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%Tapuscrit : Denis Vergès
% Sujet aimablement fourni par Stéphane Galice  
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\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} 
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} 
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} 
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} 
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} 
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} 
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} 
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} 
\setlength{\voffset}{-1,5cm} 
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pdfsubject = {Corrigé du baccalauréat ES},
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} 
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat ES  }
\lfoot{\small{Amérique du Sud}}
\rfoot{\small novembre 2010}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt} 
\pagestyle{fancy} 
\thispagestyle{empty} 

\begin{center} \textbf{\Large\decofourleft~Corrigé du baccalauréat ES Amérique du Sud 
 novembre 2010~\decofourright} 
\end{center} 

\bigskip
 
%L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.
%
%Le sujet nécessite une feuille de papier millimétré.
%
%\bigskip
 
\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip
 
%On se propose d'étudier l'évolution des productions d'électricité d'origines hydraulique et éolienne depuis 1999.
% 
%Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment l'une de l'autre.
%
%\bigskip
 
\textbf{Partie A : Production d'électricité d'origine hydraulique} 

\medskip

%Le tableau suivant donne la production d'électricité d'origine hydraulique en France pour plusieurs années entre 2000 et 2005.
%
%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{3.5cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
%Année &2000 &2002 &2003 &2004 &2005\\ \hline 
%Rang de l'année $x_{i}$ :& 0 &	2 	&3 &4 &5\\ \hline 
%Production en GWh $y_{i}$ :& \np{71593} &\np{65826} &\np{64472} &\np{65393} &\np{57271}\\ \hline
%\end{tabularx} 
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Représenter, dans le plan muni d'un repère orthogonal, le nuage de points associés à la série statistique $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ définie ci-dessus.
 
%On utilisera une feuille de papier millimétré et on choisira comme unités graphiques 2~cm pour une année sur l'axe des abscisses et 5~cm pour \np{10000}~GWh sur l'axe des ordonnées. On débutera la graduation sur l'axe des ordonnées à \np{50000}.
Voir à la fin. 
\item L'allure du nuage de points permet d'envisager un ajustement affine. 
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer les coordonnées du point moyen G de ce nuage.
On a G$(2,8~;~\np{64911})$ 
%Déterminer, à l'aide de la calculatrice, l'équation $y = mx+ p$ de la droite $d$ d'ajustement affine de $y$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés, les coefficients $m$ et $p$ seront arrondis au dixième.
La calculatrice donne $y = \np{- 2416,1}x + \np{71676,2}$ (coefficients au dixième près). 
		\item %Placer le point G et tracer la droite $d$ sur le graphique précédent.
		Voir à la fin.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B : Production d'électricité d'origine éolienne}

\medskip
 
%Le tableau suivant donne la capacité de production d'électricité d'origine éolienne installée enFrance de 2003 à 2008.
%
%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
%Année &2003 &2004 &2005 &2006 &2007&2008\\ \hline  
%Rang de l'année $x_{i}$ :&0&1&2&3&4&5\\ \hline 
%Puissance installée en MWh $y_{i}$ :& 1,9 &3,3 &5,5 &9,4 &35,5 &104,5\\ \hline
%\end{tabularx}
%
%\medskip 

\begin{enumerate}
\item %Ces données sont représentées par le nuage de points ci-après: 

%\medskip
%
%\begin{center}
%\psset{xunit=1.5cm,yunit=0.0375cm}
%\begin{pspicture}(6,120)
%\multido{\n=0+1}{7}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,120)}
%\multido{\n=0+20}{7}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=orange](0,\n)(6,\n)}
%\psaxes[Dy=20](0,0)(6,120)
%\psdots[dotstyle=square*,dotangle=45,dotscale=1.5](0,1.9)(1,3.3)(2,5.5)(3,9.4)(4,35.5)(5,104.5)
%\end{pspicture}
%\end{center} 
%
%\medskip
%
%On considère qu'un ajustement affine n'est pas pertinent.
% 
%L'allure du nuage suggère de rechercher un ajustement exponentiel de $y$ en $x$. Pour cela on pose pour tout entier naturel $i$ compris entre 0 et 5 : 
%
%\[z_{i}  = \ln \left(\dfrac{y_{i}}{100}\right)\]
% 
%\textbf{Dans les questions a et b suivantes, les calculs seront effectués à la calculatrice. Aucune justification n'est demandée. Les résultats seront arrondis au centième.}
%
%\medskip
 
