\documentclass[10pt]{article}

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%Corrigé : Dominique Trémulot
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat ES/L}
\lfoot{\small{Amérique du Nord}}
\rfoot{\small 1\up{er} juin 2016}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}

{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat ES/L Amérique du Nord 
~\decofourright\\[4pt]1\up{er} juin 2016}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

%\medskip
%
%Les deux parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.

\bigskip

\textbf{Partie A}

%\medskip
%
%À une sortie d'autoroute, la gare de péage comporte trois voies.
%
%Une étude statistique a montré que :
%
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~~$]28\,\% des automobilistes empruntent la voie de gauche, réservée aux abonnés;
%un automobiliste empruntant cette voie franchit toujours le péage en moins de 10 secondes;
%\item[$\bullet~~$]52\,\% des automobilistes empruntent la voie du centre, réservée au paiement par carte bancaire ; parmi ces derniers, 75\,\% franchissent le péage en moins de 10 secondes ;
%\item[$\bullet~~$]les autres automobilistes empruntent la voie de droite en utilisant un autre moyen de paiement (pièces ou billets).
%\end{itemize}
%
%\medskip
%
%On choisit un automobiliste au hasard et on considère les évènements suivants :
%
%\setlength\parindent{8mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~~$]$G$ : \og l'automobiliste emprunte la voie de gauche \fg{} ;
%\item[$\bullet~~$]$C$ : \og l'automobiliste emprunte la voie du centre \fg{} ;
%\item[$\bullet~~$]$D$ : \og l'automobiliste emprunte la voie de droite \fg{} ;
%\item[$\bullet~~$]$T$ : \og l'automobiliste franchit le péage en moins de 10 secondes \fg.
%\end{itemize} 
%\setlength\parindent{0mm}
%
%On note $\overline{T}$ l'évènement contraire de l'évènement $T$.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Construire un arbre pondéré traduisant cette situation.

%Cet arbre sera complété au fur et à mesure de l'exercice.
Voici un arbre qui convient (les données du texte sont en noir) :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
% Styles (MODIFIABLES)
\tikzstyle{fleche}=[->,>=latex,thick]
\tikzstyle{noeud}=[fill=white]]
\tikzstyle{feuille}=[fill=white]
\tikzstyle{etiquette}=[midway,fill=white]
% Dimensions (MODIFIABLES)
\def\DistanceInterNiveaux{3}
\def\DistanceInterFeuilles{2}
% Dimensions calculées (NON MODIFIABLES)
\def\NiveauA{(0)*\DistanceInterNiveaux}
\def\NiveauB{(1.5)*\DistanceInterNiveaux}
\def\NiveauC{(2.5)*\DistanceInterNiveaux}
\def\InterFeuilles{(-1)*\DistanceInterFeuilles}
% Noeuds (MODIFIABLES : Styles et Coefficients d'InterFeuilles)
\node[noeud] (R) at ({\NiveauA},{(2.5)*\InterFeuilles}) {$$};
\node[noeud] (Ra) at ({\NiveauB},{(0.5)*\InterFeuilles}) {$G$};
\node[feuille] (Raa) at ({\NiveauC},{(0)*\InterFeuilles}) {$T$};
\node[feuille] (Rab) at ({\NiveauC},{(1)*\InterFeuilles}) {$\overline{T}$};
\node[noeud] (Rb) at ({\NiveauB},{(2.5)*\InterFeuilles}) {$C$};
\node[feuille] (Rba) at ({\NiveauC},{(2)*\InterFeuilles}) {$T$};
\node[feuille] (Rbb) at ({\NiveauC},{(3)*\InterFeuilles}) {$\overline{T}$};
\node[noeud] (Rc) at ({\NiveauB},{(4.5)*\InterFeuilles}) {$D$};
\node[feuille] (Rca) at ({\NiveauC},{(4)*\InterFeuilles}) {$T$};
\node[feuille] (Rcb) at ({\NiveauC},{(5)*\InterFeuilles}) {$\overline{T}$};
% Arcs (MODIFIABLES : Styles)
\draw[fleche] (R)--(Ra) node[etiquette] {0,28};
\draw[fleche] (Ra)--(Raa) node[etiquette] {1};
\draw[fleche] (Ra)--(Rab) node[etiquette] {\textcolor{red}{0}};
\draw[fleche] (R)--(Rb) node[etiquette] {0,52};
\draw[fleche] (Rb)--(Rba) node[etiquette] {0,75};
\draw[fleche] (Rb)--(Rbb) node[etiquette] {\textcolor{red}{0,25}};
\draw[fleche] (R)--(Rc) node[etiquette] {\textcolor{red}{0,2}};
\draw[fleche] (Rc)--(Rca) node[etiquette] {\textcolor{red}{0,15}};
\draw[fleche] (Rc)--(Rcb) node[etiquette] {\textcolor{red}{0,85}};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\item %Calculer la probabilité $p(C \cap T)$.
$p(C\cap T)=p(C)\times p_C(T)$

