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%Tapuscrit : Denis Vergès
%corrigé Nathalie Lognonné et François Hache (spécialité)
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\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} 
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} 
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} 
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} 
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} 
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} 
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}  
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\hypersetup{%
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pdfsubject = {Corrigé du baccalauréat ES},
pdftitle = {Pondichéry 21 avril 2016},
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat ES/L }
\lfoot{\small{Pondichéry}}
\rfoot{\small 21 avril 2016} 
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy} 
\thispagestyle{empty} 
\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat ES  Pondichéry~\decofourright\\[5pt]21 avril 2016}} 
\end{center}

\medskip

\textbf{Exercice 1 \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

%\medskip
%
%\emph{Cet exercice est un QCM (questionnaire à choix multiples). Pour chacune des quatre questions posées, une seule des trois réponses proposées est exacte. Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse exacte. Aucune justification n'est demandée. Une réponse exacte rapporte $1$ point, une réponse fausse ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point. Une réponse multiple ne rapporte aucun point.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ par 
$f(x) = 3x - x \ln x$.

On admet que $f$ est dérivable sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ et on désigne par $f'$ sa fonction dérivée.

$f'(x) = 3 - \left[1\times \ln x+x \times \dfrac{1}{x}\right] = 3 - \ln x - 1 = 2 - \ln x$ soit \textbf{la réponse c}
\medskip

\item On considère la suite géométrique de premier terme 1 et de raison 2.

La somme des 13 premiers termes de cette suite est appelée $S$.

On aura $S= 1 \times \dfrac{1 - 2^{13}}{1 - 2}=\np{8191}$ soit \textbf{ la réponse b} 
\medskip

\item Une variable aléatoire $X$ suit une loi uniforme sur l'intervalle [2~;~7].

$P(X\geqslant4)=P(4\leqslant X \leqslant 7) = \dfrac{7 - 4}{5}$ et  $P(2\leqslant X \leqslant 5)=\dfrac{5 - 2}{5}$ soit \textbf{la réponse b}
\medskip

\item On réalise un sondage sur un échantillon de $n$ personnes ($n$, entier naturel non nul).
L'intervalle de confiance au seuil de 95\,\% est 
$\left [f-\dfrac{1}{\sqrt{n}}\,;\,f+\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right]$  ;
son amplitude  vaut donc $\dfrac{2}{\sqrt{n}}$.

$\dfrac{2}{\sqrt{n}}= 0,02 \iff n = \np{10000}$ donc
 la bonne réponse est la \textbf{réponse c}.
 \end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\begin{center}
\textbf{Partie A : Étude graphique}
\end{center}

Voir graphique page \pageref{Pondi_fig_2}.

\begin{enumerate}
\item La quantité de granulés en tonnes pour laquelle le coût quotidien de l'entreprise correspond au minimum de la fonction $C$; elle est égale à $4,5$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item $C(6)=5$ et $R(6) = 18$  donc $D(6) = 18 - 5 = 13$. 
		
		Le résultat net pour une production de $6$ tonnes est donc de $\np{1300}$ euros.
		\item L'entreprise réalise un bénéfice quand la production $x$ est telle que le coût est strictement inférieur au rapport, c'est-à-dire quand $C(x) < R(x)$, autrement dit entre $2,8$ et $13,3$ tonnes.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\begin{center}
\textbf{Partie B : Étude d'une fonction}\end{center}

On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle [1~;~15] par :

$g(x) = - 0,6x + 4 + \text{e}^{- x + 5}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item La fonction $g$ est dérivable [1~;~15] et  $g'(x) = - 0,6 -\text{e}^{- x + 5}$.
		\item $\text{e}^{- x + 5}>0$ quelle que soit la valeur de $x$ donc $-\text{e}^{- x + 5}<0$ et par suite, $g'(x) < 0$ comme somme de deux nombres strictement négatifs. 
		