	\begin{enumerate}
		\item Recopier et compléter le tableau suivant :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{3.4cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Rang de l'année : $x_{i}$		& 0 	&1	 &2 	&3 		&4 		&5\\ \hline 
Puissance installée : $y_{i}$	&1,9 	&3,3 &5,5 	&9,4 	&35,5 	&104,5\\ \hline 
\rule[-3mm]{0mm}{9mm} $z_{i} = \ln \left(\dfrac{y_{i}}{100}\right)$&$-3,96$&$-3,41$&$- 2,9$&$- 2,36$&$- 1,04$&0,04\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip 

		\item %Déterminer une équation de la droite d'ajustement de $z$ en $x$ par la méthode des moindres carrés. 
La calculatrice permet d'obtenir $z = 0,79x - 4,25$. (coefficients arrondis au centième)
		\item %Sachant que $z  = \ln \left(\dfrac{y}{100}\right)$, déterminer l'expression de $y$ sous la forme $k \text{e}^{ax}$ où $k$ et $a$ sont des nombres réels à calculer.
On a si $y > 0$, \: $z = \ln \left(\dfrac{y}{100}\right) = 0,79x - 4,25 \iff$

$ \dfrac{y}{100} = \text{e}^z \iff y = 100 \text{e}^{z} = 100\text{e}^{0,79x - 4,25}$.

Soit $y = 100\text{e}^{0,79x} \times \text{e}^{- 4,25}$.

Comme $\text{e}^{- 4,25} \approx \np{0,0143}$, on obtient finalement $y = 1,43\text{e}^{0,79x}$.
	\end{enumerate} 
\item %On suppose que l'évolution de la puissance installée se poursuit dans un avenir proche selon le modèle précédent.
 
%Estimer, au centième de MWh près, la puissance installée prévue pour l'année 2010.
2010 correspond à $x = 7$, soit une puissance $y =  1,43\text{e}^{0,79 \times 7} = 1,43\text{e}^{3,55} \approx 360,566$.

Avec ce modèle exponentiel la puissance installée en 2010 devrait être au centième près 360,57~MWh.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip
 
%\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chacune des questions, quatre affirmations sont proposées, une seule réponse est exacte.\\ 
%Une réponse exacte rapporte 1 point, une réponse fausse ou l'absence de réponse ne rapporte et n'enlève aucun point.\\ 
%Pour chaque question, le candidat notera sur sa copie le numéro de la question suivi de la proposition qui lui semble correcte. Aucune justification n'est demandée.}
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %$f$ est la fonction définie sur l'intervalle $[-3~;~0]$ par $f(x) = x^2$. Sa valeur moyenne sur l'intervalle $[-3~;~0]$ est :

%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{@{$\bullet~~$}X}} 
%$\mu = 4,5$ & $\mu = 3$ & $\mu = \dfrac{1}{3}$ &$\mu = - 3$\\
%\end{tabularx}
La valeur moyenne sur l'intervalle $[-3~;~0]$ de la fonction $f$ est :

$m = \dfrac{1}{0 - (- 3)}\displaystyle\int_{-3}^0 x^2\:\text{d}x = \left[\dfrac{x^3}{3} \right]_{-3}^0 = \dfrac{1}{3} \left[0 - \left(-\dfrac{27}{3} \right) \right] = \dfrac{1}{3} \times \dfrac{27}{3} = 3$.

\medskip  
\item %$f$ est la fonction définie sur $\R$ par $f(x) = \ln \left(x^2 + x + 1\right)$, $f'$ désigne sa fonction dérivée sur $\R$.
 