$p(C\cap T)=0,52\times 0,75$

$p(C\cap T)=0,39$.

\item %L'étude a aussi montré que 70\,\% des automobilistes passent le péage en moins de 10~secondes.
\begin{enumerate}
\item %Justifier que $p (D \cap T) = 0,03$.
G, C et D forment une partition de l'univers.

D'après la formule des probabilités totales, on obtient donc :

$p(T)=p(G\cap T)+p(C\cap T)+p(D\cap T)$

puis, successivement :

$p(D\cap T)=p(T)-p(G\cap T)-p(C\cap T)$

$p(D\cap T)=p(T)-p(G)\times p_G(T)-p(C\cap T)$

$p(D\cap T)=0,7-0,28\times 1-0,39$

$p(D\cap T)=0,03$.

\item %Calculer la probabilité qu'un automobiliste empruntant la voie de droite passe le péage en moins de 10 secondes.
On cherche $p_D(T)$.

Or, $p_D(T)=\dfrac{p(D\cap T)}{p(D)}$

$p_D(T)=\dfrac{0,03}{0,2}$

$p_D(T)=\dfrac{3}{20} = 0,15$

La probabilité qu'un automobiliste empruntant la voie de droite passe le péage en moins de 10 secondes est de 0,15.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

%Quelques kilomètres avant la sortie de l'autoroute, un radar automatique enregistre la vitesse de
%chaque automobiliste. On considère la variable aléatoire $V$ qui, à chaque automobiliste, associe sa
%vitesse exprimée en km.h$^{-1}$.
%
%On admet que $V$ suit la loi normale d'espérance $\mu = 120$ et d'écart-type $\sigma = 7,5$.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Déterminer la probabilité $p(120 < V < 130)$. On arrondira le résultat au millième.
La calculatrice donne $p(120<V<130)\approx 0,409$.

\item %Une contravention est envoyée à l'automobiliste lorsque sa vitesse est supérieure ou égale à 138 km.h$^{-1}$.

%Déterminer la probabilité qu'un automobiliste soit sanctionné. On arrondira le résultat au millième.
On cherche $p(V\geqslant 138)$.

$\star$ 1\up{re} méthode

On sait que $p(V>120)=0,5$.

Comme $p(V\geqslant 138)=p(V>120)-p(120<V<138)$, on obtient :

$p(V\geqslant 138)\approx 0,5-0,492$

$p(V\geqslant 138)\approx 0,008$.

$\star$ 2\up{e} méthode

En remplaçant $p(V\geqslant 138)$ par $p\left(138\leq V\leq 10^{99}\right)$, la calculatrice, donne :

$p(V\geqslant 138)\approx 0,008$.

$\star$ \textbf{Conclusion}

La probabilité qu'un automobiliste soit sanctionné est environ de 0,008.
\end{enumerate}

%\newpage
\bigskip

\textbf{Exercice 2 \hfill 5 points}

\textbf{Candidats de la série ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité et candidats de la série~L}

%\medskip
%
%Une société propose un service d'abonnement pour jeux vidéo sur téléphone mobile.
%
%Le 1\up{er} janvier 2016, on compte \np{4000} abonnés.
%
%À partir de cette date, les dirigeants de la société ont constaté que d'un mois sur l'autre, 8\,\% des
%anciens joueurs se désabonnent mais que, par ailleurs, \np{8000} nouvelles personnes s'abonnent.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Calculer le nombre d'abonnés à la date du 1\up{er} février 2016.

Diminuer de 8\% revient à multiplier par 0,92.