		La fonction $g$ est donc strictement décroissante sur [1~;~15]
	\end{enumerate}
\item 

	\begin{enumerate}
		\item $g(1)\approx 58$ et $g(15)\approx -5$;
on a donc le tableau de variation suivant: 
	
%\begin{center}	
%\begin{tikzpicture}
%\tkzTab{$x$/1,signe de $g'(x)$/1, variation de $g$/1.8}{$1$,$15$}{ ,-}{+/$58$, -/$-5$}
%\tkzTabVal[draw]{1}{2}{0.4}{$\alpha$}{$0$}
%\end{tikzpicture}  
%\end{center}

\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}  % paramètres
\def\esp{4cm}% pour modifier la largeur du tableau
\def\hauteur{20pt}% mettre au moins 12pt pour augmenter la hauteur
$\begin{array}{|c| *3{c}|}
\hline
 x & 1   & \hspace*{\esp} & 15 \\
 \hline
g'(x) &   & \pmb{-} & \\  
\hline
  &  \Rnode{max}{58} &    &    \\
g(x) & &  &  \rule{0pt}{\hauteur} \\
 &      & & \Rnode{min}{-5} \rule{0pt}{\hauteur}
\ncline{->}{max}{min}
\rput*(-2.5,0.92){\Rnode{zero}{\red 0}}
\rput(-2.5,2.9){\Rnode{alpha}{\red \alpha}}
\ncline[linestyle=dotted, linecolor=red]{alpha}{zero}
\\
\hline
\end{array}$
}
\end{center}

		\item Le tableau de variation de $g$ justifie que l'équation $g(x)=0$ admet une unique solution sur $[1\,;\,15]$;

$\left. 
\begin{array}{@{} l}
g(6)\approx 0,77>0\\
g(7)\approx -0,06<0
\end{array}
\right\rbrace 
\implies \alpha \in [6\,;\,7]
\hfill
\left. 
\begin{array}{@{} l}
g(6,9)\approx 0,01 > 0\\
g(7,0)\approx -0,06 < 0
\end{array}
\right\rbrace 
\implies \alpha \in [6,9\,;\,7]
$

Enfin 	$\left. 
\begin{array}{@{} l}
g(6,91)\approx 0,002 > 0\\
g(6,92)\approx - 0,005 < 0
\end{array}
\right\rbrace 
\implies \alpha \in [6,91\,;\,6,92]
$

Donc $\alpha \approx 6,9$ à 0,1 près.	

		\item On en déduit donc le tableau de signe suivant : 

%\begin{center}	
%\begin{tikzpicture}
%\tkzTab{$x$/1,signe de $g(x)$/1}{$1$,$\alpha$,$15$}{,+,z ,-,}{-\ $-51$,+\ $13$, -\ $8$ }
%\end{tikzpicture}
%\end{center}

\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}%  paramètres
\def\esp{2.5cm}% pour modifier la largeur du tableau
\def\hauteur{20pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur
$\begin{array}{|c|*5{c}|}
\hline
x & 1  & \hspace*{\esp} & \alpha & \hspace*{\esp} & 15 \\ 
\hline
g(x) &  &   \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{-} & \\ 
\hline
\end{array} $
}
\end{center}	
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}
\textbf{Partie C : Application économique}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item% Démontrer que pour tout réel $x$ de l'intervalle [1~;~15], on a :
$D (x) = R(x)-C(x) = 3x - \left( 0,3x^2-x+\text{e}^{- x + 5} \right) = - 0,3x^2 + 4x - \text{e}^{- x + 5}$

\item $D'(x) =  - 0,3 \times 2x + 4 + \text{e}^{- x + 5}= g(x)$ 

\item $D(1) \approx -50,9$ , $D(\alpha) \approx 13,17$ et $D(15) \approx - 7,5$;

on aura donc le tableau de variation de la fonction $D$ suivant: 

%	\begin{center}	
%\begin{tikzpicture}
%\tkzTab{$x$/1,signe de $g(x)$/1, variation de $g$/2}{$1$,$\alpha$,$15$}{,+,z ,-,}{-/ $-50.9$,+/$13.17$, -/ $-7.5$ }
%\end{tikzpicture}
%\end{center}