%Alors:
 
%\medskip
%
%{\small\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{@{$\bullet~~$}X}}
%$f'(x) = \dfrac{1}{x^2 + x + 1}$& $f'(x) = \dfrac{1}{2x + 1}$& $f'(x) = \dfrac{2x + 1}{x^2 + x + 1}$&  $f'(x) = \dfrac{x^2 + x + 1}{2x + 1}$\\
%\end{tabularx}}
On a $f(x) = \ln u$, avec $u(x) = x^2 + x + 1$. On sait que $f'(x) = \dfrac{u'}{u} = \dfrac{2x+1}{x^2 + x + 1}$.
\medskip 
 
\item %La primitive $F$ de la fonction $f$ définie sur l'intervalle I $= ]0~;~+ \infty[$ par 

%$f(x) = \dfrac{2x^2 - x + 3}{x}$ telle que $F(1) = 1$ vérifie: 

%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{@{$\bullet~~$}X}}
%$F(x) = \dfrac{\dfrac{2}{3}x^3 - \dfrac{1}{2}x^2 + 3x}{\dfrac{1}{2}x^2} - \dfrac{17}{3}$&  $F(x) = x^2 - 1 + 3\ln x$\\ 
%$F(x) = x^2 - x + 3\ln x + 1$&  $F(x) = 2 - \dfrac{3}{x^2} + 1$\\
%\end{tabularx}
On peut écrire sur $]0~;~+ \infty[$, \: $f(x) = 2x - 1 + \dfrac{3}{x}$, d'où en prenant une primitive de chacun de ces trois termes :

$F(x) = x^2 - x + 3\ln x + K$, avec $K \in \R$.

Comme $F(1) = 1 \iff 1^2 - 1 + 3\ln 1 + K = 1 \iff K = 1$.

Finalement $F(x) = x^2 - x + 3\ln x + 1$.
\medskip 
 
\item %$f$ est la fonction définie sur l'intervalle I $= ]0~;~+ \infty[$ par $f(x) = \dfrac{5}{x}$, on note $\mathcal{C}$ sa courbe  représentative dans un repère donné du plan. L'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine délimité par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x = 1$ et $x = 2$ est égale à :

%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{@{$\bullet~~$}X}} 
%$5 \ln 2$& 	$\ln 10 - \ln 5$& 	$3,466$ & $\ln \left(\dfrac{2}{5}\right) - \ln \left(\dfrac{1}{5}\right)$\\
%\end{tabularx}
La fonction est positive sur l'intervalle [1~;~2], donc l'aire demandée en  unité d'aire est égale à l'intégrale $\displaystyle\int_1^2 \dfrac{5}{x}\:\text{d}x = [5\ln x]_1^2 = 5\ln 2 - 5 \ln 1 = 5\ln 2$.
\medskip 
 
\item %La limite de la fonction $f$ définie sur l'intervalle I $= ]0~;~+ \infty[$ par 

%$f(x) = x^2 - x - \ln x$ lorsque $x$ tend vers $+ \infty$ est :

%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{@{$\bullet~~$}X}} 
%$- \infty$&$0$&e&$+ \infty$\\
%\end{tabularx}
On a car $x > 0$ \:\: $f(x) = x\left(x - 1 - \dfrac{\ln x}{x}\right)$.

Comme $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\ln x}{x} = 0$, on a 

$\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = + \infty$.
\medskip 
 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Pour les candidats ayant  suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

%\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chacune des questions, quatre affirmations sont proposées, une seule réponse est exacte.\\ 
%Une réponse exacte rapporte $1$ point, une réponse fausse ou l'absence de réponse ne rapporte et n'enlève aucun point.\\ 
%Pour chaque question, le candidat notera sur sa copie le numéro de la question suivi de la proposition qui lui semble correcte. Aucune justification n'est demandée.}
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Les points A (1~;~2~;~3), B(3~;~2~;~1) et C(1~;~1~;~1) sont trois points de l'espace muni d'un repère orthonormal \Oijk. Le plan (ABC) est parallèle au plan $P$ d'équation :
 
%$\bullet~~$ $x + y - z = 0$ 
% 
%$\bullet~~$ $y = \dfrac{1}{2}$ 
% 
%$\bullet~~$ $x + y + z - 1 = 0$ 
%
%$\bullet~~$ $x - 2y + z + 3 = 0$ 
Un plan parallèle au plan d'équation $x - 2y + z + 3 = 0$ a une équation de la forme $x - 2y + z + k = 0$