On obtient donc le nombre d'abonnés au 1\up{er} février 2016 en effectuant le calcul suivant :

$\np{4000}\times 0,92+\np{8000}=\np{11680}$.

Le nombre d'abonnés au 1\up{er} février 2016 est de \np{11680}.

%Pour la suite de l'exercice, on modélise cette situation par une suite numérique $\left(u_n\right)$ où $u_n$ représente le nombre de milliers d'abonnés au bout de $n$ mois après le 1\up{er} janvier 2016.

%La suite $\left(u_n\right)$ est donc définie par : 

%\[u_0 = 4\quad \text{et, pour tout entier naturel } \:n,\: u_{n+1} = 0,92 u_n + 8.\]

\item %On considère l'algorithme suivant :

%\begin{center}
%\begin{tabular}{|l|}\hline
%\textbf{Variables}\\
%$N$ est un nombre entier naturel\\
%$U$ est un nombre réel\\
%\textbf{Traitement}\\
%$U$ prend la valeur 4\\
%$N$ prend la valeur 0\\
%Tant que $U < 40$\\
%\hspace{0,5cm}$U$ prend la valeur $0,92 \times U + 8$\\
%\hspace{0,5cm}$N$ prend la valeur $N + 1$\\
%Fin Tant que\\
%\textbf{Sortie}\\
%Afficher $N$\\ \hline
%\end{tabular}
%\end{center}
\begin{enumerate}
\item %Recopier le tableau suivant et le compléter en ajoutant autant de colonnes que nécessaire.

%Les valeurs de $U$ seront arrondies au dixième.
On obtient le tableau suivant

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|c|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline	
Valeur de $U$& 4&11,7&18,7&25,2&31,2&36,7&41,8\\ \hline
Valeur de $N$& 0&1&2&3&4&5&6\\ \hline
Condition $U < 40$& vraie&vraie&vraie&vraie&vraie&vraie&fausse\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item %Donner la valeur affichée en sortie par cet algorithme et interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
La valeur affichée en sortie sera 6.

Il s'agit du premier mois à partir duquel le nombre d'abonnés est supérieur ou égal à \np{40000}.

Le nombre d'abonnés devient donc supérieur ou égal à \np{40000} au 1\up{er} juillet 2016.
\end{enumerate}

\item %On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_n = u_n - 100$.
\begin{enumerate}
\item %Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique de raison $0,92$ et calculer son premier terme $v_0$.
\begin{tabbing}
Pour tout entier naturel $n$, $v_{n+1}$~\=$=u_{n+1}-100$\\
\> $=0,92u_n+8-100$\\
\> $=0,92u_n-92$\\
\> $=0,92(u_n-100)$\\
\> $=0,92v_n$
\end{tabbing} 

La suite $(v_n)_{n\in\N}$ est donc bien une suite géométrique de raison $q=0,92$.

$v_0=u_0-100=4-100=-96$

Son premier terme est $v_0=-96$.

\item %Donner l'expression de $v_n$ en fonction de $n$.
D'après la question précédente, on a, pour tout entier naturel $n$, $v_{n}=v_0\times q^n$, soit

$v_n=(-96)\times 0,92^n$.

\item %En déduire que, pour tout entier naturel $n$, on a $u_n = 100 - 96 \times 0,92^n$.
Comme, pour tout entier naturel $n$, on a $v_n=u_n-100$, alors $u_n=v_n+100$.

En utilisant la question précédente, on obtient donc, pour tout entier naturel $n$ :

$u_n=100-96\times 0,92^n$.
\end{enumerate}
\item %En résolvant une inéquation, déterminer la date (année et mois) à partir de laquelle le nombre d'abonnés devient supérieur à \np{70000}.
On cherche le premier entier naturel $n$ vérifiant $u_n>70$.

\begin{tabbing}
Or, pour tout entier naturel $n$, $u_n > 70$~\=$\Leftrightarrow 100-96\times 0,92^n>70$\\
\> $\Leftrightarrow - 96\times 0,92^n>-30$\\
\> $\Leftrightarrow 0,92^n<\np{0,3125}$\\
\> $\Leftrightarrow \ln\left( 0,92^n\right)<\ln(\np{0,3125})$\\
\> $\Leftrightarrow n\ln(0,92)<\ln(\np{0,3125})$\\[6pt]
\> $\Leftrightarrow n>\dfrac{\ln(\np{0,3125})}{\ln(0,92)}$
\end{tabbing}

Or, $\dfrac{\ln(\np{0,3125})}{\ln(0,92)}\approx 13,95$.
Le premier entier qui convient est donc 14.