\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}%  paramètres
\def\esp{2.5cm}% pour modifier la largeur du tableau
\def\hauteur{20pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur
$\begin{array}{|c|*5{c}|}\hline
x 		& 1 & \hspace*{\esp} 	& \alpha 					& \hspace*{\esp} 	& 15 \\ \hline
g(x) 	&  	&\pmb{+} 			& \vline\hspace{-2.7pt}0 	& \pmb{-} 			& \\ \hline
 		& 	&  					&\Rnode{max}{13,17}			&  					&   \\  
D(x) 	& 	&     				&  							&  					&\rule{0pt}{\hauteur} \\ 
 		&\Rnode{min1}{-50,9}&   							&  					&  &\Rnode{min2}{-7,5} \rule{0pt}{\hauteur}    
\ncline{->}{min1}{max} 
\ncline{->}{max}{min2} 
\\ 
\hline
\end{array} $
}
\end{center}	

\item  
	\begin{enumerate}
		\item L'entreprise rendra son bénéfice maximal pour une production de $\alpha$ tonnes soit environ $6,9$ tonnes 
		\item Le bénéfice réalisé sera alors de $\np{1317}$ euros.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3 \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

%\medskip
%
%\textbf{Les parties A et B peuvent être traitées de manière indépendante}

\medskip

\begin{center}\textbf{Partie A}\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item En utilisant les données du texte, on a;  $P(G) = 0,49$, $P(T) = 0,20$, $P_T(R) = 0,906$ et $P_G(R)=0,915$.

\item On peut donc construire l'arbre de probabilités (voir page \pageref{Pondi_3}). 

\begin{figure}[t!]
\label{Pondi_3}
\centering
  \pstree[treemode=R,nodesepB=8pt,nodesepA=0pt,levelsep=5cm,treesep=1cm,nrot=:U]{\TR{}}
 {
 	\pstree[nodesepA=8pt]{\TR{$G$}\naput{$P(G)=0,49$}}
 	  { 
 		  \TR{$R$}\naput{$p_{G}(R)=0,915$}
 		  \TR{$\overline{R}$}\nbput{$\red p_{G}(\overline{R})=0,085$}	   
 	  }
 	\pstree[nodesepA=8pt]{\TR{$T$}\naput{$P(T)=0,20$}}
 	  { 
 		  \TR{$R$}\naput{$p_{T}(R)=0,906$}
 		  \TR{$\overline{R}$}\nbput{$\red p_{T}(\overline{R})=0,094$}	   
 	  }
 	\pstree[nodesepA=8pt]{\TR{$S$}\nbput{$\red P(S)=0,31$}}
 	  { 
 		  \TR{$R$}\naput{$p_{S}(R)$}
 		  \TR{$\overline{R}$}\nbput{$\red p_{S}(\overline{R})$}	   
 	  }
}
\end{figure}
                
                
                \item On cherche $P(T \cap R)$: $P(T \cap R)= P(T) \times P_T(R)=0,20 \times 0,906 = 0,1812$
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On a $p(R) = 0,878$ et d'après les probabilités totales, comme $G$, $T$ et $S$ forment une partition de l'univers : 
		
$P(R) =  P(G \cap R) + P(T \cap R) + p(S \cap R)\\
\phantom{P(R)} = 0,49 \times 0,915 + 0,2 \times 0,906 + p(S \cap R) = 0,878$
		
On aura alors: 
$p(S \cap R)=0,878-\left( 0,49 \times 0,915+0,2 \times 0,906 \right) = \np{0,24845}$.

		\item On cherche $P_S(R)$: 
		$P_S(R)= \dfrac{P( S \cap R)}{p(S)}=\dfrac{\np{0,24845}}{\np{0,31}}\approx{0,801}$		
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}
\textbf{Partie B}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item En utilisant la calculatrice, on a  $P (9 \leqslant X_M \leqslant 16) = 0,68$. 

C'est un résultat du cours car $9 = 12,5 - 3,5 = m - \sigma$ et $16 = 12,5 + 3,5 = m +\sigma$.
 