Les coordonnées de A donnent : $1 - 4 + 3 + k = 0 \iff k = 0$ ;

Les coordonnées de B donnent : $3 - 4 + 1 + k = 0 \iff k = 0$ ;

Les coordonnées de C donnent : $1 - 2 + 1 + k = 0 \iff k = 0$ ;

Le plan (ABC) a pour équation $x - 2y + z = 0$ : il est parallèle au plan d'équation $x - 2y + z + 3 = 0$.
\item  %Soit $\left(u_{n}\right)$ la suite définie sur $\N$ par : $u_{n} = \dfrac{1 + \left(- \dfrac{1}{2} \right)^n}{1 + n}$. Cette suite : 

%$\bullet~~$ a pour limite $\dfrac{1}{n}$ 
% 
%$\bullet~~$a pour limite $0$
% 
%$\bullet~~$a pour limite $1$
 
%$\bullet~~$n'a pas de limite
On sait que $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \left(- \dfrac{1}{2} \right)^n = 0$ ;

donc  $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} 1 + \left(- \dfrac{1}{2} \right)^n = 1$ et $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} 1 +n = + \infty$, donc $\displaystyle\lim_{n \to + \infty}u_n = 0$.
\item   %Le graphe ci-contre admet exactement $n$ chaînes de longueur 4 allant de A vers B avec :

%\medskip
%
%\parbox{0.38\linewidth}{
%$\bullet~~$ $n = 1$
% 
%$\bullet~~$ $n = 3$
% 
%$\bullet~~$ $n = 5$
% 
%$\bullet~~$ $n = 8$}\hfill
%\parbox{0.58\linewidth}{\psset{unit=1cm}
%\begin{pspicture}(6,4)
%\cnodeput(0.5,3){A}{A}  \cnodeput(4.5,3){B}{B}
%\cnodeput(4.5,0.5){C}{C}\cnodeput(0.5,0.5){D}{D}
%\ncarc[arcangle=20]{->}{A}{B}
%\ncarc[arcangle=20]{->}{B}{C}
%\ncarc[arcangle=20]{->}{C}{D}
%\ncarc[arcangle=20]{->}{C}{B}
%\rput{135}{\nccircle{->}{D}{0.35cm}}
%\ncarc[arcangle=20]{->}{D}{A}
%\ncarc[arcangle=20]{->}{A}{D}
%\end{pspicture} }
La matrice de transition associée au graphe est $M = \begin{pmatrix}0&1&0&1\\0&0&1&0\\0&1&0&1\\1&0&0&1\end{pmatrix}$, d'où $M^4 =  \begin{pmatrix}3&1&2&4\\1&2&0&3\\3&1&2&4\\3&3&1&6\end{pmatrix}$.

On trouve le nombre de chaînes de longueur 4 allant de A vers B à la première ligne et à la deuxième colonne. On a donc $n = 1$. 
\item %La suite $\left(v_{n}\right)$ définie sur $\N$ par $v_{n} = \dfrac{4n + 3}{n+1}$ :
 
%$\bullet~~$ n'est pas monotone 
%
%$\bullet~~$ n'admet pas de limite
% 
%$\bullet~~$ est croissante
% 
%$\bullet~~$ est majorée par $0$
$\bullet~~$ $v_0 = 3, \: v_1 = 3,5, \:v_2 = \dfrac{11}{3} \approx 3,3$ : elle n'est pas monotone.

$\bullet~~$ $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} v_n = 4$ ;

$\bullet~~$ $v_0 = 3$ donc la suite n'est pas majorée par $0$.