C'est donc au 1\up{er} mars 2017 que la nombre d'abonnés deviendra supérieur à \np{70000}.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 5 points}

\textbf{Candidats de la série ES ayant suivi l'enseignement de spécialité}

%\medskip
%
%Un groupe de presse édite un magazine qu'il propose en abonnement.
%
%Jusqu'en 2010, ce magazine était proposé uniquement sous forme papier. Depuis 2011, les abonnés
%du magazine ont le choix entre la version numérique et la version papier.
%
%Une étude a montré que, chaque année, certains abonnés changent d'avis: 10\,\% des abonnés à la
%version papier passent à la version numérique et 6\,\% des abonnés à la version numérique passent à la version papier.
%
%On admet que le nombre global d'abonnés reste constant dans le temps.
%
%Pour tout nombre entier naturel $n$, on note :
%
%\setlength\parindent{8mm}
%\begin{description}
%\item[ ]$a_n$ la probabilité qu'un abonné pris au hasard ait choisi la version papier l'année $2010 + n$ ;
%\item[ ]$b_n$ la probabilité qu'un abonné pris au hasard ait choisi la version numérique l'année 
%
%$2010 + n$ ;
%\item[ ]$P_n = \begin{pmatrix}a_n& b_n\end{pmatrix}$ la matrice correspondant à l'état probabiliste de l'année $2010 + n$.
%\end{description}
%\setlength\parindent{0mm}
%
%\smallskip
%
%On a donc $a_0 = 1,\: b_0 = 0$ et $P_0 = \begin{pmatrix}1& 0\end{pmatrix}$.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item %Représenter la situation par un graphe probabiliste de sommets A et B où le sommet A représente l'état \og abonné à la version papier\fg{} et B l'état \og abonné à la version numérique \fg.

La situation peut être représentée par l'arbre probabiliste ci-dessous :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=1]
\tikzstyle{every path}=[line width=1pt];
\node [draw,circle,fill=gray!50] (A) at (0,0) {A};
\node [draw,circle,fill=gray!50] (B) at (4,0) {B};
\draw (A) to [bend left] node[midway,sloped,above] {$0,1$} node[midway,sloped]{>} (B);
\draw (B) to [bend left] node[midway,sloped,below] {$0,06$} node [midway,sloped] {<} (A);
\draw (B) .. controls +(1.5,-1) and +(1.5,1) .. node[midway,right]{$0,94$} node [midway,sloped] {>} (B) ;
\draw (A) .. controls +(-1.5,-1) and +(-1.5,1) .. node[midway,left]{$0,9$} node [midway,sloped] {>} (A) ;
\end{tikzpicture}
\end{center}

\item %Déterminer la matrice de transition $M$ de ce graphe en respectant l'ordre A, B des sommets.
La matrice de transition correspondante est : 
$M=\begin{pmatrix}
0,9&0,1\\0,06&0,94
\end{pmatrix}
$.

\item %Montrer que $P_1 = \begin{pmatrix}0,9& 0,1\end{pmatrix}$.
$P_1=P_0\times M$

$P_1=\begin{pmatrix}
1&0
\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}
0,9&0,1\\0,06&0,94
\end{pmatrix}
$

$P_1=\begin{pmatrix}
1\times 0,9+0\times 0,06&1\times 0,1+0\times 0,94
\end{pmatrix}$

$P_1=\begin{pmatrix}
0,9&0,1
\end{pmatrix}
$.

\end{enumerate}
\item %On admet que, pour tout entier naturel $n$, on a $a_{n+1} = 0,9a_n + 0,06 b_n$ et $b_{n+1} = 0,1 a_n + 0,94 b_n$.

