. 
		
C'est $5$ ; c'est le nombre d'\og itinéraires express \fg{} qui débutent à   l'arbre numéro 1, empruntent trois parcours d'accrobranches et finissent à  l'arbre 4. Ce sont

1, 5 , 2 , 4 \:;\: 1,2 , 1 , 4\:;\:1,5 , 1 , 4 \:;\:1,4 , 1 , 4 \:;\:1,4 , 2 , 4 .

	\end{enumerate} 
\item 
%Pour terminer ces \og itinéraires express \fg, on installe un toboggan géant sur l'arbre 4. 

%La forme de ce toboggan est modélisée par une fonction $f$ dont la courbe $\mathcal{C}$ est donnée ci-dessous dans un repère orthonormé. 

%\begin{center}
%\psset{unit=0.6cm}
%\begin{pspicture}(-0.25,-0.5)(21,11)


%Cette courbe passe par les points I, J et K de coordonnées respectives (2~;~8,1), (10~;~2,5) et (20~;~0). 
%La fonction $f$ est définie sur [0~;~20] par 

%\[f(
%x) = ax^2 + bx + c\]

%oà¹ $a, b$ et $c$ sont trois nombres réels. 
\medskip
	\begin{enumerate}
\item On sait que $K(20~;~0)$ est sur la courbe $\mathcal{C}$ donc $f(x_K)=y_K$ donc $f(20)=0$ or $f(20)=a\times 20^2+b\times 20+c$ donc $400a+20b+c=0$, c'est la première ligne du système .\\
		On sait que $J(10~;~2,5)$ est sur la courbe $\mathcal{C}$ donc $f(x_J)= y_J$ donc $f(10)=2,5$ or $f(10)=a\times 10^2+b\times 10+c$ donc $100a+10b+c=0$, c'est la deuxième ligne du système .\\
		On sait que $I(2~;~8,1)$ est sur la courbe $\mathcal{C}$ donc $f(x_I)=y_I$ donc $f(2)=8,1$ or $f(2)=a\times 2^2+b\times 2+c$ donc $4a+2b+c=0$, c'est la troisième ligne du système .		
		\item Prenons  $X=\begin{pmatrix} a\\b\\c
\end{pmatrix}$ et $Y=\begin{pmatrix} 0\\2,5\\8,1
\end{pmatrix}$ alors  le système précédent est équivalent à  

\[UX = Y\quad  \text{oà¹} \quad  U = \begin{pmatrix} 400 &20& 1\\100& 10& 1\\4&2&1
\end{pmatrix}.\]
 
		\item La calculatrice nous permet de savoir que $U^{-1}$ existe .\\ On sait qu'alors : $UX=Y\iff X=U^{-1}Y$.\\On trouve à  la calculatrice que $$U^{-1} Y=\begin{pmatrix} \dfrac{1}{40}\\-1\\10
\end{pmatrix}$$

Ainsi, $a=\dfrac{1}{40}, b=-1$ et $c=10$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 5 points}
%\textbf{Commun à  tous les candidats}
\begin{enumerate}
\item Si on désigne par $a_n$ le nombre d'abonnements l'année $2010+n$, l'année d'après ,
 en $2010+ (n + 1)$, de ces abonnements il en reste $60\%$ donc $0,6\times a_n$, et on y rajoute $400$ pour avoir le nombre d'abonnements l'année $2010 + (n + 1)$ donc
   
\[a_{n+1} = 0,6 a_n + 400.\]

De plus $a_0$ qui désigne le nombre d'abonnements l'année $2010$ vaut \np{1500}. 
\item On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie par $v_n = a_n - \np{1000}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Pour tout $n \in \N$,\: $v_{n+1}=a_{n+1}-1000$
		
$v_{n+1}= \left(0,6 a_n + 400\right) - \np{1000}$\\$v_{n+1}= 0,6 a_n - 600$ or $600 = 0,6\times \np{1000}$
		
$v_{n+1}= 0,6\left(a_n - \np{1000}\right)$

$v_{n+1}= \left( 0,6 v_n\right)$.

La suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison $q=0,6$ et de premier terme: $v_0=a_0-\np{1000}$

$v_0=\np{1500}-\np{1000}$

$v_0=500$. 
		\item On sait que pour une suite géométrique, pour tout $n\i\N$  $v_n=v_0\times q^n$\\ donc $v_n=500\times 0,6^n$. 
		\item Pour tout $n \in \N$, $a_n=v_n+\np{1000},$ donc $a_n = 500 \times  0,6^n + \np{1000}$. 
	\end{enumerate}
\item %En 2010 le prix d'un abonnement annuel dans une salle de sport de cette société était de $400$~\euro. 
	\begin{enumerate}
		\item On multiplie le nombre d'abonnements par le prix d'un abonnement : 
		
$\np{1500}\times 400=\np{600000}$. 