Il reste : la suite est croissante :

$v_{n+1} - v_n = \dfrac{4(n+1) + 3}{n+1+1} - \dfrac{4n+3}{n+1} = \dfrac{4n+7}{n+2} - \dfrac{4n+3}{n+1} = \dfrac{1}{(n+1)(n+2)} > 0$ : la suite est bien croissante.
\item  %Le graphe ci-dessous a un nombre chromatique $\kappa$ égal à : 

%\medskip
%
%\parbox{0.38\linewidth}{
%$\bullet~~$ 2
% 
%$\bullet~~$ 3
% 
%$\bullet~~$ 4
% 
%$\bullet~~$ 5 }\hfill
%\parbox{0.68\linewidth}{\psset{unit=1cm}
%\begin{pspicture}(6,4)
%\cnodeput(1.5,3){A}{A}\cnodeput(4.5,3){B}{B} \cnodeput(5.5,1.75){C}{C}
%\cnodeput(4.5,0.5){D}{D}\cnodeput(1.5,0.5){E}{E}\cnodeput(0.5,1){F}{F}
%\cnodeput(0.5,2.5){G}{G}
%\ncline{A}{B} \ncline{B}{C} \ncline{C}{D} 
%\ncline{D}{B} \ncline{A}{E} \ncline{E}{F} 
%\ncline{F}{G} \ncline{G}{A} \ncline{A}{C}        
%\end{pspicture}}
Le sous-graphe A-B-C est complet donc le nombre chromatique est supérieur ou égal à 3.

Une coloration de ce graphe avec trois couleurs est possible, donc le nombre chromatique est  égal à 3.
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

%Dans cet exercice, on appellera motard tout conducteur d'une moto dont la cylindrée est supérieure à 50 cm$^3$. Ces motards se décomposent en deux catégories :
%
%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item la catégorie A définie par le fait que les motards conduisent une moto de cylindrée 125 cm$^3$ ou plus, 
%\item la catégorie B définie par le fait que les motards conduisent une moto d'une cylindrée strictement inférieure à 125 cm$^3$. 
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
%
%\medskip
%
%La moto peut être de type \emph{sportive} ou \emph{routière}.
%
%\medskip
% 
%On considère que : 
%
%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~$] ceux de la catégorie A représentent 44\,\% de l'ensemble des motards 
%\item[$\bullet~$] 65\,\% de ceux de la catégorie B possèdent une moto de type sportive.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
% 
%On interroge au hasard un motard et on note :
%
%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item[] A : l'évènement \og le motard est de la catégorie A \fg,
%\item[] B : l'évènement \og le motard est de la catégorie B \fg, 
%\item[] S : l'évènement \og la moto est de type sportive \fg, 
%\item[] R : l'évènement \og la moto est de type routière \fg.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
%
%\medskip
% 
%\emph{Tous les résultats des différents calculs seront donnés sous forme décimale et arrondis au millième. On pourra utiliser un arbre de probabilité ou un tableau.}
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Montrer que la probabilité que le motard interrogé soit dans la catégorie B et conduise une moto de type routière est égale à $0,196$.
On a $p(A) = 0,44$, donc $p(B) = 1 - 0,44 = 0,56$ et $p_B(S) = 0,65$, donc 

$p_B(R) = 1 - 0,65 = 0,35$.

On a donc $p(B \cap R) = p(B) \times p_B(R) = 0,56 \times 0,35 = 0,196$. 
\item %36,6\,\% des motos sont de type routière.
On a donc $p(R) = 0,366$, d'où $p(S) = 1 - 0,366 = 0,634$. 
%Quelle est la probabilité que le motard choisi conduise une moto de type sportive et soit dans la catégorie A ?
Or $p(S) = p(A \cap S) + p(B \cap S) \iff p(A \cap S)  = p(S) - p(B \cap S) = 0,634 - 0,56 \times 0,65 = 0,634 - 0,364 = 0,27$.
\item %Quelle est la probabilité qu'un motard soit dans la catégorie B sachant qu'il conduit une moto de type routière ? 
$p_R(B) = \dfrac{p(B \cap R)}{p(R)} = \dfrac{0,196}{0,366} \approx 0,536$.
\item %On choisit au hasard et de façon indépendante trois motards. Quelle est la probabilité qu'au moins un d'entre eux soit de la catégorie B ?
On a une épreuve de Bernoulli avec $n = 3$ et $p = p(B) = 0,56$.