%Le directeur du groupe de presse souhaite visualiser l'évolution des deux types d'abonnements. Pour cela, on lui propose les deux algorithmes suivants :

%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|m{1cm}|X|}
%\multicolumn{1}{l}{\textbf{Algorithme 1}}&\multicolumn{1}{l}{}&\multicolumn{1}{l}{\textbf{Algorithme 2}}\\\cline{1-1}\cline{3-3}
%Entrée&&Entrée\\
%Saisir $n$&&Saisir $n$\\
%Traitement&&Traitement\\
%$a$ prend la valeur 1&&$a$ prend la valeur 1\\
%$b$ prend la valeur $0$&&$b$ prend la valeur 0 \\
%Pour $i$ allant de $1$ à $n$&&Pour $i$ allant de $1$ à $n$\\
%\hspace{0,4cm}$a$ prend la valeur $0,9 \times a + 0,06 \times b$&&\hspace{0,4cm} $c$ prend la valeur $a$\\
%\hspace{0,4cm}$b$ prend la valeur $0,1 \times a + 0,94 \times b$&&\hspace{0,4cm}$a$ prend la valeur $0,9 \times a + 0,06 \times b$\\
%\hspace{0,4cm}Afficher $a$ et $b$&&\hspace{0,4cm}$b$ prend la valeur $0,1 \times c + 0,94 \times b$\\
%Fin Pour&&\hspace{0,4cm}Afficher $a$ et $b$\\
%&&Fin Pour\\ \cline{1-1}\cline{3-3}
%\end{tabularx}
%\end{center}
%
%Sachant qu'un seul des algorithmes proposés permet de répondre au souhait du directeur, préciser
%lequel en justifiant la réponse.
L'algorithme qui convient est l'agorithme 2.

En effet, dans l'algorithme 1, le relation de récurrence utilisée pour passer de $b_n$ à $b_{n+1}$ est 

$b_{n+1}=0,1\times a_{n+1}+0,94\times b_n$, 

car la valeur de la variable $a$ a été modifiée à la ligne \og $a$ prendre la valeur $0,9\times a+0,06\times b$ \fg{} avant le calcul de $b$.

\item 
\begin{enumerate}
\item %Justifier que, pour tout entier naturel $n$, on a $a_{n+1} = 0,84 a_n+0,06$.
Pour tout entier naturel $n$, on a $a_{n+1}=0,9a_n+0,06b_n$.

Or, pour tout entier naturel $n$, $a_n+b_n=1$, donc $b_n=1-a_n$.

On obtient donc, pour tout entier naturel $n$ : $a_{n+1}=0,9a_n+0,06(1-a_n)$,

soit $a_{n+1}=0,84a_n+0,06$.

\item %On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $u_n = a_n - 0,375$.

%Montrer que la suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique de raison 0,84 et calculer $u_0$.

\begin{tabbing}
Pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}$~\=$=a_{n+1}-0,375$\\
\> $=0,84a_n+0,06-0,375$\\
\> $=0,84a_n-0,315$\\[6pt]
\> $=0,84\left( a_n-\dfrac{0,315}{0,84}\right)$\\[6pt]
\> $=0,84(a_n-0,375)$\\
\> $=0,84u_n$
\end{tabbing}

La suite $(u_n)_{n\in\N}$ est donc bien une suite géométrique de raison $q=0,84$.

Son premier terme est $u_0=a_0-0,375=1-0,375=0,625$.

\item %Donner l'expression de $u_n$ en fonction de $n$.
D'après la question précédente, on a, pour tout entier naturel $n$, $u_n=u_0 \times q^n$,

soit $u_n=0,625\times 0,84^n$.

%En déduire que, pour tout entier naturel n, on a $a_n = 0,375 + 0,625 \times 0,84^n$.
Comme, pour tout entier naturel $n$, $u_n=a_n-0,375$, alors $a_n=u_n+0,375$.

En utilisant ce qui précède, on obtient donc $a_n=0,375+0,625\times 0,84^n$.
\end{enumerate}
\item %En résolvant une inéquation, déterminer l'année à partir de laquelle la proportion d'abonnés à la version papier du magazine devient inférieure à 50\,\%.
On cherche le permier entier naturel $n$ tel que $a_n<0,5$.

\begin{tabbing}
Or, pour tout entier naturel $n$, $a_n<0,5$~
\=$\Leftrightarrow 0,375+0,625\times 0,84^n<0,5$\\
\> $\Leftrightarrow 0,625\times 0,84^n<0,125$\\[6pt]
\> $\Leftrightarrow 0,84^n<\dfrac{0,125}{0,625}$\\[6pt]
\> $\Leftrightarrow 0,84^n<0,2$\\
\> $\Leftrightarrow \ln\left( 0,84^n\right)<\ln(0,2)$\\
\> $\Leftrightarrow n\ln(0,84)<\ln(0,2)$\\[6pt]
\> $\Leftrightarrow n>\dfrac{\ln(0,2)}{\ln(0,84)}$
\end{tabbing}

Or, $\dfrac{\ln(0,2)}{\ln(0,84)}\approx 9,23$.