\item \begin{itemize}
\item Sur le graphique 3, l'espérance de la loi $X_M$  est supérieure à celui de la loi $X_F$  car l'axe de symétrie de la courbe en pointillé est placé à droite de celui de la courbe pleine ; or $E(X_M)=12,5$ et $E(X_F)=13,2$ donc ce  graphique ne convient donc pas.

\item Sur le graphique 1, la courbe correspondant à $X_M$ a un sommet situé au dessus de celle correspondant à $X_F$ donc l'écart type $\sigma_M$ de la loi suivie par $X_M$ doit être inférieur à celui $\sigma_F$ de la loi suivie par $X_F$; 
or $\sigma_M = 3,5$ et $\sigma_F = 2,1$ donc ce graphique ne convient pas.

\end{itemize}

Le graphique qui correspond est donc le graphique \no 2.

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 4 \hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item% $u_1 = \np{5700} \times 1,015 - 300 = \np{5485,5}$, car le taux d'intérêt de $1,5$\,\% correspond à un coefficient multiplicateur de 1,015 auquel on enlève le montant de la mensualité soit 300 \euro.

Ajouter 1,5\,\% revient à multiplier par 1,015; si on augmente les \np{5700} euros du départ de 1,5\,\%, on obtient $\np{5700}\times 1,015
= \np{5785,50}$ euros. Comme on verse 300 euros, on obtient $u_1= \np{5785,50} - 300 = \np{5485,50}$ euros.
		\item De même $u_2 = 1,015 u_1- 300=\np{5485,50} \times 1,015 - 300 \approx \np{5267,78}$
	\end{enumerate}
\item La suite $\left(u_n\right)$ est définie pour tout  $n$ par : 
$u_{n+1} = 1,015u_n - 300$.
	
On considère l'algorithme suivant:

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|l|X|}\hline	
\textbf{Variables :}	&$n$ est un entier naturel\\
						&$u$ est un nombre réel\\
\textbf{Traitement :}	&Affecter à $u$ la valeur \np{5700}\\
						&Affecter à $n$ la valeur 0\\
						&Tant que $u > \np{4500}$ faire\\
						&\begin{tabular}{m{0.4cm}|l}
							&$u$ prend la valeur $1,015 \times u - 300$\\
							&$n$ prend la valeur $n + 1$\\
							\end{tabular}\\
						&Fin Tant que\\
\textbf{Sortie :}		&Afficher $n$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item On obtient le tableau ci-dessous:
		
\medskip

%\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{7}{>{\centering \arraybackslash \small}X|}}
{\footnotesize
\begin{tabular}{*8{c}}
\hline 
valeur de $u$ & 5700 &\np{5485,50} &\np{5267,78} &\np{5046,80} &\np{4822,50} &\np{4594,84} &\np{4363,76} \\ \hline 
valeur de $n$ & 0 	& 1 			& 2 		& 3 			& 4 		& 5 			& 6 \\ \hline 
\footnotesize$u > 4500$ & vrai 	& vrai & vrai & vrai & vrai & vrai & faux \\ \hline 
\end{tabular}
}
%\end{tabularx} 
\medskip
\item L'algorithme affiche à la fin de son exécution la valeur $6$. 

Au bout du sixième remboursement, le capital restant dû sera inférieur à \np{4500} \euro.

	\end{enumerate}

\item Soit la suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout $n$ par $v_n = u_n - \np{20000}$; donc 

$u_n = v_n + \np{20000}$.
	\begin{enumerate}
		\item 
$v_{n+1} =u_{n+1}-\np{20000} = 1,015 u_n - 300 - \np{20000} = 1,015 u_n  - \np{20300}\\
\phantom{v_{n+1}} = 1,015\left(u_n-\dfrac{\np{20300}}{1,015}\right) = 1,015\left(u_n - \np{20000}\right) = 1,015 \times  v_n$
		\item% En déduire que pour tout entier naturel $n$, on a : 
$v_0=u_0-\np{20000} = \np{5700}- \np{20000} = \np{-14300}$

Donc la suite $(v_n)$ est géométrique de raison $q=1,015$ et de premier terme $v_0=\np{-14300}$.