%Chaque année le prix de cet abonnement augmente de 5\,\%. 

%On note $P_n$ le prix de l'abonnement annuel pour l'année $2010 + n$. 
		\item Quand une quantité augmente de $5\%$, par a chaque quantité est obtenue en multipliant la précédente par le coefficient multiplicateur $(1+\frac{5}{100})=1,05$, donc pour tout $n\in\N$,$$P_{n+1}=1,05\times P_n$$ La nature de la suite $\left(P_n\right)$ est donc  géométrique de raison $1,05$, de premier terme $P_0=400$ . 

Et comme au 2)b), pour tout $n\in\N$, $P_n=400\times 1,05^n $ . 
		\item Pour l'année $2010 + n$, la recette totale annuelle s'obtient en multipliant  le nombre d'abonnements par le prix d'un abonnement $R_n=a_n\times P_n$ 

\[R_n = \left(500 \times 0,6^n + \np{1000}\right) \times  \left(400 \times 1,05^n \right).\]
 
		\item A l'aide de la  calculatrice  on voit que les valeurs de la suite $\left(P_n\right)$ commencent par diminuer puis elles augmentent à  partir de $n=3$;\\ $R_8 = \np{595945} ; R_9=\np{623658}$, donc c'est pour $n=9$ donc en \np{2019} que   pour la première fois, la recette de cette société dépassera celle obtenue en 2010 qui était de $\np{600000}$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
	
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 5 points}

\textbf{Commun à  tous les candidats}

\medskip  

%On a utilisé un logiciel de calcul formel et on a obtenu les résultats suivants : 

%\begin{center}
%\begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|c| X X|}\hline   
%1&dériver $\left(\frac{\ln (x)}{x} \right)$&\\        
%&&$\frac{1 - \ln (x)}{x^2}$\\ \hline      
%2& dériver $\left(\frac{1}{x^2}\right)$&\\
%&& $- \frac{2}{x^3}$\\ \hline      
%3&   dériver $\left(\frac{\ln (x)}{x^2} \right)$&\\
%&&$\frac{1 - 2\ln (x)}{x^3}$\\ \hline
%\end{tabularx}
%\end{center}       

%\emph{On pourra utiliser les résultats obtenus par ce logiciel pour répondre à  certaines questions de l'exercice.} 

On considère la fonction $f$ définie sur [1~;~10] par 

\[f(x) = \dfrac{\ln (x)}{x}\]

%et on note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère. 

%La fonction $f$ est deux fois dérivable sur [1~;~10], on note $f'$ sa fonction dérivée et $f''$ sa fonction dérivée seconde.

\medskip 

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Rappel: $\ln$ est définie dérivable sur $]0~;~+\infty[$.
		
$f'(x)=\dfrac{\ln'(x)\times x-\ln(x)\times 1}{x^2}$
		
Or $ln'(x)=\dfrac{1}{x}$, donc $\ln'(x)\times x= \dfrac{1}{x}\times x=1$  donc

$f'(x)=\dfrac{1-\ln(x)\times 1}{x^2}$sur [1~;~10]. 
		\item  $f'(x)$ est du signe de $(1-\ln(x))$ sur [1~;~10] car son dénominateur est $x^2$ et $x^2>0$.
		
Or pour tout $x$ de $]0:+\infty[$,\\ $1-\ln(x)>0\iff 1 > \ln(x)$ or $1 = \ln(\text{e})$ et $\ln$ est croissante sur $]0~;+\infty[$, \\$1>\ln(x)\iff \ln(\text{e}) >\ln(x)\iff \text{e} > x.$

L'intervalle[1~;~10]  contient $\text{e}$ donc $f'$ change de signe en  $\text{e}$ et 

\[f'(x)>0\iff 1 > \ln(x)\iff \text{e}> x\]

 et $f(\text{e}) = \dfrac{\ln(\text{e})}{\text{e}} = \dfrac{1}{\text{e}}$
 
\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=1cm}
\begin{pspicture}(8,3.5)
\psframe(8,3) \psline(0,2)(8,2) \psline(0,2.5)(8,2.5) 
\psline(2,0)(2,3)\uput[u](1,2.5){$x$}\uput[u](2.2,2.5){$1$}\uput[u](5,2.5){$\text{e}$}
\uput[u](7.75,2.5){$10$}\uput[u](1,1.9){$f'(x)$}\uput[u](3.5,2){$+$}\uput[u](5,2){$0$}\uput[u](6.5,2){$-$}
\rput(1,1){$f$}\rput(2.3,0.2){$0$}\rput(5,1.75){$\frac{1}{\text{e}}$}\rput(7.5,0.5){$\dfrac{\ln(10)}{10}$}
\psline{->}(2.6,0.4)(4.5,1.5) \psline{->}(5.5,1.5)(7.,0.5)
%\psline{->}(6.5,1.7)(7.7,0.25)
\end{pspicture}
\end{center} 
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Si $u(x)=1-\ln(x)$ alors $u'(x)=-\dfrac{1}{x}$\\ si $v(x)=x^2$ alors $v'(x)=2x$\\
		