La probabilité qu'aucun des trois ne soit de la catégorie B est $(1 - 0,56)^3$, donc la probabilité qu'au moins un d'entre eux soit de la catégorie B est égale à :

$1 - 0,44^3 \approx 0,915$. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

%On considère la fonction numérique $f$ définie et dérivable sur $\R$ telle que, pour tout réel $x$, on ait : 
%
%\[f(x) = \dfrac{x^2}{2} - x^2\text{e}^{x - 1}.\]
%
%On note $f'$ sa fonction dérivée sur $\R$.
% 
%Le graphique ci-après est la courbe représentative de cette fonction telle que l'affiche une calculatrice dans un repère orthogonal.
%
%\medskip
%
%\begin{center}
%\psset{unit=0.5cm}
%\begin{pspicture}(-5,-4)(5,4)
%\psaxes[linewidth=1pt,ticks=all,ticksize=4pt,labels=none]{->}(0,0)(-5,-4)(5,4)
%\uput[d](5,0){$x$}\uput[l](0,4){$y$}\uput[dl](0,0){O}\uput[d](1,0){1}\uput[l](0,1){1}
%\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1pt]{-3}{1.65}{x dup mul 2 div x dup mul 2.71828 x 1 sub exp mul sub}
%\end{pspicture}
%\end{center} 
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Quelle conjecture pourrait-on faire concernant le sens de variation de $f$ sur l'intervalle $[-3~;~2]$ en observant cette courbe ?
D'après l'allure du graphe il semble que la fonction $f$ est décroissante sur$\R$. 
%Dans la suite du problème, on va s'intéresser à la validité de cette conjecture.

\medskip
 
\item %Calculer $f'(x)$ et vérifier que $f'(x) = xg(x)$ où $g(x) = 1 - (x + 2)\text{e}^{x - 1}$ pour tout $x$ de $\R$.
On a pour tout réel : 

$f'(x) = 2 \times \dfrac{x}{2} - 2x \text{e}^{x - 1} - x^2 \times 1 \times  \text{e}^{x - 1} = 
x - \text{e}^{x - 1}\left(2x + x^2\right) = x \left[1 - \text{e}^{x - 1}(2 + x)
 \right]$
%Pour la suite, on admet que $g$ est dérivable sur $\R$ et on note $g'$ sa fonction dérivée. 
\item Étude du signe de $g(x)$ suivant les valeurs de $x$. 
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer les limites respectives de $g(x)$ quand $x$ tend vers $+ \infty$ et quand $x$ tend vers $- \infty$.
On a $\text{e}^{x - 1} = \text{e}^{x}\times \text{e}^{- 1}$.

Comme $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \text{e}^{x} = + \infty$, par produit $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}	\text{e}^{x - 1} = + \infty$.

D'autre part  $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} -(x + 2) = - \infty$ et enfin par produit de limites  
$\displaystyle\lim_{x \to + \infty} g(x) = - \infty$.	  
%On pourra utiliser sans la démontrer l'égalité : $g(x) = 1 - \dfrac{x\text{e}^{x} +2\text{e}^{x}}{\text{e}}$.

On a  $g(x) = 1 - x\text{e}^{x - 1} - 2\text{e}^{x - 1} = 1 - \text{e}^{- 1}\times \text{e}^{x} - 2 x\text{e}^{x}$ ;

$\displaystyle\lim_{x \to - \infty} \text{e}^{x} = 0$ et aussi   $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} x\text{e}^{x} = 0$, d'où par somme de limites :
$\displaystyle\lim_{x \to - \infty} g(x) = 1$. 
		\item %Calculer $g'(x)$ et étudier son signe suivant les valeurs du nombre réel $x$.
$g'(x) =  - 1 \times \text{e}^{x - 1} - (x + 2) \times 1 \times \text{e}^{x - 1} = \text{e}^{x - 1}(- 1 - x - 2) = (- x - 3)\text{e}^{x - 1}$. 

Comme $\text{e}^{x - 1} > 0$ quel que soit le réel $x$, le signe de $g'(x)$ est celui de $- x - 3$.

Donc si $x > - 3, \: g'(x) < 0$.  