Le premier entier qui convient est donc 10.

C'est donc à partir de 2020 que la proportion d'abonnés à la version papier du magazine devient inférieure à 50\%.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3 \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

%\medskip
%
%\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions posées, une seule
%des quatre réponses est exacte. Une réponse exacte rapporte un point. Une réponse fausse ou l'absence
%de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point.\\
%Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse choisie. Aucune justification
%n'est demandée.}
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %On choisit au hasard un nombre réel dans l'intervalle [10~;~50]. La probabilité que ce nombre appartienne à l'intervalle [15~;~20] est :
%
%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
%\textbf{a.~~}$\dfrac{5}{50}$&\textbf{b.~~}$\dfrac{1}{8}$&\textbf{c.~~}$\dfrac{1}{40}$&\textbf{d.~~}$\dfrac{1}{5}$
%\end{tabularx}
%\medskip
Notons \textit{X} la variable aléatoire donnant le nombre réel choisi au hasard dans l'intervalle $[10\,;\,50]$.

\textit{X} suit la loi uniforme sur l'intervalle $[10\,;\,50]$.

La probabilité cherchée est donc $p(15\leqslant X\leqslant 20)$. Or,

$p(15\leqslant X\leqslant 20)=\displaystyle\int_{15}^{20}\dfrac{1}{40} \text{d} x$

$p(15\leqslant X\leqslant 20)=\dfrac{20-15}{40}$

$p(15\leqslant X\leqslant 20)=\dfrac{5}{40}=\dfrac{1}{8}$.

La bonne réponse est la \textbf{réponse b.}.

\item %Le prix d'un produit est passé de 200~\euro{} à 100~\euro.

%Cette évolution correspond à deux baisses successives et identiques d'environ :

%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
%\textbf{a.~~}50\,\% &\textbf{b.~~} 25\,\% &\textbf{c.~~} 29\,\% &\textbf{d.~~} 71\,\%
%\end{tabularx}
%\medskip

On cherche le réel $t$ compris entre 0 et 100 tel que $200\times \left( 1-\dfrac{t}{100}\right)^2=100$.

\begin{tabbing}
Pour tout réel $t\in[0\,;\,100]$, $200\times \left( 1-\dfrac{t}{100}\right)^2=100$~
\=$\iff \left( 1-\dfrac{t}{100}\right)^2=0,5$\\[6pt]
\> $\iff 1-\dfrac{t}{100}=\sqrt{0,5}$, car $t\leqslant 100$\\[6pt]
\> $\iff t=100\left( 1-\sqrt{0,5}\right)$
\end{tabbing} 

Or, $100\left( 1-\sqrt{0,5}\right)\approx 29,29$.

La bonne réponse est donc la \textbf{réponse c.}.

\item %On donne ci-dessous la courbe représentative d'une fonction $f$ définie et continue sur l'intervalle [0~;~18].

%\begin{center}
%\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.1cm,comma=true}
%\begin{pspicture}(-2,-40)(20,50)
%\multido{\n=0+2}{11}{\psline[linewidth=0.3pt](\n,-40)(\n,50)}
%\multido{\n=-40+10}{10}{\psline[linewidth=0.3pt](0,\n)(20,\n)}
%\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=2,Dy=10]{->}(0,0)(-1.99,-40)(20,50)
%%\pscurve[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](0,-33)(2,0)(4,20)(6,30)(8,32)(10,31)(12,27)(14,26)(16,28.5)(18,38)
%\psplot[plotpoints=500,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{18}{x 2 sub x dup mul 31 x mul sub 274 add mul 5 mul 83 div}
%\uput[u](17,33){\blue $\mathcal{C}_f$}\uput[dl](0,0){O}
%\end{pspicture}
%\end{center}
%
%On peut affirmer que :

%	\begin{enumerate}
%	\item Toutes les primitives de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~18] sont négatives sur l'intervalle [0 ; 2].
%	\item Toutes les primitives de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~18] sont négatives sur l'intervalle [8~;~12].
%	\item Toutes les primitives de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~18] sont croissantes sur l'intervalle [0~;~2].
%	\item Toutes les primitives de la fonction $f$sur l'intervalle [0~;~18] sont croissantes sur l'intervalle [8~;~12].
%	\end{enumerate}
Graphiquement, on obtient que $f(x)\leqslant 0$ sur $[0\,;\,2]$ et $f(x)\geqslant 0$ sur $[2\,;\,18]$.