D'après les propriétés des suites géométriques, on en déduit que, pour tout $n$, $v_n = v_0 \times q^n = -\np{14300} \times 1,015^{n}$.

Comme $u_n = v_n + \np{20000}$, on déduit que $u_n = \np{20000} - \np{14300} \times 1,015^n$, pour tout $n$.
	\end{enumerate}
\item% À l'aide de la réponse précédente, répondre aux questions suivantes :
	\begin{enumerate}
		\item Le 26 avril 2017 correspond à $n=15$.
		
$u_{15}=\np{20000} - \np{14300} \times 1,015^{15} \approx \np{2121,68}$~euros
		\item On cherche $n$ pour que $u_n=0$: 
		
$u_n = 0 \iff \np{20000} - \np{14300} \times 1,015^n=0 \iff \np{14300} \times 1,015^n=\np{20000} \\[5pt]
\phantom{u_n=0}\iff 1,015^n=\dfrac{\np{20000}}{\np{14300}} \iff n \ln 1,015 = \ln \left( \dfrac{\np{20000}}{\np{14300}} \right) \iff n\approx 23$

La dernière mensualité sera la 23\ieme.

		\item Le nombre $u_{22}$ représente le capital à rembourser après avoir payé la 22\ieme{} mensualité, donc le montant de la 23\ieme{} et dernière mensualité. 
		
On a $u_{22}= \np{20000} - \np{14300} \times 1,015^{22}\approx 157,84$ euros.
		
Le montant de la 23\ieme{} et dernière mensualité est de 
$157,84 \times 1,015 \approx 160,21$ euros.
		\item Le montant du remboursement sera de 22 mensualités de 300 euros auquel il faut rajouter 160,21 euros soit un montant total de $300 \times 22 + 160,21 = \np{6760,21}$ euros.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 4 \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

%\medskip
%
%
%Une étude statistique sur une population d'acheteurs a montré que :
%
%\setlength\parindent{1cm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~~$]90\,\% des personnes qui ont fait leur dernier achat en utilisant internet affirment vouloir continuer à utiliser internet pour faire le suivant. Les autres personnes comptent faire leur
%prochain achat en magasin;
%\item[$\bullet~~$]60\,\% des personnes qui ont fait leur dernier achat en magasin affirment vouloir continuer à effectuer le suivant en magasin. Les autres comptent effectuer leur prochain achat en utilisant internet.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0cm}
%
%Dans toute la suite de l'exercice, $n$ désigne un entier naturel non nul.
%Une personne est choisie au hasard parmi les acheteurs.
%On note :
%
%\setlength\parindent{1cm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~~$]$a_n$ la probabilité que cette personne fasse son $n$-ième achat sur internet;
%\item[$\bullet~~$]$b_n$ la probabilité que cette personne fasse son $n$-ième achat en magasin.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0cm}
%On suppose de plus que $a_1 = 1$ et $b_1 = 0$.
%
%On note $P_n = \begin{pmatrix}a_n& b_n\end{pmatrix}$ l'état probabiliste correspondant au $n$-ième achat. 
%Ainsi $P_1 = \begin{pmatrix}1& 0\end{pmatrix}$.
%
%On note:
%
%\setlength\parindent{1cm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~~$]$A$ l'état: \og La personne effectue son achat sur internet\fg;
%\item[$\bullet~~$]$B$ l'état: \og La personne effectue son achat en magasin \fg.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0cm}

\medskip

\begin{enumerate}

\item On représente la situation par un graphe probabiliste de sommets $A$ et $B$:

\begin{center}
\hspace{2cm}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(0,-1)(4,1.2)
\psset{nodesep=5pt,arcangle=15,arrowsize=2pt 3}%  paramètres du graphe

%%%% G pour Gauche, D pour Droit
%%%% Entrer dans les 6 lignes qui suivent ce qu'il faut !
\def\nomG{$A$}%   nom du sommet de gauche
\def\nomD{$B$}%   nom du sommet de droite
\def\valGD{0,10}%  poids de l'arc du sommet gauche au sommet droit
\def\valDG{0,40}% poids de l'arc du sommet droit au sommet gauche
\def\valGG{0,90}%  poids de la boucle autour du sommet gauche
\def\valDD{0,60}% poids de la boucle autour du sommet droit