$u'(x)\times v(x)-u(x)v'(x)=-\dfrac{1}{x}\times x^2-(1-\ln(x))\times 2x$\\$u'(x)\times v(x)-u(x)v'(x)=- x-2x+\ln(x)\times 2x$

$u'(x)\times v(x)-u(x)v'(x)=-3x+\ln(x)\times 2x$\\$u'(x)\times v(x)-u(x)v'(x)=x\times (-3+2\ln(x))$

$f''(x) = \dfrac{x\times (2\ln (x) - 3)}{(x^2)^2}$ , or $(x^2)^2 = x^4$ qui  se simplifie avec $x$

$f''(x) = \dfrac{ (2\ln (x) - 3)}{x^3}$ sur [1~;~10]. 
		\item $f''(x)$ est du signe de $(2\ln(x)-3)$ sur [1~;~10] car son dénominateur est $x^3$ et $x^3>0$. \\ Or pour tout $x$ de $]0~;~+\infty[$,
		
$2\ln(x)-3>0\iff 2\ln(x) > 3\iff \ln(x) > 1,5\iff x>\text{e}^{1,5}.$

Lâ€™intervalle[1~;~10]  contient $\text{e}^{1,5}$ donc $f''$ change de signe en  $\text{e}^{1,5}$ et 
		 
\[f''(x)>0\iff 1,5< \ln(x)\iff \text{e}^{1,5}<x.\]
		 
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.} 
\begin{tabular}{|c|ccccc|}\hline &&&&&\\ $x$&$1$&&$\text{e}^{1,5}$&&$10$\\\hline
\rule[-3mm]{0mm}{9mm}$f''(x)$&&$-$&$0$&$+$&\\\hline \end{tabular}
\end{center}
		\item La courbe $\mathcal{C}$ possède un point d'inflexion au point d'abscisse $e^{1,5}$ car en cette valeur de $x$,  $f''$ s'annule en changeant de signe . 
	\end{enumerate}
\item On considère l'algorithme suivant: 

\begin{center}
\begin{tabular}{|l l|}\hline
\textbf{INITIALISAIT}&\\
&$X$ PREND LA VALEUR $2$\\ 
&$Y$ PREND LA VALEUR $\frac{\ln(2)}{2}$\\ 
&$Z$ PREND LA VALEUR $\frac{\ln(2,1)}{2,1}$\\
\textbf{TRAITEMENT}&\\  
&TANT QUE $(Y < Z)$ FAIRE\\ 
&\hspace{0,5cm}$X$ PREND LA VALEUR $X+0,1$\\ 
&\hspace{0,5cm}$Y$ PREND LA VALEUR $\frac{\ln (X)}{X}$\\ 
&\hspace{0,5cm}$Z$ PREND LA VALEUR $\frac{\ln (X+0,1)}{X+0,1}$\\
&FIN TANT QUE \\
\textbf{SORTIE}&\\ 
&AFFICHER X \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{X|}}\hline
$X$&   $Y$&   $Z$&   Test : $Y < Z $\\ \hline  
2  &\np{0,3466}&\np{0,3533}&vrai\\ \hline   
2,1&\np{0,3533}&\np{0,3584}&vrai\\ \hline   
2,2&\np{0,3584}&\np{0,3621}&vrai\\ \hline
2,3&\np{0,3621}&\np{0,3648}&vrai\\ \hline
2,4&\np{0,3648}&\np{0,3665}&vrai\\ \hline
2,5&\np{0,3665}&\np{0,3675}&vrai\\ \hline
2,6&\np{0,3675}&\np{0,3679}&vrai\\ \hline
2,7&\np{0,3679}&\np{0,3677}&faux \\ \hline
\end{tabularx}
\medskip

		\item La valeur affichée en sortie est la dernière valeur de $X$ du tableau c'est $2,7$. c'est sur l'intervalle $[2,7~;~2,8]$ que   la fonction $f$  atteint son maximum :
		
après avoir été croissante , elle décroà®t car $\text{e}\in[2,7~;~2,8].$ 
	\end{enumerate}
\end{enumerate} 
\end{document}