Si $x < - 3, \: g'(x) > 0$  la fonction $g$ est croissante.
		\item %En déduire le sens de variation de la fonction $g$ puis dresser son tableau de variation en y reportant les limites déterminées précédemment.
Du signe de la dérivée on en déduit que  $g$ est décroissante sur $]- 3~;~+ \infty[$ et croissante sur $]- \infty~;~- 3[$. D'où le tableau de variations suivant :
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8,3)
\psframe(8,3) \psline(2,0)(2,3) \psline(0,2)(8,2)\psline(0,2.5)(8,2.5)
\uput[u](1,2.4){$x$} \uput[u](2.5,2.4){$- \infty $}
\uput[u](5,2.4){$- 3$}\uput[u](7.5,2.4){$+ \infty $}
\rput(1,2.25){$g'(x)$}\rput(3.5,2.25){$-$} \rput(5,2.25){$0$}\rput(6.5,2.25){$+$}
\psline{->}(2.5,0.5)(4.5,1.5)\psline{->}(5.5,1.5)(7.5,0.5)
\uput[u](2.2,0){$1$} \uput[d](5,2){$1 + \text{e}^{-4}$}\uput[u](7.5,0){$- \infty$}
\rput(1,1){$g(x)$}
\end{pspicture}
\end{center}

		\item %Montrer que l'équation $g(x) = 0$ possède une unique solution dans $\R$. On note $\alpha$ cette solution. Justifier que $0,20 < \alpha < 0,21$.
Sur l'intervalle $]- 3~;~+ \infty[$, la fonction $g$ est continue car dérivable, et décroit  de $g(- 3) > 1 > 0$ à moins l'infini. D'après le théorème de la valeur intermédiaire, $g$ s'annule donc pour une valeur unique $\alpha \in ]- 3~;~+ \infty[$.

La calculatrice donne :

$g(0) \approx 0,3$ et $g(1) = - 2$, donc $0 < \alpha < 1$ ;

$g(0,2) \approx 0,01$ et $g(0,3) \approx - 0,1$, donc $0,2 < \alpha < 0,3$ ;

$g(0,20) \approx 0,01$ et $g(0,21) \approx - 0,003$, donc $0,20 < \alpha < 0,21$.
		\item %Déterminer le signe de $g(x)$ suivant les valeurs de $x$.
D'après le tableau de variations précédent :

$g(x) > 0$ sur $]- \infty~;~\alpha[$ et $g(x) < 0$ sur $]\alpha ~;~+ \infty[$.
	\end{enumerate} 
\item Sens de variation de la fonction $f$ 
	\begin{enumerate}
		\item %Étudier le signe de $f'(x)$ suivant les valeurs de $x$.
Le signe de $f'(x)$ dépend de celui de $x$ et de $g(x)$ :

$\bullet~~$ si $x \in ]- \infty~;~0[, \: f'(x) < 0$ ;

$\bullet~~$ si $x \in ]0~;~\alpha[, \: f'(x) > 0$ :

$\bullet~~$ si $x \in ]\alpha~;~+ \infty[,\: f'(x) < 0$
		\item %En déduire le sens de variation de la fonction $f$
D'après la question précédente : 

$f$ est décroissante sur $]- \infty~;~0[$ et sur  $]\alpha~;~+ \infty[$, mais est croissante sur  $]0~;~\alpha[$.
		\item %Que pensez-vous de la conjecture de la question 1 ? 
La conjecture de la question 1 était donc erronée. 

En fait $f(0) = 0$ et $f(0,2) \approx 0,002$ donc graphiquement la croissance est imperceptible.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
\newpage
\begin{center}
\textbf{Exercice 1}

\vspace{1cm}

\psset{xunit=2cm,yunit=0.0005cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-200)(5.1,22000)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=2000,Oy=50000](0,0)(5,22000)
\psdots(0,21593)(2,15826)(3,14472)(4,15393)(5,7271)
\psdots[linecolor=red](2.8,14911)
\uput[u](2.8,14911){\red G}
\psplot[linewidth=1.25pt]{0}{5}{21676.2 2416.1 x mul sub}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}