%%%% ne pas toucher aux lignes ci-dessous
\Rnode{G}{\nomG} \hskip 4cm \Rnode{D}{\nomD}%   définition des sommets
\ncarc{->}{G}{D} \Aput{\valGD}% arc pondéré partant de G
\ncarc{->}{D}{G} \Aput{\valDG}% arc pondéré partant de D 
\nccircle[angleA=90]{->}{G}{4mm}   \Bput{\valGG}%   boucle autour de G
\nccircle[angleA=-90]{->}{D}{.4cm} \Bput{\valDD}%  boucle autour de D
\end{pspicture}
\end{center}


\item% Écrire la matrice de transition $M$ associée à ce graphe en prenant les sommets dans l'ordre alphabétique.
D'après le texte:
$\left \lbrace
\begin{array}{l !{=} l}
a_{n+1} & 0,9\,a_n + 0,4\,b_n\\
b_{n+1} & 0,1\,a_n + 0,6\,b_n
\end{array}
\right .$

Ce qui équivaut à:
$\begin{pmatrix}
a_{n+1} & b_{n+1}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
a_{n} & b_{n}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
0,9 & 0,1 \\ 0,4 & 0,6
\end{pmatrix}$ 

La matrice de transition $M$ associée à ce graphe est donc
$M =
\begin{pmatrix}
0,9 & 0,1 \\ 0,4 & 0,6
\end{pmatrix}$

\item  
	\begin{enumerate}
		\item On trouve à la calculatrice 
$M^4 =
\begin{pmatrix}
\np{0,8125} & \np{0,1875} \\ 0,75 & 0,25
\end{pmatrix}$

		\item% En déduire que la probabilité que la personne interrogée fasse son 5\up{e} achat sur internet est égale à \np{0,8125}.
La probabilité que la personne interrogée fasse son 5\ieme{} achat sur internet est $a_5$.

D'après le cours, on sait que, pour tout $n\geqslant 1$, $P_n=P_1 \times M^{n-1}$ donc 

$P_5 = P_1 \times M^{4}
=
\begin{pmatrix}
1 & 0
\end{pmatrix} 
\begin{pmatrix}
\np{0,8125} & \np{0,1875} \\ 0,75 & 0,25
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\np{0,8125} & \np{0,1875}
\end{pmatrix}$;

on en déduit que $a_5= \np{0,8125}$ et $b_5= \np{0,1875}$.

La probabilité que la personne interrogée fasse son 5\ieme{} achat sur internet est donc $\np{0,8125}$.

	\end{enumerate}

\item On note $P = \begin{pmatrix} a & b \end{pmatrix}$ l'état stable associé à ce graphe.

	\begin{enumerate}

		\item% Montrer que les nombres $a$ et $b$ sont solutions du système :
Comme $P$ est un état du système, on peut dire que $a+b=1$.

$P$ est un état stable donc $P=P\times M$ ce qui équivaut à:

$\begin{pmatrix} a & b \end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix} a & b \end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
0,9 & 0,1 \\ 0,4 & 0,6
\end{pmatrix}
\iff
\begin{pmatrix} a & b \end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix} 0,9 a + 0,4 b &  0,1 a + 0,6 b\end{pmatrix}
\iff $

$\left \lbrace
\begin{array}{l !{=} l}
a & 0,9 a + 0,4 b\\
b & 0,1 a + 0,6 b
\end{array}
\right .
\iff
\left \lbrace
\begin{array}{l !{=} r}
0 & -0,1 a + 0,4 b\\
0 & 0,1 a - 0,4 b
\end{array}
\right .
\iff
0,1 a - 0,4 b = 0$

Donc $a$ et $b$ vérifient le système
$\left\{\begin{array}{r c r c l}
0,1a & - &	0,4b &=& 0\\
a & + & b &=& 1
\end{array}\right.$