Les primitives de $f$ sont donc décroissante sur $[0\,;\,2]$ et croissantes sur $[2\,;\,18]$.

La bonne réponse est la \textbf{réponse d.}.

\item %Lors d'un sondage, 53,5\,\% des personnes interrogées ont déclaré qu'elles voteront pour le candidat A aux prochaines élections. L'intervalle de confiance au seuil de 95\,\% donné par l'institut de sondage est [51\,\%~;~56\,\%]. Le nombre de personnes qui ont été interrogées est alors :

%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
%\textbf{a.~~}	40&\textbf{b.~~} 400&\textbf{c.~~} \np{1600}&\textbf{d.~~} \np{6400}
%\end{tabularx}
%\medskip
Un intervalle de confiance, au seuil de 95\%, est $\left[f-\dfrac{1}{\sqrt{n}}\,;\,f+\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right]$, 

où $f$ est la fréquence des personnes, sur l'échantillon, déclarant vouloir voter pour le candidat A et $n$ la taille de l'échantillon.

Ici, on a $f=0,535$, $f-\dfrac{1}{\sqrt{n}}=0,51$ et $f+\dfrac{1}{\sqrt{n}}=0,56$.

$f-\dfrac{1}{\sqrt{n}}=0,51$ donne $\dfrac{1}{\sqrt{n}}=0,535-0,51=0,025$,

soit $\sqrt{n}=\dfrac{1}{0,025}=40$, puis $n=40^2=\np{1600}$.

La bonne réponse est la \textbf{réponse c.}.
\end{enumerate}


\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 4 \hfill 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\textbf{Partie A : Étude d'une fonction}

%\medskip
%
%On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle ]0~;~1,5] par 
%
%\[f(x) = 9x^2(1 - 2\ln x) + 10.\]
%
%La courbe représentative de $f$ est donnée ci-dessous:
%\begin{center}
%\psset{xunit=5cm,yunit=0.2cm,comma=true}
%\begin{pspicture}(-0.15,-3)(1.8,25)
%\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.5,Dy=5]{->}(0,0)(0,0)(1.8,25)
%\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.01}{1.5}{1 x ln 2 mul sub x dup mul mul 9 mul 10 add}
%\end{pspicture}
%\end{center}
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item %Montrer que $f'(x) = - 36 x \ln x$ où $f'$ désigne la fonction dérivée de la fonction $f$ sur l'intervalle ]0~;~1,5].
Comme somme et produit de fonctions dérivables sur l'intervalle $I=]0\,;\,1,5]$, $f$ est dérivable sur I.

\begin{tabbing}
Pour tout $x\in I$, $f'(x)$~\=$=18x\times [1-2\ln(x)]+9x^2\times \left( -2\times \dfrac{1}{x}\right)+0$\\
\> $=18x-36x\ln(x)-\dfrac{18x^2}{x}$\\[6pt]
\> $=18x-36x\ln(x)-18x$\\
\> $=-36x\ln(x)$
\end{tabbing} 

\item %Étudier le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle ]0~;~1,5].
On obtient le tableau suivant :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[color,lgt=2.5,espcl=4,colorC=blue!20,colorV=blue!20]
{$x$/1,$-36x$/1,$\ln(x)$/1,$f'(x)$/1,Variations\\de $f$/2}
{$0$,$1$,$1.5$}
\tkzTabLine{z,-,t,-,}
\tkzTabLine{d,-,z,+,}
\tkzTabLine{d,+,z,-,}
\tkzTabVar{D-/,+/$19$,-/$f(1.5)$}
\end{tikzpicture}
\end{center}
avec $f(1,5)\approx 18,83$.