		\item% Résoudre le système précédent.
$\left\{\begin{array}{r c r c l}
0,1a & - &	0,4b &=& 0\\
a & + & b &=& 1
\end{array}\right.
\iff
\left\{\begin{array}{l !{=} l}
0,1a &	0,4b\\
a+b & 1
\end{array}\right.
\iff
\left\{\begin{array}{l !{=} l}
a &	4b\\
a+b & 1
\end{array}\right.
\iff
\left\{\begin{array}{l !{=} l}
a &	4b\\
4b+b & 1
\end{array}\right.$

$\iff
\left\{\begin{array}{l !{=} l}
a &	4b\\
b & 0,2
\end{array}\right.
\iff
\left\{\begin{array}{l !{=} l}
a &	0,8\\
b & 0,2
\end{array}\right.
$

		\item À long terme, la probabilité que cette personne fasse ses achats sur internet tend vers $a$ donc vers $0,8$.
		
	\end{enumerate}

\item 

	\begin{enumerate}
		\item% Montrer que pour tout entier naturel $n$ non nul, on a :
D'après le contexte, on peut dire que, pour tout $n$, $a_n+b_n=1$ donc $b_n=1-a_n$.

On sait également que, pour tout $n$, $a_{n+1} = 0,9 a_n + 0,4 b_n$; donc $a_{n+1} = 0,9 a_n + 0,4 (1-a_n) = 0,9 a_n + 0,4 - 0,4 a_n = 0,5 a_n + 0,4$ 

		
		\item On complète l'algorithme suivant afin qu'il affiche le plus petit entier naturel $n$ non nul tel que $a_n \leqslant 0,801$.
		
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.85\linewidth}{|l|X|}\hline
\textbf{Variables:}			&$N$ est un entier naturel\\
							&$A$ est un nombre réel\\
\textbf{Initialisation :}	&Affecter à $N$ la valeur 1\\
							&Affecter à $A$ la valeur 1\\
\textbf{Traitement :}		&Tant que {\red $A > 0,801$}\\
							&\begin{tabular}{m{0.4cm}| l}
								&Affecter à $A$ la valeur $0,5 \times A + 0,4$\\
								&Affecter à $N$ la valeur {\red $N+1$}
								\end{tabular}\\
							&Fin Tant que\\
\textbf{Sortie :}			&Afficher $N$\\ \hline
\end{tabularx}								
\end{center}
		\item% Quelle est la valeur affichée par l'algorithme en sortie ?
\`A la calculatrice, on trouve:
 
$P_8 = P_1\times M^7 \approx
\begin{pmatrix}
\np{0,801} & \np{0,1984}
\end{pmatrix}$
et
$P_9 = P_1\times M^8 \approx
\begin{pmatrix}
\np{0,8008} & \np{0,1992}
\end{pmatrix}$

Donc la valeur affichée en sortie est 9.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}\textbf{\large ANNEXE}\label{Pondi_fig_2}

\bigskip

%\textbf{\large N'est pas à rendre avec la copie}

\vspace{2cm}

\psset{xunit=0.75cm,yunit=0.25cm}
\begin{pspicture}(-1,-2)(15,54)
\multido{\n=0+1}{16}{\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.4pt](\n,0)(\n,54)}
\multido{\n=0+2}{28}{\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.4pt](0,\n)(15,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=2]{->}(0,0)(0,0)(15,54)
\psline(15,45)\uput[dr](14,42){$\Delta$}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{1.0}{15}{x dup mul 0.3 mul x sub 2.71828 5 x sub exp add}
\uput[r](1.1,46){\blue $\mathcal{C}$}
\psset{linecolor=red, linestyle=dashed,showpoints=true}
\psline(4.5,0)(4.5,3.22)(0,3.22) \uput{18pt}[d](4.5,0){\red 4,5}
\psline(2.816,8.44)(2.816,0)     \uput{18pt}[d](2.816,0){\red 2,8}
\psline(13.33,39.977)(13.33,0)   \uput{18pt}[d](13.33,0){\red 13,3}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}