\item %Déduire de la question précédente les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle ]0~;~1,5].
Voir la question précédente.
\end{enumerate}
\item %On admet que $f''(x) = - 36 \ln x - 36$ où $f''$ désigne la dérivée seconde de la fonction $f$ sur l'intervalle ]0~;~1,5].

%Montrer que la courbe représentative de la fonction $f$ admet un point d'inflexion dont l'abscisse est $\text{e}^{ -1}$.

\begin{tabbing}
Pour tout $x\in I$, $-36\ln(x)-36\geqslant 0$~
\=$\Leftrightarrow -36\ln(x)\geqslant 36$\\[6pt]
\> $\Leftrightarrow \ln(x)\leq \dfrac{36}{-36}$\\[6pt]
\> $\Leftrightarrow \ln(x)\leq -1$\\
\> $\Leftrightarrow x\leq \e^{-1}$
\end{tabbing} 

On obtient le tableau suivant :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[color,lgt=2.5,espcl=4,colorC=blue!20,colorV=blue!20]
{$x$/1,$f''(x)$/1,Convexité\\de $f$/2}
{$0$,$\e^{-1}$,$1.5$}
\tkzTabLine{d,+,z,-}
\tkzTabLine{,\text{Convexe},,\text{Concave},}
\end{tikzpicture}
\end{center}


\item %Soit $F$ la fonction définie sur l'intervalle ]0~;~1,5] par 

%\[F(x) = 10 x + 5x^3 - 6x^3\ln x.\]

\begin{enumerate}
\item %Montrer que $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur ]0~;~1,5].
Comme somme et produit de fonctions dérivables sur I, F est dérivables sur I, et, pour tout $x\in I$,

$F'(x)=10+5\times 3x^2-\left( 6\times 3x^2\ln(x)+6x^3\times \dfrac{1}{x}\right)$

$F'(x)=10+15x^2-18x^2\ln(x)-\dfrac{6x^3}{x}$

$F'(x)=10+15x^2-18x^2\ln(x)-6x^2$

$F'(x)=10+9x^2-18x^2\ln(x)$

$F'(x)=10+9x^2\left[ 1-2\ln(x)\right]$

$F'(x)=f(x)$

F est bien une primitive de $f$ sur I.

\item %Calculer $\displaystyle\int_1^{1,5} f(x)\:\text{d}x$. 
$\displaystyle\int_1^{1,5} f(x)\:\text{d}x=F(1,5)-F(1)$

On obtient : $\displaystyle\int_1^{1,5} f(x)\:\text{d}x\approx 8,66$.

%On donnera le résultat arrondi au centième.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip	

\textbf{Partie B : Application économique}

\medskip

%\emph{Dans cette partie, toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l'évaluation.}
%	
%	\medskip
%	
%Une société est cotée en bourse depuis un an et demi.
%	
%Le prix de l'action depuis un an et demi est modélisé par la fonction $f$ définie dans la partie A, où $x$
%représente le nombre d'années écoulées depuis l'introduction en bourse et $f(x)$ représente le prix de
%l'action, exprimé en euros.
%	
%Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si la proposition est vraie ou fausse en justifiant la
%réponse.
%	
%\smallskip

\textbf{Proposition 1 :}

\og Sur la période des six derniers mois, l'action a perdu plus d'un quart de sa valeur. \fg

La période des six derniers mois correspond à l'intervalle $[1\,;\,1,5]$.

Or, $f(1)=19$ et $19\times 0,75=14,25>f(1,5)$, d'après la question \textbf{A. 2. c.}

La proposition est donc vraie.

\medskip

\textbf{Proposition 2 :}	

\og Sur la période des six derniers mois, la valeur moyenne de l'action a été inférieure à 17~\euro. \fg

La valeur moyenne de l'action sur les six derniers mois correspond à $\displaystyle\frac{1}{1,5-1}\int_{1}^{1,5}f(x) \text{d} x$,

soit $\displaystyle\frac{1}{0,5}\int_{1}^{1,5}f(x) \text{d} x=2\times \int_{1}^{1,5}f(x) \text{d} x$.

En utilisant la valeur obtenue à la quesion \textbf{A. 3. b.}, on obtient une valeur moyenne d'environ 17,33, soit strictement supérieure à 17~\euro{}.

La proposition est donc fausse.
\end{document}